無限の線からの各ノームに対して、青または赤のキャップが着用されます。 各gnomeは、立っている人の前の後ろを見て、最初の人は自分以外の全員の帽子を見て、2番目の人は自分と最初の人を除くすべての人の帽子を見る、といった具合です。 各ドワーフは、自分が見ているもの、キュー内での自分の位置、およびキャップを受け取る前に全員が合意したことのみを知っています。
コマンドでは、すべてのノームが同時に色に名前を付ける必要があります。 どのような上限があるかを推測していない人は、一般的に
問題は、有限数のノームだけが推測されるように、どのように同意するのかということです。
興味があり、現時点で解決したくない人は、猫の下で歓迎してください。 この記事では、問題とその「解決策」について説明します。 （数学が好きな人は、試してみることをお勧めします）。
パート1/4。 反射
一見、解決策はなく、解決できないようです。 実際、ノームはまったく情報を交換できません。 さらに、それらは無限であるため、すべてのノームは完全に等しくなります。 それぞれが本質的にまったく同じ絵を見ます-友人の無限のライン。 この特定のgnomeのキャップの色は彼が見るものに依存しないため、誰も結論や計算を行うことができません。
私が最初に考えたのは、GNOMEが見るシーケンスのすべての粘着特性を数えることでした。 番号1の青いキャップと番号-1の赤いキャップの表現は、部分的な合計のシーケンスで何度も変更できないプロパティを見つけようとして、私的な感覚でシリーズを合計します。 しかし、まったく役に立たないことが判明しました。
何も助けにならず、すべてのノームが順番に最初に同じであるという事実にすべてがかかっていました。ある時点で私は大胆に言いました。 私は絶対に確信していました。
パート2/4。 著者のソリューション。
ネットで見つけました。 著者は、選択した公理を使用すると述べています。
キャップのすべての可能なシーケンスを考慮してください。 有限数の位置でのみ異なる場合、2つのシーケンスを同等と呼びます。 この関係は明らかに推移的、再帰的、対称的であるため、それを使用してすべての可能なシーケンスをクラスに分割することが可能です。 別の方法では、2つのシーケンスが有限数のキャップでのみ異なる場合、同じクラスに属します。 ここで、各クラスから代表者を選択します（これは選択の公理によって行うことができます）-特定のシーケンス。 ノームはこれらの代表者を知っている必要があります。
事は小さいです：並んでいると、どんなgnomeも現在の（あるべき場所を持っている）シーケンスがどのクラスにあるかを決定できます。 実際、すべてのgnomeには有限数のキャップしか表示されないため、シーケンスのクラスへの所属には影響しません。 言い換えると、gnomeは、彼（および彼）の背後のすべてのキャップが赤であると想定し、このシーケンスが属するクラスを記憶することができます。 現在のものと同等になります。 現在、gnomeはこのクラスの代表者を覚えており、現在のシーケンスが代表者と一致する場合、頭にあるキャップの色に名前を付けます。
出来上がり。 選択した代表（すべてのノームで同じ）と現在のシーケンスは同じクラスに属しているため、有限数の位置のみが異なります。
はい、そのような出来事は私をひっくり返し、解決策がなかったという私の主張を擁護するために、私は推論の欠陥を探さなければなりませんでした。
パート3/4。 何が問題なのか。
もちろん、最初に注意を引くのは選択の公理です。 著者はそれを強調し、彼女について知っている誰もが、多くの人が彼女を批判する理由-非建設性を知っています。
要するに、選択の公理は、空でないセットの任意のセットで、セットごとにそれに属する要素を返す関数を定義できることを示唆しています。 問題は、そのような関数を構築/記述できない可能性があることです。 たとえば、ラインのすべてのサブセット（いわゆるハイパーコンティニューム）を考慮すると、そのような機能を提供することは不可能です。 公理はそれが存在することを示唆していますが。
たぶんこれは事実ですか？ おそらく、ノームは原則として、各クラスの代表者を等しく選択することはできませんか？ 結局のところ、ライン上のポイントと同じくらい多くのクラスがあります。 つまり、選択機能は存在するように見えますが、それに同意することは不可能です。
しかし、いいえ、この仮定は無意味でした。 事実、ソリューションでは選択の公理はまったく必要ありません。 各クラスには、辞書式順序で最小のシーケンスがあります。たとえば、代表者が取得できます。
次に、ノームが現在のシーケンスがどのクラスに属しているかをどのように理解できるかについて考え始めました。 すべてのクラスを並べ替えて、問題が発生する可能性のあるものを比較する必要がありますか？ゼロの時間は考えられないという仮定の下で、連続したクラスではクラスの連続を並べ替えるのに十分ではないため...
しかし、私はあなたをあまり混同しません。すでに彼は山積みしています。 実際、私はあなたを欺いただけです。 誰が手に入れた？ クラスの最小の辞書編集要素を選択することはできません。
たとえば、すべての青のキャップ1、1、1、1、1、1、1のシーケンスを含むクラスを考えてみましょう。これには、シーケンスも含まれます。
-1、1、1、1、1、1、1、...
-1、-1、1、1、1、1、...
-1、-1、-1、1、1、1、1 ...これは、辞書式に小さいシーケンスがあります。 さらに、どのクラスでも同じことが言えます。どのシーケンスが最小であっても、最初のユニットを見つけて-1に置き換えて、さらに小さいユニットを取得できます。 そのような最小値は、クラスの1つにのみ存在することがわかります--1、-1、...を含むすべての赤い帽子
戻ってきて
パート4。選択の公理。
疑問が生じます：この決定においてそれなしで行うことは可能ですか？ 分析しましょう。
クラスはどのようなものですか？ すべてのシーケンスをセグメント[0; 1]。 キャップは0と1の数字であり、シーケンスはバイナリシステムの0、abcd ...の数字であると仮定します。 たとえば、次の2つがあるため、シーケンスの一部が失われます。
0.011111 ...および0.100000 ...は、同じ分数1/2を定義します。 しかし、これはそれほど怖くないわけではなく、そのような衝突はごくわずかです（可算のみ）。 ただし、一部のシーケンスは各番号に対応するため、これは0/1のすべてのシーケンスとセグメントのすべての番号[0; 1]。
クラスはセグメント上ではどのように見えますか？ 恐ろしいことに、各クラスは数え切れないほどの密集した集合です。 これは、任意のクラスAおよび[0からの数値x; 1]、クラスAのepsilon> 0は、xからの距離がepsilonより小さい距離の数値になります。
証明するのは簡単です
さらに、各クラスの代表を選択すると、それらは測定可能なルベーグではない典型的なセットを形成します。 ウィキペディアの短い記事でこの事実の証拠を読むことを提案します。 Vitaliセットは非常に似た方法で構築され、「すべての有理数について」という単語の測定不能性を証明する場合（シフトについて）、「すべての分数を2 ^ nの分母で置き換える」必要があります（Vitaliセットでは、1つのクラスの数は有理数だけ異なりますが、 2の負のべき乗の有限和、つまり指定された型の一部）。
Aから任意の数zを取得し、2 ^ n <epsilon / 10のように2 nの累乗に対応する数字で始まり、その末尾でxの末尾を置き換えるだけで十分です。 結果として得られる数と数zは同じクラスに属し、イプシロン/ 5だけ異なる。
この時点で、バイジェクションでの衝突の問題は、私が少し高く無視しましたが、ジャムになります。なぜなら、カウント可能なセットの前後の加減算は、ルベーグの可測性に影響しないからです。
まあ、誰かは知っていますが、誰かが同じウィキペディアの記事で、ルベーグ測度のない有界集合の構築は常に選択の公理に基づいていることを読むことができます。 したがって、著者の決定はこの公理に大きく依存しており、それなしでは真実ではありません。
私たちの貧しいノームは、クラスの代表のための選択関数があることを知っています（もちろん、ZFCの定理に同意する場合）が、この関数を記述することは不可能であるため、これらの代表を等しく選択することはできません。
あとがき。
著者の不貞を証明しましたか？ そう思う。 問題のステートメントは、ノームがどのように同意するかです。 選択の公理の必要性は、ソリューションの「方法」への答えはそうではなく、不可能であることを明確に述べています。
問題の解決策はありますか？ その不在を証明するのは非常に困難な作業であり、ノームの同等性と情報交換能力の欠如よりも優れた何かを思い付くことはほとんど不可能です。 これは私にとって十分な説得力があります。 誰かが厳しいものを思いついたら、共有してください。
なぜこれだけなのですか？ 私が言ったように、私の意見では、このハブの読者は興味があるかもしれません。 そして私は、コミュニティと問題を議論することに非常に興味があります。 それでも、この記事は実用的（実用的である限り）であり、略語ZFCの最後の手紙と関連する問題のアクセス可能なミニレビューであると考えることができます。
良い一日を！