インタビューで提供されなくなった1つのタスクについて

ある会社では、プログラマーの仕事の候補者がしばらくの間次のタスクを提供されました。分数の値を見つける：

$$

$$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}}$$

この問題を解決するために、そのようなフラクションの性質とこれらのフラクションが使用される分野の知識は必要ありません。提案された表現は自己相似であり、次のように表現できることに注意する必要があります。

$$

$$x=\frac{1}{1+x}$$

そして、これは、通常の二次方程式につながります：

$$

$$x^2+x-1=0\\ x=\frac{sqrt(5)-1}{2}\\ x=0,618033988...$$

これらの分数には特別な名前があり、連続分数であり、実数表記の形式の1つとして使用されているとしましょう。検討した例では、無限連続分数の表現が最も単純です。彼女の記録では1つだけが使用され、期間の長さも1に等しくなります。彼女が表現する数が非常に広く表現されており、数学の世界だけでなく、それ自身の名前である「黄金比」の逆数でさえあるのは不思議です。連続分数による表現を使用して、特定の数のいくつかの近似値を取得します。最初のステップでは、分母の2番目の項を破棄します。ゲット$$11、今、得られた結果を使用して、分数記号の下の合計の第2項として、次の近似を記述します$\frac{1}{1}$$$$\frac{1}{1+\frac{1}{1}}=\frac{1}{2}$ $$$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$ :

$$

$$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{8},\frac{8}{13}...$$

$$

$$1,1,2,3,5,8,13,21...$$

$$

$$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{8},\frac{8}{13}...$$

, ? , « ». .

,

$$

$$F_{i+1}=F_i+F_{i-1}$$

$$

$$\frac{F_{i+1}}{F_i}=1+\frac{F_{i-1}}{F_i}$$

以下の表記を紹介します

$$

$$s_{i-j}=\frac{F_i}{F_j}$$

次に、以前の等式は次のように記述されます。

$$

$$s_1=1+s_{-1}$$

限界に

$$

$$s_1=\frac{1}{s_{-1}}$$

表記を紹介します $$X = S - 1。次に、記事の冒頭で既に示した方程式を取得します。$x=s_{-1}$

$$

$$x=\frac{1}{1+x}$$

次に、最初の3つの項が1に等しく、後続の各項が前の3つの項の合計に等しいシーケンスを考えます。

$$

$$1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,...$$

, .

$$

$$F_{i+3}=F_i+F_{i+1}+F_{i+2}$$

$$$F_{i+1}$. :

$$

$$s_2=s_{-1}+s_1+1$$

$$$F_{i+2}$. c:

$$

$$s_1=s_{-2}+s_{-1}+1$$

$$

$$s_1=x\\ s_2=y$$

$$

$$y=\frac{1}{x}+x+1\\x=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1$$

$$

$$y^3-3y^2-y-1=0$$

$$

$$y=3,382976...$$

, ,

$$

$$1,1,1,1,4,7,13,25,49,94,181,349,...$$

:

$$

$$z=x+y+\frac{1}{x}+1\\ y=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1\\ x=\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+1$$

:

$$

$$y^4-3y^3-3y^2+y+1=0$$

. :

$$

$$y=3,715495...$$

, .