空力プロセスのモデリング用プログラムでFreefem ++およびNetGenを使用した経験

はじめに

この記事の著者は、かなり珍しいプロジェクトを完了する機会がありました。 クリーンルーム内の空気の流れのプロセスをモデル化するための商用プログラムを開発する必要がありました。 クリーンルームは、空気の純度、温度、速度に関する特定の要件を満たす生産室です。 純度の主な指標は純度クラスです。これは、空気中の粒子の濃度に応じてGOSTによって決定されます。 クリーンルーム内の空気の流れは、部屋からほこりやエアロゾルが効果的に除去されるように誘導されます。 要件により、空間と時間の温度勾配も制限される場合があります。 Cleanroomプログラムは、クリーンルームデザイナーツールとして使用するように設計されています。 その助けを借りて、設計者は機器と通気要素を配置する必要があり、モデリングプロセスの結果に従って、指定された清浄度要件への配置オプションの準拠の程度を決定します。



ここでは、粒子濃度のモデリングと純度クラスの計算は考慮しません。 開発されたプログラムでは、本www.asincom-group.ru/book.htmに記載されているGustavssonメソッドに従って、部屋全体の清浄度クラスが計算されます。 その実装に根本的な問題はありませんでした。 部屋のスペース内の塵の動きをモデル化する実装は非常に便利ですが、このタスクはプロジェクトの予算に収まりませんでした。



空気の動きは、Navier-Stokes方程式系によって記述されます。これは、多数の文学的な情報源に当てられており、ここでも基盤の簡単な説明がありますhabrahabr.ru/post/171327 。 方程式は、空気の速度、温度、圧力を相互に関連付けます。 クリーンルームでは、供給換気、排気換気、および空気加熱装置のパラメーターが、進行中の空力プロセスの境界条件を構成します。



ナビエ・ストークス方程式は偏微分方程式系であり、いくつかの単純な場合を除いて、解析的に解くことができません。 したがって、原則として、このシステムは有限要素法によって数値的に解かれます。 このような問題を解決するために、CFDクラス（計算流体力学）に関連する普遍的なアプリケーションがあります。 これらは非常に複雑で高価なソフトウェア製品（Ansys、SolidWorks、Flow Visionなど）であり、さまざまな条件で液体と気体の流れを調べることができます。 これらのアプリケーションの汎用性は、ユーザーが物理学と数学の非常に高いレベルの知識を持たなければならないという事実につながり、これらのプログラムの開発には何ヶ月ものトレーニングと実習が必要です。



私たちの場合、次の機能を提供する特別なプログラムを開発する必要がありました。

1. 部屋と技術コンポーネントの幾何学的寸法を入力します。 すべての表面と表面の個々の領域の温度を入力します。
2. 給排気換気の要素に対応する表面の領域の幾何学的寸法を入力し、境界を越える空気移動のパラメーターを設定します。
3. 風速のベクトル場とスカラー温度場の計算。 これらのフィールドのグラフィック表示。

このプログラムでは、Navier-Stokes方程式系がBoussinesq近似で使用されました。 空気密度の温度依存性を単純化して。 配置と施設の技術的要素は、平行六面体または平行六面体の組み合わせで表されます。 パラメーターを持つ長方形の領域は、配置要素の端に重ねられます。 配置要素の面とそれらに重ねられた領域は、境界条件を定義します：温度と風速。 有限要素法による連立方程式の解は、望ましい結果をもたらします。それは、室内の空気速度のスカラー温度場とベクトル場です。 したがって、開発中のプログラムは、同じNavier-Stokes方程式系の特殊なソルバーであり、配置された部屋と機器の構成が異なると境界条件のみが変化します。 図 図1に、シミュレーション結果のウィンドウを示します。 グラフィカルにシミュレートされた部屋と速度と温度のフィールドは、3つの平面のセクションとして表示されます。



図 1.シミュレーション結果のあるアプリケーションウィンドウ



このアプリケーションは、その明らかな高度な技術にもかかわらず、比較的短時間で開発されました。 これは、サードパーティのオープンソースライブラリFreefem ++およびNetGenを使用することで可能になりました。 この記事の目的は、私たちの経験により、他の開発者がこれらのライブラリを使用して、このようなアプリケーションの開発における「落とし穴」を回避できるようにすることです。

有限要素法の実装

Navier-Stokes方程式を解くための適切なライブラリの検索は、流体力学的問題を解くための特殊なソフトウェアと、偏微分方程式のシステムを解くための汎用ツールの両方で実行されました。 同時に、進行中のプロジェクトの次の機能を考慮する必要がありました。 開発中のCleanroomプログラムは、Windowsで実行する必要がある商用製品です。 有料ライブラリを取得する可能性は、参照条件によって除外されました。 したがって、サードパーティのライブラリは無料であり、商用製品で使用できるライセンスを持っている必要がありました。



後者の制限により、 GNU GPLの下でライセンスされているサードパーティのソフトウェア製品の使用が禁止されました。 したがって、たとえば、広く知られている広く使用されているOpenFoamライブラリ（公式Webサイトはwww.openfoam.orgであり、ここにhabrahabr.ru/company/intel/blog/170675の簡単な説明があります ）を放棄する必要がありました。 他のライブラリは、不適切なライセンスを持っているか、プロジェクトが凍結されており、その使用には大きなリスクが伴います。 すべてのパラメーターに適した唯一のライブラリは、Freefem ++でした。



Freefem ++（公式サイトwww.Freefem.org/ff++ ）は、偏微分方程式の数値解法のためのプログラムです。 有限要素法に基づいています。 これは、入力でプログラムテキスト（スクリプト）を含むファイルを受け入れるアプリケーションで、特殊なC言語のような問題の解決策を説明しています。 Freefem ++の入力言語には、変数宣言、ループ演算子、分岐演算子、C ++ストリームI / O演算子、関数宣言、基本データ型、配列、ファイルなどの基本的なアルゴリズム構造が含まれます。 この言語の微分方程式系を解くために、特別なデータ型と関数が提供されています。 これらのタイプは、これらのグリッドに基づいた有限要素の空間である三角形分割グリッドです。 関数と積分の導関数を記述する特別な方法があります。 問題の変分定式化が記述され、方程式系が解かれる特別な解決構造が提供されます。



ナビエ・ストークス方程式のシステムを解くために、連続して使用される2つの変分定式化が与えられます。 最初のものを使用して、特定の時点での特定の温度値での空気の速度と圧力について方程式系が解かれます。 2番目の変分定式化により、計算された速度場から温度場を再計算できます。 このプロセスは、後続の時間サンプルに対して周期的に繰り返されます。 第1変分定式の構成には、気流速度の境界条件が含まれます。 貫通できない壁の場合、速度はゼロに設定され（固着効果）、給気と排気の換気領域では、空気の移動の方向と速度が示されます。 2番目の変分定式化には、壁温度値の形式で指定された境界条件が含まれます。



プロパティを割り当てる必要のある幾何学的要素は、空間図形の表面およびそれらの表面領域としてユーザーに表示されます（図2を参照）。 したがって、Freefem ++の場合、メッシュ境界上の三角形が表面の領域に完全に収まるように、図3に示すように、有限要素メッシュを形成する必要があります。 3.境界三角形の3次元有限要素メッシュのデータタイプmesh3では、ラベル（識別子）が付加されます。 これらのラベルは、変分定式化で使用され、境界上の対応する関数を指定します。





図 2.境界条件を指定する必要がある表面の領域





図 3.有限要素空間の境界三角形

有限メッシュ生成

残念ながら、Freefem ++には独自の3Dメッシュジェネレーターがありません。 この目的のために、Freefem ++の作成者は、サードパーティのTetGenモジュール（http://tetgen.berlios.de）の使用を提案しています。 TetGenモジュールは、Freefem ++の標準的な方法（ロードオペレーター「tetgen」）でスクリプトに接続されます。 この言語には、3Dグリッドを生成するための定義済みの関数がいくつかあり、これらは実際にこのモジュールによって実装されます。 ただし、このモジュールには一種のライセンスがあり、商用アプリケーションでTetGenを使用する可能性について著者との合意が必要です。 そのため、この3Dメッシュジェネレーターを放棄し、その代替品を探す必要がありました。



Freefem ++には、メッシュ形式のテキストファイルからの3Dメッシュインポートステートメントがあります。 したがって、ほとんどすべてのサードパーティ製ジェネレーターを使用できます。 ただし、開発では、サードパーティの有限要素メッシュジェネレーターは、商用アプリケーションでの使用を許可するライセンスを持つ無料の製品である必要があります。 最終的に、NetGenが選択されました（http://sourceforge.net/projects/netgen-mesher/）。



NetGenは3Dグリッドを生成および表示するように設計されており、いくつかのライブラリで構成されています。 メインのnglibライブラリは、メッシュ生成を直接実装します。 四面体要素で埋める空間を指定するには、2つの方法があります。

1. 構成ソリッドジオメトリ（CSG）演算子を使用して空間を定義します。 このテクノロジーでは、ユニオン、インターセクション、差分などの操作が指定されるプリミティブオブジェクトのセットによって、目的の空間が記述されます。
2. STLファイル内の目的のスペースの境界であるサーフェスの説明。 この形式では、表面情報は、表面の三角形の面とその法線の座標として表されます。

建設的なブロックジオメトリを使用する魅力にもかかわらず、放棄する必要がありました。 作業の声明によれば、部屋の表面と配置要素には、独自のモデリングパラメーター（温度と風速）を持つ領域が含まれる場合があります。 建設的なブロックジオメトリの実装では、プリミティブな空間図形全体の表面プロパティのみを設定できます。 しかし、個々の地域のプロパティを設定する合理的な方法を見つけることはできませんでした。



この問題を解決するには、STL形式の幾何学的記述に従って有限要素を形成するオプションのみが適切であることが判明しました。 このファイルを作成するには、最初に空間の境界を構成するサーフェスを三角形分割する必要があります。 さらに、表面に重ねられた領域を考慮して三角測量を実行する必要があります。

STL形式での表面記述の生成

Freefem ++を使用して表面の三角測量を実行することが決定されました。これは、3Dメッシュ生成の実装とは異なり、これらの目的で追加のサードパーティモジュールを使用しません。 開発されたアプリケーションでは、すべての配置要素と部屋が平行六面体で表されているため、それらの表面の三角形分割を取得するために、2つの操作を実行する必要がありました。

1. 顔に重ねられた領域を考慮して、各顔の2D三角形分割を実行します。
2. 結果の三角形の頂点に3D空間座標が割り当てられます。

Freefem ++で2D三角形分割を実行するために必要な初期データは、特別なタイプのオブジェクト-ボーダーによって表されます。 そのようなオブジェクトでは、境界の1つのフラグメントのパラメトリックレコードが示されます。 三角形分割ネットワークを形成するために、共有表面のすべての境界が入力に転送されるbuildmesh関数が意図されています。 同時に、境界の各フラグメントについて、境界に基づく三角形のセグメントの数が示されます。 この場合、この数量は1に等しいことを示す必要があります。 境界の各フラグメントは、三角形分割三角形の1つのエッジになります。



ユーザーが入力した初期データは、表面の重ね合わせられた領域を示します（図4-a）。 このような重複の結果として、配置要素の一方の面に、任意の複雑さの多くの境界が形成される可能性があります。 三角測量手順を実行するには、図3に示すように、領域に関する幾何学的データを有向セグメントのシステムに変換する必要があります。 4-b。 対応するアルゴリズムは、Cleanroomの作成者によって実装されています。 結果の境界システムは、Freefem ++の入力に渡されるスクリプトに記述されています。 このスクリプトは、三角形分割の結果をファイルに出力します（図4-cの三角形分割の例）。 その後、ファイルから三角形分割を読み取った開発済みプログラムは、三角形が属する表面の領域の物理的特性のセットに対応する識別子を各三角形に割り当てます。 明らかに、すべてのレイアウト要素のすべての面の三角形分割は、Freefem ++の1回の呼び出しで1つのスクリプトによって実行できます。



図 4.表面領域の境界システムと表面三角測量への変換

Freefem ++およびNetGenを使用するための一般的なアルゴリズム

モデリング手順でFreefem ++とNetGenの呼び出しシーケンスをまとめましょう。 モデリングの初期データは、表面領域の物理特性を持つ配置要素のオブジェクトモデルであることを思い出してください。 次のアクションが実行されます。

1. すべての配置要素の各面に有向セグメントの形で地域境界のシステムを形成（図4を参照）。
2. Freefem ++用のスクリプトファイルを作成し、三角形化するサーフェスの境界の説明を作成します。
3. Freefem ++を呼び出します。 その入り口には、準備されたスクリプトファイルがあります。 Freefem ++は、指定された表面を三角形分割します。 出力は、レイアウト要素の面の2D三角形分割ファイルです。
4. 2D三角形を3D三角形に変換します。 STL形式のファイルの形成。三角形の頂点の座標とそれらの法線が示されます。
5. NetGen関数の呼び出しのシーケンスを作成します。 入力にはSTLファイルがあります。 NetGenは3D有限要素メッシュを生成します。 出力は、メッシュの四面体と境界三角形の説明を含むメッシュファイルです。
6. 微分方程式系を解くために、入力言語Freefem +のスクリプトを使用してファイルを準備します。 このスクリプトは、メッシュファイルから有限要素メッシュをインポートします。 境界三角形のラベルの境界条件がスクリプトに書き込まれます。
7. Freefem ++を実行しています。 入力には、メッシュファイルとスクリプトファイルがあります。 Freefem ++は、Navier-Stokes方程式系を解きます。 出力では、グリッドノードの空気速度成分の値を含むファイルと、グリッドノードの温度値を含むファイル。
8. 有限要素メッシュのメッシュファイル、速度値のファイル、温度値のファイルの読み取り。 目的のフィールドをグラフィカル形式で表示します。

NetGenを使用して有限要素メッシュを生成する重要な機能は次のとおりです。 NetGenでは、有限要素メッシュの形成中に保存される、空間の表面上の一連の定義済みセグメント（NetGenの用語ではエッジ）を指定できます。 この場合、ユーザーがエッジとして指定した矩形領域の境界を設定する必要があります。 次に、NetGenは有限要素メッシュを生成し、境界三角形が表面の領域を密に埋めるようにします。 生成されたメッシュの各境界三角形は、完全に1つの長方形領域に分類されます。 このため、境界三角形について、指定された物理的特性（気流速度と温度）が決定され、その領域に対して示されました。 エッジが指定されていない場合、NetGenはSTL記述の元の三角形を保持せず、結果として得られる有限要素ネットワークの境界三角形は、任意に空間の表面を覆い、与えられたプロパティを持つ領域の境界を越えます。 そして、これは、三角形が境界条件の物理的特性に帰することができないことを意味します。



NetGenによって生成された有限要素メッシュのFreefem ++の入力への転送を実装すると、Freefem ++のドキュメントに記載されていない機能が明らかになりました。 Freefem ++にインポートされる有限要素メッシュを持つメッシュファイルでは、四面体要素は頂点番号を持つ文字列として記述されます。 Freefem ++のドキュメントの頂点の順序は指定されていません。 ただし、NetGenが発行した順序で四面体の頂点がリストされている場合、例外によりFreefem ++がクラッシュすることが判明しました。 Freefem ++ソースコードの分析により、各四面体の頂点は、Freefem ++で四面体の体積を計算した結果、負の数が得られないように指定する必要があることが示されました。 したがって、NetGenを使用して取得したグリッドの四面体の頂点は、それに応じて再配置する必要があります。 残念ながら、この事実の解明には開発中にかなりの時間がかかりました。



テスト問題を解くとき、微分方程式系を有限要素法に変換する代数方程式系を解くためのさまざまな方法には、有限要素の最大数に関する文書化されていない制限があることがわかりました。 入力言語Freefem ++でCG（共役勾配）として示されているメソッドのみが、例外なく実際の問題を解決することができました。

アプリケーション構造におけるFreefem ++およびNetGenの場所

クリーンルームでは、有限要素の形成と連立方程式の解法の手順が最もリソースを消費する部分であり、パフォーマンス要件が提示されるのはそれらです。 他のすべての機能のパフォーマンス要件は、比類のないほど低くなっています。 したがって、開発時間を短縮するために、C＃でCleanroomを開発することが決定されました。 NetGenのシームレスな使用、つまり C＃プログラムにC ++ライブラリを含めると、C ++ / CLIの薄層が開発されました。 NetGenから関数を呼び出し、データをビジネスロジックの層に適合させるために必要な変換を行います。 同時に、C ++ / CLIアセンブリは、C＃で開発されたデータレイヤーを使用します。 2つの異なる開発ツール（C ++およびC＃）の1か所でのこのような組み合わせは、非常に便利であることが判明しました。 Freefem ++はブートモジュールであるため、独立したアプリケーションとして呼び出され、ファイルとの通信が行われます。 開発されたプログラム構造を図に示します。 5。



図 5.クリーンルームのアプリケーション構造

支援ツール

アプリケーションをデバッグするために、STLファイル、メッシュファイル、および結果のプロセスフィールドを視覚的に表示できるさまざまなツールが使用されました。 STL形式で記述されたサーフェスを表示するには、GLC-player（http://www.glc-player.net/）が使用されました。 STLファイル内のエラーに対して非常に耐性があり、表面画像の欠陥によってこれらのエラーを検出できる場合があります。



Freefem ++プロジェクトにはffmeditプログラムが含まれています。これは、Freefem ++用のMeditプログラム（http://www.ann.jussieu.fr/frey/software.html）の適応です。 このプログラムは、メッシュファイルをレンダリングします。 その助けを借りて、有限要素の空間を詳細に検討できます。 この空間で計算された関数の等しい値の表面を見ることができます。 これを行うには、特定のルールに従って要素のグリッドの頂点にフィールド値のファイルを作成する必要があります。



NetGenには、同じライブラリを使用するユーティリティがあり、STLで指定されたサーフェスと有限要素メッシュのファイルの両方を表示できます。 このプログラムでは、STL記述に従って要素の3Dメッシュを生成し、繰り返し分割を実行し、個々のメッシュ四面体を表示できます。

おわりに

Freefem ++とNetGenを短時間で使用すると、数学的な機能が非常に複雑なプログラムを開発できました。 同時に、Freefem ++およびNetGenのライセンスは、開発中の製品のライセンスを制限しません。 Freefem ++およびNetGenの使用にはいくつかの問題がありますが、解決可能です。 そのため、Cleanroomと同様のソフトウェア製品の開発では、Freefem ++およびNetGenを使用することをお勧めします。