論理、説明可能性、および将来の理解

ロジックに関連する発見

ロジックは多くのことの基礎です。 しかし、ロジック自体の基礎は何ですか？



シンボリックロジックでは、「これは興味深いエッセイです」というタイプのステートメント（または「命題」）を示すために、pやqのようなシンボルが導入されます。 たとえば、pとqについて、式NOT（p AND q）は（NOT p）OR（NOT q）に似ています。



しかし、これらの「論理の規則」はどこから来たのでしょうか？ ロジックは正式なシステムです。 ユークリッド幾何学のように、公理上に構築することができます。 しかし、公理とは何ですか？ p AND q = q AND p、またはNOT NOT p = pなどのステートメントで開始できます。 しかし、いくつの公理が必要ですか？ それらはどれくらい簡単なのでしょうか？



この質問は長い間苦痛でした。 しかし、2000年1月29日日曜日の20:31に、唯一の公理がコンピューターの画面に現れました。 単純なものは何もないことをすでに示しましたが、すぐに、この小さな公理がすべてのロジックを作成するのに十分であることがわかりました。









彼女が本当だとどうしてわかったの？ コンピューターにそれを証明させたからです。 そして、本「 A New Type of Science 」（すでにWolfram Dataリポジトリで入手可能）で印刷した証拠は次のとおりです 。









Wolfram言語の最新バージョンを使用すると、誰でも1分以内にこの証明を生成できます。 そして、彼のすべてのステップは簡単に検証できます。 しかし、なぜ結果が真実になるのでしょうか？ 説明方法



機械学習とAIに関連するあらゆる種類のコンピューティングシステムとアプリケーションについて、同様の質問がますます求められています。 はい、何が起こっているのかがわかります。 しかし、これを理解できますか？



この問題は本質的に深いものであり、科学技術の未来にとって、またすべての知的開発の未来にとって重要だと思います。



しかし、これについて話す前に、私が発見した公理について議論しましょう。

物語

正式な規律としての論理は、紀元前4世紀に住んでいたアリストテレスから来ています。 アリストテレスは、物（動物、原因など）のカタログ化における彼の生涯の仕事の一部として、許容される形式の引数のカタログを編集し、それらのシンボリックテンプレートを作成しました。



しかし、15世紀までに代数が発明され、それによって物事のより明確な絵が現れました。 しかし、1847年になってようやくジョージブールが代数と同じ方法で論理を定式化し、ANDやORなどの論理演算が代数の規則に似た規則に従って機能するようになりました。



数年後、人々はすでに論理のための公理的システムを書いていました。 典型的な例は次のとおりです。









しかし、論理にはAND、OR、および本当に必要なのでしょうか？ 20世紀の最初の10年後、何人かの人々が、現在NANDと呼んでいる唯一の操作で十分であることを発見しました。たとえば、p OR qは（p NAND p）NAND（q NAND q）として計算できます。 NANDの「機能的完全性」は、半導体技術の開発でなければ、永久に奇妙なままです。NAND機能または関連するNORのみを実行するトランジスタの組み合わせを使用して、現代のマイクロプロセッサで数十億の論理演算をすべて実装します。



それでは、NANDに関して論理の公理はどのように見えるのでしょうか？ 1913年にヘンリーシェーファーによって記録された最初の既知のバージョンを次に示します（ここで、ドットはNANDを示します）。









1910年、アルフレッドノースホワイトヘッドとバートランドラッセルによる数学の論理と哲学に関する3巻の著作であるPrincipia Mathematicaは、おそらくすべての数学を論理から演canできるという考えを広めました。 これを考えると、論理の公理がどれほど単純であるかという問題を研究することは非常に興味深いものでした。 この分野で最も重要な仕事は、リヴィウとワルシャワ（これらの都市はポーランドの一部でした）、特にヤンルカセビッチで行われました（1920年の彼の仕事の副作用として、彼は括弧を必要としない「ポーランド語」レコードを発明しました）。 1944年、66歳で、ルカセビッチは前進するソビエト軍から逃れ、1947年にアイルランドで終わった。



一方、ウィンチェスターとケンブリッジで学び、ケンブリッジで数学教師になったアイリッシュマンカリューメレディスは、彼の平和主義のために1939年にアイルランドに戻ることを余儀なくされました。 1947年、メレディスはダブリンで行われたルカセビッチの講義に出席しました。それは彼に単純な公理を探求するきっかけとなりました。



1949年までに、Meredithは2公理系を発見しました。









ほぼ20年後、1967年に彼はこれを次のように簡素化することができました。









これをさらに簡素化することは可能ですか？ Meredithはこれを何年もいじり続け、余分なNANDをどこで削除できるかを考え出しました。 しかし、1967年以降、彼はそれ以上前進しませんでした（そして1976年に死亡しました）が、1969年に3公理系を見つけました。









論理の公理系を研究し始めたとき、メレディスの仕事について何も知りませんでした。 単純なルールからどのような振る舞いが生まれるかを理解する試みの一環として、私はこのトピックに興味を持ちました。 1980年代に、私のお気に入りのルール30など、可能な限り単純なルールを使用したセルオートマトンでさえ、非常に複雑な動作につながる可能性があるという予期せぬ発見をしました。



この現象の一般性を理解しようとして1990年代を過ごした後、私は最終的にそれを数学にどのように適用できるかを見たいと思いました。 数学では、実際、公理（たとえば、算術、幾何学、論理）で作業を開始し、それらに基づいて、複雑な定理全体を証明しようとします。



しかし、公理はどれほど簡単なのでしょうか？ それが私が1999年に確立したかったものです。 最初の例として、私は論理（または同等にブール代数）を勉強することにしました。 すべての期待、セルオートマトン、チューリングマシン、および偏微分方程式を含むその他のシステムでの経験を否定することは、可能な限り単純なケースのリストを開始し、ある時点で何かを見ることができることを示唆しています面白い。



しかし、この方法で「ロジックを開く」ことは可能ですか？ これを言う唯一の方法がありました。 そして、1999年の終わりに、私はすべての可能な公理系の空間を探索するためにすべてを整理し、最も単純なものから始めました。



ある意味で、公理のシステムは、たとえばp・qに一連の制約を定義します。 彼女は、p・qが何であるかを言わず、p・qが満たさなければならない特性のみを与えます（例えば、q・p = p・qと言うことができます）。 次に、問題は、これらのプロパティから、p・qがNand [p、q]のときに成り立つ論理のすべての定理を導き出すことが可能かどうかです。



何かを直接確認できます。 pとqがtrueとfalseである場合、公理系を取り、どの形式p・qが公理を満たすかを確認できます。 公理体系がq・p = p・qである場合、はい、p・qはNand [p、q]にできますが、必ずしもそうではありません。 また、And [p、q]またはEqual [p、q]、またはロジックのNAND関数と同じレベルを満たさない他の多くのオプションを指定できます。 しかし、公理系{（（p・p）・q）・（q・p）= q}に到達するまでに、Nand [p、q]（およびNor [p 、q]）が唯一の有効なp・qモデルであり続ける-少なくともqとpに2つの可能な値しかないと仮定する場合。



これは論理の公理のシステムですか？ いや たとえば、pとqに3つの値がある場合、バリアントの存在を意味しますが、これはロジックにはありません。 しかし、1つの公理からのこの公理体系が必要なものに近いという事実は、論理が再現される単一の公理を探す価値があることを示しています。 これはまさに私が2000年1月にやったことです（私たちの時代では、このタスクはWolfram言語の非常に便利な機能、グルーピングのおかげで促進されました）。



3つ以下のNAND（または「オペレーターポイント」）が存在する公理が機能しなかったことを確認するのはかなり簡単でした。 1月29日（日曜日）の午前5時までに（そう、当時私はフクロウでした）、4つのNANDを含む公理も機能しないことがわかりました。 朝6時ごろに仕事をやめたとき、14個の候補が手に5つのNANDを持っていました。 しかし、日曜日の夜に作業を続け、追加のテストを実施するために、それらをすべて削除しなければなりませんでした。



言うまでもなく、次のステップは6 NANDで公理をチェックすることでした。 288,684個ありましたが、私のコードは効率的に機能し、次のものが画面に表示されるまでにそれほど時間はかかりませんでした（はい、Mathematicaバージョン4から）：









最初は私が何をしたのか理解できませんでした。 私は、NANDが5つの公理よりもさらに進んだ、NANDが6つの25の同等でない公理があることを知っていました。 しかし、それらの間に論理を生成する公理はありましたか？ 不要な公理を破棄できる経験的な方法がありました。 しかし、特定の公理の正確性を確実に知る唯一の方法は、たとえば、シェーファーの論理の公理を再現できることを証明することでした。



プログラムを少し試してみましたが、数日後、受け取った25の公理のほとんどが機能しないことがわかりました。 その結果、2つが生き残りました。















そして、私の大きな喜びは、コンピューターを使用して、両方が論理の公理であることを証明することができました。 使用された手法により、ロジックのより単純な公理が存在しないことが保証されました。 したがって、私は自分の目標に到達したことを知っていました。1世紀（または数千年）の検索の後、私たちはついに論理の最も単純な公理を見つけたと言うことができます。



その後すぐに、6つのNANDを含む2つの公理のシステムを発見しました。これは、証明したように、ロジックを再現できるものです。















そして、可換性として可換性p・q = q・pをとると、論理は4つのNANDのみを含む公理から得ることができます。

なぜこれが重要なのか

誰かが「アリストテレスによって始められた仕事を終えた」（または少なくともBoole）と言って、論理の公理の可能な限り単純なシステムを発見したと言えるのはとてもクールだとしましょう。 それは単なる仕掛けですか、またはこの事実は重要な結果をもたらしますか？



私が新しい種類の科学で開発したプラットフォームの前に、この事実を単なる好奇心以上のものと考えることは難しいと思います。 しかし今では、数学を発見と発明のどちらと見なすべきかなど、あらゆる種類の基本的な質問に関連していることが明らかになっているはずです。



人々が行う数学は、少数の公理体系に基づいており、それぞれが数学の特定の領域（論理、群論、幾何学、集合論）を定義しています。 しかし、抽象的に言えば、無限の数の公理体系があります。それぞれが、まだ人々がこれをやっていなくても、研究できる数学の分野を定義しています。



本「新しい種類の科学」の前に、私は明らかに、コンピューティングの世界に「どこかに」存在するものはすべて、人々が作成して研究したものよりも「面白くない」ことを意味していました。 しかし、単純なプログラムに関する私の発見は、単に「どこかに」あるシステムは、人々が慎重に選択したシステムほど豊かな可能性がないことを示しています。



では、数学の公理システムはどうでしょうか？ 既存の「そこのどこか」を人々が研究したものと比較するには、研究した数学の既存の領域に公理系が存在するかどうかを知る必要があります。 そして、人々によって作成された従来のシステムに基づいて、それらは非常にどこか非常に遠くにあるに違いないと結論づけることができます-そして一般に、彼らはあなたがすでにどこにいるか知っている場合にのみ見つけることができます。



しかし、私の公理システムの発見は、「ロジックはどこまでですか？」という質問に答えました。セルラーオートマトンのようなものについては、すべての可能なセルラーオートマトン（1980年代のように）を数えるのは非常に簡単です 公理システムでこれを行うのは少し難しいですが、それほど難しくはありません。 あるアプローチでは、私の公理は411; 3; 7; 118として表すことができます-または、Wolfram言語では：









そして、少なくとも可能性のある関数形式のスペース（変数のマークアップを考慮しない）には、この公理の場所の視覚的表現があります：









人々が研究するこのような多数の形式的なシステムに対する論理の基本的な重要性を考えると、合理的な表現では、論理は公理の可能な限り単純なシステムの1つに対応すると考えられます。 しかし、少なくともNANDを使用したプレゼンテーションでは、そうではありません。 公理の非常に単純なシステムはまだありますが、公理のシステムに番号を付け始めた場合に見つけることができるすべての可能なものから10万の公理のシステムであることがおそらく最も簡単なものから始まるでしょう。



これを考えると、明らかな次の質問は次のとおりです。他のすべての公理システムについてはどうでしょうか？ 彼らはどのように振る舞いますか？ A New Kind of Scienceが探求するのはこの質問です。 そして、その中で私は、自然界で観察されるシステムのようなものは、多くの場合、可能性に番号を付けることによって見つけることができるこれらの「他の規則」によって最もよく説明されることを確認します。



公理系については、さまざまな公理系に対応する「数学の領域」で何が起こっているのかを表す絵を作りました。 シリーズは公理の特定のシステムの結果を示し、ボックスは公理の特定のシステムにおける特定の定理の真実を示します（はい、ある時点でゲーデルの定理が発効します。私の方法では、これは写真に示されているものの少し右側に起こります）。









「人が研究する」数学の分野で根本的に特別なものはありますか？ この写真や他の写真から判断すると、明らかなことは何も思い浮かびません。 これらの領域には、研究されたという歴史的事実という特徴が1つしかないと思う。 （「現実の世界を記述する」または「脳の働きに関連する」などのステートメントを作成できますが、本に記載されている結果は反対を示唆しています）。



さて、論理の公理体系の意義は何ですか？ そのサイズにより、論理の最終的な内容を公理的システムとして感じることができます。 そして、少なくとも今のところは、論理を「自然な理由」のために起こった「発見」としてではなく、「人間によって発明された構築物」として考える必要があると信じさせられます。



物語が違っていて、（本で行われているように）可能な限り単純な公理のシステムを絶えず検索する場合は、おそらく、その性質が私たちにとって興味深いと思われるシステムのように、論理のために公理のシステムを「開く」でしょう。 しかし、考えられるすべての公理系のごく少数を研究してきたので、論理を「発明」、つまり特別に作成された構造と見なすことは理にかなっていると思います。



ある意味では、中世の論理はそのように見えました-可能な場合、三段論法（受け入れられる引数のタイプ）は、bArbArAやcElErAntのようなラテン語のニーモニックの形式で表現されていました。 したがって、現在、論理の公理の最も単純なシステムとして私たちが知っているもののニーモニック表現を見つけることは興味深いです。



（（p・q）・r）・（p・（（p・r）・p））= rから始まり、各p・qは接頭辞またはポーランド語エントリ（HP計算機の「逆ポーランド語エントリ」の逆）として表すことができます。 ）Dpqの形式-したがって、公理全体は= DDDpqrDpDDprprとして記述できます。 このテーマには英語のニーモニックもあります-FIGure OuT Queue、ここでロールp、q、rはu、r、eによって演じられます。 または、次の文の単語の最初の文字を見ることができます（Bは演算子で、p、q、rはa、p、cです）：「ビットごとに、すべてのケースをカバーするブール代数の最良のバイナリ公理を計算します」[プログラムによって計算されたブール代数の最良の二項公理は、すべての場合を徐々に説明します]。

証明の仕組み

さて、私の公理体系の正しさをどのように証明しますか？ 頭に浮かぶ最初のことは、そこから論理の有名な公理系を推論することが可能であることを示すことです-たとえば、Schaefferの公理系：









ここには3つの公理があり、それぞれを導出する必要があります。 Wolfram言語の最新バージョンを使用して最初のものを出力するためにできることは次のとおりです：









これが可能になったことは注目に値します。 「証拠の対象」には、証拠に54の手順が使用されたことが記載されています。 このオブジェクトに基づいて、各ステップを説明する「ノートブック」を生成できます。









一般的に、中間補題のシーケンス全体がここで証明され、最終結果を導き出すことができます。 補題の間には、相互依存関係のネットワーク全体があります。









しかし、シェファー公理システムの3つの公理すべての導出に関与するネットワーク-後者の場合、信じられないほどの504ステップが使用されます。









はい、これらのネットワークがかなり混乱していることは明らかです。 しかし、この複雑さの意味を説明する前に、この証拠の各ステップで何が起こるかについて話しましょう。



主なアイデアはシンプルです。 単純にp・q = q・pと書かれた公理があると想像してください（数学的には演算子が可換であることを意味します）。 より正確には、公理は、式pおよびqについて、p・qはq・pと同等であると言います。



さて、この公理から（a・b）・（c・d）=（d・c）・（b・a）と推定したいとしましょう。 これは、公理を使用してd・cをc・dに、b・aをa・bに、最後に（c・d）・（a・b）を（a・b）・（c・d ）



FindEquationalProofは基本的に同じことを行いますが、これらの手順はまったく同じ順序で行われず、方程式の左側と右側の両方を変更します。









そのような証拠を受け取ったら、各ステップを追跡し、それらが記載された結果を与えることを確認するだけです。 しかし、証拠を見つける方法は？ 順列と変換の多くの可能なシーケンスがあります。 最終結果に成功するシーケンスを見つける方法は？



可能性のあるすべてのシーケンスを試してみてください。そして、それらの間に有効なシーケンスがあれば、最終的には見つかるはずです。 問題は、天文学的な数のシーケンスにすばやく到達できることです。 定理を自動的に証明する技術の大部分は、チェックするシーケンスの数を減らす方法を見つけることから成ります。



これはすぐに技術的な詳細に陥りますが、代数の基本を知っていれば、基本的な考え方は簡単に議論できます。 次のような代数的結果を証明しようとしているとします









これを行うには、保証された方法があります。代数のルールを適用して各辺を明らかにするだけで、それらの類似性をすぐに見ることができます。









なぜ機能するのですか？ そのような式を使用する方法があるため、標準的な形式になるまで体系的にそれらを減らします。 公理の任意のシステムで同じ操作を行うことは可能ですか？



すぐではありません。 代数では、単純化された式のパスに沿って常に「移動」できるようにする特別なプロパティがあるため、これは機能します。 しかし、1970年代に、さまざまな科学者が（Knuth-BendixアルゴリズムまたはGröbner基底などの名前で）独立して数回、公理のシステムに必要な内部特性がない場合でも、あります。



これは、FindEquationalProof（Valdmeisterのシステム、「ツリーのマスター」に基づく）が提供する典型的な証拠で起こることです。 いわゆる 証明を直接進めるのではなく、これが可能なパスの出現を可能にする「クリティカルペアの補題」。 取得したい最終的な式は非常に短いですが、その途中で、より長い中間式を通過する必要があるかもしれないという事実のため、すべてが複雑です。 したがって、たとえば、最初のシェーファー公理の証明には、次のような中間ステップがあります。









この場合、最大のステップは元の公理の4倍になります。









このような式はツリーとして表すことができます。 元の公理のツリーと比較した彼のツリーは次のとおりです。









シェーファーの各公理の証明の過程で、中間ステップのサイズがどのように発展するかを以下に示します。

なぜそんなに難しいのですか？

この証拠が非常に複雑であることは不思議ではありませんか？ そうでもない、本当に。 結局のところ、数学は複雑になる可能性があることを十分に認識しています。 原則として、数学のすべての真理を証明するのは簡単だろう。 しかし、1931年のゲーデルの定理の副作用の1つは、証拠があるものでさえ、それらへのパスが任意に長くなる可能性があることです。



これは、はるかに一般的な現象の症状であり、私はこれを計算上の既約性と呼びます。 セルオートマトンの単純なルールによって制御されるシステムを考えてみてください（もちろん、私のエッセイでは常にセルオートマトンがあります）。 このシステムを実行します。









システムが単純なルールに基づいている場合、システムが何をするのかを素早く理解する方法があるはずだと判断することができます。 しかし、これはそうではありません。 計算の等価性の私の原則によれば、システムの動作はしばしば計算に対応し、その複雑さはシステムの振る舞いを理解するためにできる計算と一致します。これは、実際には、システムの実際の動作が、実際にはそのような量の計算作業に対応することを意味し、原則的には削減できません。



上の図に関して：パターンが最後に死ぬかどうかを知りたいとしましょう。私たちはそれを実現し続けることができ、運がよければ最終的には何かに退化し、その運命は明らかです。ただし、一般に、実際に証明に費やす時間に上限はありません。



論理的な証拠でこのようなことが起こると、少し異なります。特定のルールに従って機能するものを開始する代わりに、それぞれが特定のルールに従ういくつかのステップを経て特定の結果を達成する方法があるかどうかを尋ねます。そして、このタスクは、実用的な計算タスクとして、はるかに複雑です。しかし、複雑さの本質は計算上の既約の現象と同じであり、この現象は、システムが何をするかを研究するプロセスを簡単に回避する一般的な方法がないことを示唆しています。



言うまでもなく、世界には多くのことがあります-特に技術と科学のモデリング、およびさまざまな形式のルールがある領域-計算の既約性を回避し、作業の結果がすぐに見えるように動作するように伝統的に設計されました膨大な数の計算を実行する必要はありません。



しかし、計算の等価性の私の原則の結果の1つは、これらのケースが特異で不自然であるということです-彼は、計算宇宙のすべてのシステムに計算の既約性が存在すると主張します。



数学はどうですか？おそらく、数学の規則は、計算の還元可能性を示すために特別に選択されます。場合によってはこれが当てはまります（ある意味、これは論理的にも起こります）。しかし、ほとんどの場合、数学の公理系は、すべての可能な公理系の空間に対して非定型ではないようです-計算の既約性が横行しています。

なぜ証拠が必要なのですか？

ある意味で、何かの真実を知るには証拠が必要です。もちろん、特に私たちの時代では、証拠は背景に消えて、純粋な計算に取って代わりました。実際には、計算によって何かを生成したいという欲求は、「後退」して何かの真実の証拠を構築したいという欲求よりもはるかに一般的です。



しかし、純粋な数学では、額の計算が機能しない、少なくとも名目上、無数のケース（「すべての素数に当てはまる」など）を含む概念を扱う必要があります。 。そして、確認の質問が発生した場合（「このプログラムはエラーで終了しますか？」または「この暗号通貨を2回使用できますか？」）可能性のあるすべてのケースを計算するよりも、これを証明する方が合理的です。



しかし、実際の数学的実践では、証明は真実を確立する以上のものです。ユークリッドが「始まり」を書いたとき、彼は結果を単に示し、「それらを読者に任せた」。しかし、何らかの方法で、特に前世紀にわたって、証拠は、舞台裏で起こるだけでなく、概念を放送するために必要な主要な媒体である何かに変わりました。



歴史の奇妙な結果として、今日、人々が理解すべき対象として証拠が提供されており、プログラムはコンピューターが実行すべきものと見なされているように思えます。なぜこれが起こったのですか？まあ、少なくとも過去には、証拠をテキスト形式で提示することができました-したがって、誰かがそれを使用した場合は、人だけです。また、プログラムはほとんど常にコンピューター言語の形式で記録されていました。そして非常に長い間、これらの言語は低レベルのコンピューター操作に多かれ少なかれ直接翻訳できるように作成されました-つまり、コンピューターはすぐにそれらを理解しましたが、人々はそうする必要はありませんでした。



しかし、過去数十年間の私の仕事の主な目標の1つは、この状況を変え、Wolfram言語で、コンピューターや人々が理解できるようにコンピューターのアイデアを伝達できる「コンピューター通信の言語」を開発することでした。



そのような言語は多くの結果をもたらします。それらの1つは、証拠の役割を変えることです。数学的な結果を見ているとします。過去において、それを理解する唯一のもっともらしい方法は、人々が読んだ証拠を出すことでした。しかし今では別のことが可能です：結果を計算するWolfram言語用のプログラムを配布できます。そして、これは多くの点で結果の真実を伝えるはるかに豊かな方法です。プログラムの各部分は正確で明確なものであり、誰でも開始できます。テキストの一部を理解しようとするような問題はなく、いくつかのギャップを埋める必要があります。テキストにすべてが明確に示されています。



証拠はどうですか？証拠を書く明確で正確な方法はありますか？可能性はありますが、これは特に簡単ではありません。また、Wolfram Languageの基礎は30年前から存在していましたが、上記の公理の1つなど、それを使用して構造的に簡単な証拠を提示する合理的な方法が今日だけ登場しました。



人々がプログラムを作成するのと同じ方法でWolfram言語でエビデンスを作成することを想像できます-私たちは「エビデンスに役立つ」この機能の高レベルバージョンの提供に取り組んでいます。しかし、誰も私の公理システムの証拠を作成しませんでした-コンピューターがそれを見つけました。そして、これはプログラム自体よりもプログラムの出力に似ています。ただし、プログラムのように、ある意味では、証明を「実行」して結果を検証することもできます。

明快さを作成する

ほとんどの場合、Wolfram言語またはWolfram | Alphaを使用している人は何かを数えたいと思っています。彼らは結果を得る必要があり、なぜそのような結果を正確に得たのか理解していない。しかし、Wolfram | Alphaでは、特に数学や化学などの分野で、学生の間で人気のある機能は「段階的な」ソリューションの構築です。









Wolfram | Alphaシステムは、たとえば積分を計算するとき、回答を受け取るために最適化されたあらゆる種類の強力なアルゴリズム手法を使用します。しかし、計算の段階を表示するように求められたとき、彼女は別のことをします。これが得られた結果である理由をステップで説明する必要があります。



結果が実際にどのように取得されたかを説明してもメリットはありません。これは人間にとって非常に不適切なプロセスです。彼女は、人々が学んだ操作が結果を得るために使用できることを理解する必要があります。多くの場合、彼女はいくつかの便利なトリックを思いつきます。はい、彼女はこれを行う体系的な方法を持っていますが、これは常に機能します。しかし、そこには「機械的な」段階が多すぎます。 「トリック」（置換、部分統合など）は一般的なケースでは機能しませんが、この特定のケースでは、より迅速に回答を得ることができます。



他のものの明確なバージョンを取得するのはどうですか？たとえば、一般的な場合のプログラムの動作。または私の公理システムの証拠。



プログラムから始めましょう。プログラムを作成し、それがどのように機能するかを説明したいとします。従来のアプローチの1つは、コードにコメントを含めることです。従来の低レベル言語で書く場合、これが最善の方法かもしれません。しかし、計算通信の言語としてのWolfram言語の本質は、追加のテキストを含める必要なしに、言語自体がアイデアの翻訳を許可すべきだということです。



Wolfram言語プログラムをプロセスの適切な説明にするだけでなく、プレーンな英語のテキストをプロセスの適切な説明にするのにも努力が必要です。しかし、すべてがそれ自体でどのように機能するかを非常に明確に説明するWolfram言語コードを入手することができます。



もちろん、コードの実際の実行は、プログラムから明らかに従わないことになることがよくあります。セルオートマトンのような極端なケースについてはすぐに言及します。しかし今のところ、一般的に何をするか想像できるプログラムを作成したと想像してください。



その場合、Wolfram Notebooksの形式で提示されたコンピューティングエッセイは、何が起こっているかを説明するための素晴らしいツールであることがわかりました。 Wolfram言語が重要です。これにより、プログラムのごく小さな部分でも個別に実行できます（入力および出力データとして対応するシンボリック式を使用）。その後、プログラムの一連のステップを、コンピューティングノートブックの基礎を形成する一連の対話要素として想像できます。



実際には、多くの場合、入力データと出力データの視覚化を作成する必要があります。はい、すべてを明確なシンボリック表現として表現できます。しかし、1次元の言語のような線よりも、物の視覚的表現を理解する方がはるかに簡単です。



もちろん、優れた視覚化の作成は芸術に似ています。しかし、Wolfram Languageでは、この技術を自動化するために多くの作業を行いました-多くの場合、かなり洗練された機械学習や、ネットワークやグラフィック要素のレイアウトなどを実行する他のアルゴリズムの助けを借りました。



シンプルなプログラムトラッキングから始めるのはどうですか？これは難しいです。私は何十年もこれを実験してきましたが、結果に完全に満足することはありませんでした。はい、ズームインして、何が起こっているのか詳細を見ることができます。しかし、全体像を理解し、特に有用なものを自動的に提供するのに十分な優れた技術を見つけることができませんでした。



あるレベルでは、このタスクはリバースエンジニアリングに似ています。マシンコード、チップ回路などが表示されます。そして、一歩下がって、その人が反発した高レベルの説明を再作成する必要があります。



エンジニアリングに対する従来のアプローチでは、人々が段階的に製品を作成し、作成したものの結果を常に予測する能力がある場合、このアプローチは原則として機能します。しかし、代わりに最適なプログラムを探してコンピューティングユニバースをさまよう場合（論理のシステムを見つけるための可能な公理システムを探していたため）、このプログラムの背後に「人間の歴史」または説明があるという保証はありません。



同様の問題が自然科学でも見られます。あらゆる種類のプロセスの複雑なセットが生物システムでどのように発達するかがわかります。「説明」を見つけるために「リバースエンジニアリング」を行うことは可能ですか？自然選択による進化がこれにつながると言うこともできます。または、コンピューティングユニバースでよく見られるので、その発生の可能性は高いです。しかし、自然界が人々が説明できるように必然的に設計されているという保証はありません。



当然、物をモデル化するとき、私たちは必然的に私たちに興味のある側面のみを考慮し、他のすべてを理想化します。特に医学の分野では、説明が簡単な浅い決定木を持つ近似モデルで作業する必要があります。

説明可能性の性質

「何かを説明できる」というフレーズはどういう意味ですか？本質的に、これは人々がそれを理解できることを意味します。



何かを理解するために人々に何が必要ですか？これをなんとか実現する必要があります。複雑な動作をする典型的なセルラーオートマトンを使用します。コンピューターは、その進化のあらゆる段階を経るのに問題はありません。多大な努力と労力で、人はコンピューターの仕事を再現することができました。



しかし、この場合、セルオートマトンが行うことを人が「理解」するとは言えません。そのためには、セルオートマトンの動作について簡単に高レベルで話さなければなりません。または、言い換えれば、人は、他の人が理解できるオートマトンの動作について「物語を語る」ことができるはずです。



これを行う普遍的な方法はありますか？いいえ、計算上の既約のため。ただし、人々にとって重要な特定の機能は、特定の制限を設けて高いレベルで説明できる場合があります。



どのように機能しますか？これを行うには、興味のある機能を記述することができる特定の高級言語を作成する必要があります。セルオートマトンの典型的な描画を研究すると、膨大な数の個々のセルの色ではなく、検出できるより高いレベルの構造の観点から話すことができます。主なことは、そのような構造の少なくとも部分的なカタログをコンパイルできることです。分類に適合しない多くの詳細がありますが、特定の構造は一般的です。



そして、セルオートマトンの動作を「説明」したい場合は、構造に名前を付けることから始め、次にこれらの構造の観点から何が起こっているかについて話します。









セルオートマトンの場合には、単純化する機能が1つあります。単純な決定論的ルールに基づいて動作するため、構造が等しく繰り返されます。たとえば、自然界では、通常、このような同じ繰り返しは発生しません。たとえば、トラは1つだけで、他のトラと非常によく似ているため、原子の配置は同じではありませんが、両方を「トラ」と呼びます。



これらすべての一般的な意味は何ですか？それは、シンボリック表現のアイデアを使用することにあります。特定のシンボル（多くの場合、この単語）を割り当てることができると言います。これは、物事のすべてのコンポーネントの詳細をすべて列挙することなく、物事のクラス全体を象徴的に記述するために使用できます。



これは情報の圧縮に似ています：記号構造を使用して、関心のあるものを記述するより短い方法を見つけます。



たとえば、数学的構造などの巨大な構造を生成したとします。









最初のステップは、何らかの高レベルの内部表現を作成することです。たとえば、再利用可能な構造を検出できます。そして、それらに名前を付けることができます。そして、彼らの助けを借りて構造全体の「スケルトン」を示します。









はい、「辞書圧縮」に似たこのスキームは、説明可能性の第1レベルに到達するのに役立ちます。



しかし、私の公理システムの証明に戻りましょう。この証明で作成された補題は、再利用可能な要素として特別に選択されます。しかし、それらを除外すると、人々がすぐに理解できないという証拠が残っています。



他に何ができますか？さらに高いレベルの何らかの種類の説明を考え出す必要があります。何だろう？

概念の概念

誰かに何かを説明しようとしている場合、何か他のものを見つければこれを行う方がはるかに簡単ですが、人がすでに理解できることと似ています。 現代のドローンのコンセプトを石器時代の人にどのように説明するか想像してみてください。 するのは難しいでしょう。 しかし、50年前に住んでいて、すでにヘリコプターや飛行機の模型を見た人にこれを説明する方がはるかに簡単です。



そして最後に、一番下の行は、私たちが何かを説明するとき、私たちとそれを説明する人の両方に知られている言語でそれをするということです。 そして、言語が豊かなほど、説明しようとしていることを伝えるために導入する必要のある新しい要素が少なくなります。



心の歴史を通して繰り返されるパターンがあります。 ある特定のセットが何度も気づかれます。 次第に、彼らはこれらの事柄が何らかの形で抽象的に類似していることを理解し始め、それらはすべて新しい概念の観点から説明することができます。



水、血、油のようなものに気づいたとしましょう。 ある時点で、「流体」という一般化された概念があり、それらはすべて流体として説明できることを理解しています。 そして、そのような概念ができたら、その用語に基づいて推論を開始し、それに基づいてより多くの概念、たとえば粘度を見つけることができます。



物事を概念にまとめるのはいつ意味がありますか？ この概念で実行できるすべてを予測せずに答えることができない難しい質問。 実際には、言語の進化と人の考えの過程で、逐次近似の特定のプロセスが観察されます。



最新の機械学習システムでは、はるかに迅速な情報の集計が行われます。 世界中のあらゆる種類のオブジェクトを取得し、それらにFeatureSpacePlot関数を与えて何が起こるかを想像してください。 特徴の空間で特定のクラスターを取得した場合、それぞれを特定の「概念」に対応するものとして定義できると結論付けることができます。たとえば、言葉でマークすることができます。



正直なところ、FeatureSpacePlotに起こることは、人間の知的開発のプロセスのように、ある意味では段階的なプロセスです。 FeatureSpacePlotは、オブジェクトを機能空間で配布するために、以前の分類試行から抽出した機能を使用します。



さて、私たちが世界をそのまま受け入れるなら、物事を説明するために使用できる最高のカテゴリー、または概念は何ですか？ この質問は常に進化しています。 一般に、科学、技術、その他のすべてのブレークスルーは、有用な方法で新しいカテゴリまたは概念を識別する可能性の実現にしばしば正確に関連付けられます。



しかし、私たちの文明の進化の過程で、特定のスパイラルがあります。 まず、特定の明確な概念が定義されています-たとえば、プログラムのアイデア。 その後、人々はそれを使い始め、その用語に反映します。 すぐに、多くの異なる概念がこの概念に基づいて構築されます。 そして、別のレベルの抽象化が決定され、以前の概念に基づいた新しい概念が作成されます。



歴史は、近代文明の技術的知識セットとその知的知識セットの特徴です。 そこには、概念の塔と抽象化のレベルが次々と進んでいます。

学習問題

人々が特定の概念を使用して通信できるように、彼らはそれについて学ぶ必要があります。 そして、はい、いくつかの概念（オブジェクトの恒常性など）は、自然を観察するだけで、人々によって自動的に認識されます。 しかし、現代英語の一般的な単語のリストを見ると、現代文明で使用されている概念のほとんどが、人々が自然を観察していることを認識している概念に適用されないことが明らかになります。



代わりに-これは現代の機械学習を非常に連想させる-彼らは特定の概念の重要性を強調するために組織された「監督下」の世界の特別な知識が必要です。 そして、より抽象的な領域（数学など）で、彼らはおそらくそれらの即時の抽象的な形で概念にぶつかる必要があります。



さて、しかし、文明の蓄積された知的知識の量の増加に伴い、私たちは常により多くを学ぶ必要がありますか？ ある時点で私たちの脳が発達に追いつくことができないという懸念があるかもしれません。そして、私たちはいくつかの追加の助けを加えなければならないでしょう。 しかし、幸いなことに、これは「ソフトウェアレベル」で問題を解決できるケースの1つであるように思えます。



問題はこれです。歴史のどの瞬間にも、この時代の世界の生活に重要な概念のセットがあります。 そして、はい、文明の発展とともに、新しい概念が明らかになり、新しい概念が導入されます。 ただし、別のプロセスがあります。新しい概念は、通常、多数の以前の概念を含む新しいレベルの抽象化を導入します。



これはテクノロジーでよく観察できます。 低レベルの詳細を多く知る必要があるコンピューターで作業するときがありました。 しかし、時間が経つにつれて、これらの詳細は抽象化されるため、今では一般的な概念のみが必要です。 アイコンをクリックするとプロセスが開始されます。オペレーティングシステム、割り込みハンドラー、スケジューラー、その他すべての詳細の操作の複雑さを理解する必要はありません。



そしてもちろん、Wolfram言語はこれの素晴らしい例を提供します。 多くの低レベルの詳細（たとえば、どのアルゴリズムを使用すべきか）を自動化するために多大な労力を費やし、ユーザーが高レベルの概念を検討できるようにします。



はい、抽象化の根底にある詳細を理解している人々がまだ必要です（現代社会に必要な石工の数はわかりませんが）。 しかし、ほとんどの場合、教育は高度な知識に集中できます。



多くの場合、学習プロセスで高レベルの概念を実現するために、人はまずこれらの概念が歴史的にどのようになったかの歴史を何らかの形で要約する必要があると想定されています。 しかし、通常-そして、おそらく、常に-それはそうではないようです。 極端な例を挙げることができます。コンピューターの使用方法を学ぶには、まず数理論理学の全歴史を経験しなければならないことを想像してください。 しかし、実際には、何らかの歴史を学ぶ必要なく、人々はすぐに現代のコンピューティングの概念に目を向けることがわかっています。



しかし、それでは、概念のネットワークの明快さはどのように見えるでしょうか？ 他の概念を理解することによってのみ理解できる概念はありますか？ 環境との相互作用に基づいた人々の訓練（またはニューラルネットワークの訓練）を考えると、おそらく彼らの秩序が存在する可能性があります。



しかし、コンピューティングの普遍性に似た特定の原則は、「純粋な脳」を手にすれば、どこからでも始められることを示唆しているように思えます。 したがって、一部のエイリアンがカテゴリー理論について学び、他にほとんど何も学ばなければ、間違いなくこの理論が根底にある概念のネットワークを構築し、算術の基礎として私たちが知っていることをそれらから研究する私たちの研究所のアナログのどこかに。



もちろん、このようなエイリアンは、20世紀半ばではなく19世紀にコンピューターを開発できた場合、ストーリーが完全に異なるように、テクノロジーセットと環境を私たちとはまったく異なる方法で構築できます。

数学の進歩

私は、数学の歴史的軌跡が偶然の役割をどの程度受けているか、そしてそれがどの程度避けられなかったかについてよく考えました。 すでに述べたように、形式的なシステムのレベルでは、数学に形式的に似た何かを構築できる公理の多くの可能なシステムがあります。



しかし、数学の本当の歴史は、任意の公理系から始まったのではありません。 それはバビロニア人の時代に、商業のために、そして土地開発の目的で幾何学のために算術を使用する試みで始まった。 そして、これらの実用的なルーツから、その後の抽象化レベルが追加され始め、最終的に現代の数学に至りました-例えば、数字は徐々に正整数から有理数、次に根、すべての整数、小数、複素数、 代数へと一般化されました数字 、 四元数など。



抽象化の開発のそのような経路の必然性はありますか？ はい、ある程度疑っています。 おそらくこれは、他のタイプの概念の形成の場合です。 一定のレベルに達すると、さまざまなことを学ぶ機会が得られます。時間の経過とともに、これらのことのグループはより一般的で抽象的な構成の例になり、新しいレベルを決定します。



このサイクルから抜け出す方法はありますか？ 可能性の1つは数学的実験に関連している可能性があります。 特定の数学システムに関連することを体系的に証明できます。 しかし、経験的には数学的な事実に気付くことができます- ラマヌジャンがかつて指摘したように $$$e ^ {\ pi \ sqrt {163}}$ 整数に非常に近い。 質問：そのようなことは「ランダムな数学的な事実」なのか、それとも何らかの形で「数学の布地」に組み込まれているのか？



数学に関しても同じ質問をすることができます。 奇数の完全数の存在の問題（ピタゴラスの時代から発見されていない答え）は数学にとって重要なものですか、それとも何らかの意味で数学の構造に関係しないランダムな質問ですか？



公理系に番号を付けることができるのと同じ方法で、数学の可能な質問の番号付けを想像することができます。 しかし、これはすぐに問題を引き起こします。 ゲーデルの定理によれば、算術に関連するような公理系には、この公理系の枠組みの中で証明または反証できない「形式的に解けない」定理があります。



しかし、ゲーデルによって作成された特定の例は、数学のクラスで実際に発生する可能性のあるものとは非常にかけ離れているように見えました。 そして長い間、何らかの方法で解決不能の現象は原理的には存在するが、「本当の数学」とは関係のないものであると信じられていました。



しかし、計算の等価性の原理と計算の世界での私の経験によると、これはそうではないと確信しています。実際、典型的な数学でも解けない可能性は非常に近いです。 今日解決されていない数学の問題の具体的な部分（ リーマン仮説 、P = NPなど）が解決できないとしても、私は驚かないでしょう。



しかし、周囲に多くの解決不能がある場合、数学の多くのことがうまく解決されるのはどうですか？ これは、単に数学の開発がどのように構築されているかという理由だけで、解決不能な問題を回避するために、成功裏に解決された問題が特別に選択されたためだと思います。 実際、私たちが証明した概念に基づいて連続した抽象化レベルを形成すれば、私たちは不溶解性に変わることなく前進できる道を開くからです。



もちろん、実験的な数学または「ランダムな質問」は、すぐに解決不可能な領域に私たちを導くことができます。 しかし、少なくとも今のところ、数学の基本的な学問はそのようには発展していません。



そして、これらの「数学のランダムな事実」はどうですか？ はい、他の知的研究分野と同じです。 「ランダムな事実」は、何らかの構造（通常は抽象的な概念）がそれらの周りに構築されるまで、知的開発のパスに含まれません。



良い例は、このようなシステムの複雑さの起源の私のお気に入りの発見です。通常は30セルオートマトンです。 はい、同様の現象は数千年前にもすでに観測されていました（たとえば、一連の素数のランダム性）。 しかし、より広い概念的なプラットフォームがなければ、彼らに注意を払った人はほとんどいませんでした。



別の例は、ネストされたシーケンス（フラクタル）です。 13世紀のモザイクで彼らがどのように出会ったかについての別の例がありますが、1980年代にフラクタルの周りにプラットフォーム全体が出現するまで誰もそれらに注意を払いませんでした。



同じストーリーが何度も繰り返されます。抽象的な概念が定義されるまで、新しい概念を説明する現象に直面しても、新しい概念について議論することは困難です。



私はこれが数学の場合だと思う：いくつかの抽象的な概念が他のものの上にある特定の避けられない層があり、それが数学の道を決定する。 この方法はユニークですか？ 間違いない 可能性のある数学的事実の広大な空間には、さらなる構築のために選択された特定の方向があります。 しかし、他のものを選択することもできます。



これは数学の話題が必然的に歴史上の事故によって引き起こされることを意味しますか？ 思っているほどではありません。 実際、代数や幾何学などから始めて数学が何度も発見されると、異なる方向と異なるアプローチが互いに同等または対応する結果につながるという顕著な傾向があります。



おそらく、これはある程度、計算の等価性の原理と計算の普遍性の結果です。数学のさまざまな分野で使用される基本的な規則（または「言語」）は異なりますが、最終的にはそれらの間の翻訳の方法があります-そして次の抽象化レベルで選択したパスはそれほど重要ではなくなります。

論理的証明と抽象化の自動化

論理的証明に戻ります。 それらは典型的な数学とどのように関係していますか？ これまでのところ、方法はありません。 はい、証明は名目上、標準の数学的な証明と同じ形式です。 しかし、それは「数学の人々に優しい」ではありません。 これらは機械部品にすぎません。 それは、人間の数学が理解できる高レベルの抽象的な概念とは関係ありません。



自明でない証明の補題が数学的文献にすでに登場していることがわかったら、私たちは大いに助かります（私はそうは思いませんが、定理による検索の可能性はまだ私たちが確信できるレベルに達していません）。 しかし、もしそれらが現れれば、これらの補題を数学の他の事柄と結びつけ、抽象的な概念の輪を定義する方法をおそらく与えてくれるでしょう。



しかし、これなしでどのように証拠を説明可能にすることができますか？



おそらく、証明を実行する他の方法があり、基本的には既存の数学とより強く関連しています。 しかし、現在の証拠があるとしても、より高いレベルの抽象化を定義し、この証明をより一般的なコンテキストに入れる新しい概念の「微調整」を想像できます。



これを行う方法がわからない。 「証拠を説明可能な形に変換する」ための賞（ 2007年のチューリング賞のようなもの）を指名する可能性を考えていました。 ただし、「説明可能性」を評価する方法は完全に理解できません。 典型的な数学者にふさわしい、証明の説明が成功する1時間のビデオを録画するように依頼できますが、これは非常に主観的です。



しかし、ネットワークの美しいレイアウトの検索を自動化できるように、おそらく証拠を説明可能なものにするプロセスを自動化できます。 実際、現在の証明は、説明なしで、数百の補題を考慮することを示唆しています。 しかし、少数の「興味深い」補題を定義できるとします。 おそらく、有名な数学の正典にそれらを追加し、それらを使って証明を理解することができるでしょう。



言語の開発と類似しています。 Wolfram言語を作成することにより、私は人々がしばしば必要とする「計算作業の部分」を特定しようとします。 言語に組み込まれた関数から関数を作成し、それらを参照するために使用できる特定の名前を付けます。



自然言語の進化においても、同様のプロセスが進行しています（まったく整然としているわけではありませんが）。 有用であることが判明した「意味の部分」は、最終的にその言語で言葉を取得します。 時には、いくつかの既存の単語で構成されるフレーズで始まることがあります。 しかし、最も影響力のあるものは通常、既存の単語から遠く離れているため、新しい単語の形で出現することが判明しているため、定義が非常に難しい場合があります。



英語の単語を使用して関数が呼び出されるWolfram言語の開発では、英語の一般的な理解に依存しています（そして、一般的なコンピューターアプリケーションで使用される単語の理解にも依存します）。



数学の正準にどの補題を追加するかを決定する際には、同様のことをしなければなりません。 各補題が何らかの形で「本質的に興味深い」ことを確認するだけでなく、既存の数学的概念と結果から「導きやすい」補題を選択することも必要です。



しかし、補題を「本質的に興味深い」ものにしているのは何ですか？ 私が本に取り組む前に、教科書、偉大な意性、歴史的な事故で記述され命名されている数学の分野で、レンマ（または塔）の選択を非難したと言わなければなりません。



しかし、基本的な論理から定理を詳細に調べたところ、まったく違うものを見つけて驚いた。 サイズの順序でロジックのすべての正しい定理を構築したと仮定します

（たとえば、p = pが最初で、p AND p = p-少し後など）。このリストには多くの冗長性があります。定理のほとんどは、すでにリストに記載されている定理の些細な拡張であることが判明しました。



ただし、リストにすでに表示されている定理に基づいて証明できない新しい情報を生成する定理が表示される場合があります。注目すべき事実：14個のそのような定理があり、実際、それらは通常、論理の教科書で名前が付けられている定理に正確に対応しています（ここでANDは∧、ORは∨、NOTは¬です）。









言い換えれば、この場合、名前付きまたは「興味深い」定理は、最小サイズの新しい情報に関するステートメントを作成するものです。はい、この定義によれば、可能性のあるすべてを証明するために必要なすべての公理を取得するため、しばらくして新しい情報はありません-許容できる証拠の複雑さを制限し始めることでさらに進むことができます



たとえば、証明で見つかったNAND定理についてはどうですか？繰り返しますが、すべての真の定理を順番に構築し、リストから前の定理に基づいて証明できない定理を見つけることができます。









NANDには、AND、OR、NOTなどの歴史的伝統はありません。そして、明らかに、NANDが1つの単語で示される人間の言語はありません。しかし、NAND定理のリストでは、上記の最初のものはNANDの可換性として容易に認識されます。そして、あなたはそれらに名前を与えることを少しだけ翻訳が必要になります=（・）・（・） （・）=、二重否定に類似している （A・B）・に似て吸収法則、（A・A）・b =（a・b）・bは「弱体化」などに似ています。



それでは、NANDロジックのいくつかの「重要な定理」を学習する場合、これらの定理はどのようなものでしょうか。おそらく、これらは証明で「人気のある補題」であるべきです。



もちろん、どの定理にも多くの可能な証明があります。ただし、FindEquationalProofが提供する証拠のみを使用するとします。その後、最初の1000個のNAND定理の証明で最も一般的な補題はa・a = a・（（a・a）・a）であり、その後に型の補題（a・（（a・a）・a））・（ a（a（（a a）a）））= a。



これらの補題は何ですか？ FindEquationalProofで使用されるメソッドに役立ちます。しかし、人々にとっては、彼らはあまりふさわしくないようです。



短いことが判明した補題はどうですか？ a・b = b・aは間違いなく最も人気がありますが、最短ではありません。 （a・a）・（a・a）= aはより一般的ですが、より長くなります。そして、（a・a）・（b・a）= aのような補題があります。



これらの補題はどれほど役に立つでしょうか？これを確認する方法の1つを次に示します。最初の1000個のNAND定理を見て、補題の追加がこれらの定理（少なくともFindEquationalProofで見つかった定理）の証明を短縮する方法を見てみましょう。









a・b = b・aは非常に成功しており、多くの場合、ほぼ100ステップで証明をトリミングします。（a・a）・（a・a）= aはあまり成功していません。FindEquationalProofを「混乱させる」こともあり、必要以上の手順を実行することを余儀なくされます（グラフ上の負の値）。（a・a）・（b・a）= aは削減にうまく対処できますが、a・b = b・aほど良くありません。ただし、これをa・b = b・aと組み合わせると、結果として削減がより頻繁に発生します。



分析は、たとえば、特定の補題が証拠の長さを元の長さと比較してどれだけ短縮するかの比較を含めることによって継続できます。しかし、問題は、a・b = b・aや（a・a）・（b・a）= aのようないくつかの「有用な補題」を追加しても、まだ多くの長い証拠があるということです。理解するために。

何を理解できますか？

モデル化にはさまざまな方法があります。数百年間、正確な科学は、システムがどのように動作するかを示すために解くことができる数学的な方程式を見つけるというアイデアに支配されていました。しかし、私の本の出現以来、システムがどのように動作するかを見るために実行できるプログラムを作成することへの積極的なシフトがありました。



このようなプログラムは、特定のタスク用に作成される場合があります。長時間検索されることもあります。そして、私たちの時代には、そのようなプログラムの少なくとも1つのクラスが、システム動作の既知の例からの逆運動法である機械学習を使用して導出されています。



そして、これらのさまざまなタイプのモデリングで「何が起きているのか」を理解するのはどれくらい簡単ですか？数学方程式の「正確な解」を見つけることは大きなプラスです-システムの振る舞いは正確な数式で記述できます。ただし、そうでない場合でも、他のシステムや動作に関連するほど十分に抽象化された数学的ステートメントを書き留めることができます。



上記で書いたように、セルオートマトンなどのプログラムを使用すると、すべてが異なる場合があります。計算上の既約性にすぐに出くわすことがよくあります。これにより、短い道を進み、何が起こっているのかを「説明」する能力が制限されます。



機械学習とニューラルネットワークはどうですか？ある意味では、ニューラルネットワークトレーニングは、自然科学で行われている帰納的探索の簡単な要約のようなものです。例から始めて、システムの動作のモデルを推測しようとしています。しかし、モデルを理解することは可能でしょうか？



また、計算上の既約性には問題があります。しかし、何が起こっているのかを理解できる状況がどのように見えるかを想像できるケースについて議論しましょう。



ニューラルネットワークを使用してシステムの動作をシミュレートする代わりに、世界のある側面を分類するニューラルネットワークの作成を見てみましょう。たとえば、画像を取得し、その内容（「ボート」、「キリン」など）に応じて配信します。ニューラルネットワークをトレーニングすると、正しい出力を生成することが学習されます。しかし、このプロセスは、最終的に正しい結論を決定する一連の違い（「20の質問」のゲームのようなもの）の内部構築として潜在的に想像できます。



しかし、これらの違いは何ですか？時々それらを認識することができます。たとえば、「写真にたくさんの青がありますか？」しかし、ほとんどの場合、これらは人々が気付かない世界の特性です。おそらく、それらのいくつかがそうであると証明する自然科学の代替の歴史があるでしょう。しかし、それらは現在の認識や分析の規範の一部ではありません。



それらを追加したい場合、おそらくそれらの名前を思い付くでしょう。しかし、この状況は論理的な証拠がある状況に似ています。自動システムは、結果を生成するためのマイルストーンとして使用するいくつかのものを作成しました。しかし、私たちはこれらのマイルストーンを認識していません。それらは私たちにとって何の意味もありません。



繰り返しますが、特定の明確な違いがニューラルネットワークで頻繁に見つかることがわかった場合、それらを自分で研究し、世界を記述する標準的な規範に追加する価値があると判断できます。



このようなわずかな違いで、何か意味のあるものを作成できると期待できますか？これは、少数の定理がそのようなことを論理的証明として理解するのに役立つかどうかを尋ねるようなものです。



答えは明確ではないと思います。たとえば、数学の多数の科学作品を研究する場合、さまざまな定理の使用頻度について質問することができます。定理の頻度は、Zipfの法則にほぼ完全に対応していることがわかります（最初の場所では中心極限定理があり、陰関数定理とTonelli-Fubini定理）。同じことは、「知る価値がある」違いや「知る価値がある」新しい定理でも起こります。



いくつかの定理の知識は、十分に進歩する機会を与えてくれますが、無限の指数関数的なテールが常に存在し、最後まで到達することはできません。

知識の未来

数学、科学、または技術を勉強すると、ますます増加する抽象化のセットを構築することからなる、質的開発の同様の基本的なパスを見ることができます。このプロセスを定量化するとよいでしょう。同時に多くの場合に見られる特定の用語または説明が、より高いレベルの抽象化にどのように含まれるかを計算することが可能かもしれません。



チューリングマシンなどの計算の正式なモデルを使用して、このプロセスの理想化されたモデルを作成できる場合があります。最下層に抽象化のない基本的なチューリングマシンがあることを想像してください。ここで、特定のランダムプロセスに従って、このチューリングマシン用のプログラムを選択するとします。次に、これらのプログラムを実行して分析し、「高」レベルの計算のどのモデルが各プログラムの各ステップを実行することなく、これらのプログラムの共同動作を正常に再現できるかを確認します。



計算上の既約性は、この高レベルの計算モデルの作成が必然的により複雑になるという事実につながると判断することができます。しかし、重要な点は、プログラムの個別の動作ではなく、プログラムの共同動作を再現しようとしていることです。



しかし、このプロセスが何度も繰り返され、理想化された人間の知的歴史を再現し、さらに高くなる抽象化の塔を作成するとどうなりますか？



おそらく、ここで物理学とくりこみ群法の重要な現象との類似性を引き出すことができます。もしそうなら、概念を提示するためのプラットフォーム空間の軌跡を決定できると想像できます。この軌跡は何をしますか？



おそらく、歴史のどの時点でも、ほぼ同じ数の価値のある概念の研究がある場合、固定値を持つでしょう。新しい概念はゆっくりと開き、古いものは吸収されます。



これは数学にとってどういう意味ですか？たとえば、経験的に発見された「ランダムな数学的な事実」は、ある程度の抽象化に到達すると最終的に考慮されます。このプロセスがどのように機能するかについての明確な理解はありません。実際、どのレベルの抽象化でも、常に「ジャンプ」しなければならない新しい経験的事実があります。「抽象化のレベルを上げる」ことは、これらの「ジャンプ」に必要な速度よりも遅くなることもあります。

理解の未来

これは今後の理解にとって何を意味するのでしょうか？



過去に、人々が自然を研究したとき、彼らはそれを理解する少数の理由がありました。時には彼らはそれの特定の側面を霊または神の形で擬人化しました。しかし、プロセスの原因のすべての詳細を理解する機会を考えずに、彼らはそれが何であるかについてそれを受け入れました。



現代科学の到来により、そして特に私たちの開発した技術に支配された人工環境で私たちの生活がますます増えているとき、これらの期待は変わりました。そして、AIによって実行される計算を研究するとき、私たちはそれらを理解できないかもしれません。



しかし、私たちの世界のシステムが行うことと、脳がその行動から計算できることの間には、常に競争があります。計算能力において脳よりもはるかに単純なシステムとのみ対話することにした場合、それらが何をしているかを体系的に理解できると期待できます。



しかし、宇宙で利用可能なすべてのコンピューティング機能を使用したい場合、必然的に、相互作用するシステムが脳の処理能力を達成します。そしてこれは、計算上の既約の原則に従って、これらのシステムの動作を体系的に「追い越す」または「理解する」ことは決してできないことを意味します。



しかし、どのようにそれらを使用できますか？まあ、ちょうど人間が常に自然のシステムを使用してきたように。もちろん、彼らの仕事や能力のすべての詳細を知っているわけではありません。しかし、ある程度の抽象化では、彼らの助けを借りて目標を達成する方法を十分に理解しています。



数学のような分野はどうですか？数学では、すべてのステップを理解できるように知識セットを構築することに慣れています。しかし、実験数学と、定理の自動証明などの機能により、そのような方法が利用できない領域の存在が明らかになります。



それらを「数学」と呼びますか？彼らがすべきだと思う。しかし、この伝統は、過去千年にわたって私たちが慣れ親しんできたものとは異なります。ここでも抽象化を作成し、新しいレベルの理解を構築できます。



しかし、その基礎のどこかに、あらゆる種類の異なるバージョンの計算上の既約性があり、それらを人間の理解の分野に移すことはできません。これは、私の論理の小さな公理の証明で起こることとほぼ同じです。これは、数学の主要な側面の1つになると思われるものの初期の例です。