数学的テキストを書く現代の問題

最近の記事で、同志KvanTTT は次の質問を提起しました 。

現代の数式（数学的なステートメントと）について好きではないことと、それを改善する方法を説明できますか？

1つのコメントで答えようとしましたが、テキストフィールドのサイズが原因で計算を完了できませんでした。 この記事は非常に詳細な回答です。



私は言わなければならない、材料はholivarnyです。 部分的に感情的すぎる。 非常に物議を醸しています。 個人的すぎる-多様ではあるが、多くの場合、個人的な経験に基づいており、豊かではない。 この投稿は、学校と大学の教科書に言及しています。「専門」文学には独自の特徴、独自の読者がいます。 現在の現実には問題の解決策はありません。 同時に、私よりずっと前の「私の」観察の一部は、クヌートやハミングなどの当局によって表明されました。 「 数学の読み方 」という指示をすっかり流し去った人もいます。



だから、私の意見では、 主な不満は式を書くことではなく、材料の提示に関することです。 さらに、学校から始まり高度な科学で終わる教育のほぼすべてのレベルで資料を提出する。 現在の状況の始まりは、数学に王道の不在について宣言したユークリッドによって置かれました。 王道はこれまでのところ舗装されていません。 ユークリッドがやった、そしてできる。



最初の問題は、 重要性が示されていないことです。 ユークリッドからのもう一つの贈り物：「質問者が数学ではなく利益を探しているなら、質問者にペニーを贈ってください。」 著者は定義を導入し、定理を証明し、なぜそれが必要なのかを説明することなく他の数学を始めます。 例： Fichtenholtzの数学的分析に関する教科書。 最初の章を読んでください：「あなたは有理数について知っている学校のコースからですが、数学のニーズは私たちに本当の数を導入することを強いています...」そしてそれは始まりました。 ニーズは何ですか、数学は何ですか、なぜ合理的ではないのですか？はい、犬は彼を知っています。 「明らかに。」



または、同じチュートリアルの別の例。 「定数aはオプションの制限と呼ばれます $$ すべての肯定的な場合 $$ どんなに小さくても、すべての値が $$ 数n> Nが等式を満たすもの $$ 」



ほとんどの学生は上記の定義を理解していませんが、6か月後にはそれに慣れます。 さらに多くの学生は、研究の終わりに向かってさえ、なぜシーケンスの制限の概念が必要なのかを知りません。 同様に、関数、積分、級数について... Fichtenholtzはいくつかの数学的なオブジェクトを説明し、時には特定の例を示します-それだけです。 まあ、はい、今、たとえば積分を導入するときに上限/下限合計の正しい説明のために、積分の前にさらに2学期の制限が必要であることを理解しています！



または、スキュー対称多重線形関数として定義された行列式。 みんな、本気？ そのような「そう何」の定義に対する1年生からの唯一の適切な回答は？ この定義の利点は何ですか？ 私は主張しません、利益がありますが、新入生はそれを知っていますか？



誤解 ：背景。 あらゆる種類の会議で表示されます。 「問題はジェイコブによって提起され、彼の弟子アベル、弟子カインの弟子、ヴィシュヌの百五百人の化身によって研究されました。」 問題の本質は何か、それが元の著者によって解決された理由、教授の時間を殺すことがなぜ重要なのかは省略されています。

次の問題-著者は本当の問題を引き起こさない

原理的には、前のものと似ています。 確率論のコースを思い出してください。 そこでどのようなタスクが優先されますか？ 「バスケットには25個の黒玉と10個の白玉が入っています...」 カジノの例、カード、D＆D、経済的-いいえ、聞いていません。 確率論はサイコロの研究から発展しましたが、最も政治的に正しい例を使用します。



Free_Mic_RSを最近書いたライブ例について





数学はタスクから始まります。 そして、死んだ、一方的なタスクは、理論検証者がそれらだけで動作するという印象を残します。 著者の意図は良いです：例を挙げてから、一般に移ります。 例の要約。 しかし、いくつかの「生きた」例は、抽象化への移行をより便利にします。 少なくとも、逆のプロセス（抽象から特定への移行）ははるかに簡単だと強く信じています。

問題：過度の簡潔さと矛盾

学校を覚えていますか？ 判別式はどうですか？ そして、それはどのように証明/導出されますか？ 1つの方法： 純粋に代数的 。 方程式を取る $$ 、「各部分に $$ そして追加 $$ 「（ なぜこれらの値が正確なのか？ ）、さらにいくつかの変換-これで完了です。 判別後、生徒にはbの判別が与えられます。 そして、Vietaの公式。 また、完全な正方形。 そして、たくさんの例。 そして、これらすべての方法が必要な理由を常に説明することからはほど遠い。



状況を想像すると、生徒は次のように言われます。「今日、方程式を解く方法を学びます。 $$ 。 」そして、一連の例は複雑さから始まります。

$$

完全に二乗して方程式の解を有機的に導く多くの例。 次に、判別式を入力して（学生が完全な正方形を強調するのに飽きたときに方程式を解くための簡単なアルゴリズムとして）、さらに「ノウハウ」としてさらに判別式のあるベトナム語を入力します。



同様のアプローチが教科書でも使用されています。 悲しいかな、すべてではありません。 そして、どこでも明確なシーケンスが見えるわけではありません。 噂によると、一部の著者は路面電車のドラフトシートを紛失し、その紛失した部分を「それを示すのは簡単だ...」などの表現に置き換えました。 その結果、例から例への穏やかなジャンプの代わりに、学生は奈落の底を飛び越えることを余儀なくされました。 学校/大学の10 + 6年で何人が壊れてまだ壊れていますか？



個人的な例（元の投稿で要求された）。 マタンの最初の年に、私は苦しみました。 静かに例を解いて、彼は理論をまったく学びませんでした。 同級生に積分を通して曲線の長さを計算する助けを求めました。 彼はビールのボトルを取り、ランダムな曲線を描き、無限に小さなセグメントで直線化し、そのようなセグメントを1つ選択して三角形dl、dx、dyに完成させ、「ピタゴラスの定理を覚えていますか」と尋ねました。 その後、すべてが簡単でした。







私は彼に尋ねた：なぜこれはペアで/教科書に表示されないのですか？ 彼はいくつかの反例を示し、マタンで形式主義が必要な理由を説明しました-そして私は行き詰まりました。 私は定理を読み、主なものを強調し、些細な例を書いて解決し、それから形式主義に対処し、何が起こっているのかを本当に理解しました。



一般的な概要アプローチ=>反例=>形式主義を大規模に使用できるかどうかはわかりません。 「突破口」までに生徒がどれだけの理論/実践を習得する必要があるのか​​はわかりません。このトピックに教育学的実験をどのように組み込むか、そして研究にどれだけの労力を費やさなければならないかはほとんど想像できません。 しかし、その説明の記憶は10年間生き続けています。 そして、これらすべての年月を経て、私はまず聴衆に全体像を与え、次に問題を示し、それから詳細に飛び込もうとします。



あなたは私の個人的な感情が間違っているかもしれないと言うでしょう。 それらに加えて、私はハミングから似たようなアイデアしか持っていません：

...どのメソッドが効果的で、どのメソッドが効果的でなかったかを研究できました。 会議に参加するとき、私はすでにいくつかの作品が記憶されている理由を研究し、ほとんどは記憶されていません。 技術者は、非常に限られた技術講義を行いたいと考えています。 原則として、聴衆は一般的な性質の幅広い講義を望み、スピーカーが与えたいよりもはるかに一般的な概要と紹介を望みます。 その結果、多くの講義は効果的ではありません。 講師はトピックを呼び出し、突然詳細に飛び込みます。 追跡できる人はほとんどいません。 これがなぜ重要なのかを説明するために大きな絵を描いてから、やったことのスケッチをゆっくりと展開しなければなりません。 その後、より多くの人々が言う：「はい、ジョーはそれをやった」または「メアリーは私が本当にそれが何であるかを見るものをした。 はい、メアリーは本当に良い講義をしました、私は彼女がしたことを理解しています。」 原則として、人々は非常に限られた安全な講義を行います。 通常は効果がありません。 さらに、多くの講義は情報で満たされています ...

一括アイデア

教えてほしいのは、私の経験が非常に限られていることです。 お気づきかもしれませんが、私は学校のカリキュラムとマタナリズに限定されています。 悲しいかな、これらは私が理論を実践と接触させる機会があった領域です。 私はまだ代数の行列式の本質を理解しておらず、射影幾何学を理解していません。そして、たった6か月前にマトリックスを貫通し始めました（練習直後）。 「実践のない理論は死んだ」という格言の良い例です。



私が言われたように、NMUでは常に新しいコンセプトが導入され、多くの質問が寄せられてきました。 もしそうなら？ そして、この条項が満たされていない場合はどうなりますか？ コンセプトをセミグループに補完するには何が必要ですか？ リスナーは、主題で遊ぶことができました。 それに慣れてください。 NMUの経験について慎重に検討する価値があると思います。



確かに、数学のより高い分野では、「最初に例、次に抽象化」というアプローチは機能しません。 そのため、紙の上の例はRSAの実現に役立ちません。 しかし、キーの長さが長くなるにつれてプログラムの時間が長くなるため、純粋に実用的な側面を感じることができます。



「理想」/「温室」の教科書は、「塔」で作業する際に衝撃を与える恐れがあります。 「筋金入りの労働者は若い年齢から教育を受ける必要がある」と思われます。



学生がすでに何かを知っていることを期待して、コースを開発することは非常に困難です。 必要なベースが大きいほど、ベースの何かが学生に誤解される可能性が高くなります。



彼らは、数学者の形のピークは30歳だと言います。 30を超えると、すでにそれらを読み込んで教科書を書くことができ、パートナーに専門の方法論者を与えることができます。



現在の技術では、gitを使用してテキストを書くことができます。 CIプロセスでPDFでTeXaをコンパイルすることに関する記事が最近ハブに掲載されました 優れたツールを備えた著者のチームは、はるかに優れた教科書を書くことができると確信しています。



教授、教師、生徒、学童に加えて、数学には州があります。 そして規制。 そして要件。 そして認証。 これはすべて、教科書、著者、教師、および資料の品質に影響します。

数学テキストの資料の流れを改善する方法

現在の（ロシアの）現実では-何もありません。 愛好家がいます、専門家がいますが、モチベーションはありません。



数学の教授には、教科書を書くのに十分な仕事があります。 純粋に人道主義的なスキルが十分でない場合もあり、本は大学で教えられません。 さらに、プロの変形：教授にとって「明らかな」ことは、学生にとって圧倒的です。 数学の先生は忙しいです。 そして論文。 個別指導。 州については何も言いません。 ほとんど彼の代表者に会わなかったので、言うことはありません。 3年ごとに教科書を交換するという方針に言及しない限り。 放課後、私は教科書を図書館に持ち帰りたかったので、彼らは「彼らは古くて、あなたはそれらを手に入れることができない」と言った。 このアプローチは、良い教科書を書く動機を追加しません。



言い換えれば、私は個人的には教育システムの前向きな進歩を期待していない。 もちろん望みますが、私は待ちません。 役立つのは、ITおよびその他のエンジニアリングの概要です。 数学会議の1つで、参加者の1人からコンピューターグラフィックスに関する本を受け取りました。 著者は、ある描画システムのグラフィックコアを開発するオフィスで働いていましたが、素材は非常に良かったです。 数学は「純粋」ではなく、適用されましたが、優れた教材が存在するという事実は確かに楽しいものでした。



別のアプローチ：大学で働く企業の教師。 これらの人からの数学的なテキストは期待できません、詳細は同じではありません。 ゲーム開発者が理論に関するマニュアルを作成する場合、またはグラフィックスが同じCADシステムを開発するために必要な代数/ジオメトリについて記述する場合を除きます（そのようなプロジェクトがある場合は呼び出します） 。



最後に、同じCourseraなど、さまざまな非国家教育プラットフォームがあります。 彼らはお金のために働き、競争し、すぐにフィードバックを受け取るので、これらの人は何でもできます。 ただし、それぞれに欠点があります。データを送信する形式が異なります。 彼らは直接テキストを書きません。

そして、何がすべて将来的に来るのでしょうか？

最も興味深い。 たぶん、すべてがそのまま残るでしょう。 たぶん、数学のテキストからの離脱があるでしょう。 あるいは、著者は「 製品テキストは読者のクライアントにとって便利であるべきだ」というアイデアに触発され、先駆者は伝統を破ることができるでしょう。 それから30〜50〜100年後には、ほとんどの読者が理解できる教科書を手にすることになります。



Upd1。 曲線部分の長さを計算した写真を挿入しました。



Upd2。 コメントでは、テキストが専門的な数学ではなく、教育の問題に当てられていることがしばしば言及されています。 その理由は簡単です。素材のプレゼンテーションの観点から見た「プロフェッショナル」な作品の大部分は、教科書と変わりません。 同時に、学校/大学の文学は大衆の大半に知られており、「専門家」はパーセントになっています。