内容

はじめに

テンソル計算の応用の応用面に関する話を続ける前に、見出しで示されたトピックに触れることが絶対に必要です。これらの疑問は、サイクルの以前のすべての部分で暗黙のうちに浮上しました。しかし、私はいくつかの不正確さを作りました。特に、記事1と2のスカラーとベクトル積を記述するテンソル形式は、実際にはテンソルの畳み込みと乗算の組み合わせですが、「畳み込み」と呼ばれました。テンソル積とテンソルの積とテンソル積の加算、通過は言及されただけです。対称、反対称テンソルは問題外でした。

この記事では、テンソル操作について詳しく説明します。さらなる演習のために、それらに精通する必要があります。

さらに、対称テンソルと反対称テンソルの概念が重要です。テンソルは対称部分と非対称部分に分解できることを学びます。また、テンソルの非対称部分が擬似ベクトルに関連付けられるという事実も知ります。多くの物理量（たとえば、角速度）は擬似ベクトルです。そして、物理現象の記述に対するテンソルアプローチがまさにいくつかの量の真の性質を明らかにすることを可能にします。

1.テンソルに関する4つの主なアクション

1.1。スカラーとテンソルの加算によるテンソルの乗算（線形結合）

数による乗算とは、初期テンソルの各成分のこの数による乗算を意味します。結果は、元のテンソルと同じランクのテンソルです。

追加すると、同じランクのテンソルしか使用できません。コンポーネントなしの表記では、テンソルの線形結合は次のようになります

$\ mathbf {C} = \ lambda \、\ mathbf {A} + \ mu \、\ mathbf {B}$

どこで $\ラムダ、\、\ mu$ -スカラー。コンポーネント表記に移動すると、たとえば、2番目のランクのテンソルの場合、この操作は次のようになります。

$c_ {ij} = \ lambda \、a_ {ij} + \ mu \、b_ {ij}$

1.2。テンソル乗算

乗算は、任意のランクのテンソルで実行されます。結果はランクテンソルです。たとえば、 $\ mathbf {a}$ ランクテンソル（0,1） $\ mathbf {B}$ ランクテンソル（0.2）です。すると、それらの乗算の結果はテンソルになります $\ mathbf {C}$ ランク（0.3）

$\ mathbf {a} \、\ mathbf {B} = \ mathbf {C}$

または、コンポーネント形式で

$a_ {i} \、B_ {jk} = C_ {ijk}$

ダイアドを考慮して、 2番目の記事で既にテンソル積に遭遇しました。 2つのベクトルを乗算して、これに戻りましょう。

$\ mathbf {c} = \ mathbf {a} \、\ mathbf {b}$

コンポーネント形式で

$c ^ {ij} = a ^ {\、i} \、b ^ {\、j}$

結果のダイアドの行列表現を与える

$\ mathbf {c} = \ begin {bmatrix} a ^ 1 \、b ^ 1＆amp;＆amp; a ^ 1 \、b ^ 2＆amp;＆amp; a ^ 1 \、b ^ 3 \\ a ^ 2 \、b ^ 1＆amp;＆amp; a ^ 2 \、b ^ 2＆amp;＆amp; a ^ 2 \、b ^ 3 \\ a ^ 3 \、b ^ 1＆amp;＆amp; a ^ 3 \、b ^ 2＆amp;＆amp; a ^ 3 \、b ^ 3 \ end {bmatrix}$

特に最新の例から、一般的な場合、テンソル積は可換ではないことが明らかです。

$\ mathbf {a} \、\ mathbf {b} \ ne \ mathbf {b} \、\ mathbf {a}$

これは、乗算をコンポーネント形式で記述し、ダイアドの行列表現を書き出すことで、非常に簡単に検証できます

$d ^ {\、ij} = b ^ {\、i} \、a ^ {\、j}$

$\ mathbf {d} = \ begin {bmatrix} b ^ 1 \、a ^ 1＆amp;＆amp; b ^ 1 \、a ^ 2＆amp;＆amp; b ^ 1 \、a ^ 3 \\ b ^ 2 \、a ^ 1＆amp;＆amp; b ^ 2 \、a ^ 2＆amp;＆amp; b ^ 2 \、a ^ 3 \\ b ^ 3 \、a ^ 1＆amp;＆amp; b ^ 3 \、a ^ 2＆amp;＆amp; b ^ 3 \、a ^ 3 \ end {bmatrix}$

明らかに、 $\ mathbf {c} \ ne \ mathbf {d}$ しかし、それは同様に明白です

$\ mathbf {d} = \ mathbf {c} ^ {\、T}$

これは、テンソルに対する別のアクションの結果です。

1.3。テンソルインデックスの順列

この場合、インデックスの順序が異なる新しい量のセットが、初期テンソルのコンポーネントから形成されます。テンソルのランクは変更されません。たとえば、テンソルから $\ mathbf {A}$ ランク（0.3）の場合、他の3つのテンソルを取得できます $\ mathbf {B}$ 、 $\ mathbf {C}$ そして $\ mathbf {D}$ そのような

$B_ {ijk} = A_ {jik}、\クワッドC_ {ijk} = A_ {kji}。 \クワッドD_ {ijk} = A_ {ikj}$

2番目のランクのテンソルでは、転置と呼ばれる1つの置換のみが可能です。

$d_ {ij} = c_ {ji} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {d} = \ mathbf {c} ^ {\、T}$

上記では、テンソル積の非可換性を考慮し、ダイアドを形成するベクトルを再配置したときに、インデックスの順列を実行しました。これは、因子の順列が結果のテンソルのインデックスの順列につながるためです。

1.4。畳み込み

畳み込みは、インデックスの任意のペアでのテンソル成分の合計です。このアクションは1つのテンソルで実行され、出力では2つ少ないテンソルが得られます。たとえば、2番目のランクのテンソルの場合、畳み込みは最初の主不変量またはテンソルのトレースと呼ばれるスカラーを与えます

$A_ {ii} = I_1（\ mathbf {A}）= \ mathop {\ rm tr} \ mathbf {A}$

畳み込みは常に異なるインデックスのペアで実行されます（一方のインデックスは上位で、もう一方のインデックスは下位でなければなりません）。

多くの場合、畳み込みはテンソルの積と組み合わされます。この組み合わせは、テンソルの内積と呼ばれることもあります。この場合、テンソルが最初に乗算され、次に結果の合計ランクテンソルが崩壊します。例は、以前に使用されたスカラー積表記です。

$c = a _ {\、i} \、a ^ {\、i}$

これはインデックスなしのレコードと同等です

$c = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$

非インデックスエントリのスカラー積に似た点は、乗算と畳み込みを組み合わせることを意味します。コンボリューションは、インデックスのペアへのポイントを使用して近傍で行われます。展開されたプロセス全体を示します。入り江から $\ mathbf {a}$ およびベクトル $\ mathbf {b}$ 乗算によりテンソルを形成します $\ mathbf {c}$ ランク（1,1）

$c_i ^ {\、j} = a_i \、b ^ j$

または

$\ mathbf {C} = \ mathbf {a} \、\ mathbf {b} = \ begin {bmatrix} a_1 \、b ^ 1＆amp;＆amp; a_2 \、b ^ 1＆amp;＆amp; a_3 \、b ^ 1 \\ a_1 \、b ^ 2＆amp;＆amp; a_2 \、b ^ 2＆amp;＆amp; a_3 \、b ^ 2 \\ a_1 \、b ^ 3＆amp;＆amp; a_2 \、b ^ 3＆amp;＆amp; a_3 \、b ^ 3 \ end {bmatrix}$

結果のテンソルを唯一のインデックスのペアで折りたたみます

$C_k ^ k = a_1 \、b ^ 1 + a_2 \、b ^ 2 + a_3 \、b ^ 3 = c$

ただし、この点はスカラー積とは考えないでください。たとえば、このような操作は

$A_ {ij} = B_ {ik} \、C_j ^ k$

畳み込みと組み合わせた乗算

$\ mathbf {A} = \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {C}$

ただし、実行されるアクションの意味では、テンソルのコンポーネントを表す行列の積に相当します。

2.対称および反対称テンソル

定義を定式化する

テンソルは、これらのインデックスが再配置されたときに変化しない場合、インデックスのペアで対称と呼ばれます

$B_ {ij \ cdots} = B_ {ji \ cdots}$

2つのインデックスを並べ替えるときにテンソルが変化しない場合、それは完全に対称です。

そしてもう1つの定義

テンソルは、再配置されたときにテンソルが符号を変更する場合、インデックスのペアで反対称と呼ばれます

$B_ {ij \ cdots} = B_ {ji \ cdots}$

テンソルが任意の2つのインデックスを再配置するときに符号を変更すると、 絶対に非対称になります

テンソルは、選択されたインデックスのペアの部分に従って、対称および非対称に分解できます。これを証明するのはとても簡単です。 $\ mathbf {A}$ 。同等の変換を実行します

$A_ {ij \ cdots} = \ frac {1} {2} \、A_ {ij \ cdots} + \ frac {1} {2} \、A_ {ij \ cdots} = \ frac {1} {2} \ 、A_ {ij \ cdots} + \ frac {1} {2} \、A_ {ij \ cdots} + \ frac {1} {2} \、A_ {ji \ cdots}-\ frac {1} {2} \、A_ {ji \ cdots} =$

$= \ frac {1} {2} \ left（A_ {ij \ cdots} + A_ {ji \ cdots} \ right）+ \ frac {1} {2} \ left（A_ {ij \ cdots}-A_ {ji \ cdots} \ right）= A _ {（ij）\ cdots} + A _ {[ij] \ cdots}$

テンソルの対称部分はどこですか

$A _ {（ij）\ cdots} = \ frac {1} {2} \左（A_ {ij \ cdots} + A_ {ji \ cdots} \右）$

およびその非対称部分

$A _ {[ij] \ cdots} = \ frac {1} {2} \左（A_ {ij \ cdots}-A_ {ji \ cdots} \右）。$

疑いがないように、得られたテンソルについて対称性を証明します

$A _ {（ji）\ cdots} = \ frac {1} {2} \ left（A_ {ji \ cdots} + A_ {ij \ cdots} \ right）= A _ {（ij）\ cdots}$

および反対称性

$A _ {[ji] \ cdots} = \ frac {1} {2} \ left（A_ {ji \ cdots}-A_ {ij \ cdots} \ right）=-\ frac {1} {2} \ left（A_ {ij \ cdots}-A_ {ji \ cdots} \右）=-A _ {[ij] \ cdots}$

2番目のランクのテンソルについて話す場合、そのようなテンソルが対称であれば、完全に対称になります。同じことが第2ランクの非対称テンソルにも当てはまります。これらのプロパティは、定義から直接に従います。2番目のランクのテンソルには、インデックスのペアが1つしかありません。

反対称テンソルには奇妙な性質があります。 2番目のランクのテンソルを $\ mathbf {B}$ -反対称。次に、そのコンポーネントは条件を満たす

$B_ {ij} = -B_ {ji}$

この条件は、テンソルの対角成分がゼロの場合にのみ満たされます。これは、インデックスが転置される（および成分行列が転置される）と、対角成分がそれ自体に入るためです。そして、それ自体の反対の単数はゼロです。主対角線に関して対称なコンポーネントには、反対の符号があります。

したがって、第2ランクの反対称テンソルの9つのコンポーネントのうち、独立しているのは3つだけです（もちろん、3次元空間について話しています）。 3つの独立したコンポーネントがベクトル（またはコベクトル）を形成します。特定の反対称テンソルに一意に依存する特定のベクトルが存在する可能性があると仮定することは論理的です。そのようなベクトルを見つけてみましょう。

3. 2番目のランクの関連テンソルベクトル

この問題に対処するために、キーボードのキーを過熱する前に徹底的に「グーグル」します。段落で定式化された質問に対する賢明でエレガントな答えを見つけられなかったので、受け取った情報の編集と処理である私の答えを提供します。

ここで詳しく説明したLevi-Civitaテンソルを思い出して、そのようなテンソルを構築します

$C_ {ij} = \ varepsilon_ {ijk} \、a ^ {\、k} \ quad（1）$

テンソル（1）が反対称であることを証明しましょう。インデックスを並べ替えましょう

$C_ {ji} = \ varepsilon_ {jik} \、a ^ {\、k} =-\ varepsilon_ {ijk} \、a ^ {\、k} = -C_ {ij} \ quad（2）$

（2）のマイナスは、Levi-Civitaテンソルが完全に非対称の第3ランクテンソルであるという事実のために出てきました。その中のインデックスの順列は、基底ベクトルの順列につながり、このテンソルの混合積に基づいています。したがって、テンソル（1）は本当に反対称です。その後、ベクトルを簡単に見つけることができます $a ^ {\、k}$

$\ varepsilon ^ {\、ijl} \、C _ {\、ij} = \ varepsilon ^ {\、ijl} \、\ varepsilon _ {\、ijk} \、a ^ {\、k} = 2 \、\ delta_ { k} ^ {\、l} \、a ^ {\、k} = 2 \、a ^ {\、l}$

$a ^ {\、l} = \ frac {1} {2} \、\ varepsilon ^ {\、ijl} \、C _ {\、ij} \ quad（3）$

注：2つのクロネッカーデルタが（3）でどこから来たかは、サイクルの8番目の記事に記載されています。

反対称テンソルに対応 $C_ {ij}$ 。（3）の3番目のランクテンソルは、Levi-Civita反変テンソルであり、共変対応物の特性を繰り返しますが、

$\ varepsilon ^ {ijk} = \ begin {cases} + \ cfrac {1} {\ sqrt g}、\ quad P（i、j、k）= +1 \\-\ cfrac {1} {\ sqrt g} 、\ quad P（i、j、k）= -1 \\ \ quad 0、\ quad i = j \ vee j = k \ vee k = i \ end {cases} \ quad（4）$

-右側の座標系の場合（左側の場合、非ゼロ成分の符号を反対に変更する必要があります）。ベクトル（3）の成分は、テンソル（4）の特性を考慮して、一意に決定されます

$a ^ {\、1} = \ frac {1} {2 \、\ sqrt g} \、c _ {\、23} \ quad a ^ {\、2} = \ frac {1} {2 \、\ sqrt g} \、c _ {\、31} \ quad a ^ {\、3} = \ frac {1} {2 \、\ sqrt g} \、c _ {\、12}$

または、反対称テンソルの成分の行列を導入する場合 $C_ {ij}$ 、そのようなレコードが表示されます

$\ mathbf {C} = \ begin {bmatrix} 0＆amp;＆amp; 2 \、\ sqrt g \、a ^ 3＆amp;＆amp; -2 \、\ sqrt g \、a ^ 2 \\ -2 \、\ sqrt g \、a ^ 3＆amp;＆amp; 0＆amp;＆amp; 2 \、\ sqrt g \、a ^ 1 \\ 2 \、\ sqrt g \、a ^ 2＆amp;＆amp; -2 \、\ sqrt g \、a ^ 1＆amp;＆amp; 0 \ end {bmatrix}$

省略できないもう1つの事実に注意してください。ただし、厳密な証拠はこの記事の範囲外です（少し後で説明します）。テンソル $C_ {ij}$ />は真のテンソルであり、対応するベクトル（3）は擬似ベクトルまたは軸ベクトルです。擬似ベクトルは、座標軸を回転させるとベクトルのように変換されますが、基底を右から左（または左から右）に変更すると、方向が反対に変わります（すべてのコンポーネントが符号を変更します）。

（1）ベクトルの場合 $a ^ {\、k}$ 真のベクトルである場合、それから形成される非対称テンソルは擬似テンソルです -そのようなテンソルのコンポーネントは、座標系の軸が回転するときに真のテンソルのコンポーネントと同じ方法で変換されますが、ベースの向きが変更されると符号を変更します

したがって、任意の反対称テンソルは、式（3）に従って取得された擬似ベクトルに関連付けることができます。

ここで、対称テンソルに対応する擬似ベクトルがないこと、またはこの擬似ベクトルがゼロであることを示します。対称テンソルが与えられたと仮定します $\ mathbf {G}$ すなわち平等

$G_ {ij} = G_ {ji} \ quad（5）$

ベクトルがあると仮定します

$b ^ {\、k} = \ frac {1} {2} \、\ varepsilon ^ {\、ijk} \、G_ {ij} \ quad（6）$

（5）の対称性を考慮して、（6）のインデックスを再配置します。

$b ^ {\、k} = \ frac {1} {2} \、\ varepsilon ^ {\、jik} \、G_ {ji} =-\ frac {1} {2} \、\ varepsilon ^ {\、 ijk} \、G_ {ij} = -b ^ {\、k} \ quad（7）$

式（7）は、次の場合に1つの場合にのみ有効です。

$b ^ {\、k} = -b ^ {\、k} = 0 \ quad（8）$

つまり、対称テンソルにLevi-Civitaテンソルを掛け、続いて2組のインデックスの畳み込みを行うと、ゼロベクトルが得られます。 2番目のランクの任意のテンソルで同じことを行う場合

$\ frac {1} {2} \、\ varepsilon ^ {ijk} \、T_ {ij} = \ frac {1} {2} \、\ varepsilon ^ {ijk} \ left（T_ {ij} ^ {\、 S} + T_ {ij} ^ {\、A} \右）= \ frac {1} {2} \、\ varepsilon ^ {ijk} \、T_ {ij} ^ {\、A}$

出力は、その非対称部分に対応する擬似ベクトルになります。

おわりに

テンソル計算の理論に再び没頭しました。ただし、この記事で収集した結果をサイクルの今後の記事で使用するため、間違いなく没入が必要です。読者の注目に感謝します！

継続するには...

テンソル代数の魔法：パート5-テンソルと他のいくつかの理論的問題に対するアクション

内容

はじめに

1.テンソルに関する4つの主なアクション

1.1。スカラーとテンソルの加算によるテンソルの乗算（線形結合）

1.2。テンソル乗算

1.3。テンソルインデックスの順列

1.4。畳み込み

2.対称および反対称テンソル

3. 2番目のランクの関連テンソルベクトル

おわりに

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1.2。 テンソル乗算

1.3。 テンソルインデックスの順列

1.4。 畳み込み

2.対称および反対称テンソル

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