ローレンツアトラクタの3つのサイクル

外国文学を勉強して、私は最近、ミシガン大学のDivakar Viswanath教授のLindstedt-Poincaré法（LP）に基づく動的システムの周期的軌道を計算するための反復アルゴリズムに関する研究[1、2]に出会いました（本[3 、p。408-411] ）。 この方法の利点は、微分方程式の数値積分を必要としないため、不安定なサイクルの構築に適用できることです。



今日の数学の研究で最も人気のある分野の1つは、動的カオスの理論です。 ここで最も有名なオブジェクトは、20世紀の60年代に導入されたローレンツシステムです。 その時以来、多くの非線形数学モデルが登場しており、科学のさまざまな分野で解のカオス的な挙動が見られます 。 数年前、信号の暗号化に使用される平衡位置のないカオスシステムが人気を博しました（たとえば、[4]を参照）。 カオスの理論を研究し始めたばかりの人のために、9つの章からなる数学映画CHAOSをご覧になることをお勧めします。



[5]のWarwick Tuckerが区間演算を使用して14番目のSmale問題を解決したと考えられていますが、さまざまな記事の著者の数値実験で見つかったサイクルの説得力のある証拠は見つかりませんでした。



x（t）、y（t）、z（t）をローレンツ系の位相座標とします。 2004年、[2]のViswanathはLP法により3サイクルを発見しました。 彼は初期条件と期間の値を与えた：







ここで、Tは期間です。



私の意見では、これはローレンツアトラクターの研究における重要なブレークスルーです。



疑問が生じる場合があります-なぜ数値の小数部に99文字あるのですか？ 事実、周期軌道は不安定であり（これらの数値は非合理的である可能性が高い）、許容可能な精度で周期的に数値を構成するには、小数点以下の桁数が多い必要があります。



トピック[6]で与えられたプログラムでViswanathサイクルをチェックして構築することにしました（数値スキームも[7]で説明されています）。 このために、べき級数の精度1e-110を使用しました。実数の仮数の下のビット数は390（マシンイプシロンは7.93107e-118に等しい）で、時間の経過は順方向のみです。 次の同等性が確認されました。



x（0）= x（T）、

y（0）= y（T）、

z（0）= z（T）。



最初のサイクルでは、y（T）の最後の文字（そこに数字6を取得）、2番目の文字-80文字、3番目の文字-38文字を除いて、すべての座標の小数部分のすべての符号が一致しました。



以下は、ヴィスワナタのサイクルの図です。











そして、アニメーションがYouTubeにアップロードされました。





2番目の図では、システムの軌跡が原点O（0; 0; 0）にどれだけ近づくかに興味がありました。 数値実験で座標を持つ点が見つかりました







べき級数法は数値スキームの基本的な方法であるため、3番目のサイクルでは、変数の積分ステップで近似多項式の最大次数が決定されます。ここで、解は行-78に配置され、積分ステップの近似最大値は= 0.0120621です。 ここでのT値は非常に大きいため、コンピューターでの計算時間は約6.2分でした。