28歳のピーター・ショルツは、数論と幾何学の深い関係を明らかにしました。

2010年、驚くべき噂が数論を研究している人々のコミュニティに広まり、Jared Weinsteinに届きました。 伝えられるところでは、ドイツのボン大学の大学院生は、数論からの定理の288ページの証明がわずか37ページに削減された作品を発表しました。 22歳の学生Peter Scholzeは、数論と幾何学を比較することで、証明の最も難しい部分の1つを回避する方法を見つけました。



ボストン大学の34歳の数論のスペシャリストであるワインスタインは、「このような若者がこれほど革命的なことを行うことができるとは信じられません」と述べています。 「これは間違いなく尊敬の理由です。」



わずか2年後にショルツに教授の称号を授与したボン大学の数学者は、彼の並外れた精神的能力をすでに知っていました。 作品の出版後、数論と幾何学の両方の専門家がそれに気づき始めました。



その瞬間から、現在28歳のショルツェは、より広い数学的コミュニティですでに高い地位に成長しています。 彼は「 世界で最も影響力のある数学者の一人 」、「 数十年ごとに現れる珍しい才能 」と呼ばれています 。 彼らは、数学者にとって最高の賞の一つであるフィールズ賞の応募者の間で彼がお気に入りだと語っています。



完璧な空間と呼ばれるフラクタル構造のクラスであるScholzeの重要な革新は、ほんの数年前のものでしたが、数論と幾何学が融合する算術幾何学の分野ですでに大きな影響をもたらしています。 ワインスタインは、ショルツェの仕事は先見の明だったと言います。 「彼は結果が発生し始める前に結果を見ることができました。」



ミシガン大学の数学者で、ショルツェと共同研究を行ったBhargav Bhattは、多くの数学者が「敬意、恐れ、興奮の混合物で」彼の作品に反応すると言います。



そして、これは彼の性格によるものではなく、同僚は平凡で寛大だと述べています。 「彼は決してあなたより優れているものをあなたに知らせません」と、ショルツの大学の同僚であるオイゲン・ヘルマンは言います。 むしろ、数学的な問題の本質を深く掘り下げる恐ろしい能力のためです。 多くの数学者とは異なり、彼は解決を必要とする特定の問題からではなく、興味のために理解したいと思うつかみどころのない概念から仕事を始めます。 しかし、その後、Scholzeと協力したプリンストン大学の数論のスペシャリストであるAna Caraiani氏によると、彼が作成した構造は、「最初に予測できなかった100万の他の方向のアプリケーションを発見します。オブジェクト。」

算数を学ぶ

ドイツ、ボン大学の数学研究所



ショルツは、数学と科学に偏ったベルリンの学校であるハインリッヒヘルツグラマースクールに通い、14歳で自分で数学を理解し始めました。 この体育館では、ショルツェが説明したように、「数学に興味があれば、見知らぬ人ではありませんでした。」



16歳で、ショルツはその10年前にアンドリュー・ワイレスがフェルマーの大定理として知られる17世紀の有名な定理を証明したことを学びました。この定理はx ⁿ + y ⁿ = z ⁿ 2.ショルツは証明を研究したかったが、定理の単純さにもかかわらず、その証明が最も高度なレベルの数学を使用することがすぐに明らかになった。 「何も理解できませんでしたが、とてもクールでした」と彼は言います。



そして、ショルツは、この証拠を理解するために彼がどのような知識のギャップを埋める必要があるかを研究し始めました。 「そして今まで、私は通常そのようなことすべてを教えています」と彼は言います。 「線形代数のような基本的なことを学んだことはありません。他のことを学んで理解しました。」



証拠を掘り下げて、彼はモジュラー形式と楕円曲線と呼ばれる数学的なオブジェクトに衝撃を受けました。これらは、数論、代数、幾何学、分析などの異なる領域を神秘的に組み合わせます。 彼によると、プルーフで使用されるオブジェクトのタイプの研究は、プルーフ自体よりもさらに興味深いものだった可能性があります。



ショルツェの数学的好みが決定され始めました。 今日、彼はまだ単純な方程式と整数が見つかる問題に引き寄せられています。 そして、これらの具体的なルーツにより、彼は難解な数学的構造さえも感じることができます。 「本質的に、私は算数に専念しています」と彼は言います。 彼によると、彼の抽象的な構造が通常の整数に関連する小さな発見に彼を導くとき、彼は最も幸運です。



卒業後、ショルツはボン大学で数論と幾何学の研究を続けました。 同級生のヘルマンが回想するように、ショルツェは数学の授業では何も書いていませんでした。 Helmanは、Scholzeがリアルタイムでコース教材を理解したと主張します。 「私はただ理解していませんでしたが、深いレベルで理解していたので、彼は素材を忘れることができませんでした。」



ショルツは、幾何学ツールを使用して、数、変数、次数のみが関係するxy ² + 3y = 5などの多項式の整数解を理解する算術幾何学の研究を開始しました。 これらの方程式の中には、p進数と呼ばれる代替の数体系に解があるかどうかを調べるのに役立ちます。 実数と同様に、整数と小数の間の空隙を埋めることで構築されます。 しかし、このシステムは、これらのボイドの位置と数字同士の近接性に関する非標準的な考え方に基づいています。 p進システムでは、2つの数の差が小さいときではなく、それらの差を次数pで除算すると（次数が大きいほど、数は近くなります）、2つの数は近くにあります。



基準は奇妙ですが、便利です。 たとえば、3進数はx ² = 3y ^2のタイプの方程式をより自然に研究するのに役立ちます。この場合、3の係数が重要です。



R-進数字は「日常の直感からはほど遠い」とショルツは言う。 しかし、長年にわたって彼にとっては自然になりました。 「今では、実数はp進法よりも複雑です。 私は彼らに非常に慣れているので、物質的なものは私にとってはるかに奇妙に見えます。」



1970年代に、数学者は、p進数に関する多くの問題が数値システムの無限の塔でこれらの数を拡大すると容易になることに気づきました。 無限の塔の「最上部」には、ラッピング空間があります。これは、後にショールズが開発する完全形の最も単純な例であるフラクタルオブジェクトです。



ショルツは、これらの無限ラッピング構造がp進数と多項式に関連する多くの問題を大幅に単純化する理由を解明するタスクを自ら設定しました。 「この現象の本質を理解しようとしました」と彼は言います。 「それを説明できる単一の形式主義はありませんでした。」



ある時点で、彼は多種多様な数学的構造に対して完全な空間を作成することが可能であることに気づきました。 彼は、これらの空間により、多項式に関連する質問をp進数の世界から、算術が大幅に簡略化された他の数学フィールドに転送できることを示しました（たとえば、加算時に転送を繰り越す必要はありません）。 「パーフェクトイド空間の最も奇妙な特性は、2つの数値システム間を魔法のように移動できることです」と、ワインスタインは言います。



これを知ったショルツは、「加重モノドロミー仮説」と呼ばれる多項式のp進解に関する複雑な記述の一部を証明することができ、2012年に博士論文として設計しました。 「この研究は非常に広範囲に及ぶ意味があるため、世界中の科学者グループの研究対象になっています」とワインスタインは言います。



ヘルマンは、ショルツは「以前のすべての研究を使用する最も正確で最も簡単な方法を見つけ、このためのエレガントな定式化を見つけました。そして、非常に正しいツールを見つけたので、既知の結果をはるかに超えることができました」

ジャングルの上を飛んで

6月のブロン大学でのジオメトリに関するセミナーでのピーターショルツ



完璧な空間の複雑さにもかかわらず、ショルツは彼のレポートと作品の明快さで有名です。 「ピーターが私に説明するまで、私は何も理解していませんでした」とワインスタインは言います。



カラヤニによると、ショルツは新入生でもアクセス可能なレベルで彼のアイデアを説明しようとしています。 「それは、アイデアの開放性と寛大さの感覚を与えます」と彼女は言います。 「そして彼は、これを多数の上級数学者だけで行うのではなく、多くの若者がアクセスできるようにしています。」 Karajaniによれば、Scholzeの友好的でオープンな態度は、彼を彼の分野の理想的なリーダーにします。 かつて、彼とショルツェが起伏の多い地形を巡る困難な旅をしたとき、「走り回り、すべての場所が整っていることを確認し、全員をチェックしたのは彼だった」とカラヤニは言う。



しかし、ヘルマンによれば、ショルツの説明の後でも、他の研究者が完全形を理解するのは難しい。 「ショルツェが提案した道を降りると、すべてが非常に難しいジャングルにいることに気付くでしょう。」 しかし、ショルツ自身は「ジャングルで戦うことはないので、ジャングルで迷子になることはありません。 彼は、常に一般的な概念を見るために遠近法で見ます。」



ショルツはぶどうの木に絡まない。なぜなら、彼は自分がそれらの上を飛ぶように強制するからだ。大学のように、メモをとらずに働くことを好んだとき。 彼は、これはあなたのアイデアを可能な限り簡単な方法で定式化しなければならないことを意味すると言います。 「頭の容量は限られているため、あまり複雑なことをすることはできません。」



他の数学者は完璧な空間を扱い始めたばかりですが、この分野で最も広範囲に及ぶ発見のいくつかは、驚くことではありませんが、ショルツとその共著者によってなされました。 ワインスタインによれば、2013年に公開された結果は「コミュニティを驚かせた」。 「そのような定理が現れるとは想像もしていなかった。」



Scholzeの結果は、モジュロ算術（または毎時算術は必ずしも12時間であるとは限らない）を使用して多項式の動作を管理する、相反則として知られるルールの範囲を拡大しました 。 モジュロ算術（たとえば、ダイヤルに12時間ある場合は8 + 5 = 1）は、数学で最も自然で一般的な有限数システムです。



相反の法則-200年前に発見された二次剰余の相反の法則の一般化。 これは、数論の基礎であり、ショルツのお気に入りの定理の1つです。 法律は、2つの素数pとqについて、ほとんどの場合、pはqを法とするモジュラー算術の完全な正方形になり、qはpを法とするモジュラー算術の完全な正方形になると述べています。 たとえば、5 = 16 = 4 ²であるため、5は11時間のダイヤル上の完全な正方形です（モジュロ算法で11）。11= 1 = 1 ²であるため、11は5時間のダイヤル上の完全な正方形です。



「これは私にとって予想外のことです」とショルツは言います。 「一見したところ、これら2つのことは互いに関連していません。」 ワインスタインによれば、「現代の代数的数論の大部分は、この法則を一般化する試みとして表現できる」。



20世紀半ばに、数学者は相反の法則と完全に一見異なる分野-有名なエッシャーの天使/悪魔のタイルなどのパターンの双曲線幾何学との間の信じられないほどのつながりを発見しました。







この接続は、数論、幾何学、分析の相互関係に関する相互接続された仮説と定理のセットであるラングランズプログラムの中心部分です。 仮説を証明できる場合、それらは非常に強力なツールであることが判明します。たとえば、フェルマーの大定理の証明は、プログラムの1つの小さな（自明ではないが）部分の解決に基づいています。



数学者は、ラングランズプログラムが双曲線ディスクをはるかに超えていることを徐々に認識しました。 また、高次の双曲線空間や他の多くの状況でも研究できます。 ショルツは、それを「双曲線3空間」（双曲線ディスクの3次元類似体）以降の広範な構造に拡張する方法を示しました。 双曲3空間の完全なバージョンを構築した後、ショルツェは新しい相反則のセット全体を発見しました。



「ピーターの仕事は、何ができ、何を成し遂げることができるかという考えを完全に変えました」と、カラヤニは言います。 ワインスタインは、ショルツの結果は、ラングランズプログラムが「我々が考えていたよりも深く、より体系的で遍在的である」ことを示していると言います。

巻き戻す

数学をScholzeと議論することは、神託に相談するようなものです、とWeinsteinは言います。 「彼が「はい、うまくいきます」と言ったら、それを確認できます。 彼がノーと言う場合、彼はすぐにgiveめなければなりません。 彼が（何が起こるか）よくわからないと言ったら、あなたは幸運であり、あなたは面白い仕事をしている。」



Karajaniは、Scholzeとの作業は見た目ほど難しくはないと言います。 彼女が彼と一緒に働いたとき、彼女は急いでいたことはありませんでした。 「私たちは常にすべてを正しく行ったかのように、どういうわけか、可能な限り最も一般的な定理を最良の方法で証明し、物事に光を当てる適切な構造を作成しました。」



確かに、Scholzeが急いでいた-2013年の終わりに娘の出生前に仕事を終えようとしています。 彼によれば、彼が急いでいたのは良いことです。 「それ以来、私は何もしていません。」



父親として、彼は自分のスケジュールについてより規律付けられ始めました。 しかし、彼は特に研究のための時間をあきらめる必要はありません-彼は単に他の義務の間のギャップを埋めます。 「数学は私の情熱です。 私はいつも彼女のことを考えたい」 しかし、彼はこの情熱をロマンチックにしようとはしていません。 数学者であるとはどういう意味かと尋ねられたとき、彼はためらいました。 「それは哲学的に聞こえます。」



彼はプライバシーを愛し、名声の高まりに不快感を覚えています（たとえば、3月にライプニッツ賞の最年少受賞者となり、さらなる研究のために250万ユーロを寄付しました）。 「時にはそれが多すぎる」と彼は言います。 「日常生活に影響を与えないようにしています。」



ショルツは、パーフェクトイド空間の研究を続けており、他の分野、特に代数トポロジーも探求しています-彼女は代数を使ってフォームを研究しています。 「過去1年半で、ピーターはこの主題を完全にマスターしました」とバットは言います。 「彼はこのトピックを反映するために専門家が使用する方法を変更しました。」



バットは、他の数学者がショルツェが彼らの活動分野に触れると同時に恐怖と熱意を経験すると言う。 「これは、トピックが非常に迅速に発展し始めることを意味します。 私が接触している地域で彼が働いていることを嬉しく思います。そして、知識の境界がどのように前進しているのかを本当に見ることができます。」



ショルツ自身は自分の仕事を単純なトレーニングと考えています。 「当分の間、私はすでにそこにあるものを研究する段階にあり、私は自分のやり方で知識を定式化するだけです」と彼は言います。 「すでに研究を開始しているようには思えません。」