通常のミラーの何が問題になっていますか？
通常のバスルームの鏡（およびその優れた対応物）は、薄い滑らかな金属フィルムにすぎません。 反射すると、光の約5％が失われます。 時々、これは重要です-たとえば、テレコム（失われる信号が少ないほど、中間増幅器を置く量が少ない）またはペリスコープなどの複雑な光学系（各ミラーで5％を失うと、観測者に届くものはほとんどありません）。
一方、ミラーでの光の吸収により、ミラーが加熱されます。 また、レーザーポインターの5％が一時的なものである場合、切断用の工業用レーザーの5％は約1ワットであり、薄膜を著しく加熱する可能性があります。 ピーク出力がミラーを溶かすのに十分であるパルスレーザーではさらに興味深いです。 このようなもの：
少しの物理学
おそらく、多くの人が光学の啓発について聞いたことがあります。 これはレンズのトリッキーなコーティングであり、レンズの前面からの反射をほとんどゼロに減らします。 つまり、光は反射で無駄にならず、光学システムに完全に入射します。 物理的には、これは反射防止コーティングの異なる層からの破壊的な干渉により発生します。
反射防止双眼鏡。
同じ考えを反対方向に使用することもできます。そのため、反射は弱められず、むしろ強まります。 それぞれが4分の1波長の厚さの2つの異なる材料の層ケーキが必要になります。 2つの材料の接合部のそれぞれで、光の一部が反射されます。 出てくるすべての反射が同じ位相を持つ場合、 建設的な干渉が発生し、反射信号の強度は可能な限り高くなります。
このような「層状ケーキ」は、 誘電体ミラー 、 多層ミラー 、または分布ブラッグ反射器 （英語では分散ブラッグ反射器 、 DBR ）と呼ばれます。 反射は1つの表面ではなく、一度に複数の表面で発生するため、「分散」しています。 反射係数は99.99％に達しやすいため、金属ミラーに比べて損失が2〜3桁減少します。
ちょっとした数学
反射スキームを詳しく見てみましょう。 入射ビームは、2つのメディアの各境界で反射されます。 確かに、反射された光線はそれぞれ、戻る途中で通過する境界のそれぞれで反射されます。 これらの光線のそれぞれが再び反射されます...地獄、どのようにそれらをすべて数えるのですか？
行列を転送する方法が役立ちます。 その本質は、各光線の個別の監視を停止し、それらの追加の結果のみを見るということです。 つまり、各ポイントの波を記述するベクトルを定義します。
一般的に、各ポイントには2つの波があります。1つは右に伝搬し（これをE Rと呼びます）、2つ目は左に伝搬します（ E L ）。 ベクトルには2つの要素があり、それらは複雑です。結局、光の振幅（数値のモジュラス ）とその位相（それぞれ数値の位相）の両方に関心があります。
任意の2つのポイントについて、ベクトルは、媒体と2つの媒体の境界を通る光の伝搬を考慮に入れた特定の線形表現によって接続されます。 この式は、行列を使用して記述できます。 基本的に、2つのマトリックスが必要です。 最初の（M 1と呼びましょう）は、ベクトルをインターフェースの左と右に接続します。 2番目（M 2 ）は、均一な媒体（界面間）での波の伝播を表します。
すべてがどのように出てくるか
M 1から始めましょう。 両側の2つのメディア間のインターフェースに光が当たると想像してください。 各光線について、反射と屈折の割合を計算し、結果を追加できます。 式はフレネル式から派生します。 光が左側（E 1 R ）のみに落ちた場合、反射と屈折は次の式で与えられます。
ここで、n 1とn 2は2つの媒質の屈折率です。 光が右側（E 2 L ）のみに落ちた場合、それぞれ
式を組み合わせると、
マトリックスM 2はより単純に見えます。 左右に飛ぶ光線は相互作用しないため、マトリックスは対角線になります。 光の振幅は変化しません。つまり、マトリックス要素のモジュラスは1です。位相のみが変化します。右に飛ぶ光線では増加し、左に飛ぶ光線では減少します（指数のマイナス記号）。 わかった
ここで、Lは層の厚さ、ラムダは波長です。
ここで、n 1とn 2は2つの媒質の屈折率です。 光が右側（E 2 L ）のみに落ちた場合、それぞれ
式を組み合わせると、
マトリックスM 2はより単純に見えます。 左右に飛ぶ光線は相互作用しないため、マトリックスは対角線になります。 光の振幅は変化しません。つまり、マトリックス要素のモジュラスは1です。位相のみが変化します。右に飛ぶ光線では増加し、左に飛ぶ光線では減少します（指数のマイナス記号）。 わかった
ここで、Lは層の厚さ、ラムダは波長です。
M 1とM 2を組み合わせて、空間の任意の点で2つのベクトルを接続できます。 たとえば、次の図のポイントAとBの間では、依存関係は次のようになります。
つまり、単純に、光が通過するすべての行列を行列で乗算します（左から右に進みます）。
-空気の境界と1層（鏡への入り口）
-最初の層の分布
-ボーダー1-2レイヤー
-第2層の分布
-2-3層の境界線
ミラーを終了するまで続きます。 そして、ミラー全体を一度に記述する1つの2x2マトリックスを取得します！
鏡の両側に点を選んだのは偶然ではありませんでした。 ポイントAでは、ベクトルの上部の成分（右に飛ぶ）は、ミラーに送信する波です。 下部のコンポーネントは、計算する反射です。 ポイントB（ミラーのすぐ後ろ）で、上のコンポーネントはミラーの透過率であり、下からミラーに何も落ちないため、下のコンポーネントはゼロです。 結果は、基本行列方程式です
ここで、rとtはそれぞれ反射と透過です。 ここから、強度が振幅の二乗であることを忘れずに、反射を取得します
結論として、他の波長では、層の厚さが波長の4分の1と異なるため、反射係数が変化する可能性があることに注意してください。 ミラーがどのスペクトル範囲で反射するかを調べるには、異なる波長で計算を繰り返す必要があります。
コードと少しの最適化
コードは簡単です。 各波長について、M 1とM 2を計算し、必要な回数を掛ける必要があります。 異なる波長の結果は独立しているため、マルチコアプロセッサ上で計算は十分に並行します。 以下の例が考慮されたコードは、MATLABで記述されています。 いくつかの微妙な点について言及します。
1.異なる波長のM 1とM 2は 、屈折率が異なるために異なります（これは単語の分散と呼ばれます）。 通常、屈折率の値は表にまとめられ、非常にスムーズに変化するため、多項式によって適切に補間されます。
特定の波長から開始して、材料が光を吸収し始めると問題が発生します（たとえば、半導体はこのように動作します）。 通常、吸収が始まる波長については、適切な表形式のデータはまったくありません。 そして、その値の左と右の間にギャップがあります。 この場合、「不良」ポイントの左右の領域は別々に補間され、ポイント自体は無視されます。
2.ミラーがNペアのレイヤーで構成されている場合、レイヤーごとにM 1とM 2を計算する代わりに、レイヤーペアに対して1回計算し、必要な順序でN回乗算できます。 言い換えると、最初に一対の層の伝達行列を計算し、次にN乗します。 これにはチェビシェフ多項式が大いに役立ちます。
チェビシェフ多項式を使用した累乗。
Mを2x2ユニモジュラー行列とします（つまり、その行列式は1または-1です）。 それから
どこで
、
a
-第二種チェビシェフ多項式。
どこで
、
a
-第二種チェビシェフ多項式。
興味深い結果
1. 典型的な反射スペクトル。 簡単な例は、TiO 2とSiO 2の交互の層のミラーで、それぞれ10回です。 反射は特定の範囲で最大に達します。写真では、420〜600 nmで、つまり、私たちのミラーは青緑領域で動作します。 動作範囲外では、反射はゼロから小さな値にジャンプします。 これらの領域では、ミラーは
2. より多くのレイヤー-より良い反射。 ちなみに、層ではなくペアを考慮するのが慣例です。 下の写真では、赤のスペクトルは5組のTiO 2 / SiO 2で、青は10組です。 実際には、生産時間が長くなるため、あまり多くのペアを使用しないでください。 おおよその数-従来のレーザーダイオードおよびファイバーレーザーのミラーの場合は5〜7ペア。 量子光学などの非常に特殊なアプリケーションの場合は20〜30。
3. 2つの材料の屈折率のコントラストまたは差。 大きいほど、同じ品質のミラーに必要なペアは少なくなります。 下の写真では、10組のTiO 2 / SiO 2 （青）とZrO / SiO 2 （ライラック）のミラーのスペクトル。 後者の方が屈折率の差が小さいため、最大反射は99.24％（TiO 2 / SiO 2の場合は99.97％）-つまり、ZrO / SiO 2ミラーの損失は25倍になります。
4. 製造の精度。 層は非常に薄く（0.1〜0.2ミクロン）、わずかな偏差が品質に著しく影響します。 スペクトルの再現性のために、各層の厚さではなく、ペアの厚さを追跡することが重要です。 さまざまな製造誤差に対して10ペアのTiO 2 / SiO 2 （青色スペクトル）のミラーで何が起こるかを見てみましょう。 1つの材料のすべての層が10％厚く、2番目の層が10％薄い（緑）場合、ペアの厚さは変わらず、ミラーの品質は非常に弱く変わります。 同時に、1つのレイヤーだけが5％ずれると、ペアの厚さが変化し、スペクトルが著しくシフトします（赤い曲線）。
必要な場所
もちろん、まず第一に、対応するR＆Dには転送行列法が必要です。 レーザーダイオード、ファイバーレーザー、ミラー（テラヘルツから軟X線まで）、狭帯域フィルター、さらには光学照明でさえ、それらと見なされます。
さらに、干渉は層の厚さに非常に敏感であることがわかりました。 原則として、特定の層状構造の組成がほぼわかっていれば、ナノメートルのオーダーの精度でその層の厚さを決定できます。 これを行うには、その反射スペクトルを測定し、アルゴリズムでレイヤーの厚さを変更して調整します。 階層構造のリバースエンジニアリングのためのこのようなシステムが判明しました。 さらに、そのコストは、同じ解像度の電子顕微鏡のコストよりも桁違いに低くなっています。
ここから別のアプリケーションが続きます-ミラーの生産に関するフィードバック。 製造されたミラーの反射スペクトルは測定が容易で、理論と比較できます。 違いが大きい場合、モデル化により、プロセスで何がうまくいかなかったかを示すことができます。 さらに、製造プロセス中にリアルタイムでフィードバックを取得できます。スプレーされたミラーに光が当たり、測定された反射スペクトルが画面に表示されます。
次は何ですか
上記の式は、通常の反射（ミラーに垂直な反射）を表します。 現実には、ある角度で反射するミラーが必要になることがよくあります。 このような計算の場合、アルゴリズムは少し複雑です。角度の異なる値に別のサイクルを追加する必要があります。
凹面鏡または凸面鏡を計算するのはもう少し難しくなります。表面の異なる部分を個別に考慮する必要があります。 通常、このような状況では、スペクトル、反射角、偏光特性などを犠牲にしなければなりません。 多くの場合、このタスクは、必要なパラメーターを最大化するように調整された遺伝的アルゴリズムで信頼されています。 すべての角度からの光を反射するミラーを作成できるとしましょう。ただし、スペクトルと品質は最高ではありません。 または、約99.999％の反射でミラーを作成します-ただし、1つの波長と1つの角度でのみです。
小さなプラスは、周期構造を使用する必要がないということです。レイヤーの厚さは好きなように変えることができます（このようなミラーはaperiodicと呼ばれます）。 すぐに数十個の厚さを変えることができます-遺伝的アルゴリズムの広大さ！ これが、マイクロエレクトロニクスの最新の技術プロセスで使用されるX線リソグラフィーのミラーの計算方法です。
ソース
M.ボーン、E。ウルフ「Fundamentals of Optics」。
dxdyフォーラムには、チェビシェフ多項式に関する良い投稿があります。
写真： KDPV 、 1、2、3 。