数学は論理的ですか、またはなぜ公理的理論は逆説的ですか？

今日は基本についてお話します。 理論的基礎は可能性の限界を設定し、目標を達成する方法を示します。したがって、そのような問題の理解の深さは決して不必要ではありません。



すべての基礎をカバーすることはできませんので、今のところ、教育的な光線をパラドックスと呼ばれる楽しいタスクに向けます。 トピックをカバーする過程で、ロジックと呼ばれるアプローチの腸を徐々に深く掘り下げ、ロジックと数学の関係に注意を払うと、読者は公理理論を導き出すのにロジックが有用である理由だけでなく、公理理論が必要な理由を簡単に理解できるようになります。また、一貫した理論の構築にアプローチしない方法を理解します。



面白いパズルのリストから始めましょう。 これらの問題はパラドックスと呼ばれます。なぜなら、問題で提起された質問にどのように答えても、パラドックスの著者は常に私たちが間違っていることを簡単に証明するからです。 つまり、言い換えれば、問題は解決策を意味するのではなく、論理的推論の非自明性を楽しげに示しています。

シェービングのパラドックス

ある村では、理髪師が自分の村で自分で剃っていない人をすべて剃っていると宣言しました。 質問は、誰が床屋を剃るのか？



シェーバーがシェーバー自体を剃ると答えた場合、パラドックスの支持者は、タスクの条件に応じてシェーバーが剃っていない人を剃る、つまり剃ることができないことをすぐに説明します。そうしないと、彼は自分を剃って、それによって剃る自分を剃る人。



他の人が剃っていると答えた場合、パラドックスの支持者は再びタスクの条件を思い出します-自分が剃っていない場合、彼は言ったので、彼は床屋を剃る必要があることを示します-彼は剃っていないすべての人を剃ります私自身。 だから他の誰かがそれを剃るなら、彼は自分自身を剃らず、条件によってはシェーバーでなければなりません。



この問題の論理的矛盾を深く掘り下げるべきではありませんが、逆説の世界を紹介するだけであり、さらに矛盾するタスクがいくつか続きます。 予期しない解決策を見つけた場合、急いではいけませんが、パラドックスの支持者が予期しない解決策をどのように回避するかがわかります。

セットの逆説

100年以上前の理髪師のパラドックスと同様に、数学の基礎に深刻な影響を与え、この期間が数学の基礎の危機と呼ばれるほど深刻なパラドックスが発見されました。 真実は、この危機が最初ではなく、数学の実質的な部分に弱い影響を与えたため、数学についてあまり心配する価値がないということです。 それにも関わらず、危機はその分野における我々の知識の弱さを明確に示しており、それは常に厳格でほとんど包括的と考えられてきました。



最初に、パラドックスの1つの基礎を簡単な例で示します。 すべての正の整数のセット（またはリスト、配列）を想像してから、セット内の数字の数に対応する数字を想像してください。 提示？ もしそうなら、セットに追加されたユニットの要素の数に等しい数を追加した後、セットはどうなりますか？ 既にすべての要素が存在する場合、それらを昇順で並べ替えることができることを覚えておいてください。そうすれば、最大要素がセット内の要素の数に等しいことが明らかになります。 しかし、数量に1を追加すると、セットにない要素が取得されます。そのため、新しい要素に関する質問が表示されるたびに、そのようなリストは想像できないようです。 しかし他方では、「すべての正の整数のセット」というフレーズを定式化できます。 では、実際にできることとできないことは何ですか？



前の質問に対する答えを考えている間に、次のことを尋ねます。 そして、あなたがすべてのセットのセットを想像するが、そのようなセットが要素としてそれ自体を含まないような場合？ これは可能ですか？ たとえば、一連の数値{1、2、3}は、それ自体を要素として含みません。 他のすべてのセットも想像できますか？



あなたがこれが可能であると言うなら、パラドックスの支持者は質問をするでしょう-提示されたセットはそれ自身を含みますか？



あなたが「はい」と言うと、パラドックスの支持者は、問題の条件によって、セットには自分自身を含むセットを含めるべきではないと答えますが、「はい」と言ったので、提示されたセットをそれ自体に含めて、その包含を禁止しました。それ自体を含むセットになり、問題の状態と矛盾します。



「いいえ」と言うと、パラドックスの支持者は、問題の状況に応じて、提示されたセットにはそれ自体を含まないすべてのセットが含まれる必要があるため、提示されたセット自体（それ自体ではない）もセットに含まれる必要があると答えます。



おそらくあなたが今のように、世界中の数学者は、提案されたパラドックスの明らかな常識の欠如によってわずかに影響を受けています。 確かに、常識がどこかに逃げただけでなく、その少し前に、数学者は集合理論を使用して提案しました（そして、その代表-自分自身を含まないすべての集合の集合について）に基づいてすべての数学を構築することを提案しました。 そしてその結果、危機が起こりました-数学の核心では、判明したように、常識はありませんでした。 この数学はどうですか？ くまのプーさんは、このテーマで自分自身をうまく表現しました-それは良いですが、何らかの理由でそれはラメです。



しかし、それだけではありません。 さらに、完全を期すために、若干異なる計画のいくつかのパラドックスを提示します。

自己適用性のパラドックス

これらの単語に意味を適用できる単語があります。 たとえば、「3音節」という単語は3音節で構成されており、その意味は3音節についても示しているため、このような単語は自己適用可能と呼ばれます。 同様に、「ロシア語」という単語はロシア語で書かれており、ロシア語に属するという意味を表しています。つまり、再び自己適用可能です。 しかし、「ライラック」という言葉は通常、完全に非ライラック色で書かれており、ライラックでは成長しません。つまり、適用できません。 しかし、まだ「適用されない」という言葉があります（そして、私たちはそれを見ました）。 そのような言葉は自分に当てはまりますか？



あなたの内なる常識との闘いが首尾よく終わり、その言葉は自己適用可能であるとあなたが言ったなら、パラドックスの支持者は言うだろう-それに書かれているなら、どうして自己適用可能だろうか？



あなたがその言葉が当てはまらないと言うなら、パラドックスの支持者はその言葉の意味があなたが与えた定義（当てはまらない）と一致すると答えます。つまり、あなた自身が自己適応の方法を示したということです。



しかし、もう一つの問題を示さなければ、パラドックスの支持者の喜びは不完全になります。

偽りの発言のパラドックス

タスクは非常に単純です-あなたは質問に「はい」または「いいえ」と答えなければなりません-次のステートメントは偽です-「このステートメントは偽です」。



あなたが「いいえ」と答えると、パラドックスの支持者は声明が言っていると言うでしょう-それは間違っているので、あなたは何かが正しくないと言います。



あなたがイエスと言うと、パラドックス支持者はあなたが声明が偽であると言っているので（「はい」と答える）、声明自体がそ​​れが偽であると言っているので、嘘はどこですか？ だから再び間違って答えた！ パラドックスのさらなる支持者は再び喜ぶ。

少し分かりにくい

私たちは、パラドックスの支持者のキャンプでの楽しみを見ることで落胆することはありませんが、引用されたすべてのパラドックスで、いわば、私たちの脳を強烈に粉にしていた悪を明らかにしようとします。 何が私たちにとって-多くの数学者は彼らの科学の基礎の一貫性をまだ確信していません！



まず理髪師について。 パラドックスの参加者の構成を詳しく見てみましょう。 理髪師と理髪師が剃る「すべて」のエンティティがいくつかあります。 また、理髪師が彼の剃毛した人と来るという特定の関係が表示されます。 この関係を単純に「ひげそり」と呼びましょう。 数学の言語では、次のように書くことができます-xシェービングy、つまり、特定のXは特定のプレーヤーとの関係にあり、その関係は-シェービングと呼ばれます。 さらに逆説では、選択アルゴリズムを「すべて」のエンティティの一部として見ています。 アルゴリズムの本質は、「自分自身を剃らない」という条件をチェックすることです。 また、シェーバーには前述の「すべて」のエッセンスの一部であるすべての人を剃る義務があると考えています。



さて、問題の「与えられた」部分を書いたので、「解決」の部分に進みます。



特定の委員会が村から人々を選択し、「私は自分を剃らない」と答えるすべての人々が問題の条件のセットに含まれていると仮定します（セットは「すべて」です）。 委員会の仕事を完了した後、私たちの理髪師がそれに応じて処理する必要がある人のグループがあります。 さらに、調査の時点で、理容師は自分自身を剃毛したため、処理対象のグループに含まれていなかったと簡単に想像できます。 その結果、私たちは完全に幸福な写真を手に入れます-自分を剃らない人は皆、私たちの理髪師によって穏やかに剃られます。 しかし、そうではありませんか？ 少なくとも、常識的な部分には障害物はありません。そのため、条件に合ったすべての剃られた顔と非常に満足している理髪師を簡単に想像できます。 しかし、この状況でのパラドックスの支持者は失業します。というのは、パラドックスは結局のところまったくないからです！



しかし、実際には逆説があります。 全世界の数学者が危機を心配しているのは何の理由でもありません！



パラドックスの原因を特定するには、そのサポーターを方程式に含める必要があります。 彼らは、理髪師が自分自身を剃らない人を剃ると主張し、したがって彼は自分を剃る権利がないと主張するでしょう。なぜなら、彼は自分を剃る人を剃り、それによって仕事の状態に違反するからです。 そして、論理の観点から言えば、「理髪師は理髪師を剃ります」という文は問題の状況に応じて間違っていると言えます。 しかし、結果として、理髪師は、理髪師と一緒に剃る対象の個人のセットに含まれるべきです。 そして、すべてを剃るべきなのは理髪師です。さもないと、パラドックスの支持者がすぐに現れて、問題の状態を思い出させるからです。



より明確にするために、状況の説明を短くします。 シェーバーを文字Bで指定してみましょう。比率は「剃る」ため、変更されずに残ります。すでに短くなっています。 多くの「すべて」も削減できません。 それから短い記録で私達は得る：



1） false（BはBを剃ります）は、Bが「すべて」に属することを意味します

2） XシェービングBおよびX = B



そのような記録は、（最初​​の行）、理髪師は理髪師を剃らないので、理髪師は「すべて」のセットに属するということを意味します。 2行目は、特定のXが理髪師を剃るべきであり、このXが理髪師自身である必要があることを示しています。



ここで、2行目で最小限の変換を実行します。条件内のxをBに置き換えます。条件によってそれらは等しいため、結果のステートメントの真理も示します。 取得するもの：



true（BはBを剃ります）



しかし、行（1）から：



誤って（BはBを剃る）



そして、これらの2つの条件（パラドックスの支持者の要求による）は同時に満たされなければなりません。



ここで何が悪なのでしょうか？ これまで見てきたように、逆説の支持者の介入、平和と秩序が村で支配される前に、すべての適切な人は剃られ、理髪師は喜んでいました。 しかし、パラドックスの支持者の介入の後、私たちは理髪師が理髪師を剃るという主張の真実と偽りを同時に求められました。 別の言い方をすれば、相反する要求を受けました。 そしてもちろん、要件が矛盾している場合、そのような要件で問題を解決することは不可能です。 どのようにねじれても、どのようにパラドックスを回避する新しい方法を発明しても、たとえば、理髪師はひげを剃らず、ひげを着用する、または女性はひげを剃る必要はないと述べて、パラドックスの支持者は客観的に主張します-これは問題の状況にありますいいえ、それからすべてが私たちが言った通りでなければなりません。 しかし、パラドックスの支持者による声明の厳格さに従った結果、私たちは不溶性の仕事を得ます。



条件の不一致を指摘した後、本質的に愚かな要件（および同時に剃るのではなく、剃るのではないという要件と呼ばれるもの）が非常に多くの人々によって真剣に取られた状況に至った多くの要因を強調することができます。



まず、矛盾する主張の暗黙の性質を指摘する価値があります。 同様のタスクですが、条件に明らかな矛盾がある場合、すぐに拒否され、誰もパラドックスを知ることはありませんでしたが、絶望的なタスクを解決するための多くの試みにつながった制限の矛盾の隠された性質でした。 たとえば、ゼロより大きくゼロより小さい数を同時に見つけるタスクは、パラドックスの概念の出現にはほとんどつながりません。そのような問題では、要件の矛盾した意味が誰にでも明らかであるためです。 しかし、理髪師のシェービングの問題では、制限の矛盾の非自明性が重大な結果をもたらしました。 したがって、逆説では、まず、問題の解決に課せられる制限の暗黙の矛盾を探す必要があります。



第二に、非自明性に加えて、そのような問題には実際には矛盾する制限があります（一見、見えません）。 ここで強調する価値があります-それはソリューションに対する制限であり、他の何かではありません。 つまり、問題が属するサブジェクト領域ではなく、何らかの矛盾があり、タスクが述べられている言語ではありませんが、矛盾はこれらの概念の外に、正確には可能な解決策に対する制限の形で置かれます。 そのため、ソリューションの制限事項を常に慎重に検討し、矛盾を特定するようにしてください。



第三に、矛盾するタスクには必然的に現実を歪める形式主義が含まれます。 矛盾した領域の外で解決策を見つけることを除いて、単に発声された条件を厳守することは、一見逆説的に見えない他のタスクで注意深く探す必要がある明らかな兆候です。



残りの部分では、理髪師の問題で、他のパラドックスでは繰り返されないかもしれない、それ特有の特異性が見られます。 それでも、それらを指すと便利です。



第一に、理髪師の仕事は、「全員を剃る」という強引な要求によって特徴付けられますが、「自分を剃らない」というルールの例外を許しません。 タスクが「全員を剃る」ことにそのような厳しい制限を課していない場合、理髪師はタスクにとって危険なリストから簡単に除外される可能性があります。 タスクが自分自身を剃らない人だけに制限がない場合、理髪師は数学の基礎の危機を引き起こすのではなく、わずかな恐怖を犠牲にするだけです。 したがって、「そのようなすべての要素のみ」というカテゴリから厳しい要求が出される他の問題では、そのような定式化における内部矛盾の探索に注意を払う価値があります。



第二に、タスクの理髪師は、条件によって剃られることになっているすべての人を剃ることへの参加において他のすべてとは異なる特別なエンティティです。 理髪師がいなければ、エンティティのシステムはバラバラになり、単一の有意義なタスクを構成しません。 しかし、エンティティと制限のシステムにおけるこのような特別なステータスにもかかわらず、パラドックスの支持者は、理髪師に課せられる追加の制限にもかかわらず、プロセスのすべての参加者に対する共通の態度を主張します。 しかし、シェーバーを剃る必要がある「皆のような」態度に加えて、シェーバーは自分自身を剃らないことも必要であり、他のシェーバーはタスクの条件で除外されるため、要件の矛盾につながったのはまさにシェーバーの特別なステータスでした。 したがって、他のタスクでは、要素のシステム形成機能を特定する必要があり、存在する場合は、「すべて」に対する要件とこの要素の要件の相関関係を慎重に確認します。 それ以外の場合、要件に別の矛盾が生じやすくなります。

他のパラドックスの問題

とりあえず、集合論の問題に関連して後で必要になるため、集合のパラドックスをスキップします。



それでは、自己適用のパラドックスのどこに悪があるのか​​見てみましょう。 ここでの条件における暗黙の矛盾という形の前述の機能に加えて、自己適用の意味の解釈の自由を追加することもできます。 つまり、自己適用関係の意味は非常に広く解釈できるため、矛盾がこれらの大きなギャップに容易に入り込む可能性があります。 したがって、この場合、定義の重大度は不要ではありません。 しかし、深刻さを絶対的なものに膨らませることも不可能です。さもなければ、理髪師の例で見たように、矛盾は深刻さそのものの結果になります。



理髪師のパラドックスと同様に、自己適用性のパラドックスにも、システムの動作のアルゴリズムが変化すると考えられるという点で、他のシステムから際立っているシステムの特別な要素があります。 他のすべての単語については、単語の意味の定義の領域が単語自体とどのように相関するか（つまり、音節の数を計算するか、単語が書かれている言語に注意を払う）を理解するだけで十分ですが、「該当しない」という単語の定義領域はあまり明確ではありません。自己適用性が評価されるシステムと一致する可能性があります。 つまり、「適用されない」という言葉については、タスク自体が適用可能性のある意味を説明しますが、この説明は暗黙的で厳密ではありません。



さらに、「適用外」という言葉に対して正確に矛盾する特定の制限を見つけることができます。 明らかに、自己適用性の質問への回答を受け取った後、パラドックスの支持者は単に回答を評価するためのアルゴリズムを起動します。これは、回答を「適用外」という言葉の意味と比較し、自己適用性の場合と非適用性の場合の両方で否定を与えます。 このアルゴリズムは、自己適用性に関する決定に応じて単語の意味を示し、非適用性に関する回答の場合に意味の一致を示すことにあります。 さらに、たとえば、音節の数をカウントするなど、独自のアルゴリズムを取得できた場合、「適用外」という単語については、自己適用性を識別するためのアルゴリズムは完全に自明ではありません。 また、問題では、適用可能性についての答えを出すだけでなく、適用後に明確な回答が可能な場合にのみ、暗黙的に自己適用可能アルゴリズムを見つける必要があります。 「適用外」という言葉の自己適用アルゴリズムとは何ですか？



そのようなアルゴリズムが自然界に存在しないことを受け入れると、そのような単語が適用できないことがすぐに明らかになりますが、「適用できない」という答えと「適用できない」という単語の意味の類似性を無視する必要があるというパラドックスの支持者に納得させるには、少なくとも1つの新しいアルゴリズムが必要になります。 そして、このような新しいアルゴリズムを作成するとき、私たちはすでに暗黙的に定義された意味での闘争の不安定な地面に着手しています。それは、パラドックスの支持者が間違いなく彼らのために排他的に解釈します。 つまり、完全に非厳密なルールが存在する場合に厳密に何かを厳密に証明するアルゴリズムを作成する必要があります。これは非常にquite意的に解釈されます。 少なくとも、これは非常に困難な作業であり、パラドックスの活力を保証します。時間と神経を殺して、達成できない可能性のある何かを達成しようとする人はいません。



自己適用アルゴリズムが存在することを受け入れると、自己適用アルゴリズムの存在に対する「適用外」という言葉の意味の矛盾の表示という形で反論を必要とするパラドックスの支持者による厳しい姿勢に再び遭遇します。 繰り返しますが、私たちは、何かを厳密に証明する必要がある状況にいることに気付くでしょう。そして、パラドックスの支持者の反応は、非常にゆるいルールに基づいて続けられます。



全体として、自己適用性の場合、「適用外」という単語と肯定的および否定的な答えの両方に適切に対応しており、どちらの場合もパラドックスの支持者は問題を解決する議論を否定できます。 つまり、パラドックスの支持者の手の中には、考えられるすべての場合に「間違った」答えを提供する単純なアルゴリズムがあります。 問題を解決しようとする人々の代替案は、パラドックスの支持者によって置かれた障害を回避できるアルゴリズムを見つけることです。 そのようなアルゴリズムの検索は少なくとも複雑に思えるので、パラドックスの支持者はそのような問題を解決しようとする誰よりも非常に深刻な利点を持っています。



より明確にするために、同様の問題の例を挙げることができますが、評論家の位置と決定者の位置の複雑さには明らかな大きな違いがあります。 問題は、宇宙の反対側の星の近くに生命が存在するかどうかです。 明らかに、この場合の厳密な証拠はいくぶん難しいが、批評家の立場は、決定に応じた最も単純な疑念のみを暗示している。 「人生がある」という形で決定を下すとき、批評家は「証明する！」と言うでしょう。これは明らかに簡単ではありません。 「命がありません」という形で決定を下すとき、批評家は「もしあるとしたら？」と言うでしょう。



偽発話のパラドックスについても、非常によく似た状況が当てはまります。 ここで、フレーズの直接的な意味は、どんな答えとも対照的です。 しかし、ある場合には意味が一致しないことが示されており、これは誤った決定の証拠とみなされ、別の場合には意味が一致し、これは再び誤った決定を証明するために解釈される。 つまり、自己適用性のパラドックスと同様に、2つの可能な答えのいずれかを拒否するための簡単なアルゴリズムを構築できる適切なフレーズが選択されます。 同時に、解の正しさを証明するためのアルゴリズムは、パラドックスの支持者側の複雑さの欠如と比較して、比較にならないほど複雑に見えます。



前のパラドックスは、質問することで最小化できます-嘘は本当ですか？ そのような声明については、パラドックスの支持者側にはまだ問題はなく、本質的に意味のない語句の漠然とした理解を議論する方法はまだ明確ではありません。 無意味は、理屈でパラドックスの支持者に異議を唱えることを可能にしませんが、そのような無意味は、少なくともある程度の感覚を持つことは絶対に必要ではないタスクのいくつかの条件として形式的に解釈されるため、彼らにとって非常に満足です。 しかし、私たちが見ているように、まさにそのようなアプローチが現実から切り離されており、どんな場合でも否定的な答えなどの矛盾に簡単につながります。 そして、矛盾の暗黙の性質は、パラドックスの支持者が自分で主張することを可能にします。 同時にゼロよりも大きい数値もゼロも数値がないことを証明できる場合、意味のない整形式フレーズの場合、矛盾の証拠は自明ではありません（意味がない場合、次に何を証明するのですか？）、したがって、そのような場合、決定の制限は、通常のパラドックスの発芽のための土壌の存在につながります。 だからこそ、数学のような厳格な科学を含め、再び揺れ動く可能性のあるパラドックスに満ちた意味のない、したがってパラドックスに満ちた形式的な推論の出発の可能性を強調する価値があります。

理論問題を設定する

パラドックスは数学にとってどのように危険ですか？それは非常に単純です-ある形式理論が矛盾する結果を導き出すことを許すなら、これはそのような理論が絶対にすべてを導き出すことを許すことを意味します。言い換えれば、そのような理論は私たちに愚かさを推論する機会を与えてくれます。したがって、使用されている理論に矛盾がないことを注意深く監視することは価値があります。しかし、理論の矛盾を避ける方法は？



1つ目は、いわゆるナイーブセット理論です。この理論では、集合に関する推論は自然言語（当初はドイツ語）の文の形で行われましたが、少し上で見たように、自然言語の推論は矛盾する方向への逸脱、時には無意味なことを特徴としています。しかし、そのようなターンの非自明性は、非常に高度な頭脳でも時間内に危険を考慮することを防ぎます。したがって、集合論の創始者であるジョージ・カントールは、彼の理論の必要性が彼に一見単純に見えるが、それらを満足させるための完全に考えられた方法で彼を促したいくつかのそのような瞬間を逃した。したがって、何かを提示する可能性によって、無限の数の数字を想像することができますが、もう少し高い数字を見たように、この表現に矛盾があります。別の必要性-数学的な方法での集合の構築において-集合のパラドックスの類似体にもつながったが、すでに数学用語で書かれていた。



— , , ? , , ( ) « » , - . , , . , , , . .



Kantor（集合論の作成者）はこの障壁を克服できませんでしたが、その後、その実証のトピックは数学に非常に関連性があったため、Kantorの理論はその役割に正確に役立ちました。



数学者は、理論の十分に厳密ではない定義にパラドックスの出現の理由を見ました。それは、私たちが見たように、いくつかの定義の完全な無意味につながるいくつかの自由を可能にしました。しかし、厳密さだけではパラドックスを排除するのに十分ではないため（潜在的な問題の兆候のより広範なリストが上記に挙げられている理由です）、数学者は理論の厳密な提示においてさえすぐにパラドックスを見つけました。



セットを形成するために、数学者は、要素がセットに属する場合はtrueを返し、要素がセットに属さない場合はfalseを返す一連の関数を使用することを提案しました。つまり、非常に簡単に機能する数学フィルターが作成されました。それを通過したすべての要素が新しいセットに含まれていました。したがって、厳密な数学的方法で任意のセットを構築することができました。アイデア自体は非常にシンプルで、もちろん、非常に機能的です。テクノロジーの無限の数のフィルターと同様に、特に（純粋な形式では、セット理論に非常に近い）情報テクノロジーでは。しかし、その厳密な実装はそれほど単純ではありませんでした。



次の式がフィルタリング用に提案されました。

$$

ここにアイコンがあります $$ そして $$それらは「そのような存在」と「すべての人に」を意味し、変数の名前（xまたはy）と組み合わせて、記号に続く式に制限を与えます。通常の言語では、これは、式が真であるyが存在することを意味します。xでは、式は真であり、括弧で区切られています。括弧内にアイコンが表示されます$$xが集合yに属することを示し、次にxが集合yに属することを宣言する等価記号は、論理関数P（x）の履行に相当​​します（発話関数または述語と呼ばれます）。一般に、括弧内の式は、要素xが関数P（x）でフィルター処理された場合、セットyに属し、逆も同様である-yに属する要素はP（x）を満たすことを示します。式全体は次のようになります- 任意のxに対して、そのような制限が満たされるセットyが存在します。xは関数P（x）によってフィルタリングされ、セットyに属します。



次に、元のフィルター処理のアイデアと式の形式での設計の違いに注目しましょう。非公式に指定されたフィルターに存在する意性は式で制限されていますが、シェーバーのパラドックスにつながる同じ間違いが行われました。



式では、xのすべての要素が等しく扱われます。しかし、上記のパラドックスでは、すべての「1つの櫛の下」のこのような解釈がパラドックスの原因であることがわかりました。その結果、そのような式の矛盾を示す反例がすぐに見つかりました。式にはxの値に関する制限がないため、それからyを代わりに使用することを妨げるものはなく、代わりにフィルター関数を使用する$$ 。 ここにサインがあります $$論理否定を示します。次に、すべての置換の後、次のようになります。



$$



つまり、所有権の否定は所属と同等であることが判明しました。確かに、厳密な形式では、一方が他方の否定になるように、このような式を2つ導出する必要がありますが、この演習は数学者に任せます。ここで、xのすべての要素が一般的な要件に従っていると解釈すると、他のパラドックスで既に示したように、xの代わりにyのシステム形成要素を置き換えるときに矛盾が生じたことがわかります。



その結果、数学者は自分自身を修正する必要がありました。しかし、彼らは次のように状況を修正しました（サイン$$ ):

$$

, . — , () , . ?



そして、これは、逆説の兆候を思い出すと、非常に危険な制限の緩和です。上記のケースにおけるこのような自由は、1つのフレーズまたは式で2つの矛盾する制限を設定する可能性をもたらしました。さらに、xの代わりにyの置換がまだ許可されているため、新しい式のバックボーン要素yは再び全員と同等に扱われます。したがって、一般式の残りの構成と矛盾する式P（x）を指定する理論的な可能性があり、矛盾が生じる可能性があります。ただし、このような置換を探すのではなく、新しい式での置換の可能なオプションの推定値を単に示します。これを行うには、まず、



空のセットに等しい場合、 $$実現可能と等価に選択する必要があります達成することからため現実的ではありませんこれは、$$ 。 . . , , . , () . , , .



:



1)

2) :

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1） $$

2.1) $$

2.2.1.1) $$

2.2.1.2) $$

2.2.2.1) $$$$

2.2.2.2) $$



ご覧のとおり、aに要素が含まれる場合、そのようなxおよび/またはP（x）を示すことが不可能なyを置換する単一のバリアントはないため、公理は常に真になります。そのような結果からどのような結論を導き出すことができますか？このテキストの著者の個人的な意見では、結論は次のようになる可能性があります-公式の乾いた言語にフィルターを適用する堅牢なアイデアを翻訳するとき、現実との接続の喪失という形で間違いが犯されました。もちろん、結論を受け入れるか拒否するかは、もちろん、そのような問題を独立して理解する方法を正確に認識している読者を選択してください。