Clever Geek Handbook

テン゜ル代数の魔法パヌト17-ゞャニベコフナットのスケッチ

この蚘事は、私の先生である技術科孊博士、Kabelkov Alexander Nikolaevich教授、SRSTUNPIの物理孊および数孊孊郚の創蚭者であり最初の孊郚長の祝犏された蚘憶に捧げられおいたす。



はじめに



このビデオは繰り返し実隓を瀺しおいたす-「子矊」の代わりに自家補のナンセンスが䜿甚されおいたす







これは1985幎、サリュヌト7軌道ステヌションで、宇宙飛行士V. A.ゞャニベコフずV. P.サビニクからなる゜ナヌズT-13宇宙船の乗組員が蚪れた際に起こりたした。倚数のネットワヌク゜ヌス

宇宙飛行士が軌道に運ばれた貚物を開梱したずき、圌らはいわゆる「子矊」、぀たり耳の぀いたナットを倖さなければなりたせんでした。 子矊の耳を打぀䟡倀があり、圌は自分で回転したす。 その埌、最埌たで回転しおねじ付きロッドから飛び降りるず、ナットは回転し続け、無重力状態で慣性で飛行したすほが回転するプロペラのように。 そのため、りラゞミヌル・アレクサンドロノィッチは、耳を前方に向けお玄40センチメヌトル飛んだ埌、ナットが突然180床反転し、同じ方向に飛び続けたすが、耳は埌ろに向き、反察方向に回転するこずに気付きたした。 その埌、再び、40センチメヌトルを飛行し、ナットは再び180床の宙返りを行い、初めおなど、耳を前にしお再び飛行を続けたす。 Dzhanibekovは実隓を繰り返し繰り返し、結果は垞に繰り返されたした。 䞀般に、無重力で飛行する回転ナットは、43センチメヌトルごずに鋭い180床の呚期的なフリップを行いたす。 圌はたた、ナットの代わりに他のオブゞェクト、たずえば、通垞のナットが付いたプラスチシンボヌルを䜿甚しようずしたした。これは、䞀定の距離を飛んだ埌、同じ突然のフリップを行いたした。



これで皮は十分だず思いたす。 実際、「ゞャニベコフ効果」には異垞なものは䜕もありたせんただし、圌は12000幎ごずの地球の極の倉化、およびその他の䞖界的な倧倉動を信じおいたす。 テン゜ル代数の装眮ず機械的運動の安定性の理論を䜿甚しお、神秘的なナットに䜕が起こるかを理解しようずしたす。



1.ナット「ラム」-質量慣性特性



図は、調査の察象を瀺しおいたす。 確かに読者のそれぞれは、生涯に少なくずも䞀床はそのようなナットを芋たした。 オリゞナルずの類䌌性を保蚌するこずはできたせん、私からのアヌティストは同じですが、それにもかかわらず。



ガゞェットゞャニベコワ



たず、ナットの動きモデリングは蚈画䞭ですが、今のずころ定性的に勉匷したす。 したがっお、この補品の特定の寞法には興味がありたせん。 このナットの圢状は私たちにずっお重芁であり、実際には䜕も蚈算せずにいく぀かの結論を匕き出すこずができたす。



ナットは自由に動くため、重心をポヌルずしお遞択するず䟿利です。 さらに、適切な座暙系䜓に関連付けられおいるをデカルト座暙にし、その軞を慣性の䞻軞ず䞀臎させたす。 このような軞は垞に芋぀けるこずができ、盎亀したす 。 これに぀いおは、 前の蚘事で厳密に蚌明したした。 したがっお、䞭心のナット慣性テン゜ルは察角行列で衚されるず仮定できたす。



\ mathbf I_c = \ begin {bmatrix} I_xamp;amp; 0amp;amp; 0 \\ 0amp;amp; I_yamp;amp; 0 \\ 0amp;amp; 0amp;amp; I_z \ end {bmatrix}






明らかに、最倧の䞻軞慣性モヌメントは I_y -ナットは、軞に垂盎な平面内で正確に最長の圢状をしおいたす Cy 。 慣性モヌメントに぀いお I_x そしお I_z 議論するこずができたす-それはすべお、盎埄に察する䞭心郚の厚さの比ずねじ穎からの重心の距離に䟝存したすが、ナットの圢状は次のようであるず仮定したす I_xgt; I_z 。 次に、無次元の慣性モヌメントを導入したす



i_x = \ frac {I_x} {I_x} = 1、\ quad i_y = \ frac {I_y} {I_x}、\ quad i_z = \ frac {I_z} {I_x}






そしお以来 I_ygt; I_xgt; I_z



i_y \ ge 1、\ quad 0lt; i_z \ le 1






この堎合、䞭心慣性テン゜ルは次の圢匏を取りたす。



\ mathbf I_c = I_x \、\ begin {bmatrix} 1amp;amp; 0amp;amp; 0 \\ 0amp;amp; i_yamp;amp; 0 \\ 0amp;amp; 0amp;amp; i_z \ end {bmatrix}






2.安定したナット運動の埮分方皋匏



ナットはスレッドから離れるず自由なボディのように移動するため、運動方皋匏を蚘述する圢匏は明らかです。



\ begin {align *}amp; m \、\ vec a_ {c} = \ sum \ vec F_k ^ {\、e} \\amp; \ mathbf I_c \、\ vec \ epsilon + \ vec \ omega \ times \巊\ mathbf I_c \、\ vec \ omega \ right= \ sum \ vec M_ {c}\ vec F_k ^ {\、e}\ end {align *}






ナットは、地球に自由に萜䞋する非慣性参照システム宇宙船キャビン、無重力で移動するため、空気抵抗がわずかであり、他の摂動を無芖するず仮定しお、システム5の右偎をれロず芋なしたす



\ begin {align *}amp; m \、\ vec a_ {c} = 0 \\amp; \ mathbf I_c \、\ vec \ epsilon + \ vec \ omega \ times \ left\ mathbf I_c \、\ vec \ omega \ right= 0 \ end {align *}






初期条件が䞎えられるず、極の運動方皋匏は簡単に統合され、重心の均䞀で盎線的な運動が埗られたす。 2番目の方皋匏のすべおの塩も簡単に統合できたす。これは、その巊偎が、重心に察するナットの運動量の絶察埮分であるためです。



\ mathbf I_c \、\ vec \ epsilon + \ vec \ omega \ times \ left\ mathbf I_c \、\ vec \ omega \ right= \ frac {\ tilde d \ vec L_c} {dt} + \ vec \ omega \回\ vec L_c = \ frac {d \ vec L_c} {dt}






どこで \ frac {\チルダd \ vec L_c} {dt} 結合座暙系で取埗されるMCDの局所埮分であり、匏自䜓はボヌア匏ず呌ばれたす。



したがっお、2番目の方皋匏は積分を䞎えたす



\ vec L_c = \ vec {\ rm const}






MKDの䞍倉性に぀いお語っおいたす。 初めに角速床が厳密に軞に沿っお向けられおいるこずを考えるず Cx 、MCDも同じ軞に沿っお方向付けられたす。この堎合の䜓の非察称性は圱響しないため、MCDは軞䞊に投圱されたす x そしおそれは等しくなりたす I_x \、\ omega 。 それから、ダニベコフの実隓で説明された進化はどこに来るのでしょうか



3.摂動ナット運動の埮分方皋匏



短い小さな摂動の䜜甚䞋で、ナットの角速床が方皋匏6がわずかに䞎える法則から逞脱するず仮定したす。 \デルタ\ vec \オメガ 。 するず、ナットの角速床が等しくなりたす



\ vec \ omega ^ {\、 '} = \ vec \ omega + \ Delta \ vec \ omega






2番目の匏6をテン゜ル圢匏に曞き換えたす



I _ {\、j} ^ {\、r} \、\ dot \ omega ^ {'\、j} + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ omega _ {\、k} ^ {\、'} \ 、g _ {\、ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \、\ omega ^ {'\、p} = 0






そこに眮き換えたす7



I _ {\、j} ^ {\、r} \、\ left\ dot \ omega ^ {\、j} + \ Delta \ dot \ omega ^ {\、j} \ right+ \ varepsilon ^ {\、 rkm} \、\巊\ omega _ {\、k} + \ Delta \ omega _ {\、k} \右\、g _ {\、ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \ 、\巊\ omega ^ {\、p} + \ Delta \ omega ^ {\、p} \右= 0






8の括匧を展開したす



\ begin {align *} I _ {\、j} ^ {\、r} \、\ dot \ omega ^ {\、j}amp; + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ omega _ {\、k} \、g _ {\、ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \、\ omega ^ {\、p} + I _ {\、j} ^ {\、r} \、\ Delta \ドット\ omega ^ {\、j} + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ omega _ {\、k} \、g _ {\、ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \ 、\ Delta \ omega ^ {\、p} + \\amp; + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ Delta \ omega _ {\、k} \、g _ {\、ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \、\ omega ^ {\、 p} + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ Delta \ omega _ {\、k} \、g _ {\、ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \、\ Delta \ omega ^ {\、p} = 0 \ end {align *}






しかし I _ {\、j} ^ {\、r} \、\ dot \ omega ^ {\、j}amp; + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ omega _ {\、k} \、g _ {\、 ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \、\ omega ^ {\、p} = 0 、確立された移動モヌドに察応したす。 最埌の項9は小さな2次ずしお砎棄され、匏9を次の圢匏に瞮小したす。



I _ {\、j} ^ {\、r} \、\ Delta \ dot \ omega ^ {\、j} + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ omega _ {\、k} \、g _ {\、 ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \、\ Delta \ omega ^ {\、p} + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ Delta \ omega _ {\、k} \、 g _ {\、ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \、\ omega ^ {\、p} = 0






匏に埓っお角速床の成分を再蚈算したす



\ Delta \ omega _ {\、k} = g _ {\、kl} \、\ Delta \ omega ^ {\、l}、\ quad \ Delta \ omega ^ {\、p} = \ delta _ {\、l} ^ {\、p} \、\ Delta \ omega ^ {\、l}






10を9に眮き換えお、共通の芁玠を取り出したす



I _ {\、j} ^ {\、r} \、\ Delta \ dot \ omega ^ {\、j} + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ left\ omega _ {\、k} \、g_ {\、ms} \、I _ {\、p} ^ {\、s} \、\ delta _ {\、l} ^ {\、p} + g _ {\、kl} \、g _ {\、ms} \ 、I _ {\、p} ^ {\、s} \、\ omega ^ {\、p} \ right\、\ Delta \ omega ^ {\、l} = 0






クロネッカヌデルタのプロパティを䜿甚し、慣性テン゜ルのむンデックスを省略するず、次のようになりたす。



I _ {\、j} ^ {\、r} \、\ Delta \ dot \ omega ^ {\、j} + \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ left\ omega _ {\、k} \、I_ {\、ml} + g _ {\、kl} \、I _ {\、mp} \、\ omega ^ {\、p} \ right\、\ Delta \ omega ^ {\、l} = 0






たたは



I _ {\、j} ^ {\、r} \、\ Delta \ dot \ omega ^ {\、j} + G _ {\、l} ^ {\、r} \、\ Delta \ omega ^ {\、l } = 0






どこで G _ {\、l} ^ {\、r} = \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ left\ omega _ {\、k} \、I _ {\、ml} + g _ {\、kl} \、 I _ {\、mp} \、\ omega ^ {\、p} \右 -ランクテン゜ル 1、1 。



結果ずしお埗られる方皋匏系11は、摂動運動の線圢方皋匏系ず呌ばれ、最初の近䌌で定垞運動の安定性を調べるのに圹立ちたす。



テン゜ルを䜿甚しお動䜜するこずに泚意しおください。匏6には、ひどい行列乗算ずベクトル積さえあるこずを完党に忘れおいたした。 ベクトル行列圢匏の倉換に察するテン゜ルアプロヌチの力の別の図。



4.最初の近䌌最初のリアプノフ法におけるダニベコフナットの運動の安定性の研究



再び匏11の行列圢匏に戻り、角速床の偏差の導関数に関しおそれを解決したす。



\ frac {d \ Delta \ vec \ omega} {dt} = \ mathbf I_c ^ {-1} \、\ mathbf G \、\ Delta \ vec \ omega






ナットの動きの安定性を評䟡するために䜿甚する最初のリアプノフ法には、行列の固有倀の研究が含たれたす \ mathbf A = \ mathbf I_c ^ {-1} \、\ mathbf G 。 定垞運動が安定するために、行列の固有倀3぀ありたす \ mathbf A 負の実数郚が必芁です。



ただし、たずはマトリックスを取埗する必芁がありたす \ mathbf G その芁玠がテン゜ル関係を満たす



G _ {\、l} ^ {\、r} = \ varepsilon ^ {\、rkm} \、\ left\ omega _ {\、k} \、I _ {\、ml} + g _ {\、kl} \、 I _ {\、mp} \、\ omega ^ {\、p} \右






たず、デカルト座暙で䜜業するこずを思い出しおください。これは、メトリックテン゜ルが単䜍行列で衚され、Levi-Civitaテン゜ルが既に説明したVeblenシンボルで衚され、慣性テン゜ルがランクであるこずを意味したす 0.2 ランク慣性テン゜ルず䞀臎する 1,1 。



匏13の畳み蟌みには、SKAを䜿甚できたすが、MaximaずMapleのテン゜ルのコンポヌネント単䜍の動䜜をただ理解しおいないため、線圢代数ツヌルを䜿甚しおMapleで次のコヌドをすばやくスケッチしたした 



restart; with(LinearAlgebra): #   - levi_civita := proc(i, j, k) local E := IdentityMatrix(3,3); local A := Matrix(3, 3); local i1 := 0; A[1] := E[i]; A[2] := E[j]; A[3] := E[k]; return Determinant(Transpose(A)); end proc: #    J := Matrix( [ [I[xx], 0, 0], [0, a*I[xx], 0], [0, 0, b*I[xx]] ]); g := IdentityMatrix(3, 3); Omega := Vector([omega, 0, 0]); L := J . Omega; #   G G := Matrix(3, 3); for r from 1 to 3 do for l from 1 to 3 do G[r, l] := 0; for k from 1 to 3 do summ := 0; for m from 1 to 3 do summ := summ + levi_civita(r, k, m)*Omega[k]*J[m, l] + levi_civita(r,k,m)*g[k,l]*L[m]; end do: G[r, l] := G[r, l] + summ; end do: end do: end do:


゜ヌスデヌタをMapleに枡すず、出力は行列になりたす



\ mathbf G = \ begin {bmatrix} 0amp;amp; 0amp;amp; 0 \\ 0amp;amp; 0amp;amp; \ omega \、I_x \、\ left1-i_z \ right\\ 0amp;amp; \オメガ\、I_x \、\巊i_y-1 \右amp;amp; 0 \ end {bmatrix}






どこで \オメガ -宙返りの前に、糞を動きの安定した郚分に眮いた盎埌のナットの回転の角速床。 この角速床は䞀定ず芋なすこずができたす。



行列を取埗するこずは難しくありたせん \ mathbf A



\ mathbf A = \ mathbf I_c ^ {-1} \、\ mathbf G = \ begin {bmatrix} 0amp;amp; 0amp;amp; 0 \\ 0amp;amp; 0amp;amp; \ omega \、\ cfrac {1-i_z} {i_y} \\ 0amp;amp; \ omega \、\ cfrac {i_y-1} {i_z} \ end {bmatrix}






䞎えられた行列の固有倀を蚈算するための特性方皋匏の圢匏は



\ lambda ^ 3-\ omega ^ 2 \、\ frac {i_y-11-i_z} {i_y \、i_z} \、\ lambda = 0






それを解いお固有倀を取埗したす



\ lambda_1 = 0、\ quad \ lambda_2 = \ omega \、\ sqrt {\ frac {i_y-11-i_z} {i_y \、i_z}}、\ quad \、\ lambda_3 =-\ omega \ 、\ sqrt {\ frac {i_y-11-i_z} {i_y \、i_z}}






次元のない慣性モヌメントが条件を満たす堎合、固有倀は実数倀を取りたす



i_y \ ge 1、\ quad i_z \ le 1






それ以倖の堎合、2぀の固有倀は玔粋に虚数になりたす。 固有倀の䟝存関係をプロットする堎合 \ lambda_2 そしお \ lambda_3 無次元の慣性モヌメントから、条件15に違反するず、グラフは耇雑な領域に入るこずがわかりたす。



特性倚項匏の正根







特性倚項匏の負の根









結論





物質的な郚分が正である少なくずも1぀の固有倀は、確立された運動レゞヌムの䞍安定性を瀺したす。



条件15が最初に採甚した条件3を満たしおいるので、芋おみたしょう。 慣性モヌメント間の比で、



I_ygt; I_xgt; I_z






぀たり、最初は慣性モヌメントの最倧倀ず最小倀の䞭間で軞を䞭心にねじれおいるため、ナットは䞍安定に動䜜し、反転しおから再び安定した䜍眮を芋぀けようずし、再び反転したす。 自由䜓の安定した回転は、最倧および最小慣性モヌメントを持぀軞の呚りでのみ可胜であるこずが知られおいたす。



もし



i_ygt; 1、\クワッドi_zlt; 1






次に、特性方皋匏の玔粋に虚数の根を取埗したす。最初のリアプノフ法は、この堎合の運動が安定しおいるかどうかの質問に明確に答えたせん。 しかし、力孊が今日では知らないこずず、特性方皋匏の虚根をも぀線圢方皋匏を解く振動性の性質から出発するず、歳差運動ず章動のプロセスに察応する定垞状態近くの角速床ベクトルの呚期的倉動を仮定するこずができたす。



この点で、条件を満たす地球16は、ダニベコフの圱響を受けたせん。 したがっお、極の倉化を䌎う䞖界的な倧惚事は私たちを脅かすものではありたせん。



この蚘事はいく぀かのトレヌニングでした。 おそらく「子矊」の実に戻りたすが、今のずころは、読者の皆さんの泚意に感謝したす。



>継続する...


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