数学の巨人がabc仮説の壮大な証拠をめぐって衝突

2人の数学者は、6年間数学コミュニティを揺るがした証拠の中心に穴を見つけたと主張しています。

2018年9月にインターネットで公開されたレポートで 、ボン大学のPeter Scholzeとフランクフルトのゲーテ大学のJacob Styxは、Styxが京都大学の有名な天才数学者である望月真一 の 膨大 な 一連の 膨大な 作品の中で「深刻でかけがえのないギャップ」と呼ぶものを説明しました。 2012年にインターネットで公開されたMotizukiの作品は、 数論で最も広範囲に及ぶ問題の1つであるabc仮説を証明していると言われています。



望月の証明を説明しようとする多くの会議にもかかわらず、数論の専門家はその背後にあるアイデアに対処するのに苦労しました。 総容量500ページを超える彼の一連の作品は、あいまいなスタイルで書かれており、スタンフォード大学の数学者ブライアンコンラッドが述べたように、約500ページの以前の作品を参照すると、「無限の回帰感」が生まれます。



証明を研究した数学者のうち、ノッティンガム大学のIvan Fesenkoが電子メールで私に書いたように、12人から18人がその正当性を信じています。 しかし、昨年12月のブログでの証拠の議論でコンラッドが状況についてコメントしたように、「Motizukiの内輪」の数学者だけがその証拠を保証しました。 「エビデンスの完全性に対する自信について、非公式であっても述べたいと思う人はもういません。」



しかし、シカゴ大学のフランク・カレガリが12月に彼のブログで書いたように、「数学者は特定の誤りを指摘できないため、望月の証明に関する問題を報告することを嫌います。」



今、すべてが変更されました。 ScholzeとStyxは、報告書の中で、望月の4作品の3作目の「系譜3.12」の証拠の終わりに近い推論の線は根本的に間違っていると主張しています。 そして、この帰結は、abc仮説の彼の証明に必要です。



「私には、abc仮説の問題は未解決のままだと思われます」とScholze氏は述べました。 「そして誰でも彼を証明する機会があります。」





ピーター・ショルツェ



ScholzeとStyxの結論は、彼ら自身の作品の研究だけでなく、この証拠を議論するために京都大学で3月に望月と彼の同僚である星雄一郎が行った彼らの毎週の訪問にも基づいています。 ショルツは、この訪問が彼とスティクスが彼らの反対の底に着くのを大いに助けたと言います。 その結果、2人の科学者は「証拠がないという結論に達しました」と報告書に書いています。



しかし、この会議は当事者の不満に終わった。 望月は、ショルツとスティクスに彼の証明が正しいと納得させることができず、彼らはそれが間違っていると納得させることができなかった。 Motizukiはすでに彼のWebサイトにScholzeとStyxのレポートを投稿しており、彼に異議を唱えています。



その中で、モチtiキは、ショルツとスティクスの批判は彼の作品の「根本的な誤解」に起因すると考えています。 彼の理論における「否定的な態度」は「欠陥があるという意味ではない」と彼は書いている。



Motizukiの真剣な評判が数学者に彼の研究を仮説を証明する真剣な試みと見させたように、ScholzeとStyxの評判は数学者が彼らの言いたいことに注意を払うことを保証します。 Scholzeはわずか30歳ですが、すぐに彼の分野のトップに登りました。 8月には、数学で最高の賞であるFields Prizeを受賞しました。 スティクスは、アナベル幾何学の望月研究の専門家です。



「ピーターとジェイコブは非常に慎重で思慮深い数学者です」とコンラッドは言いました。 「懸念がある場合は、明確にする必要があります。」

つまずきブロック

コンラッドが「数論で最も顕著な仮説の1つ」と呼んだabc仮説は、一般的に表現できる最も単純な方程式の1つであるa + b = cから始まります。 3つの数値a、b、およびcは、共通の素因数を持たない正の整数です。 つまり、式6 + 9 = 17または5 + 16 = 21を検討できますが、6、9、および15は3で除算されるため、6 + 9 = 15ではありません。



この方程式を取ると、方程式に参加する3つの数値のいずれかが分割されるすべての素数を考えることができます。たとえば、方程式5 + 16 = 21の場合、これらの素数は2、3、5、および7になります。 、そしてそれは方程式に含まれる数字のどれよりもはるかに大きい。 逆に、方程式5 + 27 = 32では、素数2、3、および5が関与し、その積は30であり、これは方程式に含まれる数32未満です。 数27と32には非常に小さな単純な除数（3と2）があり、これらの数を取得するために単純に何度も繰り返されるため、積は非常に小さくなります。



他のabcトリプルでプレイを開始する場合、この2番目のオプションは非常にまれであることがわかります。 たとえば、項aとbが100未満である3044個の異なるトリプルのうち、素数の積がc未満であるのは7つだけです。 1980年代に定式化されたabc仮説は、そのようなトリプルの希少性に関する直感的なアイデアを形式化します。



例に戻る5 + 27 =32。32は30を超えていますが、それほど多くはありません。 これは30 ²未満、または30 ^1.5未満、または30 ^{1.02であり} 、32.11に相当します。 abc仮説では、1より大きい次数を選択した場合、有限数のトリプルabcのみが存在し、その場合、cは選択した次数までの素因数の積より大きくなります。



「abc仮説は乗算と除算に関する非常に単純な記述です」と、オックスフォード大学のMinyun Kim氏は述べています。 彼はこの声明で、「今まで見たことのない非常に基本的な数値システムの構造を明らかにしているような気がします」と述べました。



方程式a + b = cの単純さは、他のさまざまな問題がその影響下にあることを意味します。 たとえば、 フェルマーの偉大な定理は x ⁿ + y ⁿ = z ⁿの形式の方程式と、8と9が唯一の連続する2つの完全な次数であるカタロニア仮説に関連付けられています。 transl。]（8 = 2 ³および9 = 3 ² ）から、x ^m + 1 = y ^nの形式の方程式について話します。 （特定の形式の）abc仮説は、これらの2つの定理に新しい証明を与え、それに関連する未解決の問題の山全体を解決します。





ジェイコブ・スティクス



この仮説は「既知と未知の境界線上に常にあるようだ」とコロンビア大学のドリアン・ゴールドフェルドは書いている 。



仮説を証明した結果の大きさは、数論の専門家にそれを証明するのは非常に難しいだろうと確信させました。 したがって、2012年にMotizukiが証拠を提示したという情報が広まったとき、多くの数学者は彼の作品に突入することを喜んでいたが、なじみのない言語と異常な情報の提示のために停止しただけだった。 定義は複数のページにまたがり、その後に同じ長文の定理が続き、それらの証明は「定義からすぐに続く」などのフレーズで説明されました。



「専門家（非公式）による望月の仕事の分析について聞くたびに、彼のレビューはとてつもなく身近なものになります：些細なことの広い分野、それに続く不当な結論の巨大な山」 、12月に彼のブログに書いた。



ショルツェはこの作品の最初の読者の一人でした。 彼は数学を素早く吸収し、深く掘り下げることができることで知られているため、多くの理論家よりもさらに進歩し、4つの主要な作品の登場後すぐに「ラフリーディング」と呼ばれるものを終えました。 ショルツは、短い証明のある長い定理に恥ずかしかった。 彼は後に2つの中間作品で「ほとんど起きていない」と書いた。



その後、Scholzeは3番目の作品でCorollary 3.12に到達しました。 数学者は通常、「結果」という言葉を使用して、以前の二次的な、より重要な定理を示します。 しかし、望月の系譜3.12の場合、数学者はこれがabc仮説を証明するための主要な定理であることに同意します。 それなしでは、「証拠はない」とカレガリは書いた 。 「これは重要なステップです。」



この帰納法は、2つの中間作業における唯一の定理であり、その証明には数行以上かかる-9ページに及ぶ。 それらを通り抜けて、ショルツェはもはや論理に従うことができなくなった。



当時彼はわずか24歳であり、証拠が間違っていると考えていました。 しかし、彼は作品について直接尋ねられない限り、実質的に作品の議論には参加しませんでした。 結局のところ、彼は、他の数学者がこれらの作品で彼が見逃した重要なアイデアを見つける可能性が高いと考えました。 または、おそらく最終的に彼と同じ結論に達するでしょう。 彼は、数学コミュニティが何らかの形でそれを理解できると信じていました。

エッシャーの階段

一方、他の数学者は、通行不能な仕事に苦労していました。 2015年後半にオックスフォード大学で予定されている、望月の仕事に捧げられた会議に多くの人が大きな期待を持っていました。 しかし、望月の数人の同僚がこの証明の重要なアイデアを説明しようとすると、会議後まもなくコンラッドが報告書に書いたように、「霧の雲」が聴衆に降りかかった。 「この仕事を理解した人々は、算術幾何学の専門家にその核心部分をよりうまく説明する必要がありました」と彼は書いた 。



ポスト後数日以内に、コンラッドは3人の数学者（そのうちの1人はショルツ）から予期せぬ手紙を受け取り、同じことを説明しました。彼らはある点に達するまで作品を読んで理解できました。 「3つはそれぞれ証拠3.12で止められました」とコンラッドは書いています。



キムは、京都大学で働いている別の数学者、越川照久氏から、系譜3.12についての同様のレビューを聞いた。 Styxもこの場所でつまずきました。 徐々に、数論の多くの専門家は、この結果がつまずきのブロックになることを学びましたが、彼の証明に穴があるのか​​、または望月が彼の推論をよりよく説明する必要があるのか​​は明らかではありませんでした。



そして2017年、多くの理論家の恐怖に、望月の作品が出版に受け入れられたという噂が流れました。 望月自身は、この雑誌「 数理科学研究所の出版物 」の編集長でした。 カレガリは、この状況を「 見栄えの悪い 」と呼びました（ただし、このような状況の編集者は通常、決定から除外されます）。 しかし、すべての数学者のほとんどは、作業がまだ読めないことを心配していました。





望月真一が2015年のカンファレンスでビデオ会議で彼を証明することに専念



シカゴ大学のマシュー・エマートンは、「証拠を理解していると主張する単一の専門家が、混乱し続けている多くの専門家のいずれかに説明することはできなかった」と書いた 。



カレガリはこの状況を「 完全な失敗 」と説明する記事を書き 、著名な理論家が彼の見解を取り上げました。 「私たちは、abcが京都の定理と見なされ、他のすべての場所で仮説と見なされるとんでもない状況にあります」とカレガリは書いています。



PRIMSマガジンはすぐにプレスのリクエストに応え、その作品は出版に応じられなかったと説明する声明を出しました。 しかし、この前でさえ、ショルツは多くの理論家との個人的な会話で長い間言ってきたことを公に述べることにした。 彼は、証拠に関するこの議論はすべて「あまりにも社交的」になったと判断した。 「誰もがこの証拠はそうではないと言ったが、誰も言っていない：「誰も証拠を理解していない場所がある」



記録に関するコメントの中で、カレガリショルツェは、「図1の後の論理にまったく従うことができなかった」と書いています。 3.8帰納法3.12の証明。 彼は、数学者は「証明を理解すると主張しているが、そこに何かを追加する必要があることを認めたくない」と付け加えた。



フィールズ賞の受賞者である京都大学の望月の同僚である森茂文は、望月との面談を手配する提案とともにショルツに手紙を書いた。 ショルツはスティクスと連絡を取り、3月にカップルは京都に行き、つまずきのブロックについて望月と星と証言しました。



望月のabc仮説へのアプローチは、2つの変数xとyを持つ特殊な3次方程式である楕円曲線の領域に問題を取り込んでいます。 望月以前でも知られているこの遷移は単純です-各abc方程式をグラフがポイントa、bおよび原点でx軸と交差する楕円曲線に接続する必要があります-ただし、数学者は数論と組み合わせた豊富な構造の楕円曲線を使用できますジオメトリ、整数番号、その他の領域。 （同じ箇所は、 アンドリュー・ワイレスによる1994年のフェルマーの大定理の証明の中心にあります。）



その結果、abc仮説は、楕円曲線に関連付けられた2つの量の間の不等式を証明することになります。 Motizukiの研究は、この不平等を別の形式に変換します。これは、Styxが言ったように、2セットのボリュームの比較として表すことができます。 系譜3.12で、彼はこの不等式の証明を提供します。これは、もし真実なら、abc仮説を証明します。



証明では、ScholzeとStyxが説明しているように、2つのセットのボリュームは実数の2つの異なるコピーの内側にあると見なされ、実数の6つの異なるコピーの円の一部として提示され、マークアップは各コピーがどのように関連するかを説明するために与えられます円の中の彼の隣人 セットのボリューム間の相互関係を追跡するには、Styxが言ったように、1つのコピーのボリューム測定値が他のコピーの測定値とどのように関連しているかを理解する必要があります。



「2つのオブジェクトの不等式があるが、測定ルーラーが数回縮小する場合、これは制御不能である場合、不等式の意味を制御できなくなります」とStyx氏は言います。



ショルツとスティクスは、すべてが崩壊するのはこの重要な証拠の瞬間だと信じています。 望月マーキングでは、測定線は論理的に互換性があります。 しかし、あなたが円を回るとき、スティクスは言った、あなたがあなたが反対に行くならばそうするであろうもののようではない定規を持っている。 彼は、この状況は有名なエッシャーの閉じた階段に似ており、そこで登ることができ、同じ場所に自分自身を見つけることができると言いました[より正確には、これはエッシャーが有名な絵 /コメントを作成したペンローズの階段です。 翻訳]。



ScholzeとStyxは、体積測定のこの非互換性は、結果の不等式で誤った値が比較されることを意味すると結論付けました。 そして、ボリュームが同等になるようにすべてを修正すると、不平等は無意味になります、と彼らは言います。



カリフォルニア大学サンディエゴ校の数学者、キーラン・ケダラヤはモチcholキの仕事を詳細に研究したと、ショールズとスティクスは「証拠が機能しない特定の理由を発見した」と述べた。 「だから、もし証明が真実なら、それは他の何かと、明確ではない何かと一緒に働かなければならない」とショルツとスティクスが説明するものより。



望月氏は、これはまさにそれほど明白ではない何かの存在だと主張しています。 彼は、ScholzeとStyxが間違いを犯し、異なると見なされるべき数学的な対象をarbitrarily意的に同一視していると書いています。 彼は同僚にショルツとスティクスの異議の本質について語ったとき、彼の記述は「このような信じられないほどの誤解がまったく起こりうるという、非常に一般的な驚きと不信に会った（そしてその後はafter笑された）」と書いている。



今、数学者は、ショルツェとスティクスの議論と望月の答えを消化する必要があります。 ショルツは、望月の元の作品の状況とは異なり、このプロセスが長く続くことはないことを望んでいます。異論のスティックスとの性質はそれほど技術的に複雑ではないからです。 他の理論家は、「問題なく望月との議論の流れを辿ることができるはずです」と彼は言った。



望月はすべて完全に間違っているようです。 彼の観点からは、ショルツとスティクスの批判は「議論された数学を適切に理解する時間の欠如」に由来し、それは「深い不快感、または馴染みのある数学的なオブジェクトについての新しい考え方に不慣れ」に起因する可能性があります。



Motizukiの証拠に懐疑的でさえある数学者は、Scholze and Styxの報告書がこの物語を終わらせると決定するかもしれない、とキムは言った。 他の人は自分で報告書を勉強したいと思うでしょう、そして、これはすでに始まっているとKimは信じています。 「自分で何かを決める前に、自分ですべてをチェックする必要を避けることができるとは思わない」と彼はメールで書いた。



過去数年にわたって、多くの数論の専門家が望月の研究を理解しようとするのを止めました。 しかし、望月または彼の信者が、ショルツとスティクスの写真が単純化されている理由について、詳細かつ一貫した説明を提供できる場合（そうであれば）、「この問題に関連する疲労を取り除き、人々に新しい試みをするように促すことができます」 -ケドラヤは言った。



一方で、ショルツは次のように述べています。「望月が重大な変更を行い、重要なステップをはるかによく説明するまで、これは証拠とはみなせない」 彼自身は、彼の言葉で、「abc仮説の証拠に私たちを近づけることができる重要なアイデアを見ていない」。



討議の結果に関係なく、望月の特定の証拠の場所を明確に指定することは、すべてを非常に明確にするべきであるとキムは述べた。 「ジェイコブとピーターがしたことは、コミュニティにとって非常に重要なサービスです」と彼は言いました。 「何が起こっても、これらのレポートはある種の進歩になると確信しています。」