लोकप्रिय रूप से अण्डाकार वक्रों पर महत्वपूर्ण लंबाई के बारे में

एक परिमित क्षेत्र के ऊपर एक अण्डाकार वक्र पर बनी एक कुंजी एक पूर्णांक फ़ील्ड पर निर्मित कुंजी से तीन गुना छोटी होती है। यदि आप इस प्रस्ताव को पढ़ते हैं, तो यह किसी भी समझदार व्यक्ति के लिए बेतुका लगता है, यह छोटा क्यों है, और अगर मैं लंबे समय तक चाहता हूं, तो क्या यह किसी तरह का प्रतिबंध है या कुछ और है? यदि हम इसे सुधारते हैं और कहते हैं: एक परिमित क्षेत्र के ऊपर एक अण्डाकार वक्र पर निर्मित एक कुंजी एल्गोरिथ्म की क्रिप्टोग्राफिक ताकत को एक प्रमुख तीन बार के बराबर तुलती है, लेकिन पूर्णांकों के क्षेत्र में यह अधिक विश्वसनीय लगेगा। आइए यह जानने की कोशिश करें कि कुंजी लंबाई की "कमी" क्या है।



क्रिप्टोग्राफिक ताकत कुछ भी नहीं है, लेकिन एल्गोरिथ्म के सबसे अधिक समय लेने वाले उलटा संचालन की गणना करने की जटिलता है। एक तरफ़ा कार्यों के सिद्धांत में, जिस पर असममित क्रिप्टोग्राफी का निर्माण किया गया है, असतत लघुगणक की जटिलता की धारणा है और एनपी कठिन कार्य है। और इसलिए, एक परिमित क्षेत्र में एक पावर एन में संख्या को बढ़ाकर और एक अण्डाकार वक्र के एक बिंदु को एक संख्या से गुणा करके असममित एन्क्रिप्शन के स्तंभ हैं।



एक परिमित क्षेत्र पर अण्डाकार वक्र पर एक असतत लघुगणक का कार्य m को खोजने के लिए है, युग्म mA = P में। जहां ए और पी एक अण्डाकार वक्र पर बिंदु हैं। कुंजी m और P क्रमशः निजी और सार्वजनिक हैं।



यानी एल्गोरिथ्म की पूरी जटिलता इस धारणा पर आधारित है कि खोजने के लिए कोई बहुपद एल्गोरिथ्म नहीं है

एम, ए और आर को जानना।



एक अण्डाकार वक्र पर बिंदुओं का जोड़ एक ज्यामितीय व्याख्या में विचार करना सबसे आसान है। इस व्याख्या में जोड़ ऑपरेशन दो बिंदुओं के बीच एक सेकेंट का निर्माण है या अंक को दोगुना करने के मामले में एक स्पर्शरेखा है, और इसके अलावा का परिणाम सेकेंड / स्पर्शरेखा और वक्र के चौराहे पर स्थित तीसरा बिंदु होगा।





किसी बिंदु के स्केलर गुणन को mA = A + A + ... + A = P, अर्थात के रूप में महसूस किया जाता है। एक क्षेत्र पर एक अण्डाकार वक्र के बिंदुओं का समूह एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है, अर्थात्। एक अण्डाकार वक्र के बिंदुओं का समूह योगात्मक होता है और इसलिए इसके अतिरिक्त जोड़ के आधार पर जोड़ और गुणा का समूह संचालन इस पर परिभाषित किया जाता है। यानी बिंदु P को n और A ज्ञात करना काफी आसान है और केवल "अंत" बिंदुओं को जानते हुए संख्या m को खोजना एल्गोरिदमिक रूप से कठिन है।