回転するスパイラル：数学と幻覚

麻薬性物質によって引き起こされる幻覚を想像しようとすると、すぐにトンネルビジョンに似た渦巻くらせん状のサイケデリックな形が頭に浮かぶ。 しかし、そのような幾何学的構造は、LSD、大麻、 メスカリンなどの幻覚薬だけでなく、 人々は、死の時、てんかんや統合失調症などの痛みを伴う状態、 感覚の剥奪の結果として、または眼球への単純な圧力の後でさえ、そのようなビジョンの出現について話しました。 このような幾何学的幻覚は非常に広範であるため、前世紀にかけて、科学者は脳の構造に関する基本的なことを教えてくれるのではないかと考え始めました。 そして、明らかにそうです。









コンピューターで作成されたフォーム定数。 上の2つの画像は、LSDの受信後に発生する漏斗とスパイラルを模倣しています。 左下はマリファナによって作成されたハニカムです。 右下はウェブです。



系統的な幾何学的幻覚は、1920年代にアメリカとドイツの心理学者ハインリッヒクルーバーによって最初に調査され始めました。 クルーバーは視覚認識に興味を持ち、やがてカルロスカスタネダに称賛されるサボテンであるペヨーテを実験しました 。そのサボテンの精神活性成分であるメスカリンは、多くの中央アメリカの部族のシャーマニズムの儀式で重要な役割を果たしました。 メスカリンは、鮮やかな幻覚を引き起こすことでよく知られています。 助手と一緒に実験室でペヨーテを使用して、クルーバーはメスカリンによって引き起こされる幻覚の幾何学的な形状の繰り返しに気づき、それらを形状定数と呼び、それらを形状定数と呼びます：トンネルと漏斗、螺旋、格子、ハニカムと三角形、includeの巣。



1970年代、数学者のジャックカウエンとバードエルメントラウトは、クルーバーの分類を使用して、幾何学的なパターンを見ていると信じるときに脳で何が起こるかを記述する理論を作成しました。 彼らの理論は、最近設立されたオックスフォード共同応用数学センターの数学および計算神経生物学の教授であるポール・ブレスロフを含む他の科学者によってさらに開発されました。

大脳皮質からのストリップはどこですか*

視覚野。 赤いマークのエリアV1



[ *ベトナムのおとぎ話「トラがストリップから来る場所」への参照/約 perev。 ]



人間と哺乳類の画像を処理する脳の視覚皮質の最初の領域は、V1として知られる領域です。 fMRI画像などの実験的証拠は、KluverパターンもほとんどがV1に由来するものであり、視覚系のどこかに後で現れないことを示唆しています。 脳の他の部分と同様に、V1は複雑でしわになり、折り畳まれた構造を持っていますが、視野で見たものをV1のニューロンの活動に変換する驚くほど簡単な方法があります。 「V1を展開していると想像してください」とBreslov氏は言います。 -さまざまな層のニューロンを備えた厚さ数ミリメートルの神経組織と考えることができます。 最初の近似では、皮質の深さ全体のニューロンは同じように動作するため、それらを平坦化すると、V1は2次元のシートと考えることができます。



視覚世界のオブジェクトまたはシーンは、2次元画像の形式で各目の網膜に投影されます。そのため、私たちが見ているものは、フラットシートと見なすこともできます。 このシートの各ポイントは、マップ上のポイントやフラットモデルV1上のポイントなど、2つの座標で指定できます。 幾何学的幻覚を構成する交互の明るい領域と暗い領域は、V1のニューロンの高活性と低活性の交互領域-ニューロンが非常に迅速に活性化される領域、およびその反対が当てはまる領域によって引き起こされます。



視覚パターンをニューロンの活動に変換するには、座標グリッドが必要です。これは、視野の各ポイントが平面モデルV1のポイントに接続されるルールです。 1970年代、Cowenを含む科学者は、網膜ニューロンとV1のニューロンとの相互作用の解剖学に関する知識に基づいて、このようなグリッドを作成しました。 視野の明るい部分または暗い部分ごとに、マッピングはV1の神経活動の高低の一部を定義します。



網膜と皮質のこのイメージングは​​、どのようにKluverの幾何学的パターンを変換しますか？ 中心から発するらせん、円、光線を引き起こす幻覚は、特定の角度で通過するV1のニューロンの活動ストリップに対応することがわかります。 ハニカムやセルなどの格子は、V1のアクティビティの六角形パターンに対応しています。 これ自体はそれほど興味深いものではないかもしれませんが、1つの先例があります：パターンの形成の他の例をモデリングするときに科学者が観察したストリップと六角形、例えば、液体の対流、またはもっと驚くべきことに、動物の皮膚上のスポットとストリップの外観です。 これらのパターンの形成を支配する数学はよく知られており、視覚野の機能をモデル化するメカニズムも提案しました。

視野から視覚野へ

極座標のあるフラットシートの形式の視野を想像してください：各ポイントPは2つの数値（r、θ）で定義されます。ここで、rは座標Oの原点までの距離、θはセグメントOPとx軸の間の角度です。 基準点は、視野の中心に対応しています。 V1もフラットシートとしてモデル化されていますが、今回はデカルト座標（x、y）を持っています。 視野と平面モデルV1の正確な座標表示は、この記事では複雑すぎますが、視野の中心から十分に離れた点（つまり、十分に大きいrの場合）は対数マップに似ています。

$$

$$x = \ ln {r} \\ y = \ theta$$

このマッピングは、視野内の半径rの円をx = ln rの直線の垂直セグメントに変換し、角度Oで座標Oの原点から来る光線をy =θの直線の水平セグメントに変換します

ヒョウはどこにいますか

動物の皮膚パターンを形成する最初のモデルは、現代のコンピューターサイエンスの父として知られ、コードを解読したBletchley Parkのハッカーとして知られているAlan Turingにまでさかのぼります。 チューリングは、動物の胚である細胞の均一なボールなどの空間的に均一なシステムが、ゼブラストライプなどの空間的に不均一だが静的なパターンを作成する方法に関心がありました。



チューリングは、これらのパターンが反応拡散プロセスの結果として現れることを示唆しました。 皮膚に2つの化学化合物が住んでいる動物の胚を想像してください。 それらの1つは、それ自体と別の化学物質の両方の生成を抑制する阻害剤です。 もう1つは、両方の物質の生成を引き起こす触媒です。



チューリングモデルの最初の時点で、2つの化学物質は理想的には互いにバランスをとっています-それらは平衡状態にあり、胚の異なる点での濃度は時間とともに変化しません。 何らかの理由で、ある時点で、触媒の濃度がわずかに増加したと想像してください。 このわずかな外乱により、システム全体が動き始めます。 触媒の局所濃度の増加は、より多くの触媒と抑制剤がそこで生成されることを意味します。 ただし、両方の化合物は胚の皮膚にも拡散し、他の場所での生成を阻害および触媒します。



たとえば、阻害剤が触媒よりも速く拡散すると、妨害点をすばやく囲み、その中の触媒の濃度が低下します。 その結果、高濃度の阻害剤に囲まれた高濃度の触媒のセクション、つまり、阻害剤の背景にある触媒のスポットが得られます。 2つの化合物の拡散速度に応じて、そのような斑点模様が胚の皮膚全体に現れ、最終的に安定する可能性があります。



Thuringは、2つの化合物間の競合を記述する微分方程式系を書き留めました-それらを時間内に発展させ、パターンが現れるかどうかを確認できます。 これらの方程式は、2つの化合物の拡散速度を記述するパラメーターに依存します。それらを正しく選択すると、システムは最終的に安定し、パラメーターを変更することで変更できる特定のパターンを形成します。 このリンクはJavaのアプレットを提供します。このアプレットでは、パラメーターをいじって結果のパターンを見ることができます。

動物パターンの方程式

簡単にするために、一次元の線の形の胚を想像してください。 胚の任意の時点tおよび任意の点xで、触媒（活性化剤）および阻害剤（阻害剤）の濃度は、関数A（x、t）およびI（x、t）によって決定されます。 これらは、次の規則に従って時間とともに変化します。

$$

$$\ frac {\ partial A} {\ partial t} = f（A、I）+ \ frac {\ partial ^ 2 A} {\ partial x ^ 2} \\ \ frac {\ partial I} {\ partial t } = g（A、I）+ d \ frac {\ partial ^ 2 I} {\ partial x ^ 2}$$

各式の右側の最初の項は、触媒と抑制剤の生産量を示しています。 どちらも反応速度に影響するため、これらは触媒と阻害剤の濃度の関数です。



各方程式の右にある2番目の項は2次導関数であり、触媒と阻害剤の勾配の変化率を表します。 拡散率を設定します。



2番目の式の右側にある追加の項dは拡散係数です。これは、阻害剤が触媒よりも速く拡散する量を示します。 チューリングは、抑制剤の速度の優位性がステイン生成の重要なパラメーターであることを示しています。

脳のパターン

脳内のニューロンの活動は反応拡散プロセスではありませんが、チューリングモデルと類似しています。 「ニューロンは、軸索と呼ばれるデータ出力チャネルを介して互いに信号を送信します」とBreslov氏は言います。 ニューロンはお互いの信号に応答しますが、これが反応です。 「信号はパターン化プロセスに比べて非常に高速で移動するため、瞬時の相互作用と間違われる可能性があります。」 したがって、ローカルプロセスである拡散の代わりに、離れた場所で即座に相互作用します。 触媒と阻害剤の役割は、2つの異なるクラスのニューロンによって果たされます。 「興奮性ニューロンがあります-他のニューロンがアクティブになる可能性を高めます-そして、この確率を低下させる抑制性ニューロンがあります」とブレスロフは言います。 「ニューロンの2つのクラス間の競合は、チューリングモデルの阻害剤触媒メカニズムに類似しています。」









数学モデルによって生成されたV1の神経活動の縞模様、六角形、長方形のパターン



チューリングプロセスのアナロジーに触発され、CowanとErmentraoutは、CowanとHugh Wilsonによって定式化された一連の方程式を使用して、V1の神経活動のモデルを作成しました。 方程式はチューリングよりも複雑であることが判明しましたが、同じゲームをプレイして、システムを時間とともに進化させ、神経活動のパターンが発生するかどうかを確認できます。 「特定の条件下で、たとえば皮質への薬物の効果を表すパラメータを増加させると、周期的パターンが増加することがわかります」とBreslov氏は言います。



Cowan and Ermentrautモデルは、幾何学的幻覚はV1の不安定性に起因すると想定しています。たとえば、薬物の存在などによって、バランスの取れた状態からニューラルネットワークが削除され、興奮と抑制のニューロン間の相互作用のプロセスが開始されます。 V1の神経活動の縞模様または六角形パターンの形で。 次に、視野で、このパターンをKluverによって記述された幾何学的構造の形で「観察」します。

脳の対称性

実際、ニューロンは明暗画像だけでなく応答するため、すべてがCowan and Ermentrautモデルほど単純ではありません。 厚さV1ごとに、ニューロンはハイパーコラムと呼ばれる列に並んでおり、各列は視野のごく一部にほぼ反応します。 しかし、ハイパーコラム内のすべてのニューロンが同じというわけではありません。明るい領域と暗い領域の認識に加えて、各ニューロンは、ローカル顔（画像の一部で明るい領域と暗い領域を分離する線）の特定の向きの認識に特化しています。 水平の顔を認識するものもあれば、垂直の顔を認識するものもあれば、45度の角度にある顔などもあります。 各ハイパーコラムには、すべての優先方向のニューロンの列が含まれているため、ハイパーコラムは、視野の特定の領域のすべての方向の面に応答できます。 視覚世界の輪郭、表面、テクスチャを認識することができるのは、ハイパーコラムと方向設定の構成です。









V1の接続：ハイパーコラム内のニューロンは、他のほとんどのニューロンと相互作用します。 しかし、列がそれらの向きの方向にあり、ニューロンが同じ向きの好みを持っている場合にのみ、他のハイパーコラムのニューロンと反応します。



近年、ニューロンが異なる方向選好で相互作用する方法について、非常に多くの解剖学的証拠が収集されています。 ジオカラム内では、ニューロンは好みに関係なく、他のほとんどのニューロンと相互作用します。 しかし、他のハイパーコラムのニューロンに関しては、視覚世界の連続した輪郭を認識する能力を保証するために、より選択的に作用し、同様の好みのニューロンとのみ相互作用します。



ブレスロフは、コーワン、数学者のマーティン・ゴルビツキーおよび他の科学者とともに、これらの新しい解剖学的証拠を考慮に入れるために、コーウェンとエルメントラウトの元のモデルを一般化しました。 彼らは再び平面をV1モデルの基礎として使用しました。各ハイパーコラムは平面上でポイント（x、y）で表され、各ポイント（x、y）はハイパーコラムに対応します。 方向θ（θは0とπの間の角度）に対して特定の優先度を持つニューロンは、角度θと一緒にハイパーコラムの位置（x、y）で示されます-つまり、3つの情報単位（x、y、θ）で示されます。したがって、 V1モデルは平面ではなく、各ポイントの方向の完全なセットを持つ平面です。









2つの要素（x、y、θ）と（s、t、θ）が相互作用する場合、同じ向きの他の要素は点（x + a、y + b）と（s + a、t + bで相互作用します）、および点（x、-y）および（s、-t）で方向-θをもつ要素。



解剖学的証拠に準拠するために、Breslovらは、点（x ₀ 、y ₀ 、θ0）で示されるニューロンが同じハイパーカラム（x ₀ 、y ₀ ）内の他のすべてのニューロンと相互作用することを示唆しました。 しかし、他のハイパーコラムからのニューロンと相互作用するのは、それらが優先方向θ0にある場合のみです：平面上で、角度θ0で点（x ₀ 、y ₀ ）を通る線を引く必要があります。 次に、ポイント（x ₀ 、y ₀ 、θ0）で示されるニューロンは、同じ線上にある、つまり同じ優先方位θ0を持つハイパーコラムのニューロンとのみ相互作用し_ます 。



この相互作用スキームは非常に対称的です。 たとえば、平面が任意の方向に任意の距離だけシフトしても変化しません：2つの要素（x ₀ 、y ₀ 、θ0）と（s ₀ 、t ₀ 、φ0）が相互作用し、シフトによって得られた要素が、 （x ₀ + a、y ₀ + b、θ0）および（s ₀ + a、t ₀ + b、φ0）いくつかのaおよびbについても、同じように相互作用します。 同じ原理により、スキームは平面の回転と反射に関して不変です。









数学モデルによって作成された格子幻覚。 それはマリファナを服用するときに起こる幻覚に非常に似ています。



Breslovと同僚は、システムを開発できるように、元のモデルの方程式の一般化バージョンを使用しました。 その結果、V1の解剖学的な観点からより正確であるだけでなく、元のモデルでは不可能だった視野内の幾何学的パターンを生成できるモデルが得られます。 これには、格子トンネル、ハニカム、クモの巣が含まれます。輪郭の向きは、明暗のコントラスト領域よりも特徴的です。



さらに、モデルはニューロン相互作用スキームの対称性に敏感です。数学者は、神経活動の周期的パターンの形成を生成するのはこれらの対称性であることを示しました。 したがって、このモデルでは、幻覚がハイパーコラムの配置と向きの好み、つまり視覚世界の顔、輪郭、表面、およびテクスチャの認識に役立つメカニズムを引き起こすと想定しています。 これらのメカニズムが安定性を失うとき、たとえば、薬物への暴露の結果として、視覚の幻覚に変わる活動のパターンが現れます。

幻覚を超えて

Breslovモデルは、幻覚を生成するメカニズムの本質に侵入することを可能にするだけでなく、より広い意味で脳の構造に関する手がかりを与えます。 実験的な神経生物学者である妻と一緒に、Breslovは、視覚画像がどのように処理されるかを理解するために、通常の視覚とハイパーコラム接続の輪郭を研究しました。 「人々は、V1のニューロンは単にローカルな顔を定義し、これらの顔を収集して輪郭や表面などのより複雑なものを認識するには、脳のより高いレベルに行く必要があると信じています。 しかし、妻との作業から、V1のこれらの構造により、視覚皮質が実際に早い段階で輪郭を認識し、よりグローバルな処理を実行できることが明らかです。 画像のより複雑な側面を処理し、脳の階層が高くなると考えられていました。 これで、皮質の上部と下部の間に活発なフィードバックがあることが明らかになりました。 「これは単純な階層プロセスではなく、信じられないほど複雑でアクティブなシステムであり、理解するには何年もかかります。」



この作業の実用的な用途にはコンピュータービジョンがあります。コンピューター科学者は、内部接続を備えた構造をすでに構築しており、Breslovと彼の同僚がコンピューターを使用して輪郭とテクスチャーの定義方法を教えるモデルを構築しました。 少し想像力を見せれば、いつかこの研究が障害を持つ人々の視力回復に役立つと想像できます。 「問題は、視覚野の一部を何らかの方法で刺激し、目を迂回し、これを使用して視覚障害者を方向付けることができるかどうかです」とBreslov氏は言います。 「皮質がどのように構成され、刺激にどのように反応するかを理解すれば、おそらく正しい刺激のための最良の方法を発明することが可能になるでしょう。」



そのような応用分野でさえ、脳とはまったく関連していないものもあります。 Breslovは、彼の仕事を通じて得られたアイデアを、オブジェクトが特定の方向にある空間に配置される他の状況、たとえば、人間や動物の組織からの線維芽細胞に適用しました。 彼は、特定の条件下で、これらの相互作用する細胞と分子が整列し、V1に現れるパターンと同様のパターンを生成できることを示しました。



人々は、時間の初めから幻覚を見ることについて話し、ほとんどすべての文化で-幻覚の画像はペトログリフや洞窟壁画にも見られます。 全世界のシャーマンの伝統では、霊の世界からのメッセージとして扱われます。 現代の神経科学者のほとんどはこれに精霊が関与することに同意しませんが、隠された世界、今回は脳の隠された世界のメッセンジャーとして、これらの幻覚はその能力を失っていません。