二次元加法セルラオートマトンにおけるビット反転パターンの実験

どういうわけか私はセルオートマトンで実験しました。 一次元と二次元で。 ルールを適用する初期状態を考えました。 2次元セルオートマトンの初期状態として、対角線のビット反転順列を使用し始めたとき、オートマトンを適用した後、独特のパターンが得られました。 時々、特徴的なパターンがパターン間に現れました。 これらのパターンを強調して、少し実験してみました。 私が何とか見つけ出したところで、この記事を共有します。



この記事では、加法的セルオートマトンについて簡単に説明します。 また、一連の観察と設定したタスクも示します。 各段階には、セルオートマトンの状態の画像が付随します。 さらに、視覚化を改善するために、記事を読むときにインタラクティブ機能を追加するWebアプリケーションを作成しました。 このアプリケーションはReactに基づいており、最新のブラウザーで動作するはずです。 また、いくつかのアクションには、Pythonのコードへのリンクを添付します。



免責事項：この記事は純粋に有益であり、本質的に面白いものです。私は提案された情報の適用を知らないためです。 また、見つけた断片的な情報を整理することに興味があります。 そして、おそらく、それらの粗さを見つけるために。 おそらく、新しい実験が思い浮かぶでしょう。



この記事があなたを楽しませることを願っていますが、私は明確に、そして事件について書きます。

セルオートマトンの予備知識

セルオートマトン（CA）に精通していない場合、またはセルオートマトン（CA）について聞いたばかりの場合は、紹介記事を読むことをお勧めします。



Toffoli T.、Margolus N.、Roman ParpalakによるThe Game of Life のセルオートマトンのレビュー （ pdf ）は、宇宙船の良い紹介です。



Evgeny Zolotov、 Boxed World （ pdf ）Computra。



より実用的な記事：



OCo、OCoのプログラム、フラクタル、および雑貨のセルオートマトン （ pdf ）-セルオートマトンの簡単な紹介と、さまざまなセルオートマトンの実装例。



Matvey Kotov（ mkot ）、 Habréの セルオートマトンについて少し。



Tatyana Bibikova、 ウニ精子の流体力学 （ pdf ）-科学的研究についての物語。



私の意見では、興味深い資料も英語で提供します。



WolframMathWorldの基本セルオートマトン -CAルールを列挙する方法を説明し、特定の開始状態のすべてのルールの動作を示します。



ウィキペディアの基本セルオートマトン -前のものとほぼ同じ。 しかし、ランダムな開始状態で特定のルールを適用する例があります。

Rafael Espericueta、 Cellular Automata Dynamics （ pdf ）-ゼロ次元、1次元、および2次元の宇宙船についての図鑑。

WolframMathWorldの加算セルラーオートマトン -加算宇宙船について。



Mirek Wojtowicz、 1Dおよび2D Cellular Automataエクスプローラー -サイトにはCAルールのコレクションがあります。

二次元加法セルラオートマトン

セルオートマトンには、前の状態から次の状態への遷移が発生する状態とルールがあります。



2次元CAの状態は、セルの2次元配列です。 この場合、この配列は同じ長さと幅Nを持ちます。各セルは値0または1を取ることができます。値0のセルを黒で、値1のセルを白で表します。



宇宙船の状態配列内のセルの位置は、座標[i、j]によって記述されます。ここで、i、jは0〜N-1の値を取り、さらにiは列番号、jは行番号です。



ルールは、セルの値と隣接する8つのセルの値に基づいて、次の状態のセルの値を計算する手順です。 ルールの計算に参加できるセルのセットは、近傍と呼ばれます。 これは、セル[i、j]の近傍です。



ルールを計算する手順は、すべての隣接セルが決定されるCA状態のすべてのセルに並行して適用されます（一般的な実装では、2つの状態配列を連続して使用します）。



CA状態の境界では、すべての隣接セルが定義されているわけではありません。 不足しているセルを特定するにはさまざまな方法があります。 そして、各方法は異なる結果をもたらします。 この場合、欠落している隣接セルは、状態の反対側のエッジから取得されます。 したがって、配列は、そのままで左端に「接着」され、上端が下に「接着」されます。 このような「接着」は、トーラスの表面をエミュレートするか、トロイダル格子とも呼ばれます。

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おそらく、2次元の宇宙船の最も有名な例は、 ゲーム "Life"です。



2次元加法セルラーオートマトン（AKA）では、ルール計算手順により、計算されたセルの近傍から9つのセルの特定のセルの値のモジュロ2合計 （XORと同じ）が計算されます。 この場合、セルの値は合計に1回しか含まれません。



計算されたセルを座標[i、j]でc ₁として、隣接セルをc ₂ 、c ₄ 、c ₈ 、c ₁₆ 、c ₃₂ 、c ₆₄ 、c ₁₂₈ 、およびc ₂₅₆として図に示す位置で示します。



ご存知のように、近傍セルインデックスは2 ⁿの形式の値を取ります。ここで、nは1から9まで変化します。任意のインデックスの合計は、ルールを計算するために合計に含まれるセルをバイナリ表現で一意に決定する数を与えるため、このようなインデックスは非常に便利です。 この番号がルール番号になります。



たとえば、 ルール15です。 バイナリ表現15 = 000001111 ₂によると、用語000000001 2、000000010 2、000000100 2、000001000 ₂または1、2、4、8に分解されます。したがって、ルール15は、新しい状態の各セルが₁ 、sのセルの合計であることを意味します₂ 、前の状態の₄および₈ 。 他の隣接セルは、ルールの計算に参加しません。 したがって、ルール計算手順は₁ [t] = c ₁ [t-1] + c ₂ [t-1] + c ₄ [t-1] + c ₈ [t-1]（mod 2）の式になります。ここで、c ₁ [t]は新しい状態のセル、c ₁ [t-1]、c ₂ [t-1]、c ₄ [t-1]、c ₈ [t-1]は前の状態のセル、および座標₁ [t]と₁ [t-1]のセルは一致し、 ₂ [t-1]、 ₄ [t-1]、 ₈ [t-1]のセルは₁ [t- 1]図に従って。



このようなAKAルールの番号付けのアイデアは、[ Khan1997 ]から取られています。



アプリケーションでは、番号と近隣のセルのボックスをオンにすることで、ルールをインタラクティブに設定できます。 あるビューを変更すると、別のビューが自動的に変更されます。



記事全体は、ルール15の使用に基づいています。 ルール511を使用したいくつかの実験もあります。

対角線順列の発現の予備的な同定

空の状態、別名64x64セルを取り、 対角線を引きます ：

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行のビット反転順列を適用します。 または列。 違いはありません。 すでに書いたビット反転とビット反転順列とは何ですか。 [ BRH2012 ]アプリケーションでは、これはBRP（y）ボタンを使用するか、「Permuted Diagonal Line」パターンを選択することで実行されます。 状態を取得します 。

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次に、この状態にルール15を繰り返し適用します（「ルールの適用」ボタン）。30回の反復後、状態を取得します。

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私の目はすでに設定されており、探しているパターンを簡単に認識できます。 この状態から、仮想の黒と白のセルで構成される8x8のサイズのものを、異なる描画方法で4回繰り返して区別できます。 これを明示的に強調します。

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ある種のセルのセットのように見えます。 実際、各反復は特定のパターンを提供します。 なぜこの反復とこの図面を強調したのですか？



AKA 128x128 cellを考えてみましょう。 そして、同じことをします。 イテレーション62を見てみましょう。状態がわかります。

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16x16パターンを指定する仮想セルが表示されます。 それを選択してください：

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確かに、別名256x256セルを使用してください 。 反復60の状態は次のとおりです。

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おなじみの8x8セルパターンを定義する仮想セルが表示されます。 唯一の違いは、仮想セルの描画方法です。 次の反復では、特定のレンダリング方法でパターンが繰り返されます。 たとえば、反復62：

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最後に、反復126：

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認識できる画像ではありませんか？ また、LCDモニターでこのパターンがスムーズに動くため、動的なモアレに注意してください。 しかし、これは別の記事のトピックです。 仮想セルから32x32パターンを選択します。

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これは、このオブジェクトへの関心に捕らわれ、それをより深く探求するのに十分でした。 このオブジェクトを、対角線またはPPDLの順列の明示と呼びます。



AKAを何度も繰り返したり、仮想セルを認識したりせずに、そのようなパターンを純粋な形で生成する方法を見つけることにしました。

対角線順列の発現の生成

最も純粋な32x32セルで PPDLを取得します 。 ルール15を適用します（最初から、 ルール225のみで実験したため、PDLの生成で不必要な修正が行われました。）状態を取得します。

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この状態を少しいじると、各四半期に対角線のビット反転順列が描かれているという結論に達することができます。 これを確認するには、4BRP（y）ボタンを押します。 取得するもの： 。

また、各四半期を個別に再配置することはできませんが、ステータスバー全体を再配置できます 。 次に、 2本の対角線を取得します。 どのアプローチをとっても違いはないようです。 ただし、最初のオプションを使用して任意のモジュール/ベースに移動する場合、生成はより簡単です。 （最初から、私の実験では2番目の方法を使用しました。そして、記事を書いた直後にようやく最初の方法に到達しました。）



したがって、ルール15を適用した後のAKAの状態はわかっています。この状態は、特定のサイズに対して簡単に生成できます。



この状態を逆にすることは残っています。 ルール15をもう一度書きましょう。

s ₁ [t] = s ₁ [t-1] + s ₂ [t-1] + s ₄ [t-1] + s ₈ [t-1]（mod 2）、s ₁ [t]は既知各クォーターの対角線の順列を含む状態セル、 ₁ [t-1]、 ₂ [t-1]、c ₄ [t-1]、および₈ [t-1]-未知のPDLセル。 検出されたさまざまなサイズのPDLを見ると、最初の行と最初の列のセルにゼロしか含まれていないことに気付くのは簡単です。 したがって、最初のPPDLセルの重要性はすでにわかっていると仮定します。 これらの値に基づいて、PPDLセルの残りの値を見つけることが可能になります。



たとえば、8x8セルのAKAを使用します。 各四半期の対角線の順列を持つ状態tは、表形式で表されます。



既知の最初の行と最初の列を持つPPDL t-1の望ましい状態を表形式で示しましょう。



左上隅の3つの既知のセルは、ルール15の用語に対応します_。1 [t-1]、 ₂ [t-1]、 ₈ [t-1]です。 未知のセル[1,1]は、 ₄ [t-1]の項に対応します。

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規則15の他の用語は関係ありません。



c ₄ [t-1]の方程式を解きます。 取得するもの：

s ₄ [t-1] = s ₁ [t] + s ₁ [t-1] + s ₂ [t-1] + s ₈ [t-1]（mod 2）（モジュロ2を追加すると、マイナス記号は_4） [t-1] = 1 + 0 + 0 + 0 = 1（mod 2）の場合。 状態を取得します。



同様に、セル[1、2]またはセル[2、1]は、変位を考慮して計算されます。

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等 セルごとに、 行ごとに、状態を取得します。





* * *



また、 ブロック再帰的なマトリックス構成を使用してPPDLを生成できます。 これが誰かにとって興味深い場合は、自分でやろうとすることができます。

対角線の順列の発現のいくつかの特性

物件1

PPDLのサイズNは2のべき乗、つまり N = 2 ⁿ

物件2

最初の行と最初の列のセルはゼロです。

物件3

行N / 2および列N / 2の偶数セルは1に等しく、奇数セルはゼロに等しくなります。 つまり、2を法とするセルの対応する座標に等しくなります。

プロパティ4

PDLにルール15を適用すると、各四半期の対角線の順列を含む状態が得られます。

物件5

PPDL 64x64セルを準備します。

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そして、ルール511を適用します。イテレーション16で次のようになります。

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これは同じパターンで、32セルだけ斜めにシフトします。



他のサイズのPPDLでも同様のパターンが発生します。



このようにして得られたパターンは、メインセルと同じ方法で生成できます。最初の行と最初の列を取得するだけでよく、偶数セルの単位で構成されます。



これはこのパターンの固有のプロパティではないことに注意してください。 同じ特性を持つAKAの他の州を思い付くことができます。



ルール511の適用を継続すると、反復32で元の画像が返されます。 元の画像は、AKA状態のセルの組み合わせで復元されますが、状態のサイズでは復元されません。 ルール511のこのプロパティは、暗号化で使用するために提案されています。 [ Chatz2012 ]このソースから、実験でルール511を使用する能力について学びました。



* * *



他の領域を調べてみると、モジュール2の計算が適用されるオブジェクトがある場合、任意のモジュールに展開できるという事実に遭遇しました> = 2。

任意のモジュール/ベースでの対角線の順列の明示

まず、ルールの計算手順を拡張します。 ここで、ルールを計算すると、M> = 2を法として選択された近傍セルの合計が計算されます。 つまり、選択したセルの値の合計を計算した後、Mによる除算の残りをセルの最終値とし、Mを法とする計算のおかげで、AKA状態のセルは0からM-1の整数値を取ります。



値が0のセルを黒で、M-1の値がセルを白で、セルの中間値を中間色のグレーで表示します。



module> = 2のAKAに関する何かは[ CAD1997 ]にあります。



また、ビットの逆数、つまり基数2 の数字の逆から、任意の基数 B> = 2の数字の逆に進む必要があります。 数字の反転により、対角線のデジタル反転順列が可能になります（用語を正しく入力したかどうかはよくわかりません。数字/数字反転および数字反転順列のオプションを考えました。しかし、私の意見では、これはひどいようです。） AKA状態のサイズは2の累乗になります。AKA状態のサイズを調整する必要があります。 これで、このサイズNはベースBのある程度になります。 N = B ^nの形式になります。



ルール15を試します。モジュールとベースは一致する必要があります。 一 二つ 。

2番目のケースでは、イテレーション62でリモートに類似した何かが現れました。

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仮想セルがありますが、これはすべてではありません。



次に、 ルール511を試しました。 モジュール/ベース3およびサイズ243x243の対角線の順列を取得します。 イテレーション26で次のようになります。

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5x5の仮想セル（より正確な6x6）がはっきりと表示され、認識可能なパターン：

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モジュール/ベース3およびサイズ729x729の対角線の順列を取ります 。 反復80では、18x18の仮想パターン を取得 します 。



モジュール/ベース4の対角線の順列を取得すると、同様の結果が得られます。ただし、このためには、アプリケーションに実装されていない4x4の近傍を持つルールを計算する必要があります。 完成した結果のみを表示できます。 反復42では、仮想8x8パターン を取得します。



以前と同様に、PDLを生成する方法を探します。



モジュール/ベース3でPPDL 18x18セルを取得します：

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ルール15を適用して、ひどい混乱を招きます：

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最初から始めましょう。 ルール511を適用します。

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すでに良い。 しかし、まだ多くの余計なものがあります。 また、ルール511に従って状態を反転させたくありません。



しばらくして、AKAルールの用語の兆候を実験することになりました。 どの用語がマイナス記号で使用されているかを示すために、ルールと同じエンコードを使用するルール番号の後に別の番号を書くことをお勧めします。



たとえば、ルール15-10。 c ₁ 、c ₂ 、c ₄ 、c ₈という用語が含まれます。 ただし、用語c ₂およびc ₈はマイナス記号で入力します。 関数c ₁ [t] = c ₁ [t-1] -c ₂ [t-1] + c ₄ [t-1] -c ₈ [t-1]（mod M）を取得します。



規則15-5の状態は次のとおりです。

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そして、 規則15-10は条件を与えます：

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規則15-10について説明しましょう。 左上4分の1のセルには単位（灰色のセル）が含まれていますが、ルール15-5の後、デュース（白いセル）があります。また、単位は数値軸の開始点に近くなります。



4DRP（y）ボタンを使用して、最後の状態の各四半期の行のデジタル反転順列を適用し、以下を取得します。

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状態は四半期に分割でき、それぞれに対応する値の対角線があります。



そのため、ルール15-10を適用した後に取得する必要がある条件に気付きました。 この状態を逆にすることは残っています。 ルール15-10を書きます。

c ₁ [t] = c ₁ [t-1] -c ₂ [t-1] + c ₄ [t-1] -c ₈ [t-1]（mod M）、c ₁ [t]は既知対応する値、 ₁ [t-1]、 ₂ [t-1]、c ₄ [t-1]、 ₈ [t-1]の各四半期の対角線の順列を含む状態セル-不明なPPDLセルMはモジュールです（現在は3です）。以前と同様に、値を₁ [t-1]、 ₂ [t-1]、 ₈ [t-1]で修正します。 c ₄ [t-1]の方程式を解きます。 取得するもの：

s ₄ [t-1] = s ₁ [t] -s ₁ [t-1] + s ₂ [t-1] + s ₈ [t-1]（mod M）。 未知のセルをすべて計算した後、目的のパターンを取得します。



したがって、モジュール/ベースM> = 2でパターンを取得することも同様です。 基礎の程度という形で、その4分の1が大きさの状態を取る必要があります。 各四半期に、デジタル的に可逆の順列で対角線を描きます。 左上の区画と右下の区画のセルの値は1になり、他の2つの区画の値はM-1になります。 次に、規則15-10に従って結果の状態を反転します。 ソースコード 。



混乱する唯一のことは、パターンがルール511-0を使用して識別されたことです。 当て推量が正しいことを確認するために、再配置された対角線でルール15-10をチェックします。 イテレーション52で以下を取得します。

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この画像は、ルール511-0を使用して以前に取得したオフセットと同じです。







ルール15-10を使用したAKAの状態の他の次元の実験では、上記のアルゴリズムによって生成されたPDLに一致する仮想セルのパターンが得られます。



* * *



また、ブロック再帰マトリックス構築を使用して、ベース/モジュール3でPPLD生成を実装することもできました。 PPDLのブロック構造を調べると、モジュール/ベースの増加に伴い、ブロックの構造がますます複雑になっていることに気付きました。 離散フーリエ変換の行列に似た要素（つまり、乗算表のモジュロ形式の行列）も注目に値しますが、この記事でこの方向の詳細な調査を積み過ぎたくありません。 たぶん誰かが自分でこれを探求することにもっと興味を持つでしょう。



* * *

PPDLのプロパティを修正しましょう。

モジュール/ベース> = 2の対角線の順列の発現のいくつかのプロパティ

物件1

PPDLのサイズNは、ベースBの次数の2倍です。 N = 2・B ⁿ 別のパラメーターBがこのプロパティに追加されました。

物件2

最初の行と最初の列のセルはゼロです。 このプロパティは変更されていません。

物件3

行N / 2および列N / 2のセルは、Mを法とするセルの対応する座標に等しくなります。このプロパティにもう1つのパラメーターMが追加されます。

物件6

ルール15-10をPDLに適用すると、各四半期の対角線の順列を含む状態が得られます。 左上の四半期と右下の四半期の順列は値1を取り、他の2つの四半期の順列は値M-1を取ります。 このプロパティはパラメトリックになりました。 さらに、ルール計算手順にはマイナス記号が含まれています。

物件5

このプロパティに対してAKAルールを選択しましたが、これまでに511-510ルールを見つけました。

モジュール/ベースが3に等しい場合、プロパティが実行され、中間パターンが表示されます。

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ただし、モジュール/ベースが3つ以上の場合、このプロパティは常に満たされるとは限りません 。

物件6

ルール15-0では、このプロパティは考慮されませんでした。 観察されませんでした。ルール15-10を使用すると、モジュールなしでPDLを取得することが可能になりました（対角線の順列の構築では、モジュールMは0に等しくなる可能性があります）。アプリケーションでは、モジュールのないセルの最大値に対応するモジュールを指定できます。次の形式でPPDLを取得します。

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ルール15-0および15-10の代替アプリケーション

任意の輪郭またはポイントのコレクションを描画し、十分に大きなモジュールを使用してルール15-10に従って状態を反転すると、何らかの勾配パターンが得られます。たとえば、斜めの線（[ルールの反転]をクリックします）。



輪郭の緩やかな動きとルール15-10の反転を使用して、さまざまな抽象的なアニメーションを作成し、YouTubeに投稿しました。以下の説明では、各ビデオはソースコードへのリンクです。



ルール15-0に従って対角線の順列を逆にすると、興味深い結果が得られます。さらに、最初の行と最初の列のセルの初期値は、セルの対応する座標に等しくなります。

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このビデオを作成する際、AKAビット単位のルールおよびその他の操作も適用されます。モジュールなしでルール15-0に従って適用すると



どうなるかを考えてみましょう。

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ビューは単純です。セルの交替が顕著です。これを考慮してください。受信した状態のセルが取るすべての値



を連続して描画することを提案します（2つのファイルがあります）。明確にするために、値を大きくすると、以前の値は徐々にフェードします。偶数と奇数の座標を持つセルは異なる色で表示されます：

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ビデオに表示されるアウトラインがはっきりと見えます。

Webアプリケーション機能の説明

アプリはGitHub で公開されています。 Reactを使用してJavaScriptで完全に実装されています。これは私の最初のJavaScriptプロジェクトです。彼の作品は、Internet Explorer 11、FireFox 30.0でテストされ、Chrome 35.0でもテストされました。 Internet Explorerには数値フィールドエディターがないため、ドロップダウンリストの要素を非表示にすることはできません。 IEとChromeにはボタンがロックされています。



Reactのおかげで、アプリケーションを開発するのに非常に便利です。これは、動的に変化するユーザーインターフェイス要素の場合に特に当てはまります。



アプリケーションのすべての要素について簡単に説明します。



ベースは、アプリケーションおよび計算のいくつかの要素の基礎です。 2〜4096の数値。



モジュラス-いくつかの計算のためのモジュール。 2〜4096の数値。



状態サイズ -AKA状態のサイズ。リストのいくつかの要素はベースに依存し、ベースⁿの形式を持ちます。



スケール -AKA状態表示のスケール。集計のサイズとスケールは4096ピクセルに制限されているため、ブラウザーの不慮の不気味なビザはありません。



パターン -別名初期状態パターン。それらについては以下に記述されます。



ルールの適用-AKAルールを適用し、次の状態を表示します。次の状態の計算結果は、モジュール、ルール、ルールの符号、および現在の状態に依存します。



逆ルール-ゼロに等しい目的の状態の最初の行と最初の列のセルを取得して、AKAの以前の状態を計算します。目的の状態の計算は、モジュール、インデックス1、2、4、8のルールと記号、および現在の状態に依存します。さらに、インデックス4のルールが存在する必要があります。PDLのマニフェストテンプレートとルール15-10を選択すると、興味深い結果が得られます。



BRP（x、y）/ DRP（x、y） -AKA状態の行と列のビット可逆（デジタル可逆）順列。順列のタイプはベース（ベース）に依存します。AKA状態のサイズがベースの^{次数である場合}（状態サイズ=ベースⁿ。）便宜上、順列を適用した後、ボタンは黄色で強調表示されます。繰り返しの順列は元の状態に戻るため、もう一度押すとバック​​ライトが削除されます。



BRP（y）/ DRP（y） -ビットリバーシブル（デジタルリバーシブル）ラインスワッピング。他のすべては似ています。 DRP（x、y）とDRP（y）を連続して押すと、列の順列を実現できます。



4BRP（x、y）/ 4DRP（x、y）および4BRP（y）/ 4DRP（y）は、AKA状態のクォーターの行および/または列のビット可逆（デジタル可逆）順列です。 AKAの状態のサイズがベースの2倍の場合（状態サイズ= 2・ベースⁿ）、ボタンはアクティブです。他のすべては同じです。



PG（x、y）/ PG（x）-パターンのグループ化。フォーム[0 1 2 3 4 5 6 7の順列 8 ] - > [0 2 4 6 1 3 5 7]ボタンをアクティブ状態（ベース2との）サイズはAKAベースの電源（サイズ=基底状態である場合^、nは）置換されてい周期的。サイクルの長さは、この非常に次数nに等しくなります。n =ログ_ベース（状態サイズ）。サイクルの終わりに、初期状態が返されます。角括弧内に、ループ内の順列の適用回数が表示されます。この順列をビット/デジタル反転パターンで観察するのは興味深いです。





ルール番号 -番号と近隣のセルに対応するチェックボックスを使用して、AKAルールの計算に関係する用語を定義します。 0〜511の数値。



符号＃ -ルール計算手順の対応する用語の符号を設定します。 0〜511の数値。0の値では、すべての項が正です。フラグがチェックされている場合、対応する用語はマイナス記号付きで取得されます。モジュラスが2の場合、符号は関係ありません。



ヒント規則/署名 -規則の変更に積極的に対応します。ゼロは、対応する用語がルールに含まれないことを意味します。プラスは正の用語です。マイナスは負の用語です。

ルールビットレイアウト-ルールインデックスのチートシート。ルール番号全体を構成します。



イメージの作成-AKAの現在の状態のコピーを画像の形式で作成し、右クリックしてディスクに保存できます。次の反復と視覚的に比較するためにAKA状態のコピーが必要な場合にも使用すると便利です。

パターンリストのパターン

（不明） -変更後にインストールされます。



空 -状態AKA 0にインストールされているすべてのセル



の対角線対角線- 。インストールされたセルの値は1です



。Permuted Diagonal Line（PDL） -ビット反転（デジタル反転）線交換後の対角線。置換のタイプはベース（ベース）に依存します。AKA状態のサイズは、ベース（ベースⁿ）の次数である必要があります。インストールするセルの値は1です



。QuarterPermuted Diagonal Line（QPDL）-四半期のビット反転（デジタル反転）ラインスワップ後のAKA状態の右下4分の1の対角線。順列のタイプはベース（ベース）に依存します。AKA状態のサイズは（2倍）ベースの程度（[base ⁿ、2・base ⁿ ]の状態サイズ）でなければなりません。サイズが2倍でない場合、サイズは自動的に2倍になります。確立されたセルの値は1です。一部のモジュール/ベース値では、ルール15-10の適用を何度も繰り返した後、PPDLが取得されます。



顕現のPDL PPDL - 。パターンのタイプは、ベース（ベース）とモジュール（モジュラス）に依存します。AKAの状態のサイズは、ベースの次数（2倍）（[base ⁿ、2・base ^nの状態サイズ）]。）サイズが2倍にならない場合、自動的に2倍になります。セルの範囲は0〜モジュラス1です。同じベースとモジュールで実験を開始できます。



排他的論理和-セル座標のビットごとのXORパターンの生成。セルの最終値はモジュロ（モジュラス）になります。セルは0からモジュラス-1の値を取ります。実験は、AKA状態の同じモジュールとサイズで開始できます。



モジュラー乗算 -セル座標の乗算パターンの生成。セルの最終値はモジュロ（モジュラス）になります。セルは0からモジュラス-1の値を取ります。実験は、AKA状態の同じモジュールとサイズで開始できます。このパターンは、離散フーリエ変換に見られます。



ランダム-ランダム状態AKAの生成。セルは0からモジュラス1までのランダムな値を取ります。

ソース

[ BRH2012 ] grep、ビット反転順列のホログラフィック特性、2012。



[ Khan1997 ] AR Khan、et.al . 、セルラーオートマトンマシンのVLSIアーキテクチャ、1997。



[ Chatz2012 ] Savvas A. Chatzichristofis、et.al. 、セルラーオートマトンでの排他的ORフィルターの再帰属性を使用した暗号化、2012年。



[ CAD1997 ] ラファエルエスペリキュータ、セルラーオートマトンダイナミクス、1997年。