はじめに
自尊心のあるすべてのエンジニアまたはIT担当者は、「頭を並べる」など、ささいな問題でも解決できるさまざまな問題を解決するための計算数学とその数値的手法を身につけてください。 勉強の過程で、代数方程式と超越方程式の近似解法とその分析の方法にもっと注意を払うことを望みました。
非線形方程式の数値解法
ソリューションのタスクを3つの部分に分けました。
- 根を分離する分析的な方法
- 根の精密化のための数値的方法
- コンピューティングプロセスのソフトウェア実装
二分法または半除法。
二分法は、セグメントの順次分割で構成されます。 関数の範囲が選択されています-たとえば、 グラフィカルな方法でルートを分離する必要があります。 関数の間隔を受信すると、その中間値が計算され、中間値で割った関数のどのセグメントがゼロより大きいか小さいかが決定されます。これは、間隔をさらに狭めることを選択するために必要です。 絞り込むプロセスは、設定された特定のエラーまで続きます。
もちろん、この方法の利点には、そのシンプルさが含まれます。 分析とプログラムの両方で簡単に計算できます。 短所には、たとえばコードやタンジェントの方法と比較して、指定された反復のコストが含まれます。
結合法またはコード法とタンジェント法
弦の方法と接線の方法は、さまざまな側面からルートに近似します。 メソッドを併用すると、反復ごとに不足と過剰の近似値を見つけることができるため、収束プロセスが高速化されます。
コード法の考え方は、セグメント上の関数をコードに置き換えることであり、タンジェント法またはニュートン法の考え方は、関数の曲線の弧をそのタンジェントに置き換えることです。 コード法の初期近似は、与えられたポイントでの導関数に同じポイントの二重導関数を掛けた値がゼロ未満であり、タンジェント法ではゼロより大きい区間の終わりによって決定されることに注意してください。 絞り込みプロセスも指定された精度で実行されます。 既に述べたように、プラスは、特定の反復の検出速度と低コストです。
反復法
まず、方程式f（x）= 0をx =φ（x）の形に変換する必要があります。
初期近似x0として、区間[a、b]の任意の点が選択されます。
2つの反復方法があります：はしごとスパイラルです。 導関数φ（x）の符号が正の場合、ラダー法を使用し、逆も同様です。
反復プロセスの収束のための主要かつ十分な条件は、|φ '（x）| <1です。
この方法の利点。 信頼性（自己修正）：xが[a、b]の範囲内にある計算のエラーは、最終結果に影響しません。 誤った値は新しいx0と見なすことができます。
練習。 メソッドの適用。
たとえば、自動制御の分野からのタスクを考えてみましょう。高次の自動制御システムの伝達関数の特性方程式のゼロを見つけて、リアプノフ法を使用してその安定性を評価します。 この方法自体はこの記事の範囲外ですが、直接的なリアプノフ法はゼロ根の決定を使用してシステムの安定性を明らかにします。 そして、根を見つけるために、リストされた方法は非常に適しています。 どの方法がより効果的ですか？ それが適用される特定のシステムを知らずにこの質問に答えることは困難です。 操作の速度だけでなく、占有されているリソースも考慮する必要があります。
結論：
1.根を洗練するために考慮された方法は、代数方程式と超越方程式の両方に等しく適用できます。
2.根を分離する操作は、代数方程式よりも超越方程式の方がはるかに複雑です。
3.検討された方法の中で最も生産性が高いのは、複合方法です。
説明されているメソッドのMat.chast 。
PS：最初の投稿であり、まだあまり慣れていません。 アルゴリズムに投稿しました、なぜなら 計算でブログを見つけられませんでした。