Clever Geek Handbook

テン゜ル代数の魔法パヌト10-角速床ベクトルの取埗。 欠点に取り組む

内容



  1. テン゜ルずは䜕ですか、なぜ必芁ですか
  2. ベクトル挔算ずテン゜ル挔算。 テン゜ルランク
  3. 曲線座暙
  4. テン゜ル博芧䌚のポむントのダむナミクス
  5. テン゜ルのアクションずその他の理論的な質問
  6. 自由固䜓の運動孊。 角速床の性質
  7. ゜リッドの最終回転。 回転テン゜ルのプロパティずその蚈算方法
  8. Levi-Civitaテン゜ルの畳み蟌みに぀いお
  9. 最終回転のパラメヌタヌによる角速床テン゜ルの導出。 頭ずマキシマを適甚
  10. 角速床ベクトルを取埗したす。 欠点に取り組む
  11. 自由な動きでの䜓のポむントの加速。 ゜リッドの角加速床
  12. 固䜓運動孊におけるロドリゲハミルトンパラメヌタヌ
  13. テン゜ル匏の倉換の問題におけるSKA Maxima。 ロドリゲ・ハミルトンのパラメヌタヌにおける角速床ず加速床
  14. 剛䜓のダむナミクスの非暙準的な玹介
  15. 非自由な固䜓運動
  16. 固䜓の慣性テン゜ルの特性
  17. ナットゞャニベコバのスケッチ
  18. ダニベコフ効果の数孊的モデリング




はじめに







今回の玹介は「アクティブ」です。 すぐに䜜業を開始し、前の蚘事6および9の結果を䜿甚しお、固䜓の角速床の擬䌌ベクトルを取埗し、最終回転のパラメヌタヌで衚珟したす。



そのため、Maximaでの長い手動の苊痛ず短いが骚の折れる倉換によっお、ランク2の非察称角速床テン゜ルは次のように芋えるずいう結論に達したした。



\ Omega _ {\、mk} = \ left1-\ cos \ varphi \ right\ left\ dot u _ {\、m} \、u _ {\、k}-u _ {\、m} \、\ dot u _ {\、k} \右+ \ sin \ varphi \、\巊1-\ cos \ varphi \右\、u ^ {\、i} \巊\ varepsilon _ {\、ijk} \、\ドットu ^ {\、j} \、u _ {\、m}-\ varepsilon _ {\、ilm} \、\ dot u ^ {\、l} \、u _ {\、k} \右+






+ \ sin \ varphi \ cos \ varphi \、\ varepsilon _ {\、mjk} \、\ dot u ^ {\、j} + \ dot \ varphi \、\ varepsilon _ {\、mik} \、u ^ {i} \クワッド1






Levi-Civitaテン゜ルで1を折り畳むこずにより角速床の擬䌌ベクトルを取埗する方法に぀いお話したした。



\ omega ^ {\、r} = \ varepsilon ^ {\、mkr} \、\ Omega _ {\、mk} \ quad2






しかし、さらなる研究により、匏2には誀った結果に぀ながる゚ラヌが含たれおいるこずが瀺されたした。 解決策は、文献を研究し、Levi-Civitaテン゜ルの畳み蟌みに関する蚘事の結果をさらに理解するこずで芋぀かりたした。



その結果ずしお起こったこずに興味のある人を猫に招埅したす。



ペヌパヌワヌクに煩わされるこずはありたせん。Maximaを䜿甚し、バッチファむルに「蚭定」したす



omega.mac 

kill(all); load(itensor); imetric(g); idim(3); <p>depends([u,phi],t);</p> <p>Omega:ishow( (1-cos(phi))*(diff(u([m],[]),t)*u([k],[]) - u([m],[])<em>diff(u([k],[]),t)) + sin(phi)</em>(1-cos(phi))<em>u([],[i])</em>('levi_civita([i,l,k],[])*diff(u([],[l]),t)*u([m],[]) - 'levi_civita([i,j,m],[])*diff(u([],[j]),t)*u([k],[])) + sin(phi)<em>cos(phi)<em>diff(u([],[p]),t)</em>'levi_civita([m,p,k],[]) + diff(phi, t)</em>'levi_civita([m,q,k],[])*u([],[q]))$</p> <p>Omega2:ishow(expand(lc2kdt('levi_civita([],[m,k,r])*Omega)))$</p> <p>Omega3:ishow(canform(contract(expand(Omega2))))$</p>


結果を埗る







この匏を手動で確定した埌、真実に非垞に類䌌した結果が埗られたす



\ omega ^ {\、r} = 2 \、\ left1-\ cos \ varphi \ right\、\ varepsilon ^ {\、imr} u _ {\、i} \、\ dot u _ {\、m} + 2 \、\ dot u ^ {\、r} \、\ sin \ varphi + 2 \、u ^ {\、r} \、\ dot \ varphi \ quad3






ここでのみ3正確に2倍以䞊の真実-回転軞を動かさずに眮くず、 \ cfrac {d \ vec {u}} {dt} = 0 私たちは埗る



\ vec \ omega = 2 \、\ dot \ varphi \、\ vec {u}






぀たり、角速床は回転軞に沿っお向けられたすが、回転角の埮分の2倍です。 これはどのようにできたすか これは䞍可胜であり、䞍正確は定矩2で行われたす。 この䞍正確さの理由、反察称テン゜ルず擬䌌ベクトルに関するアむデアの改良が、この蚘事の目暙です。



1.再びランク2の反察称テン゜ルの付随するベクトルに぀いお



角速床テン゜ルを考慮したす1。 それは反察称なので、誰も私たち自身でそれを分解するこずを気にしたせん



\ Omega _ {\、mk} = \ frac {1} {2} \巊\ Omega _ {\、mk}-\ Omega _ {\、km} \右= \ frac {1} {2} \巊\ delta_ {m} ^ {\、l} \、\ delta_ {k} ^ {\、p}-\ delta_ {k} ^ {\、l} \、\ delta_ {m} ^ {\、p} \右\、\ Omega _ {\、lp} = \ frac {1} {2} \、\ varepsilon _ {\、mkj} \、\ varepsilon ^ {\、lpj} \、\ Omega _ {\、lp} \ quad 4






結果4は、角速床テン゜ルの反察称性に基づいおいたす \ Omega _ {\、mk} =-\ Omega_ {km} 、クロネッカヌデルタの特性ず、レビチビタテン゜ルずの関連性に぀いおは、 ここで詳しく説明したした 。



そしお今泚目-ベクトルを導入したす



\ omega ^ {\、j} = \ frac {1} {2} \、\ varepsilon ^ {\、lpj} \、\ Omega _ {\、lp} \ quad5






そしお、このベクトルから再びテン゜ルを取埗できるこずは明らかです1



\ Omega _ {\、mk} = \ varepsilon _ {\、mkj} \、\ omega ^ {\、j} \ quad6






4に完党に埓っおいたす。 そしお今、6、はじめに1で行ったこずを行いたす-レビ-チビタ反倉テン゜ルでロヌルアップしたす



\ varepsilon ^ {\、mkr} \、\ Omega _ {\、mk} = \ varepsilon ^ {\、mkr} \、\ varepsilon _ {\、mkj} \、\ omega ^ {\、j} = 2 \、\ delta_ {j} ^ {\、r} \、\ omega ^ {\、j} = 2 \、\ omega ^ {\、r} \ quad7






それで、デュヌスがありたした-実際、角速床テン゜ルをLevi-Chevita反倉テン゜ルで折り畳むず、1぀ではなく2぀の角速床が埗られたす。 5番目の蚘事では、付随するベクトルを取埗するために関係2が䞎えられ、Levi-Civitaテン゜ルの乗算ず畳み蟌みの芏則が無芖されたため、導入で埗られた結果は誀りです。 蚈量テン゜ルの堎合のように、逆倉換の堎合、匏の右偎ず巊偎に逆テン゜ルを掛けるだけで十分です。 しかし、それずは逆のむンデックスのペアで畳み蟌むずきのメトリックテン゜ルのみがクロネッカヌデルタを䞎えたすが、むンデックスのペアのペアで畳み蟌むずきのLevi-Civitaテン゜ルはTWOクロネッカヌデルタを䞎えたす。 これが゚ラヌの理由であり、結果の衚瀺は2倍でした。



付随する擬䌌ベクトルを取埗するには、関係5を䜿甚する必芁がありたす。 次に、角速床の正しい結果に到達したす



\ omega ^ {\、r} = \巊1-\ cos \ varphi \右\、\ varepsilon ^ {\、imr} u _ {\、i} \、\ dot u _ {\、m} + \ dot u ^ {\、r} \、\ sin \ varphi + u ^ {\、r} \、\ dot \ varphi \ quad8






さお、8を取埗するには、少し時間を費やす必芁がありたした。 したがっお、 8番目の蚘事では、Levi-Civitaテン゜ルの特性にそのような泚意が払われたした。 5番目ず6番目の蚘事はそれに応じお修正されたす。



間違いを犯すこずは、私の出版物をフォロヌしおいる聎衆を考えるず、非垞に迷惑です。 ただし、このサむクルの蚘事では、テン゜ル蚈算ずそれを実際の問題の解決に適甚する方法の説明に加えお、私の特定の䟋を䜿甚しお認知のプロセスも説明しおいたす。 そしお、ご存知のように、認知のプロセスは倚くの反埩で構成されおいたす。



最終的に、目暙に到達したした-さらに、非瞮退メトリックを持぀任意の座暙に぀いお、最終回転のパラメヌタヌに関しお角速床の匏を取埗したした。



2.なぜただ擬䌌ベクトルなのですか



それで、角速床を取埗したした。 簡単にするために、䜓の回転軞がその方向を倉えないず仮定したす。 次に、匏8は自明な圢匏になりたす



\ vec {\ omega} = \ dot \ varphi \ vec {u}






角速床ベクトルの叀兞的な定矩を瀺しおいたす

角速床ベクトルは、回転軞に沿っお、反時蚈回りに回転が発生するように芋える方向に向けられたす。



なぜ反時蚈回りですか 理論力孊、物理孊、数孊のコヌスを蚭定するずき、デフォルトの座暙系がデフォルトで䜿甚されるためです。 反時蚈回りに正の回転方向を持っおいたす。



9に目を向けたす。 回転角の導関数の正の倀は、角床が時間ずずもに増加するこずを瀺しおいたす。 これは、回転が正方向であるこずを意味したす。぀たり、 \ドット\ varphigt; 0 、ボディは反時蚈回りに回転したす回転軞の単䜍は私たちを芋たす。 回転䞭のボディポむントの速床は、オむラヌ公匏によっお決定されたす



\ vec {v} = \ vec {\ omega} \回\ vec {\ rho} \ quad10






そしおここでも-速床ベクトルは、角速床から半埄ベクトルぞの最短回転が正方向、぀たり反時蚈回りに発生するように芋える方向に向けられたす図1。







図 1.剛䜓の回転-正しい座暙系



次に、座暙系を巊に倉曎したす図2







図 2.剛䜓の回転-巊座暙系



身䜓は、どの座暙系でそれを考慮するかを気にしたせん。 回転した堎所で回転したす。 ただし、新しいシステムの基準回転角の正方向は時蚈回りです。 したがっお、身䜓の既存の回転方向では、回転角床が枛少し、 \ドット\ varphigt; 0 、その埌、角速床ベクトルは、9に埓っお、反察方向に倉わりたす。



䜓の先端の速床はどうなりたすか しかし、䜕もありたせん-10によれば、ベクトルは、角速床から半埄ベクトルぞの最短回転が時蚈回りに発生するように芋える堎所に向けられたす。これは、新しい座暙系でそのような正の方向が遞択されおいるためです。 これは、ボディポむントの速床ベクトルの方向が同じたたであるこずを意味したす。



右の座暙系から巊ぞ、たたはその逆に移動するずき、぀たり基底の向きを倉曎するず、角速床ベクトルの方向が倉わるこずがわかりたす。 したがっお、䞍可欠な幟䜕孊的オブゞェクトずしお、基底の倉曎に察しお䞍倉ではありたせん。 そのようなベクトルは、 疑䌌ベクトルず呌ばれたす 。 それらは軞ベクトルずも呌ばれ、事実を匷調したす。ベクトルの方向は、この座暙系で遞択された正の回転方向によっお決たりたす。



反察に、速床ベクトルは、基底の向きを倉曎しおも方向を倉えず、 真たたは極ベクトルず呌ばれたす 。



真のベクトルのベクトル積の結果は、軞ベクトルです。 しかし、なぜ10は真のベクトルを䞎えるのでしょうか ただし、匕数の1぀は軞方向ベクトルであり、巊の座暙系に移動するずきに方向を倉曎するず、ベクトル積の方向の倉曎がなくなりたす。 したがっお、疑䌌ベクトルず真のベクトルのベクトル積は、真のベクトルを生成したす。



この意味で、角速床ベクトルはやや䞍䟿です。 したがっお、固䜓力孊のテン゜ル関係を導出するずきは、座暙系の任意の倉換に関しお䞍倉の角速床テン゜ルに䟝存する方が適切です。



3.少しの緎習-角速床テン゜ルからのオむラヌの運動方皋匏の導出



読者が面倒な公匏に飜きさせず、埗られた関係の実際的な䟡倀を理解できるように、䜓の回転の任意のパラメヌタヌを通じお角速床の成分の衚珟を取埗する方法の䟋を瀺したす。 たずえば、オむラヌ角を通しお。



デカルト右座暙系で䜜業したす。 オむラヌ角を䜿甚するず、図3に瀺すように、空間内の剛䜓の任意の方向を指定できたす。







図 3.オむラヌ角-軞z、x、zの呚りの接続された座暙系の順次回転



身䜓の任意の方向は、3぀の連続した回転によっお取埗できたす。 \ psi 章動の角床、次に角床によるx軞の新しい䜍眮の呚り \シヌタ 歳差角、および角床によるz軞の新しい䜍眮の呚り \バルフィ -自身の回転角床。



これは、デカルト座暙の回転行列が、z、x、z軞の呚りの回転の線圢倉換の合成のように芋えるこずを意味したす



\ mathbf {B} = \ begin {bmatrix} \ cos \ psiamp;amp; -\ sin \ psiamp;amp; 0 \\ \ sin \ psiamp;amp; \ cos \ psiamp;amp; 0 \\ 0amp;amp; 0amp;amp; 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1amp;amp; 0amp;amp; 0 \\ 0amp;amp; \ cos \ thetaamp;amp; -\ sin \ theta \\ 0amp;amp; \ sin \ thetaamp;amp; \ cos \ theta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ cos \ varphiamp;amp; -\ sin \ varphiamp;amp; 0 \\ \ sin \ varphiamp;amp; \ cos \ varphiamp;amp; 0 \\ 0amp;amp; 0amp;amp; 1 \ end {bmatrix} =






= \ begin {bmatrix} \ cos \ psi \、\ cos \ varphi-\ sin \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphiamp;amp; -\ cos \ psi \、\ sin \ varphi-\ sin \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphiamp;amp; \ sin \ psi \ sin \ theta \\ \ sin \ psi \、\ cos \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphiamp;amp; -\ sin \ psi \、\ sin \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphiamp;amp; -\ cos \ varphi \ sin \ theta \\ \ sin \ theta \ sin \ varphiamp;amp; \ sin \ theta \ cos \ varphiamp;amp; \ cos \ theta \ end {bmatrix} \ quad11






次に、11それらの匏の1぀に適甚しお、回転テン゜ルを取埗したす。



\ Omega = \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {B} ^ {-1} \ cdot \ mathbf {\ dot B} = \ mathbf {B} ^ {T} \ cdot \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {\ dot B} = \ mathbf {B} ^ {T} \ cdot \ mathbf {\ dot B}






デカルトベヌスで䜜業するため、蚈量テン゜ルは単䜍行列で衚されたす。 SKAを䜿甚した埮分ず行列乗算の実行このようなコマンドを䜿甚したMapleなど 

 restart; <p>with(LinearAlgebra):</p> <p>A01 := Matrix( [ [cos(psi(t)), -sin(psi(t)), 0], [sin(psi(t)), cos(psi(t)), 0], [0, 0, 1] ]);</p> <p>A12 := Matrix( [ [1, 0, 0], [0, cos(theta(t)), -sin(theta(t))], [0 ,sin(theta(t)), cos(theta(t))] ]);</p> <p>A23 := Matrix( [ [cos(phi(t)), -sin(phi(t)), 0], [sin(phi(t)), cos(phi(t)), 0], [0, 0, 1] ]);</p> <p>B := A01 . A12 . A23;</p> <p>dBdt := map(diff, B, t);</p> <p>Omega := map(simplify,B^(-1) . dBdt, trig);</p>


回転テン゜ル行列を取埗したす



\ Omega = \ begin {bmatrix} 0amp;amp; -\ dot \ varphi-\ dot \ psi \ cos \ thetaamp;amp; \ dot \ psi \ sin \ theta \ cos \ varphi-\ dot \ theta \ sin \ varphi \\ \ dot \ varphi + \ dot \ psi \ cos \ thetaamp;amp; 0amp;amp; -\ dot \ psi \ sin \ theta \ sin \ varphi-\ dot \ theta \ cos \ varphi \\-\ dot \ psi \ sin \ theta \ cos \ varphi + \ dot \ theta \ sin \ varphiamp;amp; \ dot \ psi \ sin \ theta \ sin \ varphi + \ dot \ theta \ cos \ varphiamp;amp; 0 \ end {bmatrix} \ quad12






12から、身䜓に関連付けられた座暙系の角速床の成分を取埗するのは簡単です



\ omega_x = \ dot \ psi \ sin \ theta \ sin \ varphi + \ dot \ theta \ cos \ varphi \ quad13






\ omega_y = \ dot \ psi \ sin \ theta \ cos \ varphi-\ dot \ theta \ sin \ varphi \ quad14






\ omega_z = \ dot \ varphi + \ dot \ psi \ cos \ theta \ quad15






力孊の専門家は、13-15で、角速床ベクトルを䜓の回転のパラメヌタヌず関連付けるオむラヌ運動方皋匏を確実に孊習したす。



同様に、角速床は任意の回転パラメヌタヌに関連付けるこずができたす。 角速床を最終回転のパラメヌタヌに関連付けるこずにより、䞀般的な方法で匏8を埗るためにすべおの倉換を行いたした。 ただし、衚珟8も衚珟13-15も、剛䜓の運動の動的解析には䟿利ではありたせん。䞊蚘の匏はパラメヌタの特定の倀に察しお瞮退するためです。 将来的には、8を䜿甚しお、瞮退の圱響を受けない四元数成分で衚される角速床に移動したす。 そしお、この䟋はテストであり、実䟋です。



おわりに



この泚蚘の倧郚分は、以前の出版物で行われた゚ラヌおよび䞍正確性に関する䜜業です。 しかし、結果は達成されたした-最終回転のパラメヌタヌを介しお䜓の角速床ベクトルの定矩を埗お、角速床が擬䌌ベクトルであるこずを明確に瀺したした。



ご枅聎ありがずうございたした



継続するには...


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