星について

明らかな実用的価値を持たない問題の頭を取得することもありますが、それでも、少なくともそれを解決するまでは、何らかの方法で私の想像力を捕らえます。 原則として、タスクの実際的な価値はゼロですが、その過程で、解決されたものよりも価値のある他のものが解決されます。



それはすべて、正八角形と八角形の特性を研究したいという願いから始まりましたが、結果はすべての凸多角形（多角形）とそれらに組み込まれた星に適用できることが判明しました（類推により、私はそれらをポリグラムと呼びます-五penta星、六gram星、七、星、八etc星など-これはこの用語には他の意味があります）。



はじめに、用語。 五角形は五角形のすべての対角線のセットです;六角形の場合、これはすべての対角線ではなく、六角形の反対の頂点を接続するものだけです。 どちらの場合も、これらのピークは次々と通過します。 たとえば、五角形の頂点の番号が（0、1、2、3、4）に変更された場合、五then星は（0、2） 、 （1、3） 、 （2、4） 、 （3、0） 、 （4、 1） 。 ヘキサグラム（0、1、2、3、4、5）は 、それぞれ、線（0、2） 、 （1、3） 、 （2、4 ） 、 （ 3、5） 、 （ 4、0 ）の集合です。 （5、1） 。 出発点としてのゼロは偶然ではなく、プログラマティック思考へのオマージュとしてではなく、この表記法の便利さを以下に説明します。 ポリグラムを構成する線を、エッジと呼びます。 ポリグラムの頂点を、エッジのすべての交点ではなく、元のポリゴンの頂点と呼びます。













定義は、1〜n / 2の値の範囲を持つ整数kとして「ポリグラム次数」の概念を導入することで要約できます。ここで、nは元のポリゴンの角度の数です。 上限k（整数部分n / 2に等しい）は、異なる一般化されたポリグラムの数を決定します。 順序自体は、ソースからの頂点をポリグラムに含まれる対角線で接続する必要があることを意味します。 これはどういう意味ですか？ ゼロから始まるポリグラムの頂点の数を考慮すると、それらはnを法とする剰余の加算グループを形成します。 mをポリグラムの頂点番号とします。 次に、このグループの頂点mとm + k （ここでkはポリグラムの次数）を接続するセグメントは、次数kのポリグラムの一部になります。 この一般化では、次数1のポリグラムは元のポリゴンと一致します。



五角形の場合、式によると、2つの一般化された五gram星があります-五角形自体と古典的な意味での五gram星。











ヘクスの場合、3つの一般化されたヘキサグラムがあります：ヘックス自体、古典的なヘキサグラム、および反対側の頂点を接続する対角線（縮退ケース）。











わかりやすくするために、9角形と8角形のポリグラムを分析します。 式によれば、セプタグラムの数は3、オクタグラムの数は4です。



















副作用として、ポリグラムは自然に接続と切断に分割されることがわかります。 接続されたポリグラムは、エッジに沿ってパスがある頂点のペア間のポリグラムです（ポリゴンの頂点でのみエッジからエッジにジャンプできます）。 数値の理論を使用すると、元のポリゴンの角の数とポリグラムの順序が互いに素である場合にのみ、ポリグラムが接続されていることに気付くことができます。



以下の図は、切断されたポリグラムの例を示しています。個々の部分は異なる色で強調表示されています。 ノグラム（n = 9、k = 3）は 3つの三角形に分割され、デカグラム（n = 10、k = 4）は2つの五角形に分割されます。











これで、同じ数の角度（ n = 9、k = 2およびn = 10、k = 3 ）のポリグラムですが、すでに接続されています：











さらに、そのような場合の偶数および最大の場合、k（k = n / 2）ポリゴンは、反対の頂点を結ぶ対角線のセットに縮退します。











私にとってはまったく予想外でしたが、結果は、ポリグラムの頂点の角度の合計（凸多角形の場合）がかなり単純な計算可能な量であるということでした： π（n-2k） 。 （元のポリゴンと一致する）1次ポリグラムの場合、式はポリゴンの角度を計算するための既知の式になります。縮退したポリグラムの場合、角度の合計はゼロになります（これは自然です）。 この事実の証明は次のとおりです：ポリグラムの各エッジ（ 1 <k <n / 2-退化したポリグラムの場合は破棄され、元のポリゴンと一致します）はポリゴンを2つに分割します：1つはk + 1角度、もう1つはn-k + 1 角度の数が小さいすべての部分の角度の合計を合計すると（角度はk + 1 ）、 π（k-1）n （one （k + 1）-gon of polygon of各頂点）が得られます。 元のポリゴンの各角度はk-1回存在します。 これに加えて、最初にポリグラムの角に隣接する角があります。最初の合計からその中にあるポリグラムの角全体の合計を減算すると（ π（n-2）（k-1）になります。 ）、ポリグラムの角に隣接する角度π（k-1）n-π（n-2）（k-1）の合計を取得します。 ソースポリゴンの角度の合計からこの角度の合計を引くと、ポリグラムの角度の合計が得られます。



π（n-2）-（π（k-1）n-π（n-2）（k-1））= π（n-2）-π（k-1）n +π（n-2） （k-1）= π（n-2）k-π（k-1）n =π（n-2k）



上記のすべての図と推論は、凸面ポリゴン上に構築されたポリグラムに適用されます。 図では、私自身の怠lazだけから正しいポリグラムの例を描いた-描画プログラムを書く方が簡単だった。 さらに、正しいポリグラムのみに焦点を当てます。



上記の式に基づいて、通常のポリグラムの頂点の角度はπ-2πk/ nです。



正しいポリグラムの地平線（外部ポイントのセット）を取得すると、この図は非凸2n-gon（nはポリグラムの頂点の数です。右側の図の境界線はこれを示しています。











したがって、追加の「余分な」角度がn個あり、これをポリグラムの内部コーナーと呼びます。 これらの角度は非凸であり、通常のポリグラムのポリゴン角度の合計から、それらは（π（2n-2）-π（n-2k））/ n = π（n + 2k-2）/ n = π+2π（k-1 ）/ n 。 それらの反対の角度はそれぞれ、 π-2π（k-1）/ nです。 この角度を光線間の角度と呼びます。



これらの計算は、パターンと面白い装飾を構築するのに役立ちます。これについては、以下で患者の読者に説明します。



次はかなり役に立たない部分です。これは一度に美的な喜びを与えてくれましたが、その結果は読者の失われた時間にしかならず、それが「面白いタスク」をハブに追加する理由でした。