ゲーデルの不完全性定理を証明するのが難しい理由：問題は本質だけでなく製剤にある

大まかに言えば、ゲーデルの不完全性定理は、証明できない真の数学的ステートメントがあると述べています。 私が11年生のとき、私たち3人は幾何学の先生であるオルセン氏と友人のユマロイとともに、ゲーデルの元の証明を5週間読みました。 なぜそんなに長いの？ 私たちがまだ小学生だったからです。 24歳のゲーデルが最も才能のある作家ではなかったからです。 しかし、主に証明は実際には非常に難しいためです。



実際、すべての証拠を1つの段落に収めることができるため、これは驚くべきことのように思えるかもしれません。 ゲーデルは、基本的に文に相当する数学的ステートメントを作成することから始めます。

この声明は証明できません。

Godelは、この記述が偽である場合に何が起こるかを検討します。 つまり、この声明が証明できれば。 しかし、証明できる声明は真実でなければなりません。これは矛盾です。 このことから、ゲーデルは、この声明は真実でなければならないと結論付けています。 しかし、陳述は真実であるため、このことから、陳述を証明することはできません。 この最終声明は矛盾ではないことに注意してください。 それどころか、これはゲーデルの定理の証明です。



それでは、なぜ実際の証拠はそれほど複雑なのでしょうか？ 秘Theは、英語の有効な数学的ステートメントのように聞こえるかもしれないことです（特に文がそれ自体を指す場合）。 たとえば、次の文を考えてみましょう。

この文は誤りです。

文は無意味です：それは偽になりえない（それが真実になるため）そしてそれは真実になりえません（それが偽になるため）。 そして、もちろん、正式な数学的ステートメントの形で書くことはできません。



次に、別の例を示します（ベリーパラドックスと呼ばれます）。

{x}を、100ワード未満で記述できない最小の正の整数として定義します。

これは有効な数学的定義のように見えるかもしれません。 しかし、それでも意味がありません。 そして、数学の健全性にとって重要なことであるが、同様の声明を正式に、つまり数学的に書くことはできない。



数学の言語での記述でさえ意味がない場合があります。

$$

$$S = \ {A \ mid A \ not \ in A \}$$

（つまり $$$S$ セットが多いです $$$A$ それ自体の要素ではありません）。



これもまた意味のない定義です（ラッセルのパラドックスとして知られています）。 特に、特定したら $$$S$ 私たちは尋ねることができます $$$S$ 自分？ もしそうなら、 $$$S$ メンバーになることはできません $$$S$ -矛盾; もしそうでなければ、 $$$S$ メンバーになります $$$S$ -再び矛盾。



これら3つの例の意味は、数学的ステートメントの定理を証明したい場合は、実際に数学的ステートメントを操作しているという事実に注意する必要があるということです。 実際、最初の46個の定義から最後の驚くほど堅実な証拠まで、ゲーデルの元の記事は、注意を払った大規模な演習に過ぎません。