幸せの理論。 何も知らない科学的方法としての統計

私はHabrの読者に彼の本「Theory of Happiness」のサブタイトル「平均の法則の数学的基礎」を紹介し続けています。 これは出版されていないノンフィクションの本であり、数学がどのように世界と人々の生活を見るために新しい程度の認識を得ることができるかについて非常に非公式に語っています。 それは科学に興味がある人たちと、人生に興味がある人たちのためです。 そして、私たちの生活は複雑であり、概して予測不可能であるため、本書では主に確率論と数学的統計に重点を置いています。 ここでは定理は証明されておらず、科学の基礎も示されていません。これは決して教科書ではなく、レクリエーション科学と呼ばれるものです。 しかし、まさにゲームに近いアプローチであるため、直感を身につけ、学生向けの鮮やかな例を使って講義を明るくし、最後に非数学者や子供たちに、ドライサイエンスでこのような興味深いことを発見したことを説明できます。





この章では、統計、天気、さらには哲学について説明します。 少しでも心配しないでください。 それはまともな社会のテーブルトークに使用することができます。

特に私がそれらを自分でやるとき、数字はだまされています。 この機会に、Disraeliに起因する声明は真実です。「嘘には、嘘、露骨な嘘、統計の3種類があります。」

マーク・トウェイン

夏には、屋外に出かけたり、公園を散歩したり、ピクニックをしたり、雨が降って家に閉じ込められたりすることがあります。 そして大丈夫、これは季節に1、2回起こります。時々、週末に続いて、土曜日か日曜日に何度も天気が続いているようです！



オーストラリアの研究者によって比較的最近の記事が発表されました：「ピーク温度の週周期と都市の熱島の強度」。 彼女はニュースメディアに取り上げられ、次の見出しで結果を転載しました。 科学者は、週末の天気が平日よりも本当に悪いことを発見しました。」 引用された論文は、オーストラリアのいくつかの都市における長年にわたる気温と降水量の統計を提供し、実際、土曜日と日曜日の特定の時間までに気温が低下することを明らかにしています。 その後、地元の天気と交通量の増加による大気汚染のレベルを結びつける説明が与えられます。 この直前に、 ドイツで同様の研究が実施され、ほぼ同じ結論に至りました。



同意する、学位の端数は非常に微妙な効果です。 待望の土曜日の悪天候について不平を言って、日が晴れているか雨だったかを議論しています。この事実は、正確な計器がなくても登録しやすく、後で覚えやすいです。 このトピックに関する独自の小規模な調査を実施し、素晴らしい結果を得ることができます。曜日と天気がカムチャッカでつながっているかどうかは自信を持って言えません。 否定的な結果を伴う研究は、通常、雑誌のページやニュースフィードには該当しませんが、一般的に、ランダムなプロセスについて自信を持って何かを言うことができる根拠を理解することが重要です。 この点で、否定的な結果は肯定的な結果よりも悪くはありません。

統計を守る言葉

統計は罪の塊のせいだ：嘘と操作の可能性の両方、そして最後に理解不能。 しかし、私は本当にこの知識の領域をリハビリして、タスクが意図するタスクの難しさと、統計が与える答えを理解するのがどれほど難しいかを示したいと思います。



確率論は、分布または包括的な組み合わせ計算の形でランダム変数の正確な知識を使用します。 ランダム変数について正確な知識を持つことが可能であることをもう一度強調します。 しかし、この正確な知識が私たちにアクセスできず、私たちが自由に使える唯一のものが観察である場合はどうでしょうか？ 新薬の開発者は限られた数のテストを行っており、交通流制御システムの作成者は実際の道路での測定値を数えているだけであり、社会学者は投票の結果を持っています。さらに、いくつかの質問に答えるとき、回答者はうそをついた。



1回の観察で何も得られないことは明らかです。 2-何もない、3、4 ... 100 ...数学的な精度で確信できる確率変数に関する知識を得るには、いくつの観測が必要ですか？ そして、それはどのような知識になりますか？ ほとんどの場合、ランダム変数のいくつかのパラメーターを評価できるようにするテーブルまたはヒストグラムの形式で表示されます;それらは統計と呼ばれます（たとえば、定義のドメイン、平均または分散、非対称性など）。 おそらく、ヒストグラムを見ると、分布の正確な形状を推測できるでしょう。 しかし注意！ -観測結果自体はすべてランダム変数になります！ 分布についての正確な知識がない限り、すべての観測結果から、ランダムプロセスの確率的記述のみが得られます。 ランダムなプロセスのランダムな記述は、ここではまだ混同したり、意図的に混同したりすることはありません！



数学統計を正確な科学にする理由は何ですか？ その方法により、明確に制限されたフレームワークで無知を結論付けることができ、このフレームワークで知識が事実と一致しているという信頼の計算可能な尺度を与えることができます。 これは、未知のランダム変数について推論できる言語であるため、推論が理にかなっています。 このようなアプローチは、哲学、心理学、または社会学において非常に有用であり、肯定的な知識、特に証明を得る希望なしに、長い推論と議論に従事することは非常に簡単です。 医師、社会学者、経済学者、物理学者、心理学者にとって、絶対に必要なツールであるため、多くの文献が有能な統計データ処理に当てられています。



さて、この章のエピグラフをもう一度見てみましょう。統計学は、第3級の嘘と呼ばれていますが、これは自然科学が持つ唯一のものです。 これは宇宙の意地悪の主な法則ではありませんか！ 物理から経済まで、私たちに知られているすべての自然の法則は、数学モデルとその特性に基づいていますが、測定および観測中に統計的方法によって検証されます。 日常生活では、私たちの心は一般化を行い、パターンを観察し、繰り返し画像を分離し、認識します。これはおそらく人間の脳ができることです。 これはまさに人工知能が最近教えていることです。 しかし、心はその力を保存し、個々の観察から結論を引き出す傾向があり、これらの結論の正確性や妥当性についてはあまり心配しません。 この機会に、スティーブンブラストの著書「Isola 」から、一貫性のあるすばらしい声明があります。 「誰もが一例から一般的な結論を引き出しています。 少なくとも私はまさにそれをします。 」 そして、芸術、ペットの性質、または政治について話している間、あなたはこれについてあまり心配することはできません。 しかし、飛行機を建てるとき、空港派遣サービスを計画するとき、または新しい薬をテストするとき、「私には思える」、「直感が伝える」、「人生ですべてが起こる」という事実を参照できなくなります。 ここでは、厳密な数学的方法の枠組みに心を制限する必要があります。



私たちの本は教科書ではなく、統計的方法を詳細に研究することはせず、仮説をテストする技術という1つのことだけに限定します。 しかし、私はこの知識分野に特徴的な推論の過程と結果の形式を示したいと思います。 そして、おそらく、将来の学生である読者の中には、統計、これらのすべてのQQ図、tおよびF分布で彼を苦しめている理由を理解するだけでなく、別の重要な質問が出てきます： -おそらく事故について？ そして、統計を使用して正確に何を学びますか？

統計の3つのクジラ

数学的統計の主な柱は、確率論、 多数の法則 、 中心極限定理です。



多数の法則は、自由な解釈において、ランダム変数の多数の観測値がほぼ確実にその分布を反映することを示唆しているため、観測された統計：平均、分散、およびその他の特性は、ランダム変数に対応する正確な値になる傾向があります。 言い換えれば、無限数のデータを持つ観測値のヒストグラムは、ほぼ確実に、真であるとみなせる分布になりやすい傾向があります。 確率空間の尺度として、「毎日」の確率の頻度解釈と理論上の理論を結びつけるのはこの法則です。



ここでも、自由極解釈における中心極限定理は、確率変数の分布の最も可能性の高い形式の1つは正規 （ガウス）分布であると言います。 正確な言葉遣いは異なるように聞こえます： 分布に関係なく、多数の同一に分布した実際のランダム変数の平均値は、正規分布によって記述されます。 この定理は通常、機能解析手法を使用して証明されますが、システム状態の確率の尺度としてエントロピーの概念を導入することで理解し、さらに拡張できることがわかります：正規分布は最小数の制約で最大のエントロピーを持ちます。 この意味で、未知の確率変数、または分布も未知である他の多くの変数の組み合わせである確率変数を記述するときに最適です。



これらの2つの法則は、観測に基づく知識の信頼性の定量的推定の根底にあります。 ここでは、統計的確認または仮定の反論について話します。これは、いくつかの一般的な基礎と数学的モデルから作成できます。 これは奇妙に思えるかもしれませんが、それ自体では統計は新しい知識を生み出しません。 一連のファクトは、特定の構造を形成するファクト間の接続を構築した後にのみ知識に変わります。 統計を超えた何かに基づいて予測を行い、一般的な仮定を提示できるのは、これらの構造と関係です。 このような仮定は仮説と呼ばれます。 今度は、形態学の法則の1つであるPersigueの仮定を思い出してください 。

特定の現象を説明する合理的な仮説の数は無限です。

数学的統計のタスクは、この無限の数を制限することです。むしろ、それらを1つに減らすことであり、必ずしもそうではありません。 より複雑な（そしてより望ましい）仮説に移行するには、観測データを使用して、より単純でより一般的な仮説に反論するか、それを補強して理論のさらなる発展を放棄する必要があります。 この方法でテストされることが多い仮説はnullと呼ばれ、これには深い意味があります。



帰無仮説として機能するものは何ですか？ ある意味で、何でも、どんな声明でも、それが測定言語に翻訳できることを条件に。 ほとんどの場合、仮説はあるパラメーターの期待値であり、測定中にランダム変数に変わるか、2つのランダム変数間の接続（相関）がありません。 分布のタイプ、ランダムなプロセス、数学的モデルが提案されている場合があります。 質問の古典的な定式化は次のとおりです。観測により帰無仮説を棄却できるかどうか。 より正確には、帰無仮説に基づいて観測値を取得できないとどの程度確実に言えますか？ さらに、統計データに基づいて帰無仮説が偽であることを証明できなかった場合、真として受け入れられます。



そして、ここであなたは、研究者が古典的な論理的間違いの1つを作ることを余儀なくされていると思うかもしれません。 これは、虚偽の証拠の欠如に基づく、声明の真実の議論です。 古典的な例は、ジョセフ・マッカーシー上院議員が、特定の人が共産主義者であるという告発を支持するために事実を提示するように頼まれたときに語った言葉です： 「私はこの主題についてはほとんど情報がありませんが、彼の関係書類には何もありません彼の共産主義者との関係を排除するために 。 " またはさらに明るい： 「他に誰も証明していないので、ビッグフットが存在します 。 」 科学的仮説と同様のトリックの違いを特定することは、哲学の全分野、すなわち科学的知識の方法論の主題です。 その顕著な結果の1つは、20世紀前半に著名な哲学者カール・ポッパーによって提唱された偽造可能性の基準です 。 この基準は、科学的知識と非科学的を区別するように設計されており、一見、逆説的なように見えます。

理論または仮説は、それを論uteする方法が仮に存在する場合にのみ、科学的であると見なすことができます。

卑劣の法則ではないもの！ 科学的理論は自動的に潜在的に不正確であり、「定義による」真の理論は科学的とは見なされないことが判明しています。 さらに、数学や論理などの科学はこの基準を満たしていません。 しかし、それらは自然科学ではなく、偽造性のテストを必要としない正式な科学に言及しています。 そして、同じ結果をもう1つ追加すると：ゲーデルの不完全性の原則。正式なシステムでは証明も反証もできない声明を定式化できると述べているため、一般にこの科学すべてに関与する理由が不明になる可能性があります。 しかし、ポッパーの偽造可能性の原則は理論の真実については何も言わず、科学的かどうかだけを理解することが重要です。 理論が、世界について話すことが理にかなっている言語を与えるかどうかを判断するのに役立ちます。



しかし、それでも、統計データに基づいて仮説を拒否できない場合、なぜそれを真であると認める資格があるのでしょうか？ 事実は、統計的仮説は研究者の欲求や好みから取られたものではなく、一般的な公式法に従うべきであるということです。 たとえば、中央極限定理、または最大エントロピーの原理から。 これらの法則は、不必要な仮定や仮説を不必要に追加することなく、無知の程度を正しく反映しています。 ある意味では、これはオッカムのカミソリとして知られている有名な哲学的原理の直接的な使用です：

より少ない仮定に基づいて行うことができることは、より多くに基づいて行うべきではありません。

したがって、反論がないことに基づいて帰無仮説を受け入れると、実験の結果、 無知の程度が同じレベルのままであることを正式かつ正直に示します 。 ビッグフットの例では、明示的または暗黙的に、逆が想定されています。この謎の生き物は、それについての私たちの知識の程度を高めることができるものではないという証拠の欠如です。



一般に、偽証可能性の原則の観点からは、証拠の欠如は何も証明しないため、何かの存在に関するいかなる文言も非科学的です。 同時に、何も存在しないという主張は、コピー、間接的な証拠を提供することによって、または構築によって存在を証明することによって簡単に反論することができます。 そして、この意味で、統計的仮説検定は、望ましい効果の欠如の疑惑を分析し、ある意味で、この声明の正確な反論を提供することができます。 これはまさに「帰無仮説」という用語が完全に正当化されたものです。システムに関する必要最小限の知識が含まれています。

統計を混乱させる方法と解く方法

帰無仮説を棄却できることが統計により示されている場合、これは、それによって対立仮説の真理を証明したことを意味しないことを強調することは非常に重要です。 統計と論理を混同しないでください。特に、依存イベントの条件付き確率が作用する場合、大量の微妙なエラーが存在します。 例：人が教皇になる可能性はほとんどありません（ $$ ね、私はmは1 / 7 BN）教皇ヨハネ・パウロ二世は、男ではなかったことをこのことからですか？陳述はばかげているように思えますが、残念なことに、このような「明白な」結論は事実と同じです。$\ sim 1/7$$$偽陽性と偽陰性の両方の結果の 1 ％、したがって、$1\%$$$98 ％の場合、彼は飲酒運転者を正しく特定します。テストしてみましょう$98\%$$$1000人のドライバーと$1000$$$それらの 100は本当に酔っているでしょう。結果として、$100$$$900 × 1 ％= 9の誤検出$900\times1\%=9$$$100 × 1 ％= 1の偽陰性結果：つまり、1人の泥酔者が滑り込んだ場合、9人の無実の罪で告発されたランダムドライバーがいることになります。卑劣の法則ではないもの！飲酒運転者の割合が等しい場合にのみパリティが観察されます$100\times1\%=1$$$1 / 2、または偽陽性と偽陰性の結果の割合の比率が近い落ち着い飲酒ドライバに対する実際の相対になる場合。さらに、国をより冷静に調査すればするほど、私たちが説明するデバイスの使用は不公平になります！ここで、依存イベントに直面しています。コルモゴロフの確率の定義は、イベントを結合する確率を追加する方法について述べていることを思い出してください。2つのイベントを結合する確率は、確率の合計から交差の確率を引いたものに等しくなります。ただし、これらの定義は、イベントの交差の確率がどのように計算されるかを述べていません。これを行うために、新しい概念が導入されました。条件付き確率とイベントの相互依存が前面に出てきます。$1/2$





イベントAとBの交差の確率は、イベントBの確率とイベントの確率の積として定義されます。 $$A、イベントが発生したことがわかっている場合$A$$$$B$ ：

$$

$$P(A \cap B) = P(B)P(A|B).$$

これで、3つの同等の方法でイベントの独立性を判断できます。 $$$A$ そして $$B独立した場合$B$$$$P(A|B) = P(A)$ 、または $$$P(B|A) = P(B)$ 、または $$$P(A\cap B) = P(A)P(B)$ 。

これにより、最初の章で開始された確率の正式な定義が完了します。



交差は可換演算です。つまり、$$$P(A\cap B) = P(B\cap A)$ 。 ベイズの定理は、これからすぐに続きます。

$$

$$P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A),$$

条件付き確率の計算に使用できます。



ドライバーとアルコールテストの例では、イベントがあります。$$A-ドライバーは酔っている、$A$$$B-テストは肯定的な結果を与えました。確率：$B$$$P （A ）= 0.1-停止したドライバーが酔っている確率。$P(A) = 0.1$$$P （B | A ）= 99 ％ -ドライバーが酔っていることがわかっている場合（除外された場合）、テストが肯定的な結果を与える確率$P(B|A) = 99\%$$$1 ％の偽陰性）$1\%$$$P （A | B ）= 99 ％ -テストが肯定的な結果を与えた場合、テストが飲酒する確率（除外$P(A|B) = 99\%$$$1つの誤検出結果）。計算する$1%$$$P （B ） -路上で陽性の検査結果を得る確率：$P(B)$

$$

$$P(B) = \frac{P(A)P(A|B)}{P(B|A)} = P(A) = 0.1$$

現在、私たちの推論は形式化されており、ご存じのように、おそらくより理解しやすい人もいます。条件付き確率の概念により、確率理論の言語で論理的に推論できます。ベイズの定理が、意思決定理論、パターン認識システム、スパムフィルター、盗作テストをテストするプログラム、および他の多くの情報技術に広く応用されていることは驚くことではありません。



これらの例は、医学検査または法務の学生によって慎重に理解されています。しかし、数学統計や確率理論はジャーナリストや政治家に教えられていないのではないかと心配しています。したがって、読者にお願いします。数学を自分で理解し、他の人が理解できるように助けてください！私は無知への他の解毒剤を見ません。

私たちはだましやすさを測定します

実際には、多くの統計的手法のうちの1つ、つまり統計的仮説のテストのみを考慮して適用します。すでに自分の人生を自然科学または社会科学に結び付けている人にとって、これらの例には驚くほど新しいものはありません。



ランダム変数を平均値で繰り返し測定するとします$$ m uおよび標準偏差$\ mu$$$$\シグマ$ 。中央極限定理によると、観測された平均値は正規分布になります。多数の法則から、その平均は$$ m u、および正規分布の特性から、$\ mu$$$n回の測定では、平均の観測分散は次のように減少します$n$$$$\sigma/\sqrt{n}$ 。 標準偏差は平均測定値の絶対誤差と見なすことができ、この場合の相対誤差は次の値に等しくなります。 $$$\delta = \sigma/(\sqrt{n}\mu)$ 。 これらは非常に一般的な結論であり、十分に大きい $$調査したランダム変数の特定の分布形式の n。2つの有用なルール（法律ではない）がそれらから続きます。1.試行の最小数$n$



$$nは、目的の相対誤差によって決定される必要があります$n$$$$\delta$ 。 また、

$$

$$n \geq \left(\frac{2\sigma}{\mu\delta}\right)^2,$$

観測された平均が指定された誤差内に留まる確率は少なくとも $$$95\%$ 。 で $$ m uがゼロに近い場合、相対誤差は絶対値を置き換える方が良いです。2.観測された平均が$\ mu$



$$$\ mu$ 。 次に、観測された平均が超えない場合 $$μ ± 2 σ / √n、その後、帰無仮説が真である確率は少なくとも$\mu \pm 2\sigma/\sqrt{n}$$$$95\%$ 。





これらのルールで置き換えられた場合 $$$2\sigma$ に $$3 σ、信頼水準はに上昇します$3\sigma$$$99.7 ％、これは非常に強いルールです$99.7\%$$$3 σ実験的に確立された事実から物理科学分離し憶測です。特定の成功確率で条件付きで「成功」と「失敗」と呼ばれる正確に2つの値を取るランダム変数を記述するベルヌーイ分布へのこれらのルールの適用を検討するのに役立ちます$3\sigma$



$$$p$ 。 この場合 $$$\mu = p$ そして $$σ = √p （1 - p ）なので、必要な実験数と信頼区間については、$\sigma = \sqrt{p(1-p)}$

$$

$$n \geq \frac{4}{\delta^2}\frac{1-p}{p}\quad \quad np \pm 2\sqrt{np(1-p)}.$$

ルール $$$2\sigma$ベルヌーイ分布を使用して、ヒストグラムをプロットする際の信頼区間を決定できます。基本的に、ヒストグラムの各バーは、2つの値を持つランダム変数を表します。「ヒット」-「ミス」。ヒットの確率はシミュレートされた確率関数に対応します。デモンストレーションとして、3つの分布（均一、幾何、および正規）の多くのサンプルを生成し、観測されたデータの散乱推定値を観測された散乱と比較します。そして、ここで再び、ヒストグラムの平均値の周りのデータの分布が正常に近いという事実で明らかにされた中心極限定理のエコーを見ます。ただし、ゼロに近い場合、スプレッドは非対称になり、別の非常に可能性の高い分布-指数関数に近づきます。この例は、私が意図したことをよく示しています統計では、ランダム変数のパラメーターのランダム値を扱っていると言っています。









ルールによって作成された散布推定の比率を示す例 $$$2\sigma$ および3の確率変数のために観測された変化。



ルールを理解することが重要です$$$2\sigma$ そしてさらに $$3 σは、エラーから私たちを緩和しません。それらはいかなる声明の真実を保証するものではなく、証拠ではありません。統計は、仮説に対する不信の度合いを制限するものであり、それ以上のものはありません。数学者であり、確率理論の優れたコースの著者であるジャンカルロロタは、MITでの講義でそのような例を挙げました。編集委員会が強い意志を持っている科学雑誌を想像してください：ルールを満たす肯定的な結果の記事のみを出版に受け入れること$3\sigma$



$$2つのσまたは厳しいです。同時に、編集欄は、読者がその可能性を確信できることを示しています$2\sigma$$$読者の 95 ％がこの雑誌のページで間違った結果を見つけることはありません！悲しいかな、この声明は、アルコールのドライバーをテストする際に私たちがひどい不正を導いたのと同じ理由で簡単に反論することができます。$95\%$させる $$経験豊富な 1000人の研究者$1000$$$たとえば、一部の部分だけが真実である 1000の仮説$1000$$$$10\%$ 。 仮説検定の意味に基づいて、次のことが期待できます。 $$900 × 0.05 = 45の誤った仮説が誤って拒否されることはなく、$900\times0.05=45$$$100 × 0.95 = 95の真の結果。合計$100\times0.95=95$$$130の結果、良い3番目は間違っています！この例は、私たちの国内の卑劣な法則を完全に実証していますが、これはまだマーモロジーのアンソロジーであるチェルノミルディンの法則に含まれていません：$130$

私たちは最高のものを望んでいましたが、いつものように判明しました。

真の仮説のシェアが以下であると仮定すると、ジャーナルの問題に含まれる誤った結果の割合の一般的な推定値を簡単に取得できます。 $$0 < α < 1で、誤った仮説を受け入れる確率は$0<\alpha<1$$$$p$ ：

$$

$$x =\frac{(1-\alpha)p}{\alpha(1-p)+(1-\alpha)p}.$$

ジャーナルに掲載できる意図的に誤った結果のシェアを制限している領域を図に示します。







仮説をテストするためのさまざまな基準を採用した場合、明らかに誤った結果を含む出版物のシェアの推定。ルールによって仮説を受け入れることがわかる $$$2\sigma$ 基準ながら、危険であることができます $$$4\sigma$ すでに非常に強いと考えることができます。



もちろん、私たちはこれを知りません。 $$$\ alpha$ 、そして私たちは決して知ることはありませんが、それは確かに単一性よりも小さいです。つまり、いずれにしても、編集コラムからの声明を真剣に受け止めることはできません。 厳格な基準に制限することができます $$$4 \シグマ$ ただし、非常に多くのテストが必要です。 したがって、一連の可能な仮定において真の仮説の割合を増やす必要があります。 科学的認知方法の標準的なアプローチは、これを目的としています-仮説の論理的一貫性、その適用性、数学モデルへの依存、批判的思考を証明した事実と理論との一貫性。

そして再び天気について

この章の冒頭で、週末と悪天候が私たちが望むよりも頻繁に起こるという事実について話しました。 この研究を完了してみましょう。 各雨の日は、確率変数の観測と見なすことができます-確率でベルヌーイ分布に従う曜日 $$$1/7$ 。 帰無仮説として、すべての曜日が天気の面で同じであり、いずれの曜日でも平等に雨が降る可能性があると仮定します。 2日間の休みがあるので、悪い日と1日の休みが一致するという予想される確率を得る $$$2/7$ 、この値はベルヌーイ分布パラメーターになります。 どのくらいの頻度で雨が降りますか？ もちろん、1年のさまざまな時期に、さまざまな方法で、しかし、ペトロパブロフスク-カムチャツキーでは、平均して1年に雨または雪の日が90日あります。 そのため、降水量の多い日の流れの強度は約 $$$90/365 \約1/4$ 。 何らかのパターンがあることを確認するために登録する必要がある雨の多い週末を計算してみましょう。 結果を表に示します。

観察期間	夏	年	$$$5$ 歳
予想される観測数	$$$23$	$$$90$	$$$456$
期待されるポジティブな結果の数	$$$6$	$$$26$	$$$130$
有意な偏差	$$$4$	$$$9$	$$$19$
不良のかなりの割合 休業日数	$$$42 \％$	$$$33 \％$	$$$29 \％$

これらの数字は何について話しているのですか？ 一年続けて「夏はない」、悪石が彼らに週末を雨を送って追いかけているように思えるなら、これを確認し確認することができます。 ただし、夏の間は、週末の5分の2以上が雨であることが判明した場合にのみ、邪悪な岩を捕まえることができます。 帰無仮説は、週末の四分の一だけが悪天候と一致するはずであることを示唆しています。 5年以上の観察を経て、すでに微妙な逸脱に気付くことを期待できます。 $$$5 \％$ そして、必要に応じて、説明を進めます。



2014年から2018年まで実施された学校の天気日記を利用して、この5年間で何が起こったかを知りました $$$459$ それらの雨の日 $$$141$ 週末に落ちた。 これは実際、予想される数よりも多い $$$11$ 日、しかし大幅な逸脱は $$$19$ なので、これは、子供の頃に言ったように、「数えません」。 悪天候の曜日ごとの分布を示す一連のデータとヒストグラムです。 ヒストグラムの水平線は、均一な分布からのランダムな偏差が同じ量のデータで観察できる間隔を示しています。





最初の一連のデータと、5年間の観測で得られた曜日ごとの悪い日数の分布。



実際、金曜日以降、悪天候の日数が増加していることがわかります。 しかし、この成長の理由を見つけるのに必要な前提条件は十分ではありません。乱数を並べ替えるだけで同じ結果を得ることができます。 結論：天気を観察して5年間、約2,000件の記録を蓄積しましたが、曜日までに天気の分布について新しいことは何も知りませんでした。



日記のエントリを見ると、天気が単独で来るのではなく、2〜3日間または毎週のサイクロンでさえ来ることは明らかです。 これは何らかの形で結果に影響しますか？ この観察結果を考慮に入れて、平均して2日間雨が降ると仮定することができます（実際、 $$$1.7$ 日）、週末をブロックする確率は増加します $$$3/7$ 。 このような確率で、5年間の予想一致数は $$$195 \ pm21$ 、つまり $$$174$ 前に $$$216$ 回。 観測値 $$$141$ はこの範囲に該当しないため、悪天候の2日間の影響の仮説は安全に拒否されます。 何か新しいことを学びましたか？ はい、私たちは学びました：プロセスの明らかな特徴は効果を伴わないように思われます。 これは検討する価値があり、少し後で行います。 しかし、主な結論は、観察と、最も重要なことにはその数が一貫して最も単純な説明を支持するため、これ以上の微妙な効果を考慮する理由がないということです。



しかし、私たちの不満は5年ごと、あるいは1年ごとの統計でもなく、人間の記憶はそれほど長くありません。 週末に3、4回連続して雨が降るのは残念です！ これはどれくらいの頻度で観察できますか？ 特に悪天候が一人で来るわけではないことを覚えているなら。 タスクは次のように定式化できます。 $$$n$ 週末は連続して雨が降るでしょうか？」悪い日が激しいポアソン川を形成すると仮定するのは合理的です $$$1/4$ 。 これは、平均して、期間の4分の1が悪いことを意味します。 週末だけを観察して、流れの強さを変えてはいけません。そして、すべての週末の悪天候は平均して四分の一であるはずです。 したがって、帰無仮説を提唱します。悪天候のストリームはポアソンであり、既知のパラメーターを持ちます。つまり、ポアソンイベント間の間隔は指数分布で表されます。 離散間隔に興味があります： $$$0、\ 1、\ 2、\ 3$ 日など、したがって、指数分布の離散アナログを使用することができます-パラメータを持つ幾何分布 $$$1/4$ 。 この図は、私たちが行ったことを示しており、ポアソン過程を観察しているという仮定が拒否するのに妥当ではないことは明らかです。









失敗した週末と理論上のチェーンの長さの観測された分布。 細い線は、現在の観測数の許容偏差を示しています。



次の質問を自問することができます：観察を行うのに何年必要ですか？ $$$11$ 日は、ランダムな偏差として自信を持って確認または拒否できますか？ 計算は簡単です：観測確率 $$ 予想とは異なる $$ に $$$0.02$ 。 100分の1の差を記録するには、絶対誤差は $$$0.005$ それは作ります $$$1.75 \％$ 測定サイズから。 ここから、必要なサンプルサイズを取得します $$$n \ geq（4 \ cdot 5/7）/（0.0175 ^ 2 \ cdot 2/7）\約32000$ 雨の日。 約かかります $$$4 \ cdot 32000/365 \約360$ 4年ごとに雨や雪が降るので、何年にもわたる連続的な気象観測。 悲しいかな、これはカムチャツカがロシアの一部である時を超えているので、物事がどのように「本当に」あるかを知る機会はありません。 特に、この時期に気候が劇的に変化したことを考慮すると、小さな氷河期から、自然は次の最適な状態で出てきました。



では、オーストラリアの研究者は温度偏差をどのように数分の1単位で記録したのでしょうか？ 事実、彼らはランダムなプロセスによって「間引かれない」時間ごとの温度データを使用したということです。 だから超えて $$$30$ 長年の気象観測により、25万件以上のカウントが蓄積され、平均の標準偏差を減らすことができました。 $$$500$ 標準の毎日の温度偏差に対する時間。 これは、精度を10分の1度で説明するには十分です。 さらに、著者は、時系列の存在を確認する別の美しい方法を使用しました。時系列のランダムな混合です。 このような混合は、フロー強度などの統計的特性を保持しますが、時間パターンを「消去」し、プロセスを真にポアソンにします。 多くの合成および実験シリーズの比較により、ポアソンからのプロセスの観測された偏差が有意であることを検証できます。 同様に、地震学者A. A. Gusev は 、あらゆる地域の地震が、クラスタリングの特性を持つ一種の自己相似流を形成することを示しました。 これは、地震が時間内に集中する傾向があり、非常に不快な流動圧縮を形成することを意味します。 その後、大規模な火山噴火のシーケンスには同じ特性があることが判明しました。

ランダム性の別のソース

もちろん、地震のような天気はポアソン過程では説明できません。これらは現在の状態が以前の状態の関数である動的な過程です。 毎週の気象観測で単純な確率モデルが好まれるのはなぜですか？ 実際には、7日間の降水形成の通常のプロセスを表示する、または数学の言語を話すと、 7を法とする演de体系に表示します。 この投影プロセスは、秩序だった一連のデータからカオスを生成することができます。 ここから、たとえば、ほとんどの実数の10進表記の数字のシーケンスに目に見えるランダム性があります。



整数分数で表される有理数についてはすでに説明しました。 それらは、分子と分母という2つの数値によって決定される内部構造を持っています。 しかし、10進数形式で記述する場合、次のような数値の表現の規則性からの飛躍を観察できます。 $$$1/2 = 0.5 \上線{0}$ 、または $$$1/3 =0。\オーバーライン{3}$ 次のような数の既にかなりランダムなシーケンスの周期的な繰り返しに $$$1/17 =0。\オーバーライン{0588235294117647}$ 。 無理数には、10進数形式の有限表記または周期表記がありません。この場合、カオスは数字のシーケンスで最も頻繁に支配します。 しかし、これはこれらの数字に順序がないことを意味しません！ たとえば、数学者が最初に出会った無理数 $$$\ sqrt {2}$ 10進表記では、数字のランダムなセットが生成されます。 ただし、一方で、この数は無限の連続した分数として表すことができます。

$$

$$\ sqrt {2} = 1 + \ frac {1} {2+ \ frac {1} {2+ \ frac {1} {2+ ...}}}。$$

次の方程式を解くことにより、このチェーンが実際に2の根に等しいことを示すのは簡単です。

$$

$$x-1 = \ frac {1} {2+（x-1）}。$$

周期的な小数部のように、繰り返し係数を持つ連続した小数部は間もなく書かれます。例： $$$\ sqrt {2} = [1、\ bar {2}]$ 、 $$$\ sqrt {3} = [1、\上線{1,2}]$ 。 この意味で有名な黄金比は、最も単純に配置された無理数です。 $$$\ varphi = [1、\ bar {1}]$ 。 すべての有理数は有限の連続分数の形式で表され、一部は非合理的です-無限の形式ですが、周期的で、 代数と呼ばれます。 超越者の中で最も有名なのは数です $$$\ pi$ 、10進数と連続分数の両方の形式でカオスを作成します。 $$$\ pi \およそ[3、7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1、...]$ 。 そして、これがオイラー数です $$$e$ 残りの超越は、連続した分数の形式で、10進表記で隠された内部構造を表示します。 $$$e \約[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10、...]$ 。



おそらく、ピタゴラスから始まって数学者は一人もいないので、worldな世界を疑い、必要なものを発見しました。 $$$\ pi$ このようなとらえどころのないカオス構造を持っています。 もちろん、それは非常にエレガントな数値シリーズの合計として表すことができますが、これらのシリーズはこの数値の性質を直接語っておらず、普遍的ではありません。 未来の数学者たちは、自然に隠された厳密な秩序を数字で明らかにする、連続した分数と同じくらい普遍的な数字の新しい表現を発見すると信じています。

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$$* \ * \ *$$

この章の結果は、ほとんどの場合、否定的です。 そして、隠されたパターンと予想外の発見で読者を驚かせたい著者として、私はそれが本に含まれるべきかどうか疑っていました。 しかし、天気に関する私たちの会話は非常に重要なトピックに入りました-自然科学のアプローチの価値と意義。



ある賢明な少女、ソニア・シャタロヴァは、自閉症のプリズムを通して世界を見て、10歳で非常に簡潔で正確な定義を与えました： 「科学は疑いに基づく知識のシステムです」 。 現実の世界は不安定であり、測定の複雑さ、目に見えるランダム性、および信頼性の陰に隠れるよう努めています。 自然科学への疑いは避けられません。 数学は確実性の領域のようであり、疑いを忘れることができるようです。 そして、この王国の壁の後ろに隠れることは非常に魅力的です。 徹底的に調査できるほとんど認識できない世界モデルの代わりに検討してください。 計算して計算すると、数式の利点は何でも消化できます。 しかし、それにもかかわらず、数学は科学であり、その中の疑いは、数学的構成から追加の仮定と不要な仮説が取り除かれるまで休まない深い内なる誠実さです。 数学の分野では、実世界についての推論に適した複雑ではあるが調和のとれた言語を話します。 数字が統計のふりをしないように、事実が知識のふりをしないように、そして実際の科学を無知と操作と比較しないように、この言語を少なくとも少し知っておくことが非常に重要です。