Clever Geek Handbook

フヌリ゚倉換に関する簡単な蚀葉で

䞀般的に蚀えば、圌らはフヌリ゚倉換のような玠晎らしい数孊的ツヌルの存圚を知っおいるず思いたす。 しかし、倧孊では、䜕らかの理由で、この倉換がどのように機胜し、比范的少数の人々がそれを正しく䜿甚する必芁があるかを理解できないほど䞍十分に教えられおいたす。 䞀方、この倉換の数孊は驚くほど矎しく、シンプルで゚レガントです。 フヌリ゚倉換ず、アナログ信号をデゞタル凊理甚にデゞタルに効率的に倉換する方法に関する関連トピックに぀いお、皆さんにもう少し孊ぶこずを勧めたす。



画像 cxkcd



耇雑な数匏ずmatlabを䜿甚せずに、次の質問に答えようずしたす。





読者は積分が䜕であるか、 耇玠数  およびそのモゞュヌルず匕数 、 関数の畳み蟌みに加えお、少なくずも「指で」 ディラックデルタ関数が䜕であるかを読者が理解しおいるずいう前提から進みたす。 わからない-それは重芁ではありたせん、䞊蚘のリンクを読んでください。 このテキストの「関数の積」によっお、どこでも「点ごずの乗算」を意味したす



おそらく、通垞のフヌリ゚倉換は、名前が瀺すように、ある関数を別の関数に倉換する、぀たり実倉数xtの各関数をそのスペクトルたたはyのフヌリ゚倉換に関連付ける䞀皮のものであるずいう事実から始めなければなりたせんw







類掚するず、同様の意味の倉換の䟋が埮分ずしお機胜したす。たずえば、関数をその埮分に倉えるこずができたす。 ぀たり、フヌリ゚倉換は、本質的には導関数を取埗するのず同じ操䜜であり、倚くの堎合、同様の方法で瀺され、関数䞊に䞉角圢の「キャップ」を描きたす。 実数に察しお決定できる埮分ずは察照的に、フヌリ゚倉換は垞により䞀般的な耇玠数で「機胜」したす。 このため、耇玠数は1ではなく、実数で動䜜するグラフ䞊の2぀の座暙によっお決定されるため、この倉換の結果の衚瀺には垞に問題が発生したす。 原則ずしお、最も䟿利な方法は、モゞュヌルず匕数の圢匏で耇玠数を衚し、それらを別々に2぀のグラフずしお描画するこずです。







この堎合、耇玠数倀の匕数のプロットは「䜍盞スペクトル」ず呌ばれ、モゞュヌルのグラフは「振幅スペクトル」ず呌ばれたす。 通垞、振幅スペクトルは非垞に重芁であるため、スペクトルの「䜍盞」郚分が芋萜ずされるこずがよくありたす。 この蚘事では、「振幅」にも焊点を圓おたすが、グラフの欠萜した䜍盞郚分の存圚を忘れおはなりたせん。 たた、通垞の耇玠数倀のモゞュヌルの代わりに、10進数の10倍の10が描画されるこずが倚く、その結果、デシベルdBで衚瀺される倀の察数グラフが埗られたす。







察数グラフの負の数が倧きくない-20 dB以䞋こずは、「通垞の」グラフではほずんどれロであるこずを意味したす。 したがっお、そのようなグラフのさたざたなスペクトルの長くお広い「尟」は、「通垞の」座暙で衚瀺されるず、原則ずしお事実䞊消えたす。 このような奇劙な䞀芋衚珟の利䟿性は、さたざたな関数のフヌリ゚画像を盞互に乗算する必芁があるこずが倚いずいう事実から生じたす。 耇玠数倀のフヌリ゚画像を同様に点ごずに乗算するず、それらの䜍盞スペクトルが加算され、振幅スペクトルが加算されたす。 前者は簡単で、埌者は比范的難しいです。 ただし、振幅を乗算するず振幅の察数が加算されるため、䜍盞グラフのような察数振幅グラフは単玔に点ごずに加算できたす。 さらに、実際の問題では、信号の「振幅」ではなく、「パワヌ」振幅の2乗で動䜜する方が䟿利な堎合がよくありたす。 察数目盛では、䞡方のグラフ振幅ずパワヌの䞡方は同䞀に芋え、係数のみが異なりたす。パワヌグラフのすべおの倀は、振幅スケヌルの2倍です。 したがっお、呚波数デシベル単䜍で電力分垃をプロットするには、䜕も二乗するこずはできたせんが、10進数の察数を蚈算し、20を掛けたす。



あなたは退屈しおいたすか 少し埅っおください。チャヌトの解釈方法を説明する蚘事の退屈な郚分で、たもなく終了したす:)。 しかし、これの前に、非垞に重芁なこずを理解する必芁がありたす䞊蚘のスペクトルのグラフは、限られた倀の範囲特に、正の数で描かれおいたすが、これらのグラフはすべお実際にはプラスずマむナスの無限に続きたす。 グラフは単にグラフの「最も意味のある」郚分を衚したす。これは通垞、負のパラメヌタヌ倀にミラヌリングされ、より倧きなスケヌルで怜蚎するず、いく぀かのステップで定期的に繰り返されるこずがよくありたす。



グラフに䜕を描画するかを決定したら、フヌリ゚倉換自䜓ずそのプロパティに戻りたしょう。 この倉換を決定するにはいく぀かの異なる方法がありたすが、詳现は異なりたす異なる正芏化。 たずえば、私たちの倧孊では、䜕らかの理由で、フヌリ゚倉換の正芏化を䜿甚するこずが倚く、角呚波数ラゞアン/秒の芳点からスペクトルを決定したす。 通垞の呚波数ヘルツの芳点からスペクトルを定矩する、より䟿利な西掋匏を䜿甚したす。 この堎合の盎接および逆フヌリ゚倉換は巊偎の匏によっお決定され、必芁なこの倉換のいく぀かのプロパティは右偎の7぀の項目のリストによっお決定されたす。







これらのプロパティの最初は線圢性です。 関数の線圢結合をずるず、この結合のフヌリ゚倉換は、これらの関数のフヌリ゚画像の線圢結合になりたす。 この特性により、耇雑な関数ずそのフヌリ゚倉換をより単玔な関数に枛らすこずができたす。 たずえば、呚波数fおよび振幅aの正匊関数のフヌリ゚倉換は、ポむントfおよび-fに䜍眮し、係数a / 2の2぀のデルタ関数の組み合わせです。







異なる呚波数の正匊波の集合の合蚈で構成される関数を䜿甚する堎合、線圢性に埓っお、この関数のフヌリ゚画像は察応するデルタ関数の集合で構成されたす。 これにより、「振幅aが関数のスペクトルの呚波数fに察応する堎合、元の関数は正匊波の合蚈ずしお衚すこずができ、そのうちの1぀は呚波数fず振幅2aの正匊波である」ずいう原則に埓っお、スペクトルを単玔に芖芚的に解釈できたす。 厳密に蚀えば、デルタ関数ずグラフ䞊の点は完党に異なるものであるため、この解釈は正しくありたせんが、埌で芋るように、離散フヌリ゚倉換では真実からそれほど遠くありたせん。



フヌリ゚倉換の2番目の特性は、信号の時間シフトからの振幅スペクトルの独立性です。 関数をx軞に沿っお巊右に移動するず、その䜍盞スペクトルのみが倉化したす。



3番目のプロパティは、時間軞xに沿った元の関数の拡匵圧瞮であり、呚波数スケヌルwでそのフヌリ゚むメヌゞを比䟋的に圧瞮ストレッチしたす。 特に、有限の持続時間の信号のスペクトルは垞に無限に広く、逆の堎合、有限の幅のスペクトルは垞に無制限の持続時間の信号に察応したす。



4番目ず5番目のプロパティは、おそらく最も有甚です。 関数の畳み蟌みをフヌリ゚画像の点ごずの乗算に、たたはその逆に-関数のフヌリ゚画像の畳み蟌みぞの点ごずの乗算を枛らすこずができたす。 もう少し詳しく説明したす。



6番目の特性は、フヌリ゚画像の察称性に぀いお述べおいたす。 特に、この特性から、実数倀関数぀たり、「実」信号のフヌリ゚倉換では、振幅スペクトルは垞に偶数関数であり、䜍盞スペクトル範囲-pi ... piに移動した堎合は奇数です。 。 このため、スペクトルの負の郚分はほずんどスペクトルグラフにプロットされたせん。実数倀の信号の堎合、新しい情報は提䟛されたせんただし、れロではありたせん。



最埌に、最埌の7番目の特性は、フヌリ゚倉換が信号の「゚ネルギヌ」を保存するこずを瀺唆しおいたす。 これは、゚ネルギヌが有限である有限持続時間の信号に察しおのみ意味があり、無限倧でのそのような信号のスペクトルはすぐにれロに近づくこずを瀺唆しおいたす。 この特性により、原則ずしお、゚ネルギヌの倧郚分を運ぶ信号の「䞻芁な」郚分のみが通垞スペクトルグラフに描かれたす-グラフの残りの郚分は単玔にれロになりたすただし、再びれロではありたせん。



これらの7぀のプロパティを䜿甚しお、信号の「デゞタル化」の数孊を芋おみたしょう。これにより、連続信号を䞀連の数倀に倉換できたす。 これを行うには、「Dirac comb」ず呌ばれる機胜を䜿甚する必芁がありたす。







ディラックコヌムは、れロから始たりステップTで始たる単䜍係数を持぀デルタ関数の呚期的なシヌケンスです。信号をデゞタル化するには、Tをできるだけ小さく、T << 1を遞択したす。 この関数のフヌリ゚画像もディラックコヌムであり、非垞に倧きな1 / Tステップずわずかに䜎い係数1 / Tしかありたせん。 数孊的な芳点から芋るず、信号の時間による離散化は、単に元の信号にディラックの櫛を点ごずに乗算するこずです。 倀1 / Tは、サンプリング呚波数ず呌ばれたす。







連続関数の代わりに、そのような乗算の埌、特定の高さの䞀連のデルタパルスが取埗されたす。 さらに、フヌリ゚倉換の特性5によるず、結果ずしお埗られる離散信号のスペクトルは、元のスペクトルず察応するディラックコヌムの畳み蟌みです。 畳み蟌みの特性に基づいお、元の信号のスペクトルは、呚波数軞に沿っお1 / Tの増分で無限に「コピヌ」され、合蚈されるこずは容易に理解できたす。







元のスペクトルの幅が有限であり、十分に倧きいサンプリング呚波数を䜿甚した堎合、元のスペクトルのコピヌは重耇しないため、䞀緒に加算されないこずに泚意しおください。 このような「厩壊した」スペクトルから元のスペクトルを埩元するのは簡単であるこずを理解するのは簡単です-れロの領域のスペクトル成分を取り、無限に行く䜙分なコピヌを「切断」するだけで十分です。 これを行う最も簡単な方法は、-1 / 2T ... 1 / 2Tの範囲でTに等しく、この範囲倖のれロに等しい矩圢関数をスペクトルに乗算するこずです。 同様のフヌリ゚倉換は関数sinc Txに察応し、プロパティ4によるず、このような乗算はデルタ関数の元のシヌケンスず関数sincTxの畳み蟌みに盞圓したす。









぀たり、フヌリ゚倉換を䜿甚するず、元の信号に存圚する最倧呚波数を超える少なくずも2倍のサンプリング呚波数スペクトルに負の呚波数が存圚するためを䜿甚するずいう条件䞋で、時間離散化された信号から元の信号を簡単に埩元する方法が埗られたした。 この結果は広く知られおおり、 「コテルニコフ/シャノン-ナむキストの定理」ず呌ばれおいたす。 しかし、今では蚌拠を理解しお簡単に気付くので、この結果は、誀解が広たっおいるのずは反察に、元の信号を埩元するのに十分ではあるが必芁ではない条件を決定したす。 必芁なのは、信号をサンプリングした埌、関心のあるスペクトルの䞀郚が重ならないこずを確認するこずです。信号が十分に狭垯域である堎合スペクトルの非れロ郚分の小さな「幅」がある堎合信号の最倧呚波数の2倍以䞊。 同様の手法は「アンダヌサンプリング」 サブサンプリング、 垯域サンプリング ず呌ばれ、あらゆる皮類の無線信号の凊理に広く䜿甚されおいたす。 たずえば、88〜108 MHzの呚波数垯域で動䜜するFMラゞオを䜿甚する堎合、コテルニコフの定理で想定される216 MHzではなく、43.5 MHzの呚波数のADCを䜿甚しおデゞタル化できたす。 ただし、この堎合、高品質のADCず優れたフィルタヌが必芁です。



高次の呚波数ず䜎次の呚波数゚むリアスの「重耇」は、信号サンプリングの盎接的な性質であり、結果を䞍可逆的に「損なう」こずに泚意しおください。 したがっお、原則ずしお信号に高呚波呚波数が含たれる堎合぀たり、ほずんどの堎合、アナログフィルタヌがADCの前に配眮され、元の信号では䞍芁なものはすべお盎接「カットオフ」されたすサンプリング埌にこれを行うには遅すぎるため。 アナログデバむスずしおのこれらのフィルタヌの特性は䞍完党であるため、信号の「スポむリング」が䟝然ずしお発生し、実際には、スペクトルの最高呚波数は原則ずしお信頌できたせん。 この問題を軜枛するために、入力アナログフィルタヌをより䜎い通過垯域に配眮し、ADCの理論的に利甚可胜な呚波数範囲の䜎い郚分のみを䜿甚しながら、信号を過倧評䟡のサンプリングレヌトでサンプリングするこずがよくありたす。



ちなみに、もう1぀のよくある誀解は、DACの出力の信号が「ステップ」で描画されるこずです。 「ステップ」は、幅Tおよび高さ1の矩圢関数を䜿甚した、サンプリングされた信号シヌケンスの畳み蟌みに察応したす。







この倉換䞭の信号のスペクトルは、この長方圢関数のフヌリ゚倉換で乗算されたす。同様の長方圢関数では、sincwであり、匷いほど「ストレッチ」され、察応する長方圢の幅が小さくなりたす。 同様の「DAC」でサンプリングされた信号のスペクトルには、このスペクトルが点ごずに乗算されたす。 さらに、スペクトルの「䜙分なコピヌ」を䌎う䞍必芁な高呚波は完党にはカットされず、逆にスペクトルの「有甚な」郚分の䞊郚は匱められたす。







もちろん、実際には誰もしたせん。 DACの構築にはさたざたなアプロヌチがありたすが、意味が最も近い蚈量タむプのDACでさえ、逆にDACの矩圢パルスは、スペクトルの有甚な郚分を䞍必芁に抑制するこずを避けるために、可胜な限り短く遞択されたす実際のデルタ関数のシヌケンスに近づく。 結果ずしお生じる広垯域信号の「過剰な」呚波数は、アナログロヌパスフィルタヌに信号を通すこずによっおほが垞に抑制されるため、コンバヌタヌの「内郚」にも、その出力にも「デゞタルステップ」はありたせん。



ただし、フヌリ゚倉換に戻りたす。 事前にサンプリングされた信号シヌケンスに適甚される䞊蚘のフヌリ゚倉換は、離散時間フヌリ゚倉換DTFTず呌ばれたす。 このような倉換によっお埗られるスペクトルは垞に1 / T呚期的です;したがっお、DTFTスペクトルは区間[0 ... 1 / Tの倀によっお完党に決定されるため、DTFTスペクトルはこの区間に制限されるこずがよくありたす。 さらに、DTFTの結果は、サンプリングされた信号のスペクトルであるずいう事実にもかかわらず、䟝然ずしお「アナログ」機胜です。 さらに、「通垞の」実数倀信号の堎合、このスペクトルの埌半は、特性6により、ナむキスト呚波数1/2 Tに察しお反射される巊半分を反映したす。



これたで、マむナスからプラスの無限倧たで定矩された信号が倉換の入力に到達するず仮定したした。 ただし、利甚可胜な実際の信号の長さは垞に有限です。どうすればよいですか FTおよびDTFTでこの問題を解決するために、最終信号には巊右に無限にれロが埋め蟌たれたす。 元の信号が元々有限でありこれが別のむンパルスである堎合、それが完党にフヌリ゚倉換に該圓する堎合、このアプロヌチは望たしい結果を盎接䞎えたす。 ただし、倚くの堎合、フヌリ゚倉換に䜿甚される「最終」信号は、実際には、たずえば正匊波など、より長く、堎合によっおは無限の信号の䞀郚です。 この堎合、れロを含む最終セグメントの远加は次のように解釈されたす。元の信号の長さは無限に長いず考えられたすが、その埌、重み関数が掛けられたす。枬定に䜿甚できるセグメントの倖偎に消える「りィンドり」です。 最も単玔な堎合、「りィンドり」の圹割は、巊右の最終信号に無限のれロを远加するだけであるずいう事実に察応する、単なる長方圢の機胜によっお果たされたす。 より耇雑なものでは、最初のシヌケンスに「りィンドり」関数によっお決定された重みが乗算され、再びれロが远加されたす。







既におなじみのプロパティ5を䜿甚するず、このような乗算では、初期信号が窓関数のスペクトルで単玔に厩壊するこずが簡単にわかりたす。 たずえば、正匊波デルタ関数のスペクトルを枬定しようずしお、枬定間隔を長方圢のりィンドりに制限するず、デルタ関数の代わりに結果のスペクトルにりィンドりのスペクトルが衚瀺されたす-぀たり TsincTxf







この堎合、Tは信号を制限する間隔の長さであるため、入力信号が長くなるほど、芳枬されるスペクトルが真のデルタ関数に近くなりたす。 メむンロヌブの最終的な「幅」は、呚波数が互いに近い゜ヌス信号の正匊波の存圚を確実に区別するこずを䞍可胜にし、「サむドロヌブ」の存圚は、離れた呚波数に小さな歪みを導入し、特にスペクトルを枬定する必芁がある堎合、個々の呚波数の振幅を正確に枬定するこずを困難にしたすスペクトル内の1桁のより匷力な成分の存圚䞋での小振幅の領域。 この効果は「スペクトル挏れ」ず呌ばれ、無限の信号に察しお完党に無効にするこずはできたせんが、信号が枬定される間隔が長くなるほど、この挏れの圱響は小さくなりたす。 りィンドり関数を遞択するこずで、メむン呚波数付近にスペクトルを集䞭させるこずでこのスペクトルを匷く「がかす」が、隣接する呚波数に干枉しない、たたはどこにでも拡散させるピヌクのがけは枛少するが「ノむズ」は増加し、その結果、このリヌクの「幅」を制埡できたす-個々の呚波数の振幅の枬定誀差。スペクトル挏れで遞択されたサンプリング呚波数はほずんど圹割を果たさないこずに泚意しおください-短い信号スパンは少なくずも10 GHzでサンプリングできたすが、これは枬定可胜な呚波数の数を増やすだけですが、個々の呚波数を決定する粟床は䟝然ずしお䜎いたたです。



興味深い特別なケヌスは、離散呚波数nFのセットを持぀信号が呚波数mFでサンプリングされる状況です。ここで、m、nは敎数です。この堎合、「りィンドり」のれロずスペクトル内のデルタ関数の䜍眮は正確に䞀臎し、呚波数はただ「䞍鮮明」ですが、ポむントmFでの振幅は真の振幅ず䞀臎したす。「ノむズ」はれロです。この性質により、離散フヌリ゚倉換のコテルニコフ定理の類䌌物を蚌明するこずができたすが、実際には、そのような信号は残念ながら実際には発生したせん。



そこで、「入力」を蚈算したした。無限長の連続関数から、有限数の離散サンプルを取埗しお凊理するこずができ、その代わりにスペクトルの幅ず呚波数挏れの制限がありたした。ただし、「終了」DTFTは䟝然ずしお継続的な機胜であり、コンピュヌタヌでの䜜業は困難です。実際には、この問題は非垞に簡単に解決されたす-完党なセグメント[0,1 / Tはk個の等しい郚分に分割され、DTFTは点fi = i / kTi = 0,1、... k-1で考慮されたす結果の構造は、「離散フヌリ゚倉換」DFTず呌ばれたす。







Tず「りィンドり」の遞択に関連する質問からTを削陀するこずにより、最埌の倉換を正芏化するず䟿利です。この正芏化された衚蚘は、N耇玠数のシヌケンス倉換ずしおのDFTの定矩ずしおよく䜿甚されたす。







この圢匏で蚘述されたフヌリ゚倉換の矎しさは、DTFTのすべおの利点を保持しながら、「スムヌズ」 kの同様のDTF たずえば、2のべき乗をk logkのオヌダヌで非垞に迅速に蚈算できるこずです。察応するアルゎリズムは「高速フヌリ゚倉換」FFTず呌ばれ、䞀般的にはいく぀かありたす。ただし、実甚的な芳点からは、それらはすべお「ブラックボックス」ず芋なすこずができ、入力で䞀連の耇玠数を受け取り、出力で䞀連の耇玠数を発行したす。したがっお、有限長のサンプリングされた信号を䜿甚するず、この信号に最初に適切な重み関数が乗算され、次に右偎に必芁な数のれロが远加され、FFTアルゎリズムに枡されたす。



結果を解釈する方法は䞊蚘を考慮しお、





たあ、それがすべおです。フヌリ゚倉換ずFFTアルゎリズムがシンプルでわかりやすく、䜿いやすいツヌルになるこずを願っおいたす。


More articles:


All Articles