設定方法

「コンクリート数学」という本を読んでいると、知識を得て、質問の私の無能さを実感しながら、最初の章でも、著者がジョセフ・フラビウス問題を解決するために使用する植字の方法に出会いました。 彼らはあまりにも初歩的であると考えて、方法を説明しません。 私はインターネットのロシア語セグメントで十分に詳細な説明を見つけられなかったので、後で翻訳したmath.stackexchange.comからの回答を使用しました。そして、メソッドを本能的に理解していない人が浸透できるようにそれをあなたに提示します。

次は一人称翻訳です。



注 ：最初に、（非常に）簡単な例を使用して、繰り返し方法のいくつかの重要なアイデアを説明しようとします。 これにより、この方法の基本的な理解が得られます。 しかし、 実際に何が起こっているのかを理解するために、もっと複雑な例も考えます（ おおよそTransl。：元の記事で見つけることができます、ここに基本的な説明があります ）。



繰り返し方法（基本概念）



この方法は、 2つの主要な成分に基づいています。 1つは、既知の繰り返しの線形結合を構築する機能です。

の再発があるとします $$$x_n$

$$

$$\ begin {align *} {x_0}＆= {a_0} \\ {x_n}＆= {a_n} + {x_ {n-1}}、\ quad n> 0 \ end {align *}$$

そして、2回目の再発があります $$$y_n$

$$

$$\ begin {align *} {y_0}＆= {b_0} \\ {y_n}＆= {b_n} + {y_ {n-1}}、\ quad n> 0 \ end {align *}$$

この場合、再発データが既知であれば、 線形性により 、追加された項を含む方程式

$$

$${\ alpha a_n} + {\ beta b_n}$$

結果が出ます

$$

$${\ alpha x_n} + {\ beta y_n}$$

これを明確に示すために、 $$${a_n} = 3$ そして $$${b_n} = {5n ^ 2} + {1}$ 。 結果がわかっていると仮定します $$${x_n}$ そして $$${y_n}$ 再発

$$

$$\ begin {align *} {x_0}＆= {3}＆{y_0}＆= {1} \\ {x_n}＆= {3} + {x_ {n-1}}、\ quad n> 0＆ {y_n}＆= {5n ^ 2} + {1} + {y_ {n-1}}、\ quad n> 0 \ end {align *}$$

また、線形性により、再発の結果

$$

$$\ begin {align *} {z_0}＆= {7} \\ {z_n}＆= {2n ^ 2} + {7} + {z_ {n-1}} \ end {align *}$$

等しい

$$

$$\ begin {align *} {z_n} = \ frac {11} {5} {x_n} + \ frac {2} {5} {y_n} \ end {align *}$$

この場合、 2つのソリューションのセットがあることがわかります $$${x_n}$ そして $$${y_n}$ 線形結合して目的のソリューションを見つけることができます $$${z_n}$ 。



しかし、私たちは通常、再発から始めます $$${z_n}$ 適切な候補者がいません。 これが2番目の要素です。 キットを作成する必要があります。



2番目の要素は、線形結合に使用できるキットを作成することです。 繰り返しから始めるとしましょう

$$

$$\ begin {align *} {z_0}＆= {7} \\ {z_n}＆= {2n ^ 2} + {7} + {z_ {n-1}}、\ quad {n}> 0 \タグ{1} \ end {align *}$$

setメソッドによってこの繰り返しを解決しようとする場合、最初に繰り返しを一般化して使用する必要があります

$$

$$\ begin {align *} {\ mathcal {Z} _0}＆= {a_0} \\ {\ mathcal {Z} _n}＆= {a_n} + {\ mathcal {Z} _ {n-1}}、 \ quad {n}> 0 \ end {align *}$$

いくつかの創造的なアイデアの時期です。これは通常、この方法を使用する上で最も難しい部分です。 2つのメンバーで構成されるセットを検索します。 そのうちの1つ $$${a_n} = const$ と他の $$${a_n}$ の二乗に等しい $$${n}$ 。 これを行うには、いくつかの適切な候補を選択する必要があります $$${\ mathcal {Z} _n}$ 希望する用語 $$${a_n}$ 。



最初のcadidatを取り上げましょう。 それは非常に単純です（この場合）。 平等 $$${\ mathcal {Z} _n} = n$ 与える

$$

$$\ begin {align *} {a_0}＆= {0} \\ {n}＆= {a_n} + n-1、\ quad {n}> 0 \ end {align *}$$

そして私達は見つけます： $$${a_0} = {0}$ そして $$${a_n} = 1、\クワッド{n}> 0$ 。

最初の候補者を得たとしましょう $$${x_n}$ そのような

$$

$$\ begin {align *} {x_0}＆= {0} \\ {x_n}＆= {1} + {x_ {n-1}}、\ quad {n}> 0 \ tag {2} \ end {整列*}$$

同様の原理により、私たちを提供してくれる適切な第二候補者を見つけることができます $$${a_n} =$ から広場 $$${n}$ 次数の自然数の合計 $$${k}$ 通常、ある程度の何かになります $$${k} + {1}$ 。 拾おう $$${\ mathcal {Z} _n} = {n ^ 3}$ 与える

$$

$$\ begin {align *} {a_0}＆= 0 \\ {n ^ 3}＆= {a_n} + {（{n}-{1}）} ^ 3、\ quad {n}> {0} \終了{align *}$$

そして得る $$${a_0} = {0}$ そして $$${a_n} = {3n ^ 2}-{3n} + {1}、\ quad {n}> {0}$ 。



2番目の候補がありました。 $$$y_n$ それは公平です

$$

$$\ begin {align *} {y_0}＆= {0} \\ {y_n}＆= {3n ^ 2}-{3n} + {1} + {y_ {n-1}}、\ quad {n} > {0} \タグ{3} \ end {align *}$$

私たちはそれを見る $$${y_n}$ には線形項も含まれています $$${n}$ 、これは私たちにとって不要です。 探しています（式（1）に従って） $$${a_n} = {2n ^ 2} + {7}$ 。 したがって、私たちは3番目のメンバーとの募集を拡大します。 $$${a_n}$ リニアイン $$${n}$ 。 したがって、線形項を取り除くことができます $$${n}$ セットの3つのメンバーの対応する線形結合。 ひとつ選びます $$${\ mathcal {Z} _n} = {n ^ 2}$ 与える

$$

$$\ begin {align *} a_0＆= 0 \\ n ^ 2＆= a_n +（n-1）^ 2、\ quad n> 0 \ end {align *}$$

そして見つける $$${a_0} = {0}$ そして $$${a_n} = {2n}-{1}、\クワッド{n}> {0}$ 。



3番目の候補を取得します。 $$$u_n$ それは公平です

$$

$$\ begin {align *} u_0＆= 0 \\ u_n＆= 2n-1 + u_ {n-1}、\ quad n> 0 \ tag {4} \ end {align *}$$

セットを見てみましょう：



3つの候補者の概要

$$

$$\ begin {array} {rlcr} \ mathcal {Z} _n && a_n＆\\ \ hline \\ x_n =＆n \ qquad＆1＆\ qquad \ qquad \ text {acc。 to}（2）\\ y_n =＆n ^ 3 \ qquad＆3n ^ 2-3n + 1＆\ qquad \ qquad \ text {acc。 to}（3）\\ u_n =＆n ^ 2 \ qquad＆2n-1＆\ qquad \ qquad \ text {acc。 to}（4）\\ \ end {array}$$

適切な線形結合を使用すると、次のことがわかります

$$

$$\ begin {align *} a_n＆= 2n ^ 2 + 7 \\＆= \ frac {2} {3} \ left（3n ^ 2-3n + 1 \ right）+ \ left（2n-1 \ right）+ \ frac {22} {3} \ end {align *}$$

だから私たちはに来ます

$$

$$\ begin {align *} z_n＆= \ frac {22} {3} x_n + \ frac {2} {3} y_n + u_n + c_0 \\＆= \ frac {1} {3} n \ left（2n ^ 2 + 3n + 22 \右）+ c_0 \ end {align *}$$

定数を定義する必要があることに注意してください $$$c_0$ 、初期条件も遵守する必要があるため $$$z_0 = 7$ 。 定義することによりこれを行います $$$s_0 = 7$ そして最終的には次のようになります：

$$

$$z_n = \ frac {1} {3} n \ left（2n ^ 2 + 3n + 22 \ right）+7、\ quad n \ geq 0$$

まとめると。



ダイヤル方法の説明：

フォームの再発を解決するには

$$

$$\ begin {align *} x_n = f（n）+ g（x_ {n-1}、x_ {n-2}、\ ldots、x_0）\ tag {5} \ end {align *}$$

• 候補者を見つける $$$f_1（n）$ 、...、 $$$f_k（n）$ 公式 $$$f（n）$ 線形に縮小して形成できるように
  
  

  $$

  $$f（n）= \ lambda_1 f_1（n）+ \ ldots + \ lambda_k f_k（n）$$
  
  
  
  
  
  
  
• その後、一般化表現（5）の置き換えを検討します $$$f（n）$ に $$$a_n$
  
  

  $$

  $$\ mathcal {Z} _n = a_n + g（\ mathcal {Z} _ {n-1}、\ mathcal {Z} _ {n-2}、\ ldots、\ mathcal {Z} _0）$$
  
  
  
  
  
  
  
• より単純な繰り返しを解決します
  
  

  $$

  $$x_n ^ {（l）} = f_l（n）+ g（x_ {n-1}、x_ {n-2}、\ ldots、x_0）、\ quad 1 \ leq l \ leq k$$
  
  
  
  
  
  
  拾う $$$x_n ^ {（l）}$ 取得する $$$f_l（n）$ 。
• 解決策 $$$x_n ^ {（l）}$ で $$$1 <l <k$ ソリューションのセットを形成する $$$x_n$ 。
• 線形結合を定義する
  
  

  $$

  $$f（n）= \ lambda_1 f_1（n）+ \ ldots + \ lambda_k f_k（n）$$
  
  
  
  
  
  
  
• ソリューションを導き出す
  
  

  $$

  $$x_n = \ lambda_1 x_n ^ {（1）} + \ ldots + \ lambda_k x_n ^ {（k）} + c_0$$
  
  
  
  
  
  
  
• その後、私たちは決定します $$$c_0$ 初期条件に従って。

注：複数の初期条件を定義する必要がある状況があります。

注：計算中に表示される不要な用語を取り除くために、セットをさらに拡張する必要がある可能性があります $$$x_n ^ {（l）}$ 。