フロントガラスにエイリアンの風景として作成されたこのミニチュアの世界を見て、これらのパターンの物理学について考えました。 後で、これらの氷のパターンは、 普遍性として知られる数学と物理学の非常に活発な研究分野に関連していることを学びました。 これらの複雑なパターンの背後にある基本的な数学的原理は、コーヒーリング、細菌のコロニーの成長パターン、タバコの紙の上の炎の動きなど、いくつかの予期しないものに適用されます。
簡単な例から始めましょう。 テトリスに似たゲームを想像してください。ただし、ブロックのタイプは1 x 1平方だけです。 これらの同一のブロックは雨滴のようにランダムに落ちます。 質問：結果としてどのブロックパターンが表示されると思われますか？
ブロックがランダムに落ちるため、すべてがビーチに集まる砂の山のような滑らかで均一なブロックの山で終わると仮定できます。 しかし、これは起こりません。 代わりに、背の高い塔が深い盆地の隣にあるギザギザの地平線を取得します。 低いスタックの横にブロックの高いスタックを作成することは、別の高いスタックの横にブロックを作成することと同じ可能性があります。
これは私がフロントガラスで見たものとあまり似ていません。
このテトリスのような世界は、私が以前に書いたポアソン過程として知られているものの例です。 ポイントは、ランダム性は均一性を意味しないということです。 その代わり、混乱は、上記のテトリスブロックのギザギザの地平線、または第二次世界大戦中にロンドンに落ちたハミングボムの分布のようなクラスターです。
このTetrisの例は少し抽象的に見えるかもしれませんので、抽象的なアイデアを実際の例と結び付ける男を紹介します。 彼の名前はピーター・ユンカーであり、彼はハーバードの物理学者です。
ユンカーはコーヒーのリングの汚れの原因に興味がありました。 1997年、物理学者のグループは、コーヒーの染みがリングを形成する理由を発見しました 。 コーヒーが蒸発すると、中心部からの液体が液滴の端に突進し、コーヒーの粒子を一緒に捕捉します。 ドロップは水平になり始めます。 最終的に、コーヒーの粒子がすべて滴の端に向かって急いだため、薄いリングが残ります。 Junkerチームが撮影した素晴らしいビデオは、このプロセスがどのように見えるかを示しています。
ユンカーが示したのは本当にとてもエレガントです。 彼は、コーヒーの滴がリングを形成する理由は、コーヒーの粒子の形状にあることを発見しました。 顕微鏡下で一滴のコーヒーを見ると、小さな丸いカフェインがあります。 コーヒードロップの端をよく見ると、テトリスのブロックのように、粒子が互いにすり抜けているのが見えます 。 実際、ユンカーは、これらのコーヒー粒子の蓄積の性質が、ランダムに落下するテトリスブロックとまったく同じであることを数学的に示しました！
しかし、何がすごい！ ユンカーと彼の同僚は、球形の粒子を楕円のようなより細長い粒子に置き換えると、まったく異なる画像が得られることも発見しました。 リングの代わりに、しっかりしたスポットを取得します。 上記のビデオは、これがどのように起こるかを示しています。
ある場合にはリングを取得し、別の場合にはしっかりしたスポットを取得します。 では、なぜ粒子の形状が成長の全体像を変えるのでしょうか？ 楕円形粒子の動作が異なる理由を理解するために、テトリスゲームをカスタマイズします。 新しいバージョンにSticky Tetrisという名前を付けましょう。
スティッキーテトリスでは、ブロックは少なくとも片側の代わりにある別のブロックに触れるまで落下し続けます。 落下ブロックが非落下ブロックと接触するとすぐに、最初のブロックがすぐに固定されます。
これはルールの小さな変更ですが、かなり大きな影響があります。 通常のテトリスでは、深い隙間を埋めるために多くのブロックが必要ですが、スティッキーテトリスでは、1つのブロックで大きな隙間を埋めることができます。 すぐに、タワー間の高さの差が水平になり始めます。 通常のテトリスの粗いギザギザの地平線の代わりに、スティッキーバージョンの地平線はより滑らかな世界です。
フロントガラスのパターンのように見えます！
そして、ここがポイントです。 球状粒子は通常のテトリスブロックのように動作しますが、楕円形粒子はスティッキーテトリスブロックのように動作します 。 その瞬間、動く楕円形のコーヒーの粒子が動かない部分に触れると、それらは固定されます。 ギザギザの地平線の代わりに、このスイスチーズを取得します。このチーズは、広大な糸の複雑な構造で、穴と隙間で区切られています。
したがって、大きく異なる2種類の成長プロセスがあります。 一方では、通常のテトリスブロックまたはコーヒーリングのカフェインのように蓄積する粒子があります。 ユンカーのラボからの実際のデータのアニメーションは、どのように見えるかを示しています。
一方、粘着性のブロックとして、または楕円形のカフェインのように蓄積する粒子があります。 これらの粒子の成長は次のとおりです（これも実際のデータです）。
明らかに、これらは質的に異なる2つのパターンです。
しかし、それらは量的にも異なります。 通常のテトリスの世界ではギザギザの地平線になりますが、スティッキーテトリスの世界では地平線がより滑らかになります。 粒子の最上層（地平線）が時間とともにどのように膨張するかを調べることにより、物理学者は成長プロセスを分類できます。 分野の専門用語では、異なる速度で成長するプロセスは、普遍性の異なるクラスに属します。
フロントガラス上で氷の粒子がどのように厚くなるかを調べてみましょう。 水平線が拡大する速度が上のグラフの青い曲線に対応する場合、氷の濃化のプロセスはテトリスと同じ普遍性クラスにあります。 紫色の曲線と一致する場合、粘着性のあるテトリスの普遍性クラスに分類されます。 重要な点は、一見異なる物理システムの多くが、数学的分析では同一の成長モデルを示すことです。 非常に異なるものの同じ行動に対するこれらのわずかに神秘的な傾向は、 普遍性の本質を反映しています。
さらに、 Kardar-Parisi-Zhang方程式（KPZh）として知られる方程式によって記述される粘着性のあるテトリス普遍性クラスの背後には、豊富な数学理論があります。
コーヒーリングとCSW方程式のこの深いつながりは、ピーターユンカーを驚かせました。 Juncker氏は次のように述べています。「MITの数学者Alexey Borodinは、粒子の形状がコーヒーリングでの堆積にどのように影響するかについての記事を公開した後、私たちに連絡しました。 彼は私たちの実験ビデオをオンラインで見て、以前行っていたモデリングを思い出しました。 「アレクセイが私たちの注意を引き付けなかったら、この分野の研究を始めなかったでしょう。」
そして、この粘着性のテトリス普遍性クラスは、あらゆる種類の奇妙な場所で発生します。 例は、紙を燃やすことです。 1997年の物理実験では 、カーボンペーパーの一端に火が付けられ、燃えている間は火炎前面が固定されていました。 これは何が起こったかのスケッチです。
炎は紙を燃やすにつれて波状のパターンで滑らかに発達します。 そして、物理学者がこの火炎前面の挙動を詳細に研究したとき、彼らはそれがCSW方程式の予測と正確に一致することを発見した。 彼らはティッシュペーパーを使用して実験を繰り返し、同じ結果を得ました。
そして、別の非常に予想外でエレガントな例は、バクテリアのコロニーです。 1997年の日本の物理学者のグループは、特定の栄養培地では、細菌コロニーの端がCSWの普遍的なクラスによって予測された方法で正確に成長することを示しました。 動作中のアニメーションを次に示します。 ペトリ皿で育つ細菌コロニーの端の拡大写真を見ています。
今考えてみると、深く神秘的な何かを見つけるでしょう 。 バクテリアのコロニー、移動する炎、コーヒー粒子はすべて完全に異なるシステムであり、同じ数学的成長法則に従わなければならないことを期待する理由はありません。 では、この神秘的な汎用性の背後にあるものは何ですか？ なぜこのような異なるものが同じルールで遊ぶのですか？
これらすべての例が少しフラクタルに見えることに気づいたかもしれません。 普遍性の現象は、これらのシステムがフラクタルのように自己相似であるという事実と密接に関連していることがわかります。 フロントガラスに氷の粒子をキャプチャするために縮小したとき、全体像は同じように見えました。 同じことは、炎の前部、細菌のコロニーの端、または粘着性のテトリスの地平線にも当てはまります。 自己相似曲線の例（または物理学者が好むスケール不変量 ）は次のとおりです。
驚くべきことに、この自己相似性は、バクテリアやカフェインなどの細部の多くが全体像を変えないことを意味します。 ピーターによれば、「これらの成長プロセスのフラクタル性は、その普遍性にとって重要です。 汎用性を持たせるために、システムは、粒子サイズや相互作用のスケールなどの微視的な詳細に依存することはできません（これはフォームに適用されません-およそTransl。）。 したがって、普遍的なシステムはスケール不変でなければなりません。」
これにより、フロントガラスの氷の粒子に戻ります。 それらはこれらの素晴らしいフラクタルパターンで互いにくっついており、私の意見ではスティッキーテトリスに非常に似ています。 これらの氷粒子とKPZ普遍性クラスとの間に関連があるかどうかを知りたかったので、Peter Junckerに質問しました。
彼は答えた：「これらのビデオは素晴らしい。 ここで行われているメインプロセスはCSWプロセスと非常に似ていることに同意します。 これは、実際の実験でCSLプロセスを決定することが難しい理由の優れた例になります。 これらの構造の変更は、システムの全体的な開発に大きな影響を与えます。 しかし、このシステムはCSFプロセスと同じ成長率を持っている可能性があります。
これらの流氷を短命にする物理学の部分は、それらを研究するのを難しくします。 それで、成長と寿命に関する短いビデオで終わります;）