時にはできることもありますが、これは非常にまれな特性です
曲げとは、多面体がその面によって一意に定義されないという事実だけでなく、連続的な曲げを意味するとすぐに言います。 そのような例を思いつくのはとても簡単です：
しかし、1813年にコーシーは 、凸多面体ではそのような状況でさえ不可能であることを証明しました。凸多面体はその面によって一意に決定されます。
1897年には、自己交差する柔軟な多面体の例を構築することができました（これはワイヤーフレームとして視覚化できます。ハードエッジはすべて三角形であり、エッジによって一意に定義されるため、重要ではありません）-ブリカードの八面体。 Wolframデモンストレーション
1976年にのみ、コネリは、自己交差しない非凸状の曲げ可能な多面体の構築を提案しました。 彼のアイデアに従って、ステフェンはすぐに9つの頂点を持つ柔軟な多面体の例を作成しました（これは、これより少ない頂点では実行できないことが後で証明されました）。 この多面体を使ったビデオは投稿の冒頭に掲載されています。Wolframデモンストレーションもあります。
三角形の面を持つ多面体が考慮されることを事前に予約します。 これは問題の本質を変えることはありません。曲げ可能な多面体の場合、エッジを三角形にカットすることでエッジを追加することができます。 ただし、多面体の面に関するすべての情報が組み合わせ構造とエッジの長さに含まれているため、計算が簡素化されます。
柔軟な多面体を見つけることが非常に困難であることが判明した理由を理解してみましょう。多角形の場合、これは非常に典型的なプロパティです。 n個の頂点を持つポリゴンを見てみましょう。 その形状は、頂点の座標（2n）によって決まります。 これらの座標は、ポリゴンの形状だけでなく、平面上の位置も決定します。 位置は3つの座標で指定されます（たとえば、1つの頂点の座標とその周囲のポリゴンの回転角度）。 したがって、2n-3の自由度を持つシステムが得られますが、エッジの長さはn個の条件のみを課し、n> 3の場合は2n-3> nになります。 数学言語では、頂点の座標セットにマッピングする2n-3変数のn個の関数があり、エッジの長さの正方形のセット（関数多項式を作成するために正方形が取られます）とn> 3の場合、逆像を一意に定義する関数の像は遠いです。
多面体についても同様の計算を実行します。 n個の頂点を持つ多面体の形状は、3n-6個のパラメーターによって定義されます（空間内の多面体の位置は6個のパラメーターによって決定されるため）。 エッジの数を計算します。 それらの数をeと等しくします。 fが面の数の場合、2つの面が各エッジに隣接し、各面には3つのエッジが含まれるため、3f = 2eです。 オイラー公式を適用すると、n-e + 2e / 3 = 2、つまりe = 3n-6が得られます。 多面体に課せられる条件の数は、自由度の数と正確に等しいことがわかります。
これは、エッジの長さが多面体の形状を一意に決定することを意味するものではありません。 エッジの長さの各セットには、多面体形式の中にいくつかのプロトタイプがありますが、それらは分離されます（投稿の冒頭の例のように）が、プロトタイプはローカルに固有です。 暗黙関数定理を参照してください。 関数セットが縮退している場合にのみ、曲げに必要なプリイメージのファミリー全体を見つけることができます。 ヤコビアンを参照してください。 したがって、曲げの可能性のために、多面体の組み合わせ構造は、エッジの長さと頂点の座標の方程式の縮退系を指定する必要があります。これは、柔軟な多面体の希少性を説明します。
柔軟な多面体の例を構築した後、数学者は曲げ下での特性を研究し始めました。 1996年に、サビトフは驚くべき事実を発見しました-柔軟な多面体は曲げ中に体積を保持します（より正確には、彼はより強力なステートメントを証明しました-多面体の体積は、係数がエッジ長の二乗で多項式で表される多項式の根です）。 注目すべきことは、最近の結果にもかかわらず、1-2コースの数学の学生にとって、証明が複雑で理解しやすいものではないことです。
さらに、数学者は高次元の多面体の研究を始めました。 A.ゲイフルリンは、すべての次元でサビトフの定理の類似物を証明し、すべての次元の柔軟な多面体の例を構築しました。
追加資料：
- 柔軟な多面体に関するetudes.ruのビデオ
- 少数の頂点を持つ柔軟な多面体に関するI. Maximovの記事
- A.ガイフーリンによる講演
- ステフェン多面体を接着する手順