リチャード・ハミング：第23章数学

こんにちは、Habr。 「You and Your Work」という素晴らしい記事（+219、2194のブックマーク、345kの読み取り）を覚えていますか？



そのため、ハミング（はい、はい、自己チェックと自己修正のハミングコード ）には、彼の講義に基づいて書かれた本があります。 男性がビジネスを話しているので、それを翻訳しましょう。



この本はITだけでなく、信じられないほどクールな人の思考スタイルに関する本です。 「これは単なる肯定的な思考の責任ではありません。 素晴らしい仕事をする可能性を高める条件を説明しています。」



すでに5つの章を翻訳しています。

第23章数学

（翻訳のおかげで、ジェリーOK、前の章で私の電話に答えてくれました。）翻訳を手伝いたい人-個人的なメッセージを書いたり、メールでmagisterludi2016@yandex.ru



人生では、私たちの焦点は主に前景のものにあり、私たちの周りの世界は与えられたものとして認識されています。 空気、水、そして言語や数学など、他の多くのものを当然のことと考えています。 会社で長時間働くと、その構造、方法、習慣も当然のものとみなされます。



以前は注目を集めていなかったこのようななじみのあることをよく見ることは価値があります。これは、こうしたアクションが原因で大きな前進が頻繁に発生するためで、めったにアクションなしでは行われないためです。 この理由から、数学を検討しますが、言語の同様の検査も実り多いものです。 私たちは数学についても、それが何であるかを議論することなく使用しています。 私たちのほとんどはこれについて本当に考えたことはありません。ただ数学をしましたが、それが科学と工学で主要な役割を果たしているのです。



おそらく、数学者自身によって与えられた「お気に入り」の定義は次のとおりです。

「数学は数学者が行うことであり、数学者は数学を行う者です。」

このような定義はジョークを引き起こすだけでなく、科学者自身が数学を適切に定義できるとは信じていないという正直な認識でもあります。 著名な著書「What is Mathematics」があり、著者はあらゆる側面から数学を検討していますが、定義しようとはしていません。



カクテルパーティーに参加したベルラボの数学部門の長は、若い女の子に3回言いました。

「数学は純粋な思考に他なりません。」

対談者が同意したとは思わないが、結局彼女は主題を変えた。 感動しました。 また言うことができます：

「数学は純粋な思考の言語に他なりません。」

これは、数学が完璧であることを意味するものではありません-まったくではありません-しかし、それ以上のものはないようです。 あなたがする必要があるのは、法律や課税に関係する人々を見て、彼らが自然言語を使って自分の考えを表現する方法を見て、それがいかに純粋な思考に合わないかを見ることだけです。 それは何ですか、単純な文「私はうそをつく」はすでに矛盾しています！



世界には多くの自然言語がありますが、数学の言語は1つだけです。 実際、ローマ数字「VII」、アラビア語「7」（もちろん、アラビア語ではなくラテン語）、バイナリ表記「111」がありますが、それらはすべて異なる表現で同じ考えを意味します。 7は7であり、どのエントリでもプライムです。 数字の7をその表記と混同しないでください。



地球外の接触の可能性について真剣に考えているほとんどの人は、遠い星の文明に触れると、その住民は本質的に私たちと同じ数学を持つと言う。 ここでは、「本質的に同じ」という言葉が必要です。たとえば、ユークリッドジオメトリには方向を含めることができるため、2つの三角形が合同または反合同になる理由です（図を参照）。 同様に、PtolemyはAlmagestで天文学について話し、「sin x」という表記を使用しましたが、「2 * sin（x / 2）」（図を参照）を使用します。本質的には、考え方は変わりません。 それらとの接続の仮定から、彼らは何らかの形でマクスウェルの方程式を知っているレベルに発展するはずであることに注意してください。 ただし、一部の哲学者は、別の文明のコミュニケーションシステムが少なくとも私たちのものと多少似ていることを疑うことさえあることに注意する必要があります。 しかし、常に雲の中をさまよう人は何でも想像できますが、これはほとんど真実に近いことはほとんどありません（この例は、宇宙船がthe死して人々が窒息する数メートルの塵の層が月の表面に存在する可能性についての議論です）。



長年にわたって、5つの主要な学校が開発されてきました。これらは独自の方法で数学を定義し、その定義は完全ではありませんでした。



これらの学校の中で最も古いのはプラトニックです。 おそらく、ほとんどの数学者がそれについて考えていないときに固執するのは彼女の意見でしょう。 プラトン（紀元前427-347年）は、椅子のアイデアはどの椅子よりも現実的であると主張しました。 素材の椅子はすり減り、剥がれ、崩壊し、迷子になります。 完璧な椅子は不変で永遠です-彼はそう言いました。 したがって、彼は、アイデアの世界は物質的な世界よりも現実的だと主張した。 数学の定理とその他の要素は、アイデアの世界に属します（プラトンが主張したように）。 上記の番号7に加えて、それらは物質世界では発生しません。 抽象番号7を見たことも、聞いたことも、触れたことも、試したこともありません。はい、7頭の馬、7頭の牛、7脚の椅子を見ました。



プラトンが使用する隠phorは、壁に映る影を通してのみ現実を見るというものでした。 本当の現実は見ることができず、その影だけが私たちの感覚に届きます。 プラトンによると、私たちの心はこの限界を克服し、真のアイデアに到達することです。



そのため、プラトニストの数学者は、結果を「作成」するのではなく、「発見した」と言う。 私がプラトニストである場合、エラーを修正するコードを「発見」し、それらを「作成」しませんでした。 結果は常に利用可能であり、明らかになると予想されていました。



プラトニズムの問題は、あまりにも信じられないことであり、数学の発展を考慮せずに数学の発展を説明できないことです。 数学の基本的な考え方と定義は何世紀にもわたって徐々に変化しましたが、これは変わらないプラトニックな考え方の考え方と一致していません。 オイラー（1703-1783）の連続性の概念は、教えられたものとはまったく異なります。 もちろん、その変化は、私たちが時間の経過とともにより詳細にアイデアを「識別」することに成功したという事実に起因していると言えます。 しかし、平行線の仮定の干渉によってのみ生じた非ユークリッド幾何学を思い出して、プラトン世界に存在しなければならない他の多くの潜在的な幾何学について考えてみましょう。 考えられるすべての数学的アイデアと、それらから導き出されるすべての結果は、永遠にこの世界に存在しなければなりません！ それらはすべてビッグバン以来存在していたはずです！



数学者の2番目の基本的な学校は形式主義者です。 彼らにとって、数学は抽象的な文字列のセットで始まる正式なゲームであり、代数で起こることと同様に文字列で許可された変換を実行することから成ります。 形式主義者にとって、数学は記号の解釈が許可されていない純粋に機械的なゲームであり、純粋に人為的なミスを犯すことはできません。 形式主義の創設者はデビッドヒルバートです。 数学へのこのアプローチは、人工知能の分野で働く人々の間で人気があります。なぜなら、そのような操作は基本的に機械が行うことだからです。







図 1：数学の理解における可能な違い







図 2：任意の三角形の二等辺証明



古典的なユークリッド幾何学を使用した三角形の二等辺であるという中世の終わりからの有名な証拠があります（初めて発見された場所は知りませんでしたが）。



三角形のABCから始めましょう（図を参照）。 点Bから二等分線を描き、点Dから高さを描きます（AC中点）。 これらの線は点Eで交差します。それからABとBCへの垂線を下げます。 上の2つの三角形は2つの角とそれらの間の共通辺で等しく、下の2つは等しい脚で等しくなります。 その後、残りの三角形も2つの側面とそれらの間の角度が等しくなります。 このすべてから、AB = BCであり、元の三角形は二等辺です。 明らかに、定理の証明は誤っていますが、古典的なユークリッド幾何学のスタイルに対応しているため、最初は何らかのエラーがあります。 メタ数学的な推論の助けを借りて、数学的な計算が誤った結論に導いたという結論に達したことに注意してください！



誤った結論（および他の考えられる誤り）の原因を示すために、ヒルベルトは、ユークリッドが彼の著作で説明しなかったこと-2点（英語間の距離）と交差点の位置の概念を研究しました。 これにより、ヒルベルトは、図に示すように、示された線の交点が三角形の内側ではなく、三角形の外側にあることを証明できました。 その過程で、彼はユークリッドが説明したよりも多くの仮説を導入しました！



私が数学の大学院生になったのは、それが私の注目を集めたときでした。 このトピックについて少し読んで、よく考えました。 私の知る限り、ユークリッドには約467の定理がありますが、ヒルベルトが彼の仮定を追加した後、それらのいずれも偽になりませんでした。 しかし、新しい仮定を必要とするすべての定理は、ユークリッドによって厳密に証明することはできませんでした！ このような定理に基づいてそれらに依存した各定理も、ユークリッドによって証明されていません。 しかし、拡張システムでの結果は、ユークリッドの予想と同じままでした。 ユークリッドが、彼の定理の重要な部分を証明しなかったにもかかわらず、どうして間違えられなかったのでしょうか？ 頑張って ほとんどない！



ヒルベルトがユークリッドの定理が「正しい」ことを「知って」おり、定理と一致するように追加の仮定を選択したという事実のために、単一の定理が反論されないことがすぐに明らかになりました。 しかし、その後、ユークリッドが同じ立場にあることに気付きました。彼はピタゴラスの定理を他の多くの人と同様に真実であると考え、最終的に彼に知られている結果を与える仮説の体系を見つけなければなりませんでした。 ユークリッドは、通常述べられているように、仮定を定めず、それらから結論を引き出した。 彼は「既知の」結果から必要な仮定への道を開いた！



ヒルベルトの声明の1つを言い換えると、 「厳しくなると意味が消えます。 」



フォーマル主義者は、数学には「意味」がないと主張しているが、そうであれば、なぜ社会は数学と数学者を支援すべきなのか？ なぜ数学がそんなに便利だったのですか 数学がどこでも意味をなさない場合、その仮定と定義が時間とともに変化するのはなぜですか？ 形式主義者は、数学がチェス盤上で駒を動かすようなアイドルゲーム以上のものである理由を説明することはできません。



論理主義の学校は形式主義と密接に関連しており、その支持者はすべての数学を論理のセクションに還元しようとしました。 彼らは、他の多くの人と同じように、彼らの仕事を果たすことができませんでした-そして彼らにとっては、彼らは論理学者であるため、他の人よりも苦痛です！ 3巻のPrincipia MathematicaであるRussellとWhiteheadによる有名な試みは、彼らの研究のかなりの部分が有効であるという事実にもかかわらず、一般に放棄されました。 ラッセルの有名な引用は次のとおりです。

「純粋な数学は完全に仮定から成り立っています。つまり、ある文が真である場合、特定の場合には他の文も真になるということです。 最初のステートメントが実際に満たされているかどうか、および2番目のステートメントがどのような状況に当てはまるかを議論しないことが非常に重要です。

ここでは、ロジスティックアプローチとフォーマリストアプローチの混合物とそれらの見解の純度を見ることができます。 ロジスティック学者は、彼らのアプローチが単なるロジックの練習ではないことを人々に納得させることができませんでした。 実際、私は断言します。数学の基礎と考えられるものは、実際にはアドオンにすぎません。 私が長年引用してきた簡単な例：あなたが私のオフィスに来て、コーシーの定理が偽である、つまり通常の前提から成り立たないことを証明するなら、私は間違いなく興味がありますが、最終的には新しい前提で戻ってくるように頼みます-私はコーシーの定理が「真実」であることを「知っている」。 したがって、少なくとも私にとっては、数学は前提から例外的に従わない。 多くの場合、「真」と見なされる定理からの一連の仮定が続きます。 私は、他の多くの人と同様に、形式主義者と論理主義者を団結させたいと思っています。



確かに、形式主義者が想像するように、数学を仮定の定式化とそれらからの厳密な演toに還元することはできない。 実際、数学のほとんどすべての大学院生は、初期の偉大な数学者の証明を修正しなければならないと感じ、著者が実際に変更された定理を証明しなかったにもかかわらず、どういうわけか定理はあまり変わらなかった。 （これはめったに言及されませんが）数学の定義は原則として時間の経過とともに徐々に変化するため、以前の証明は定理の同じ条項に適用できなくなります-私たちはその意味をわずかに異なる方法で理解するようになりました。



4番目の学校は直観主義者であり、厳格さを無視して「厳格感覚」のジレンマを明確に解決します。 絶対的な厳密さが必要な場合は、厳しさを増す標準があるため、「証明された」定理は実際には証明されていません。 むしろ、次世代は結果を微調整することを余儀なくされます。つまり、何も証明されません！



あなたが知りたいなら、私は部分的に直観主義者です。 コーシーの定理の上記の例は、私の立場を示しています。数学は、私が望むことをするべきです。 「私たちはマスターではなく、数学の僕である」と言ったエルミート（1822-1901）とは異なり、私は（時々）私たちがマスターだと信じがちです。 数学の仮定は、モーセがシナイ山から持ってきたタブレットには載っていませんでした。 それらは人々によって作成されたものなので、私たちが好きなように変更できます。 私の見解もエルミートの見解も絶対に真実ではなく、真実はその中間のどこかにあります。私たちは数学の達人であり、使用人でもあります。



言語の性質により、イエス/ノーの答えが得られます。何かがあるか、何かがないか、あなたは証拠を持っているかいないかのどちらかです。 しかし、厳格さの基準が変化していることを認識すると、一部の証拠が他の証拠よりも説得力があることを認めざるを得ません。 確率に関して0から1のスケールでエビデンスを評価する場合、それらはすべてこの間隔内にあり、おそらく1-確実性の上限に達することはありません。



最後の基本的な学校は構成主義です。 彼の信者は、あなたが話しているすべてを構築するための方法を提供しなければならないと主張しています。 彼らにとって、形式主義者のアプローチは受け入れられません。彼らは、仮定のセットが矛盾していると認識されない場合、彼らが定義するオブジェクトが「存在する」と信じています。 構成主義的アプローチは多くの問題を引き起こす可能性があります。 他の4つの学校はいずれも数学の厳密な基礎を提供していませんが、構成主義者の見解はあまりにも厳格です。 コンピュータ科学者は、人工知能を扱う人を除いて、彼らがそれについてまったく考えている場合、通常彼ら自身を構成主義者と見なします。



実際、数値解析の専門家の中には、実数（実数）のシステムがコンピューターのビットシーケンスである、つまり、実数であると考えている人もいます。 したがって、「虚数」の数値は本当に虚数であると主張されています。 しかし、ほとんどのユーザーにとって、数学は理解する必要のない単なるツールです。



数学的定理の正しさを証明するのと同じ方法で、「プログラムの正しさを証明する」べきだと信じるソフトウェアを扱う人々のグループがいます。 彼らは2つの間違いを犯します：

1. 実際、定理を「証明」していません！
2. 多くの重要なプログラミング問題は、証明できるほど正確に定式化することはできず、新しいプログラムが問題を特定します！

これは、プログラムの正しさを証明するアプローチに価値のあるものが何もないことを意味するものではなく、頻繁に起こるように、彼らの主張は大きく膨らんでいます。 毎日数学をしているほとんどの科学者は、自分自身をプラトニックな学校だと考えています。 しかし、彼らが彼らの仕事が何であるかという質問に彼らに答えさせるならば、彼らは通常、数学は無意味な記号を備えたアイドルゲームであると主張して、形式主義に避難します。 彼らはラッセルの引用を信じるふりをしています。



数学のコースからわかるように、哲学レベルで見た場合、実際に何をするかはほとんど言及されません。 教授は数学の詳細に忙しすぎて、彼らが何をしているのかを議論することすらできません。



ただし、ご存知のように、数学はこの世界で非常に有用であり、私たちはそれを考えずに使用しています。 これを詳しく見てみましょう。 古代ギリシャ人は数学が真実であると信じていました。 それについては事実上疑いがありませんでした。 1 + 1 = 2よりも本当のことは何でしょうか？ ただし、エラー修正コードについて説明したときに、1 + 1 = 0と言ったことを思い出してください。 同じ記号を使用するこれらの異なる方法（必要に応じて、これら2つのステートメントの単位は同じではないと主張できます）は、論理を矛盾させます。おそらく、初めて、数学者は最初の非ユークリッド幾何学が現れたときに他の数学システムが存在するかもしれないという事実に直面した。彼らは「ポイント」、「ライン」、「プレーン」と同じ言葉を使用しますが、明らかに、それらの意味は異なります。これは驚くことではありません。力学で力を研究したとき、ベクトルにスカラー加算が適用できないことに気付いたはずです。そして、物理学における「仕事」という言葉は、私たち

が日常生活で通常意味するのと同じことを意味するものではありません。



使用することを選択する数学は、スコープから来ます。それは普遍的ではなく、「真実」です。次に、さまざまな問題に対して適切な数学をどのように選択する必要がありますか？数学記号の意味は何ですか？この問題を注意深く調べると、シンボルの「意味」は、それがどのように使用されているか、そしてユークリッド（およびあなた）が考えたように、ポイント、ライン、プレーンを定義する定義から生じることが示唆されます。現在、彼の定義はあいまいであり、何も明確に定義していないことを理解しています。意味はキャラクター間の関係から来ます。これはインタプリタ言語に似ています。第4章で説明した概要は、命令の意味が、名前ではなく、文字の処理方法で呼び出すサブルーチンに含まれています。文字自体はマシン内の単なるビット文字列であり、知らずにそれらがどのように処理されるかは、それ自体には意味がありません。



アリス・イン・ワンダーランドとアリス・スルー・ザ・ルッキング・グラスを論理学に特化した数学者ドジソン（ルイス・キャロル）と、これら2冊の本は、意味が使用によってどのように定義されるかを明確に示しています。そのため、ハンプティダンプティは次のように述べました。アリスは、言葉が文脈に関係なく意味を成し、勝手に使用できないと信じていました。



この時点で、シンボルに割り当てられた意味があることは明らかです。私たちはすべて、同義語が同じオブジェクトを指すさまざまな自然言語に精通しています。プラトンに戻る;椅子は何ですか？常に同じ考えですか、それともコンテキストに依存しますか？ピクニックでは、玉石は椅子かもしれませんが、誰かが玉石を寝室の椅子として使うとは思わないでしょう。また、辞書は循環的であることも理解しています。最初の単語は他の単語で定義する必要があります。単語を使用しない初期定義はありません。



この結果、あなたは疑問に思うかもしれません：子供はどのように言語を学ぶのですか？第一言語を知って第二言語を学ぶことは一つのことですが、第一言語を学ぶことは別のことです。意味がどこから生じるべきかが明確ではないからです。少しだけ名詞や動詞のジェスチャーを使用できますが、多くの単語はそれほど明確ではありません。馬を指して「馬」と言うとき、この特定の馬、すべての馬、四足動物、哺乳類、生物の名前を意味していますか？それとも、この馬の色についてですか？特定の状況でどのような意味を意味するのか、他の人はどのように知る必要がありますか？実際、子供はどのようにして別の馬とより抽象的なクラスの馬を区別することを学ぶのですか？



どうやら、先ほど言ったように、言葉を使うと意味が生まれます。そうでなければ、定義されていません。数年前、有名な辞書の著者は、単語の使用を厳密に規定できないことを認めました。彼らは言葉がどのように使用されているかだけを言うことができます。辞書の作者は「規範的」ではなく「説明的」でなければなりませんでした。各単語に絶対的で正しい意味がないという事実は多くの人を怒らせました。たとえば、本のコラムニストであるニューヨーカーと探偵小説のヒーローであるネロ・ウルフは、新しい辞書に激怒しました。数学に固有の「真実」全体がmi気楼であることがわかりました。これらはすべてarbitrary意的な人間の合意です。



しかし今、私たちは数学の不合理な高効率に直面しています。数学のシンボルには「真実」も「意味」もないということを述べましたが、数学が使用されており、私たちの社会、特に科学と工学においてますます中心的な部分であるという単純な事実を説明することは難しいと思います。



数学の絶対的で明確な真実から、記号に意味が見えない状態になりましたが、それでもそれを使用しています！問題を数学的形式に変換し、結果を解釈するとき、シンボルで意味があります。したがって、多くの異なる状況で同じ式を使用できます。数学は、純粋な思考の一種の普遍的な精神ツールです。



アインシュタインが説明する生命の基本的なパラドックスは、世界が論理的に構築されているように見えることです。これが最も驚くべきことです-世界は論理的および数学的に知ることができます。ただし、最近の基礎物理学の研究ではこれが疑わしいことを警告しなければなりません。これについては次の章で説明します。



アインシュタインの発言が真であると仮定すると、数学を適用するタスクは、形式的な数学的構造と「現実」の対応する部分との間の類似性の認識に限定されます。たとえば、エラー修正コードの場合、コード文字を選択する必要がありました。ベース文字として0と1を使用しなければならなかった場合（エラーは、誤った位置を示す1つの1を持つ0の文字列でした）、ベースとして1 + 1 = 0を選択した場合にのみ、行を「スタック」できます算術演算：同じ位置での2つの連続したエラー-エラーがない場合と同じです。問題の部分と数学的構造の類似点を見たはずでしたが、最初はほとんど理解できませんでした。



したがって、数学の有効性の一部は、類推の識別に由来し、類推が広大かつ正確である場合に限り、数学を使用して、机の記号を使用して現実の世界で何が起こるかを予測できます。



あなたは、数学モデルと現実の部分の間の多くのそのような対応を見つけるように訓練されています。しかし、私はそれらがすべての将来の発展をカバーすることを疑います。むしろ、自分自身をよりよく理解することを含め、ますます必要になったときに、他の多くの数学モデルが必要になります。



私は、過去に数学の単純な応用、つまり数学的構造とモデル化された実体との密接な対応がある状況を発見したと（まったく証拠なしで）推測します。将来的には、それらの間の最悪の類推に満足する必要があります。私の意見では、時間の経過とともに、パーツ間の「相乗効果」により、全体がパーツの合計よりも大きくなる数学モデルが必要になります。あなたは、あなたがいる組織が多くの個人よりも多いという事実に精通しています-より多くの、制御の手段、習慣、習慣、歴史、そして特定の人々と不可分なものがはるかにあります。しかし、この章の冒頭で述べたように、数学が純粋な思考であれば、将来同様の問題を解決するための助けになるはずです。言い換えれば、特にシンボルを使用している場合、あなたがどんなに純粋だと思っても、それは数学です！



さらに挑発的なメモで終わりたいと思います。古代ギリシア人から始まる多くの人々は、あたかもそれが真実であるかのように振る舞いますが、すべてのものは、それが何であれ言葉で表現できることは明らかではありません。あなたは、神、真実、美、正義など、あなたが望むものを議論することができます。しかし、音楽コンサートを想像すると、聴衆に伝えられるものを言葉で表現できないことが明らかになります-可能であれば、作曲家とミュージシャンはそれらを使用できます。音楽批評とは異なり、音楽によって伝えられるものを（明らかに）言葉に埋め込むことはできません。同じですが、程度は低いですが、塗装にも当てはまります。詩は興味深い場合です。言葉はその中に使用されますが、本当の意味はそこにありません！



同様に、古代ギリシャの3つの柱である真実、美、正義は、言葉で表現することはできません。ハンムラビ（紀元前1955-1913）の時代以来、正義を言葉で表現しようとする試みは法律を生み出し、それは通常あなたの正義の理解と一致しません。聖書には、「真実とは何か」という有名な質問があります。そして、美人コンテストの審査員のほかに、誰が「美」を定義することを敢えてしますか？



ゲーデルの不完全性定理の制限に違反していることがわかります。これは、簡単な言葉で、かなり完全な離散記号のシステムでは（定理は通常、このように提示されるという事実にもかかわらず、数学には適用されません）、このシステムで証明できない7このことから、そのようなステートメントを正当化するために新しい仮定が追加されると、拡張システムで証明できない新しいものが表示されます。これは、個別の文字システムの機能に対する明確な制限を示しています。



一見したところ、言語は個別の文字のシステムです。よく見ると、ゲーデルの定理は意味が変わらない特定の文字の集合を想定しています（ただし、文脈に依存する場合があります）が、私たちが知っているように、言葉には多くの意味と意味の度合いがあります。たとえば、「背の高い建物」、「背の高い人」、「背の高い物語」というフレーズの単語「背の高い」（「長い」/「背の高い」/「長い」）は、異なる意味を持っています。実際、声のトーン、眉を上げる、ウインク、または笑顔でさえ、話された言葉の意味を変えることができます。したがって、実際に使用する形式の言語は、ゲーデルの定理の範囲内に収まりません。実際、言語にこのような異常な特性があるのは、不完全性定理の制限を回避する必要があるためかもしれません実生活で。今では、言語の進化と、最も適した言語の存続のための闘争でバージョンの1つを選択した勢力についてはほとんど知らないため、どのような状況でしか推測できません。



現在、標準的なコンピューターは個別の文字を処理できます（ただし、一部のニューラルネットワークではそうではありません）。したがって、処理できないものがあります。第19章で述べたように、ニューラルネットワークの使用可能な帯域幅が有限であると仮定すると、コテルニコフの定理は帯域幅とサンプリング周波数の等価性を与えます。



過去には単純な問題を解決してきましたが、将来的には新しい考え方やアプローチを必要とする残りの部分にますます直面するでしょう。問題が消えることはありません、あなたはそれらを解決する方法を探します。私はあなたがそれらに対処するために時々新しい数学を発明しなければならないだろうと思います。あなたが信じられないほど新しい方法で問題を解決するなら、未来はあなたにとってエキサイティングです。



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