少し前まで、あるソーシャルネットワークの広大さのどこかで、次のゲームを見ました:プレイヤーは正の整数でホストに送信します(それを呼び出しましょう)(プレイヤーはお互いの番号を知らない)、最小の一意の番号を送信した人が勝ちます。 たとえば、7人のプレイヤーがプレイし、5、4、2、1、1、2、6の数字を送信した場合、4の数字を送信したプレイヤーが勝ちます。 このゲームを「正しく」「プレイ」する方法は非常に興味深いものになりましたが、 n人のプレーヤーに独自のソリューションがある場合はかなり複雑でわかりにくいため、3人と4人のプレーヤーの特定のケースを検討します。
3人のプレーヤーの場合
{1、2、3}から選択
行きましょう。 まず、制限を導入します:プレイヤーは{1、2、3}からのみ数字を選択できるようにします(その後、自然数を選択する方が簡単で明白になります)。 私たちが今やろうとしていること:そのような混合戦略を見つける




プレイヤー2と3がこれらの確率を使用し、プレイヤー1が勝つチャンスを増やすことに決め、今度は戦略を使用すると仮定します。




そのため、プレーヤー1は勝つチャンスを増やす必要があります



もちろん、平等(*)を考慮して解決します。 次の確率が得られます。

できた! 結論はどれですか? 3人のプレイヤーが{1、2、3}からのみ選択できる場合、それぞれの最適な戦略は次のとおりです。ケースの約半分で1を選択し、約4分の1で2を選択し、約4分の1で3を選択します。 これがナッシュ均衡になります。
任意の自然数の選択
それでは、プレイヤーが数字を選択できるセットの制限を削除するとどうなりますか?また、そのようなゲームのナッシュ均衡をどのように見つけるのでしょうか? プレイヤーが特定の番号iを選択した場合、すべてのプレイヤーが厳密にiよりも小さい同じ番号を選択するか、両方が厳密にiよりも大きい番号を選択した場合にのみ勝ちます。 したがって、各プレイヤーについて、勝利の確率





これはどういう意味ですか? 得られた方程式に特定の数値を代入すると、最初の7つの場合、およそ次の確率が得られます。

つまり、ナッシュ均衡は、各プレーヤーが約0.46の確率、0.25-2の確率、0.13-3の確率などで1を選択するような戦略のセットになります。
4人のプレーヤーの場合
4人のプレイヤーと同じゲームは、3人のゲームとそれほど違いはありません。 この場合、最大化される関数の形式は次のとおりです。

何ですか?

解決策は次のとおりです。

そのため、ほとんどの場合、数字の1と2を選択する必要があり、時には3 、非常にまれに4を選択する必要があり、4を超える数字を扱う必要はほとんどありません。
ご清聴ありがとうございました。 ゲームをする。