1974年、英国の数学者ロジャーペンローズは、無限の平面を決して繰り返さないパターンで埋めるために使用できる革新的なタイルセットを作成しました。 1982年、イスラエルの結晶学者ダニエルシェクトマンは、原子が材料科学でこれまで見られなかった順序で配列された金属合金を発見しました。 ペンローズは、数学者にめったに与えられない大規模な国民の認識を達成しました。 シェクトマンはノーベル賞を受賞しました。 両方の科学者は人間の直感に挑戦し、自然の構造を理解する基礎を変更し、高度に秩序立った環境でも無限の変動が発生する可能性があることを発見しました。
彼らの発見の中核にあるのは、「禁じられた対称性」です。これは、対称性と再現性の間の根深いつながりと矛盾するためです。 対称性は反射軸に基づいています-線の片側にあるものはすべて、もう片方に複製されます。 数学では、この関係はタイル空間のパターンによって表されます。 長方形や三角形などの対称形状は、ギャップやオーバーレイなしで平面を埋めることができ、常に繰り返しパターンを作成します。 繰り返しパターンは「周期的」と呼ばれ、「伝達対称性」を持っていると言われています。 パターン（パターン）を場所から場所に移動すると、同じように見えます。
大胆で野心的な科学者として、ペンローズは同じパターンと再現性ではなく、無限の可変性に興味がありました。 より具体的には、彼は「非周期的な」タイリング、つまりギャップやオーバーレイなしで無限平面を埋めることができる図形のセットに興味があり、タイリングパターンは繰り返されません。 彼は、2、3、4、6の対称軸（長方形、三角形、正方形、または六角形）を持つ図形（タイル）を使用できなかったため、これは困難な作業でした。無限平面では、周期的または繰り返しパターンを作成するからです。 つまり、平面を埋めるときに隙間を残すと考えられていた図形、つまり対称性を禁じている図形を使用する必要がありました。
繰り返しないパターンの独自の平面を作成するために、ペンローズは5軸対称に変更しました-特に、彼によれば、「五角形を見るだけでいい」からです。 ペンローズの人物像で注目に値するのは、これらの人物を長方形の線と角から得たものの、althoughい隙間を残していないことでした。 それらは互いにぴったりとはまり、平面上で曲がり、回転し、常に再現性に近づきますが、到達することはありません。
ペンローズのモザイクは、主に2つの理由で注目を集めています。 最初に、彼はたった2種類の形状から無限に変化するパターンを生成する方法を見つけました。 第二に、彼のタイルはシンプルで対称的な数字であり、それ自体は異常な特性の兆候を示していませんでした。
ペンローズは、彼の非周期的な一連の数字をいくつか作成しました。 最も有名なものの1つは「ヘビ」と「ダーツ」と呼ばれます。 「k」は子供のkitのように見え、「ダーツ」はステルス爆撃機の簡略化された輪郭のように見えます。 どちらも対称軸に沿って明確に分割されており、それぞれの表面には単純な対称円弧があります。 ペンローズは、形状を配置するための1つのルールを定義しました。タイルの「正しい」配置のために、これらの弧は一致しなければならず、複雑な曲線を作成します。 この規則がなければ、「蛇」と「ダーツ」を繰り返しパターンに配置できます。 この規則に従えば、繰り返しは発生しません。 「スネーク」と「ダーツ」は飛行機を無限に満たし、5つの軸を中心に踊り、星と十角形を作り、曲線、蝶、花を描きます。 図は繰り返されますが、新しいバリエーションが表示されます。
アーカンソー大学の数学の臨床教授であるエドマンド・ハリスは、ペンローズのタイルについて博士号を書き、そのような比較を提供しています。 「正方形の世界に住んでいると想像してください。 あなたは歩き始め、広場の端に着くと、次のものはまったく同じであり、あなたが無限に動き続けると何が見えるかを知っています。 ペンローズのタイルはまったく逆の性質を持っています。 「どんな情報を持っているにせよ、パターンのどの部分に目を向けているにせよ、次に何が起こるか予測することはできません。 あなたが前に見たことがない何かが常にあります。」
非周期的な平面分割の奇妙な側面の1つは、位置情報が何らかの方法で長距離送信されることです.1箇所に置かれたペンローズタイルは、そこから数百（および数千および数百万）のタイルの他のタイルの配置を妨げます。 「ローカル制約は何らかの形でグローバル制約を作成します」とハリスは言います。 「これは、これらのタイルがスケールなしで周期的に何かを作成することを示唆しています。」 たとえば、あるエリアに「ヘビ」を配置するか、離れた場所に「ダーツ」を配置するかを選択できます。 いずれのタイルでも可能ですが、両方ではありません。
無限の繰り返しのないパターンを形成するこれらのタイルは、「黄金比」としても知られるフィボナッチ比を表します。 小さい数字と大きい数字の比率が、大きい数字と2つの数字の合計の比率と同じである場合、2つの数字は黄金比と呼ばれます。 この場合、「蛇」の面積と「ダーツ」の面積の比率が黄金比です。 「ヘビ」の長辺と短辺の比率も黄金比です。
ペンローズタイルは、それ自体の小さなバージョンに細分化することもできます。 「蛇」は、2つの小さな「蛇」と「ダーツ」の2つの半分で構成されます。 「ダーツ」は、小さな「蛇」と2つの「ダーツ」ラグで構成されています。 （ペンローズの適切なタイリングでは、これらの「ダーツ」の半分は互いに整列しています。数学の観点から、これらは全体の「ダーツ」と見なすことができます。） 「」ハリスは言います。 「それらを細分化すると、2つのA + B 「ヘビ」と、 A + B 「ダーツ」が得られます。
この置換を無限の回数実行すると、無限平面にレイアウトされているかのように、各タイプのタイルの合計シェアを計算できます。 そのような計算では、 繰り返しパターンは常に有理数になります。 分数が無理数である場合、これはパターンが実際に完全に繰り返されることは決してないことを意味します。 ペンローズタイルの計算では、無理数が得られるだけでなく、その比率はフィボナッチ比です。「ダーツ」と「ヘビ」の比率は、タイルの総数に対する「ヘビ」の比率に等しくなります。
フィボナッチの割合は、パイナップルからウサギの個体群に至るまで、自然のいたるところに存在することを考えると、この割合がタイルシステムの基本であることはさらに奇妙です。 ペンローズは科学に何か新しいものを生み出し、自然のように機能するべきではないことをそこに正確に興味をそそりました。 ペンローズが新種の動物について空想科学小説を書いたようで、動物学者はこの種が地球上に生息していることを発見しました。 実際、ペンローズのタイルは、黄金比、私たちが発明した数学、そして私たちの周りの世界の数学に関連付けられています。
禁じられた対称性の研究を始めたペンローズは、彼が数学科学の新しい分野の発見につながった思考の変化の一部になったとは想像できませんでした。 結局のところ、対称性は純粋な数学と自然界の両方にとって基本です。 天体物理学者のマリオ・リヴィオは、対称性を「自然の構造を解読するために最も必要なツールの1つ」と呼びました。 自然は人間と同じ理由で正方形と六角形を使用します。それらは単純で、効率的で、秩序があります。 インテリアデザインで床タイルを埋めるような単純な作業でも五角形が実用的でないようであれば、もちろん、結晶のような固体材料に原子を作成することはできないと考えられていました。
結晶は、原子の三次元格子で構成されています。 結晶は、新しい原子を追加して格子を拡大することにより成長します。 これは、原子が繰り返しパターンで並ぶときに最も効率的に発生します。 何十年もの間、物語はそこで終わりました。結晶は構造を繰り返していました。 ポイント。
しかし、その後、1982年に、シェクトマンはハイファにあるテクニオン大学から創造的な休暇を取り、国立標準局で働き始めました。 彼は実験室でアルミニウムマンガン合金で忙しかった。 その結晶構造によって作成された回折パターンは、結晶学者に知られている標準的な対称性のいずれにも似ていないようでした。 実際、原子はペンローズが数学の世界で発見した五角形、菱形、「蛇」、「ダーツ」に並んでいます。
「もちろん、私はペンローズのタイルに精通していました」とシェクトマンは言います。 しかし、彼はこの合金との関係を疑う理由はありませんでした。 「それが何であるか理解できませんでした。 次の数ヶ月、私は実験を何度も繰り返しました。 クリエイティブな休暇が終わるまでに、何がそうでないかを正確に知っていましたが、それが何であるかはまだわかりませんでした。
彼が発見したことを理解するために、ペントローズのように、シェクトマンは彼の通常の直感的なアイデアに疑問を抱かなければなりませんでした。 彼は禁じられた対称性と、再現性の欠如による五角形の混乱を受け入れなければなりませんでした。 イスラエルにいる間、彼は非反復の結晶原子構造を発見したことに気づきませんでした。 しかし、材料科学の世界の誰も、この発見を最初は結晶に帰することはできませんでした。 したがって、それらは「準結晶」と呼ばれていました。
ペンローズの奇妙な数学は、自然界に突入したように見えました。 「80年の間、結晶は「秩序だった周期的な」構造として定義されてきました。なぜなら、1912年以来研究した結晶はすべて周期的なものでした」とSchechtman氏は説明します。 「結晶学者の国際連合がクリスタルという言葉の新しい定義を選択するための委員会を組織したのは1992年になってからです。 この新しい定義は、結晶学のパラダイムシフトです。」
シェクトマンが発見を理解し、受け入れることを妨げたのは、思考の単純な慣性だけではありませんでした。 非周期的な結晶構造は、なじみのないものであるだけでなく、不自然だと考えられていました。 1つのペンローズタイルの位置が、そこからの何千ものタイルの形状に影響を与える可能性があることを思い出してください。ローカルの制限によりグローバルなタイルが作成されます。 しかし、結晶が原子ごとに形成される場合、ペンローズタイルに固有の制限を作成する自然の法則はありません。
結晶が常に原子ごとに形成されるわけではないことが判明しました。 「非常に複雑な金属間化合物では、元素が巨大です。 彼らは地元ではない」とSchechtmanは言う。 原子の漸進的な成長ではなく、大きな結晶片が同時に形成されると、ペンローズタイルのように、互いに非常に離れた位置にある原子が相互の位置に影響を与える可能性があります。
多くのタブーの場合と同様に、禁制の対称性は、自然界で受け入れられる形の1つとして認識されています。 準結晶は、新しい科学研究分野の研究対象になっただけでなく、その異常な構造から生じる多くの有用な特性を持っていることが判明しました。 例えば、それらの原子の非対称配置は、それらに低い表面エネルギーを提供します。つまり、ほとんど付着しません。 したがって、準結晶コーティングは、焦げ付き防止の台所用品で使用され始めました。 （ペンローズが新しいタイルを作成したとき、卵焼きは言うまでもなく、結晶学で使用されるとは想像できませんでした。）さらに、準結晶は通常摩擦と摩耗が少ないため、カミソリや外科用の理想的なコーティングです楽器、または人体に関連するその他の鋭利な楽器。
準結晶構造は決して繰り返されないため、電磁放射のユニークな回折パターンを作成します。 フォトニクス研究者は、光の透過、反射率、およびフォトルミネッセンスにどのように影響するかに興味を持っています。 それらが冷却されると、電気抵抗はほぼゼロレベルに低下します。 しかし、それらは赤外線も吸収するため、非常に急速に高温になります。 このため、これらは3Dプリンターへの非常に有用な追加物であり、プラスチックパウダーが出発材料として使用されます。 Shekhtmanは次のように説明します：準周期的粉末が混合され、赤外線にさらされると、準周期的粉末は「非常に急速に加熱され、周囲のプラスチック粒子を溶かし、それらを結合させます」。
禁じられた対称性の物語がどのように終わるかは誰にもわかりません。 数学者はペンローズのタイルの特性を探求し続けています。 準結晶は、基礎研究と応用研究の両方で研究対象となっています。 しかし、これまでのところ、この旅は信じられないほどです。 過去40年にわたって、5軸対称性は非実用的から価値のあるもの、不自然なものから完全に自然なもの、禁じられたものから支配的なものに変わりました。 そして、この変革のために、自然の際限のない変化の驚くべき新しい形を発見するために、彼らの通常の考えを捨てた2人の科学者に感謝しなければなりません。
著者について：Patchen Barsは、トロントに本拠を置くジャーナリストおよび著者です。 彼は現在、純粋な数学と自然界の関係についての本に取り組んでいます。