サイクルからの記事：
厳密な数学的説明は、M。ニールセンI.チャンの「量子情報と量子コンピューティング」のセクション2.4.1：「量子状態のアンサンブル」、およびスタンフォードのレナードサスキンド教授のこれらの注目すべき要約（および対応する講義ノート）にあります。大学。
きれいな状態
純粋な状態とは、単一の状態ベクトル|ψι〉で表すことができる状態です。 実際的な観点から、これは、システムが状態|ψι>にあることを、いつでも正確に（確率100％で）知っていることを意味します。 言い換えると、システムが純粋な状態にある場合、その全体像を把握しており、システムの状態を正確に把握しています。
純粋な状態の例：| 0〉、| 1〉、
、 
。 ブロッホ球の表面上の次の点は、それらに対応しています。
混合状態
準備されたシステムがどのような状態であるかについて完全な考えがない場合、彼らはそれが混合状態にあると言います。 この状況は、多くの理由により発生する可能性があります。たとえば、実験装置の不適切なセットアップ、使用できない外部システムとの粒子の混同などです。 ただし、システムが混在状態の場合、クリーンな状態かどうかを100％確信することはできません。
または 
または他の可能な状態で。 この場合、システムの状態は、すべての純粋な状態の確率的分布によって記述されます。この状態では、準備後に非ゼロの確率があります。
例を考えてみましょう。 同僚のメアリーが実験のためにキュービットを用意したとしましょう。 彼女は仕事を妨害しようとし、各量子ビットがどの状態にあるかを教えてくれませんが、考えられる選択肢は3つしかありません。これらは純粋な状態です
。 したがって、開始状態は確率理論の言語で説明する必要があります。 
。 この純粋な状態の組み合わせは、混合状態と呼ばれます。
メアリー（たとえば）が財産を準備していることを教えてください
の2倍の頻度 または 
。 この知識を使用して、実験の開始時にシステムの可能な状態の確率を記述することができます。 Maryが準備済み状態をどのように選択するかが正確にわからない場合は、それらがすべて同様に可能性があると想定する必要があります。 次に、密度行列（または密度演算子）について説明します。
密度演算子、ρ
密度演算子（ρ）は、初期状態が不明なシステムの状態を表すために使用できます。 この演算子は、状態ベクトルの一般化です（純粋な状態を記録するために使用されます）。 純粋な状態の密度行列は、自然に状態ベクトル|ψι〉に縮退します。 興味のある方のために、以下に数学的な計算を示します。
ちょっとした数学
注 読者はベクトルおよび行列代数の基本概念を知っていると想定されます：外部および内部積、直交性など。それらに精通するために、M。NielsenおよびI. Changの本または記事の冒頭で述べたスタンフォードの講義を参照することをお勧めします。
密度演算子は次のように定義できます
ここに ：
-最初の瞬間にシステムが状態にある確率 
。 - アイテム
ベクトルの外部積の結果に対応 
それ自体（このような変換は設計演算子とも呼ばれます）。 - nは、システムの可能な状態の総数です（この例では3つあります）。
予想どおり（すべての可能な状態の確率の合計は1です）。
この例では、密度演算子は次のように展開されます。
上記の例の確率値を代入すると、次のようになります
これは私たちの想像上のシステムの密度行列です！ それほど難しくありません。
密度演算子を計算した後、測定値ρが純粋な量子状態|ψ〉を示す確率を見つけるのは非常に簡単です。これは〈ψ|ρ|ψ〉に等しくなります。
状態が純粋な場合（つまり、最初はシステムが1つの状態にしかなれない場合）、次の等式が成り立ちます。
したがって、純粋な状態の2番目の等価な定義、つまりρ= |ψ〉 〈ψ| （つまり、単一のプロジェクターで構成される密度マトリックスを使用）はクリーンです。
密度演算子を純粋な状態ベクトルに適用します。
ご覧のとおり、結果は|ψ〉のみです。
同様に、特定の状態でシステムを検出する確率|φ>は、P = 〈φ|ρ|φ〉 = | 〈φ|ψ〉 |²と等しくなります。
ご覧のように、混合状態の確率を計算するためのルールは、すでにわかっている純粋な状態のルールになります。 したがって、前述のように、混合状態のすべてのルールは、純粋な状態のルールによって表されます。