すべての3Dエンジンから四元数を削除しましょう

グラフィックプログラマは、 クォータニオンを使用して3次元の回転を記録します。 ただし、 四元数は表面的に研究されているため、理解が困難です。 私たちは、奇妙な掛け算表やその他の不可解な定義を信仰に基づいて取り、必要に応じてベクトルを回転させる「ブラックボックス」として使用します。 なぜ $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ そして $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ？ なぜベクトルを取得し、それを「想像上の」ベクトルに変換して変換するのか、たとえば $$$\ mathbf {q}（x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}）\ mathbf {q} ^ {*}$ ？ しかし、誰もがすべてがうまくいくかどうか気にしますか？



ローターと呼ばれる回転を記述する方法があります。これは、複素数（2D）および四元数（3D）の場を指し、任意の数の次元に一般化します。



四元数を何もない状態から定義し、それらがどのように遡って機能するかを説明する代わりに、 ゼロからローターをほぼ完全に作成できます。 もっと時間がかかりますが、理解するのがはるかに簡単なので、私には価値があります！



さらに、3次元ローターの視覚化と理解のために、4番目の空間次元を使用する必要はありません。



彼らが四元数の使用と研究に取って代わり、ローターと交換し始めたら素晴らしいと思います。 それらを置き換えることは非常に簡単ですが、 コードはほぼ同じままです。 四元数でできること、たとえば、車軸ロック（ジンバルロック）の内挿と削除は、ローターでも実行できます。 しかし、私たちはより多くを理解し始めます。



（元の記事では、すべてのグラフがインタラクティブで、記事の後にビデオが続きます。再生ボタンをクリックすると、ビデオの対応するセクションを開始できます。ビデオの下の遷移ボタンをクリックして、記事の対応するセクションに移動することもできます。ウィンドウを拡大して、ビデオ用のスペースを増やします、または一定のサイズを設定します。）

1.ターニングプレーン

1.1。 ターンは2次元平面で実行されます。

3次元空間では、通常、軸上で回転する車輪のように、軸の周りで回転が発生していると認識しますが、車輪のある平面を表す方がより正確です。 この平面は軸に垂直です。









この老womanは飛行機の中で車輪を回します $$$\ mathbf {xz}$ 軸に垂直 $$$\ mathbf {y}$ 。



これは、ベクトルを2つの部分に分割し、そのうちの1つが平面（ $$$\ mathbf {v} _ \ parallel$ ）、もう一方は外にあります（ $$$\ mathbf {v} _ \ perp$ ）、回転により内側の部分が回転し、外側の部分は変更されません。









平面内の回転 $$$yx$ [ 元の記事では、このアニメーションとカメラを移動できます ]



2次元空間では、回転が可能な平面は1つだけです（ 外部部品はありません ）。 したがって、回転が3番目の軸（2D平面に垂直）の周りで発生すると仮定するのは厳密に言えば正しくありません。回転を完了するために別の次元を追加するべきではないからです。



2次元の「平らな土地所有者」（2D平面内に住んでいて、2次元空間から出たことがない）に垂直回転軸について伝えると、「この軸はどの方向を向いているのか？」 私は彼女を想像できません！」

1.2。 ターンの正確な方向

さらに、軸を中心とした回転について考える場合、回転の方向は定義されていないため、ルール（いわゆる「右手ルール」）によって決定する必要があります。



ただし、平面内で回転が発生すると仮定すると、方向は明確になります。平面内の回転 $$$\ mathbf {xy}$ （単位）ベクトルを移動する回転を意味します $$$\ mathbf {x}$ （ユニット）ベクトル $$$\ mathbf {y}$ 飛行機の中で彼らは一緒に形成します。 平面内の回転 $$$\ mathbf {yx}$ 逆方向の回転：ベクトルを移動します $$$\ mathbf {y}$ ベクトルへ $$$\ mathbf {x}$ 。

2.バイベクトル

2.1。 外部作業

1つのベクトルを回転させるときに回転軸を計算するには $$$\ mathbf {a}$ 別のベクトルへ $$$\ mathbf {b}$ 2つのベクトルのベクトル積を取り、両方のベクトルに垂直なベクトルを取得します。 しかし、回転が本質的に2次元の操作である場合、なぜ平面を「残す」必要があるのでしょうか。



代わりに、 外部積 （2次元ベクトル積とも呼ばれます）と呼ばれるもの、2つのベクトルを取り、「バイベクトル」（または2ベクトル）と呼ばれる新しい要素を作成します $$$\ mathbf {B}$ 2つのベクトルが一緒に形成される平面を表します。 ベクトル積が平面への法線ベクトルを作成する場合 、外部積は平面自体を作成します 。 平面の法線の計算は無関係です。

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ウェッジ\ mathbf {b}$$

$$$\ mathbf {B}$ ベクトルから構築された平行四辺形として表すことができます $$$\ mathbf {a}$ そして $$$\ mathbf {b}$ 彼らが一緒に形成する平面で。



最初は、バイベクトルの考え方は奇妙に思えるかもしれませんが、すぐに、ベクトル自体とほぼ同じ基本的なものであることがわかります。 ベクトルを直線と比較できる場合、バイベクトルは平面のようになります...外部製品のプロパティは、平面の重要なプロパティをキャプチャします。

2.2。 バイベクトルの基礎

ベクトルのようなバイベクトルにはコンポーネントがあります。 しかし、それらはベクトルのような直線ではなく、 平面に基づいて決定されます。



3つの直交する底面は $$$\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y}$ 、 $$$\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {z}$ そして $$$\ mathbf {y} \くさび\ mathbf {z}$ 図からわかるように。



しかし、最初に、より単純な2次元のケースを見てみましょう...

2.3。 二次元バイベクトル

2Dでは、プレーンは1つだけです。つまり、 $$$\ mathbf {xy}$ 。 つまり、2次元のバイベクトルには1つのコンポーネントしかありません。 ベクトルで構成されるバイベクトルの場合 $$$\ mathbf {a}$ そして $$$\ mathbf {b}$ 数です $$$B_ {xy}$ 2つのベクトルで形成される平行四辺形の面積（符号付き）に等しい。

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \くさび\ mathbf {b} = B_ {xy}（\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y}）$$

2D bivectorを使用した元の記事では、構成されている（単一の）ベクトルを変更することにより、インタラクティブグラフを試すことができます。









ベクトル間の角度が変化すると、平行四辺形の領域が変化することがわかります（角度のサインに従って）。



ベクトルが同じまたは平行である場合、それらは通常の平面を形成せず、結果はゼロになります。 この単純なプロパティは、バイベクトルとは何かを定義します。

$$

$$\ mathbf {a} \くさび\ mathbf {a} = 0$$

2つのベクトルの合計を見ると、プロパティが次のようになっていることがわかります。

$$

$$\ begin {eqnarray}（\ mathbf {a} + \ mathbf {b}）\楔（\ mathbf {a} + \ mathbf {b}）＆=＆0 \\ \ mathbf {a} \くさび\ mathbf { a} + \ mathbf {b} \くさび\ mathbf {a} + \ mathbf {a} \くさび\ mathbf {b} + \ mathbf {b} \くさび\ mathbf {b}＆=＆0 \\ \ mathbf { b} \ウェッジ\ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ウェッジ\ mathbf {b}＆=＆0 \ end {eqnarray}$$

したがって：

$$

$$\ mathbf {a} \くさび\ mathbf {b} =-\ mathbf {b} \くさび\ mathbf {a}$$

回転の方向と同様に、外部作業の引数の順序が重要です。 引数の順序を変更すると、結果の符号が変更されます（これを「非対称」と呼びます）。



チャートでは、サインは青から緑に変わる色で示されます。 のターン時にサインが変わります $$$\ mathbf {a}$ で $$$\ mathbf {b}$ 時計回りから反時計回りに移動します（つまり、方向と一致する場合（から $$$\ mathbf {x}$ に $$$\ mathbf {y}$ ）または方向（from $$$\ mathbf {y}$ に $$$\ mathbf {x}$ ））。



外部製品のプロパティは、飛行機とターンのプロパティを伝えるように配置されていることがわかります。

2.4。 非単位ベクトルの2次元バイベクトル

明らかに、ベクトルは単位長である必要はなく、このグラフのこの制限は削除されました。









符号付きの平行四辺形の面積は、両方のベクトルの長さに比例します。 $$$B_ {xy} = sin（\ alpha）\ | a \ | \ | b \ |$ どこで $$$\ alpha$ 間の角度は $$$\ mathbf {a}$ そして $$$\ mathbf {b}$ 。 つまり、たとえば、1つのベクトルの長さを2倍にすると、面積が2倍になります。



ベクトルをコンポーネントとして置き換えることにより、真の値を取得できます。

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \くさび\ mathbf {b}＆=＆（a_x \ mathbf {x} + a_y \ mathbf {y}）\くさび（b_x \ mathbf {x} + b_y \ mathbf { y}）\\＆=＆a_x b_x（\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {x}）+ a_x b_y（\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y}）+ a_y b_x（\ mathbf {y} \くさび\ mathbf {x}）+ a_y b_y（\ mathbf {y} \くさび\ mathbf {y}）\\＆=＆a_x b_y（\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y}）+ a_y b_x（ \ mathbf {y} \くさび\ mathbf {x}）\\＆=＆a_x b_y（\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y}）-a_y b_x（\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y} ）\\＆=＆（a_x b_y-a_y b_x）（\ mathbf {x} \ウェッジ\ mathbf {y}）\ end {eqnarray}$$

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y-b_x a_y$$

2.5。 3Dバイベクトル

ベクトル座標と同じ $$$\ mathbf {v}$ 3つの直交基底軸上のベクトルの射影と考えることができます（ $$$\ mathbf {x}$ 、 $$$\ mathbf {y}$ 、 $$$\ mathbf {z}$ ）、バイベクトルの座標 $$$\ mathbf {B}$ 3つの直交する基底面上の平面より小さい投影と見なすことができます。



ベクトルの射影は各基底ベクトルに沿ったこのベクトルの長さであり、バイベクトルの射影は各基底平面上の平面の領域です 。



ベクターの場合：

$$

$$\ mathbf {v} = \ bbox [5px、border-bottom：2px solid red] {v_x} \ mathbf {x} + \ bbox [5px、border-bottom：2px solid green] {v_y} \ mathbf {y} + \ bbox [5px、border-bottom：2px solid blue] {v_z} \ mathbf {z}$$

バイベクトルの場合：

$$

$$\ mathbf {B} = \ bbox [5px、border-bottom：2px solid coral] {B_ {xy}}（\ mathbf {x} \楔\ mathbf {y}）+ \ bbox [5px、border-bottom： 2pxソリッドゴールド] {B_ {xz}}（\ mathbf {x} \ウェッジ\ mathbf {z}）+ \ bbox [5px、border-bottom：2pxソリッドダークバイオレット] {B_ {yz}}（\ mathbf {y} \くさび\ mathbf {z}）$$

どこで $$$B_ {xy}$ 、 $$$B_ {xz}$ 、 $$$B_ {yz}$ のような数字だけです $$$v_x$ 、 $$$v_y$ 、 $$$v_z$ （グラフ上の色に対応する色で下線が引かれています）。



3Dバイベクターのコンポーネントは、基本的な2D平面へのバイベクターの3つの2D投影です。



前と同じ方法を使用すると、コンポーネントの真の値は2次元の場合のXYコンポーネントに非常に似ていますが、3つの平面すべてに適用されることがわかります。

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y-b_x a_y$$

$$

$$B_ {xz} = a_x b_z-b_x a_z$$

$$

$$B_ {yz} = a_y b_z-b_y a_z$$

元の記事のインタラクティブチャートで3Dバイベクトルを試すことができます。











バイベクトルをそのノルムで除算すると、ベクトルの2つの長さと角度のサインの（絶対）値が減ります。つまり、バイベクトルが得られます。 $$$\ hat {\ mathbf {B}}$ 、2つのベクトルが元々垂直で、単位の長さを持っているかのように構築されます。 これは、両方のベクトルを含む平面の非常にきれいな表現です。 だから：

$$

$$\ mathbf {B} = | \ mathbf {a} \ | \ | | mathbf {b} \ | \ mid sin（\ alpha）\ mid \ hat {\ mathbf {B}}$$

何か外部の仕事を思い出させますか？ 3Dでは、外部作品の定義はベクター作品の定義に非常に似ています。 実際、ベクトル積（たとえば、法線ベクトル）から取得した3Dのベクトルには、バイベクトルの成分と等しい3つの成分があります（数値は同じですが、基底は異なります）。

$$ $$表示$$ \開始{eqnarray} \ mathbf {a} \くさび\ mathbf {b}＆=＆＆（a_x b_y-b_x a_y）（\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y}）\\＆ ＆+＆（a_x b_z-b_x a_z）（\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {z}）\\＆＆+＆（a_y b_z-b_y a_z）（\ mathbf {y} \くさび\ mathbf {z} ）\\ \\ \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}＆=＆＆（a_x b_y-b_x a_y）\ \ mathbf {z} \\＆＆--（a_x b_z-b_x a_z）\ \ mathbf {y} \\＆＆+＆（a_y b_z-b_y a_z）\ \ mathbf {x} \ end {eqnarray} $$ display $$

バイベクトルの定義には幾何学的な意味があり、どこからともなく現れることはありません。 ベクトル積を調べたとき、「これらの2つのベクトルによって形成される平行四辺形の面積に等しい長さのベクトルを返すのは一体何なのか？」 それはとてもランダムに思えます。 そして、なぜ平行四辺形の領域をベクトルの長さに変えることができるのでしょうか？」

2.6。 ベクトルとバイベクトルの意味論

3Dでは、バイベクトルには平面ごとに1つずつ、合計3つの座標があります：（ $$$\ mathbf {xy}$ 、 $$$\ mathbf {xz}$ そして $$$\ mathbf {yz}$ ） ベクトルには、軸ごとに1つの3つの座標もあります（ $$$\ mathbf {x}$ 、 $$$\ mathbf {y}$ そして $$$\ mathbf {z}$ ） 各平面は1つの軸に垂直です。 この偶然の一致は3次元（*）でのみ発生するため、バイベクトルとベクトルを常に混同する理由です。





プログラミングでは、どちらもメモリレイアウトは同じですが、操作が異なります。 3Dバイベクトルの代わりに3Dベクトルを使用することは、バイベクトルの「型変換」に似ています。



例は次のとおりです。「逆転送」行列を使用して、法線ベクトルが通常のベクトルとは異なる方法で変換されることがわかります。 $$$（\ mathbf {M} ^ {T}）^ {-1}$ 、マトリックス自体の代わりに。 これは、実際には、実際にはベクトルではなく、「型変換によるベクトル」に変換されるバイベクトルであるためです。 物理学では、「軸ベクトル」と呼ばれるハックがあります。これは、ベクトル積によって得られるベクトルを通常のベクトルと区別するために導入されました。 バイベクトルはオブジェクトの真の「タイプ」であり、それに応じて認識および処理する必要があります。

3.幾何積

3.1。 互いにベクトルの乗算

幾何積 $$$\ mathbf {a b}$ （記号なしで表示）は、ベクトルを使用して実行できる別の操作です。 幾何積は、ベクトルが逆になるように定義されます（たとえば、 $$$\ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {-1} = 1$ 、ここで1は単なる数字の1！）であり、たとえば結合性（ $$$\ mathbf {a}（\ mathbf {b} \ mathbf {c}）=（\ mathbf {a} \ mathbf {b}）\ mathbf {c}$ ） これの目的は、（行列の場合のように）乗算が幾何学的演算に対応するようにベクトルを乗算できるようにすることです。





作品を定義するために、まず、作品（または2つの引数を取る関数）を、引数を交換しても変わらない部分と次のように変化する部分の合計に分割できることに注意してください。

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ mathbf {b}＆=＆\ frac {1} {2}（\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a}-\ mathbf {b} \ mathbf {a}）\\＆=＆\ frac {1} {2}（\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf { b} \ mathbf {a}）+ \ frac {1} {2}（\ mathbf {a} \ mathbf {b}-\ mathbf {b} \ mathbf {a}）\ end {eqnarray}$$

最初のメンバーは引数の順序に依存しなくなりました $$$\ mathbf {a}$ そして $$$\ mathbf {b}$ （「対称」部分と呼ばれます）、2番目の用語は、引数の場所を変更するときに符号を変更します（「非対称」部分と呼ばれます）。



2つのベクトルのスカラー積（内部積とも呼ばれる）は対称であり、距離の尺度（ $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2$ ）、したがって、幾何学的な観点から、対称部分と等しくすることが有用であると思われます：

$$

$$\ frac {1} {2}（\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a}）= \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$$

同様に、2つのベクトルの外積は非対称であるため、非対称部分と同一視すると便利です。

$$

$$\ frac {1} {2}（\ mathbf {a} \ mathbf {b}-\ mathbf {b} \ mathbf {a}）= \ mathbf {a} \くさび\ mathbf {b}$$

さらに、スカラー積には2つのベクトル間の角度のコサインが含まれます（ $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | cos（\ alpha）$ ）、外部製品には角度のサインが含まれています。 一緒に、それらはベクトル間の角度とそれらが形成する平面を完全に記述します。





つまり、幾何積は次と等しくなります。

$$

$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \くさび\ mathbf {b}$$

2つのベクトルを乗算すると、スカラーとバイベクトルという2つの異なるものの合計が得られるため、これは奇妙です。 ただし、これは複素数がスカラーと「虚数」の合計であることに似ているため、すでに慣れている可能性があります。 ここで、バイベクトル部分は、複素数の「虚数」部分に対応します。 これだけが「想像上の」値ではなく、単にグラフィカルに表示できるバイベクトルです。



実際、2つのベクトルを乗算して、それらの有用なプロパティ（「互いへの投影の長さ」/「角度の余弦」（ $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$ ）および「それらが一緒に形成する平面」/「角度のサイン」（ $$$\ mathbf {a} \くさび\ mathbf {b}$私たちはと結合））、 "プラス。" 幾何積は、それらに適用できる「プロパティグループ」の操作も提供し、これらの操作には幾何学的な解釈があります（たとえば、ベクトルの回転と反射）。これはすぐに表示されます。



サインとコサインで幾何積を表現できます：$$$\mathbf{a} \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\| ( cos(\alpha) + sin(\alpha) \mathbf{B} )$ どこで $$$\mathbf{B}$ 2つの単位垂直ベクトルで構成される、平面内の両方のベクトルのバイベクトルです。

3.2。 乗算表

乗算表を使用すると、積をより具体的にすることができます。基底ベクトルの積を取得するとどうなるか見てみましょう（ $$$\mathbf{x}$ 、 $$$\mathbf{y}$ 、 $$$\mathbf{z}$ ）



任意の基底ベクトル、たとえば軸 $$$\mathbf{x}$ 、結果は等しくなります $$$1$ ：

$$

$$\mathbf{x} \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} + \mathbf{x} \wedge \mathbf{x} = 1$$

基底ベクトルの任意のペア、たとえば軸 $$$\mathbf{x}$ そして $$$\mathbf{y}$ 、結果はバイベクトルになり、それらが一緒に形成されます：

$$

$$\mathbf{x} \mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} = \mathbf{x} \wedge \mathbf{y}$$

（つまり、名前を付けることができます $$$\mathbf{x} \wedge \mathbf{y}$ ただ $$$\mathbf{x} \mathbf{y}$、



これはまったく同じなので！）これにより、次の表が得られます。

$$$\mathbf{a} \mathbf{b}$		$$$\mathbf{b}$
		$$$\mathbf{x}$	$$$\mathbf{y}$	$$$\mathbf{z}$
$$$\mathbf{a}$	$$$\mathbf{x}$	$$$1$	$$$\mathbf{x} \mathbf{y}$	$$$\mathbf{x} \mathbf{z}$
	$$$\mathbf{y}$	$$$-\mathbf{x} \mathbf{y}$	$$$1$	$$$\mathbf{y} \mathbf{z}$
	$$$\mathbf{z}$	$$$-\mathbf{x} \mathbf{z}$	$$$-\mathbf{y} \mathbf{z}$	$$$1$

実際、この表は、たとえば、四元数の表と比較すると簡単です。

3.3。 反射式（従来の外観）

ベクトルへの反映[元の記事では、各ベクトルを移動できます]



単位ベクトルがある場合$$$\mathbf{a}$ およびベクトル $$$\ mathbf {v}$ 私たちは反映することができます $$$\ mathbf {v}$ 垂直な平面を通して $$$\mathbf{a}$ 。



これは通常の方法で行われます：私たちは共有します $$$\ mathbf {v}$ 平面に垂直な部分： $$$\mathbf{v}_\perp = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{a}$ 、および平面に平行な部分： $$$\mathbf{v}_\parallel = \mathbf{v} - \mathbf{v}_\perp = \mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a})\mathbf{a}$ 。



次に、ベクトルを反映するために、垂直部分を反転し、平行部分を変更せずに残します。

$$

$$\begin{eqnarray}R_{\mathbf{a}}(\mathbf{v}) &=& \mathbf{v}_\parallel - \mathbf{v}_\perp \\ &=& ( \mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a})\mathbf{a} ) - ((\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{a}) \\ &=&\mathbf{v} - 2 (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{a}\end{eqnarray}$$

3.4。 反射の式（幾何積のビュー）

この段階で、スカラー積を置き換えることができます $$$\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}$ 幾何学的な製品の形のバージョン $$$\frac{1}{2} (\mathbf{v} \mathbf{a} + \mathbf{a} \mathbf{v})$ 、および以下を取得します。

$$

$$\begin{eqnarray}R_{\mathbf{a}}(\mathbf{v}) &=& \mathbf{v} - 2(\frac{1}{2}( \mathbf{v} \mathbf{a} + \mathbf{a} \mathbf{v})) \mathbf{a} \\ &= & \mathbf{v} - \mathbf{v} \mathbf{a}^2 - \mathbf{a} \mathbf{v} \mathbf{a} \\ &= & - \mathbf{a} \mathbf{v} \mathbf{a}\end{eqnarray}$$

（ $$$\mathbf{a}^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 1$ 以来 $$$\mathbf{a}$



これは単一のベクトルです）これはまったく同じことですが、異なるレコードにあります。リフレクションなどの基本的な操作をエンコードするための式ではなく、単純な製品の形式でレコードを使用すると非常に便利です！

3.5。 2つの反射が順番です：2Dの状況

に適用すると $$$\ mathbf {v}$ 2つの連続した反射（最初はベクトル $$$\ mathbf {a}$ そして、ベクトルで $$$\ mathbf {b}$ ）、 ベクトル間の角度の2倍の回転を取得します $$$\ mathbf {a}$ そして $$$\ mathbf {b}$ 。



以下のグラフに、反射の各後続段階を示します。









また、元の記事では、ベクトルを変更できます $$$\ mathbf {a}$ 、 $$$\ mathbf {b}$ そして $$$\ mathbf {v}$ ただし、グラフ上のベクトルの初期設定（[ベクトル位置のリセット]ボタンをクリック）は、結果として回転が二重の角度で発生する理由を特に明確に示しています。 別の適切な構成は次のように設定することです $$$\ mathbf {a}$ そして $$$\ mathbf {b}$ 軸 $$$\ mathbf {x}$ そして $$$\ mathbf {y}$ 。

3.6。 2つの反射が順番です：3Dの状況

3Dベクトルの場合 $$$\ mathbf {v}$ 2つの部分に分けることができ、そのうちの1つは与えられた平面にあります $$$\ mathbf {a}$ そして $$$\ mathbf {b}$ 、もう1つは平面の外側にあります（垂直）。 下のグラフに示すように、ベクトルが各プレーンで反射される場合、その外側部分は同じままです。 内側については、2Dに戻り、角度が2倍になります！

3.7。 ローター

幾何積の観点から見ると、2つの反射は単純に次のものに対応します。

$$

$$R _ {\ mathbf {b}}（R _ {\ mathbf {a}}（\ mathbf {v}））=-\ mathbf {b}（-\ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} ）\ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ mathbf {a} \：\ mathbf {v} \：\ mathbf {a} \ mathbf {b}$$

呼ぶ $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \くさび\ mathbf {b}$ ローター $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ ベクトルの両側で、回転（ $$$\ mathbf {b} \ mathbf {a}$ と同じです $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ 、反転部分バイベクトルのみ）。



ローターアプリケーション $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ ベクトルの両側に、ベクトルの平面でこのベクトルを回転させます $$$\ mathbf {a}$ そして $$$\ mathbf {b}$ 間の角度の2倍 $$$\ mathbf {a}$ そして $$$\ mathbf {b}$ 。



そしてそれだけです！

3Dローターとクォータニオンの比較

3Dローターはクォータニオンによく似ていることがわかります。

$$

$$a + B_ {xy} \ \ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y} + B_ {xz} \ \ mathbf {x} \くさび\ mathbf {z} + B_ {yz} \ \ mathbf {y} \くさび\ mathbf {z}$$

$$

$$a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}$$

実際、コード/数学はほとんど同じです！ 主な違いは $$$\ mathbf {i}$ 、 $$$\ mathbf {j}$ そして $$$\ mathbf {k}$ に置き換えられました $$$\ mathbf {y} \くさび\ mathbf {z}$ 、 $$$\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {z}$ そして $$$\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y}$ しかし、それらは基本的に同じように機能します。 コードの比較はこちらにあります 。 たとえば、補間のためのlog / expなど、すべてを実装したわけではありませんが、作成は非常に簡単です。









ただし、これまで見てきたように、3Dローターは3次元の概念であり、視覚化に「4次元の二重回転」や「立体投影」を使用する必要はありません。 4Dで動作するクォータニオンを視覚化して3D回転を説明することは、地球中心の観点から惑星の動きを理解しようとすることに似ています。 つまり このアプローチは、見方が間違っているため複雑すぎます。



見てきたように、回転をベクトルの周りではなく平面の内側で発生するようにモデリングすると、非常に役立ちます。 たとえば、基本バイベクトルの二乗は、 $$$-1$ 、基本的なクォータニオン（ $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ ）：

$$

$$（\ mathbf {x} \ mathbf {y}）^ 2 =（\ mathbf {x} \ mathbf {y}）（\ mathbf {x} \ mathbf {y}）=-（\ mathbf {y} \ mathbf {x}）（\ mathbf {x} \ mathbf {y}）=-\ mathbf {y}（\ mathbf {x} \ mathbf {x}）\ mathbf {y} =-\ mathbf {y} \ mathbf { y} = -1$$

2つのバイベクトルを互いに乗算すると、3番目のバイベクトルが得られますが、実際には簡単であり、それを覚えておく必要はありません $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ：

$$

$$（\ mathbf {x} \ mathbf {y}）（\ mathbf {y} \ mathbf {z}）= \ mathbf {x}（\ mathbf {y} \ mathbf {y}）\ mathbf {z} = \ mathbf {x} \ mathbf {z}$$

（使用したことに注意してください $$$\ mathbf {x} \くさび\ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ mathbf {y}$ ）



これらの特性は幾何積の結果であり、どこからともなく発生するものではありません！

追加の読書

（ところで、幾何学的代数にはローターだけでなく、他のクールなものもあります！）

• マクドナルドの線形代数幾何 [ Amazonへのリンク ]
  
  
  
  学生にとって線形代数の教科書に取って代わることが暗示されているため、非常に明確で理解しやすい優れた情報源。
• Dorst et al。によるコンピューターサイエンスの幾何学的代数 [ Amazonへのリンク ]
  
  
  
  優れたソース。プログラミングにより、主題をよりよく理解できる場合があるからです。

  注：この本では、著者は幾何学的代数が四元数より遅いことを明らかにしています（など）。 実際、ほぼ同じコードを持つ必要があります（つまり、幾何代数のコードを記述してはいけません。可能なすべてのタイプのkベクトルを含むことができる一般化された構造体を作成し、必要に応じて、各タイプのkベクトルに1つの構造体を書くだけですつまり、クォータニオンを置き換えるには、1つのBivector構造と1つのRotor構造（スカラー+ Bivector）を記述できます。