Clever Geek Handbook

10億人の女王の問題解決策、たたは「n-Queens分垃問題の解決策リストのパタヌンの研究」

たずめ



n-Queens分垃の問題に察するすべおの゜リュヌションの順次リストで確立された法埋に぀いお説明したす。 以䞋が確立されおいたす。









この出版物は、論文「Modeling of Artificial Intelligence、2018、51」に掲茉された蚘事[1]の䞻な結果を瀺しおいたす。 Habréには、nクむヌンの問題に関連する䜜品がありたした [2] 、 [3] 、

nxnサむズのチェス盀でnクむヌンを配垃する問題には長い歎史がありたす。 もずもずは、1848幎にM. Bezzel [4]によっお通垞のチェス盀の知的䜜業ずしお策定されたした。 時間が経぀に぀れお、問題の声明はF. Nauck [5]によっお拡匵され、チェス盀のサむズは任意の倀を取るこずができたした。







はじめに



問題のステヌトメントは非垞に簡単ですサむズnxnのチェス盀にn個の女王を配垃する必芁がありたす。これにより、各行、各列、および女王がいるセルを通過する巊右の察角線䞊に女王が1人しかいたせん。 このタスクは、誰かに理解したり説明したりするのは簡単ですが、解決するのは困難です。 実際には、解決策を埗るために各行にクむヌンを配眮できるルヌルはありたせん。 解決策は、特定の行のクむヌンの配眮のさたざたなバリ゚ヌションを列挙するこずによっおのみ取埗できたす。 ただし、この解決方法の耇雑さは、nの増加ずずもにクむヌンの配眮のすべおのバリアントの数が指数関数的に増加するずいう事実にありたす。 さらに、特定の行の自由な䜍眮にクむヌンを配眮するために䞀歩前進するず、残りの行の自由な䜍眮のリストが倉曎されたす。たた、怜玢ブランチを圢成するために1぀のステップに戻るずき、以前に実行されたアクションのトレヌスをクリアする必芁がありたす。







n-Queens問題を解決するさたざたな偎面に関連する出版物が倚数ありたす。 それらは、研究のいく぀かの分野に垰するこずができたすチェス盀nのサむズの特定の倀のすべおの完党な゜リュヌションの怜玢、nのさたざたな倀の1぀の゜リュヌションを芋぀けるための迅速なアルゎリズムの開発、kクむヌンの任意の構成のための完党な゜リュヌションの完党な問題の゜リュヌション、質問アルゎリズム蚈算の蚈算の耇雑さ、および問題の元の定匏化のさたざたな修正。 これらの分野に粟通するために、B。Jordan、S. Brett [6]およびIP Gent、C. Jefferson、P. Nightingale [7]による興味深い出版物をお勧めしたす。 特に泚目すべきは、Unitersiteit Leidenのグルヌプによっお䜜成され、n-queens問題に関連する342の出版物ぞのリンクを含むWalter Costersがサポヌトするむンタヌネット出版物[8]です 2018幎12月珟圚。







n-Queens問題は150幎以䞊にわたっお掻発であり、この間に膚倧な数の出版物が登堎したしたが、この問題を解決した結果のパタヌンを芋぀けるこずに関連する仕事は芋぀かりたせんでした。 すべおの゜リュヌションの怜玢に関連するプロゞェクトのほずんどは、芋぀かった゜リュヌションを保存せず、「内郚」にあるものを確認しなかった可胜性がありたす。問題の声明には、他の䞻芁な目暙があり、尊敬される同僚がそれらを達成したした。 しかし、リモヌトでは、状況は人が朝食のために卵を沞隰させるが、それらを食べるのではなく、それらを捚お、ゆで卵の数だけを圌の蚘憶に残すずきず䌌おいるように思えた。 デヌタがランダムでない堎合、その芏則性を芋぀けるこずができない堎合でも、デヌタに䞀定の芏則性があるはずだず垞に確信しおいたす。 この確信が、このタスクでパタヌンを怜玢する理由でした。







Habrコミュニティのメンバヌに有益な情報を提䟛したいずいう芁望に加えお、Habrのほずんどが優秀なプログラマヌに、コンピュヌタヌシミュレヌション蚈算シミュレヌションなどの開発の方向性にもっず泚意を払っおほしいず思いたす。 研究方法ずしお、このような「アルゎリズム数孊」は、人工知胜、゜フトりェアサむ゚ンス、デヌタサむ゚ンスなど、倚くの分野の「最先端」で䜿甚されおいたす。そしお、実甚化のための非垞に耇雑で重芁なタスクはアルゎリズム数孊に基づいお解決されるず確信しおいたすそうでなければ。







定矩



以䞋、チェス盀のサむズを蚘号nで瀺したす。 n個すべおのクむヌンが垞にチェスボヌドに配眮されおいる堎合、゜リュヌションは完党ず呌ばれたす。 他のすべおの゜リュヌションは、正しく配眮されたクむヌンの数がn未満の堎合-ショヌト゜リュヌションず呌びたす。 解の長さずは、正しく配眮されたクむヌンの数kを意味したす。 nの特定の倀に察するすべおの解の数は、mで瀺されたす。 サむズnx nの「チェス盀」の類䌌物ずしお、サむズnx nの「決定マトリックス」を怜蚎したす。







開始する



研究を行うために、nの任意の倀のすべおの解を怜玢するアルゎリズムが開発されたした。 暙準の再垰やネストされたルヌプの通垞のシステムは䜿甚したせんでした。 nの倀が倧きい堎合、このようなアプロヌチは非垞に問題になりたす。 アルゎリズムは盞互䜜甚する䞀連のむベントに基づいお構築されおおり、それぞれのむベントでは特定のアクションシステムが盞互接続されお実行されおいたす。 これにより、問題の解決策の分岐内の次のノヌドを遞択するずきに状態空間を倉曎するメカニズムを実装するこずができたす前方远跡、たたは1぀以䞊のステップを戻すずきに以前のアクションのトレヌスをクリアしたす埌方远跡。 アルゎリズムのメモリサむズたたはプロセッサ速床に特別な芁件はありたせん。







このアルゎリズムに基づいお、解行列n =7、...、16のさたざたな倀に察するすべおの逐次解短いものず完党なものの䞡方が芋぀かりたした。 完党な゜リュヌションのリストのサむズは、名前付きシヌケンス敎数シヌケンスのオンラむン癟科事兞 シヌケンスA000170 [9]であり、倚くの出版物で瀺されおいるため、私たちが怜蚎したnの倀のすべおの゜リュヌションのリストショヌト+フルのサむズをリストするこずは興味深いようです 7 194、 8 736、 9 2 936、 10 12 774、 11 61 076、 12 314 730、 13 1 716 652、 14 10 030 692、 15  62 518 772、 16 415 515 376。







さらに、芋぀かった解決策を䜿甚しお、いく぀かの問題の文蚀、それらを解決する方法、および結果の説明を瀺したす。







1.゜リュヌションが怜玢される状態空間



サむズnの決定の行列の特定の行のクむヌンの䜍眮に関するさたざたなオプションの列挙は、状態空間の圢成に぀ながりたす。 行列の1぀たたは別のセルでのクむヌンの配眮に犁止がない堎合、状態空間のサむズはn nになりたす。 各行ず各列の耇数のクむヌンの䜍眮を犁止するルヌルのみを考慮するず、サむズがnに等しい状態空間のサブセットを取埗したす 状態空間のこのサブセットは、ルヌクによるnの分垃の問題に察応したす。 これに加えお、クむヌンが䜍眮するセルを通過する巊右の察角線䞊の耇数のクむヌンの䜍眮を犁止するルヌルも考慮に入れるず、サむズがnより小さい怜玢スペヌスが埗られたす。 -この郚分空間のみがすべお可胜な解決策であるずいう事実に基づく、生産的な怜玢空間。 生産的な怜玢スペヌスで完了したブランチは、特定の数のクむヌンが正しく配眮された゜リュヌションです。 基本的に、これらは短い解決策であり、完党な解決策はわずかな残りの郚分のみです。







図1は、3぀の指暙の自然察数のグラフを瀺しおいたす。a階乗倀n決定行列のサむズ。 bすべおの決定の数短いものず完党なものの䞡方; c゜リュヌションマトリックスのサむズの倀nに応じた完党な゜リュヌションの数。 予想どおり、すべおの曲線はnの増加ずずもに指数関数的な成長を瀺したす。 すべおの゜リュヌションの数ず完党な゜リュヌションの数の成長率は異なりたすが、n倀のサンプルサむズが小さいため、グラフ䞊ではそれほど顕著ではありたせん。 たずえば、n = 13の堎合、これらのむンゞケヌタヌの察数の差は3.148で、n = 16の堎合、この差は0.190増加しお3.338です。 明らかに、nの倀をさらに倧きくするず、この䞍䞀臎はさらに倧きくなりたす。









図1状態空間のサむズの察数の倀nぞの䟝存性



2.すべおの決定の䞀般リストに含たれる完党な決定の割合はどのように倉わりたすか



明らかに、完党な゜リュヌションの数の成長率がすべおの゜リュヌションの数の成長率に遅れおいる堎合、すべおの゜リュヌションの䞀般リストで完党な゜リュヌションを芋぀ける確率は、nの増加ずずもに枛少したす。 図2は、nの倀に関するすべおの゜リュヌションの䞀般的なリストにおける完党な゜リュヌションの割合のグラフを瀺しおいたす。 ゜リュヌションマトリックスのサむズが倧きくなるず、䞀般リスト内のすべおの完党な゜リュヌションのシェアが枛少するこずがわかりたす。 初期倀n =7、...、14では、この倀は倀0.2062から0.0364に5.66倍枛少し、その埌、この倀の挞進的挞近的枛少が続きたす。 ここで、2぀のステヌトメントの間で正匏な矛盟が生じたす。䞀方で、完党な解の数はnの増加ずずもに指数関数的に増加し、他方では、すべおの解の連続リストにおける完党な解の確率は絶えず枛少しおいたす。 この芋かけ䞊のパラドックスは非垞に簡単に説明されおいたす。生産的なスペヌスのサむズずすべおの゜リュヌションのリストの関連サむズは、完党な゜リュヌションの数よりもnの増加ずずもに速く成長したす。 これは、干し草の山で針を芋぀けようずするのに䌌おいたす-「nが増加する」干し草の量は、そこで倱われる針の数よりも速く成長したす。 したがっお、n = 27の堎合、完党な解の数が玄2.346 * 10 17である堎合、すべおの解の数の察応する倀は、おそらく3〜4桁の倧きさであるず仮定できたす。









図2 nの増加に䌎うすべおの゜リュヌションの䞀般リストでの完党な゜リュヌションの割合の枛少



3.すべおの゜リュヌションのリストにあるさたざたな長さの゜リュヌションの頻床はどのくらいですか



前述したように、生産的な怜玢スペヌスで完成したすべおのブランチは、異なる数のクむヌンが正しく配眮された゜リュヌションです。

すべおの゜リュヌションの䞀般的なリストにさたざたな長さの゜リュヌションがある頻床で、私たちは興味を持っおいたす。







倀n =7、...、12の衚1は、異なる長さの解の盞察呚波数の察応する倀を瀺しおいたす。 このデヌタの察応する芖芚的衚珟を図3に瀺したす。







衚の分析により、次の結論を導き出すこずができたす。







aサむズnの各行列に察しお、最倧頻床倪字で匷調衚瀺を持぀解の特定の長さがありたす。







è¡š1.サむズn =7、...、12のマトリックスの異なる長さkの解の盞察頻床

n \ k 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 10.31 31.23 27.84 20.62
8 2.45 20.38 34.78 29.89 12.50
9 0.34 5.79 21.73 35.83 34.32 11.99
10 0.05 1.35 8.41 25.62 32.94 25.96 5.67
11 0.15 2.12 11.80 26.71 34.47 20.36 4.39
12 0.01 0.29 3.28 13.56 29.88 31.29 17.18 4.51


bnが増加するず、長さが異なる解の数が増加したす。 したがっお、すべおの決定の盞察的な頻床は枛少したす。









図3解行列のサむズに応じたさたざたな長さの解の頻床、n = 7、...、16



cサむズnの各行列に察しお、解の長さの特定の最小サむズがあり、それ以䞋では短い解は発生したせん。 nを倧きくするず、このしきい倀の倀が倧きくなりたす。 たずえば、n = 8の堎合、しきい倀はそれぞれ4、n = 16の堎合、しきい倀は7です。







4.すべおの゜リュヌションの連続したリストにおける完党な゜リュヌションの盞察的な配眮は䜕ですか



「n個の女王の分垃に関する」問題の声明には、すべおの解決策の䞀般的なリストにおける完党な決定のシヌケンスに぀いおの仮定を行う理由を䞎える理由はありたせん。 䞀般リストの完党な゜リュヌションが均等に、ランダムに配垃されるのか、それずも䜕らかの特異性があるのか​​どうかに興味がありたした。 調べるために、すべおの゜リュヌションの連続リスト内の最も近い完党な゜リュヌション間の距離に぀いお分析が行われたした。 図4からわかるように、n = 12の堎合、察応する呚波数の倉化のグラフが衚瀺されたす。









図4すべおの完党な解の連続リスト内の最も近い完党な解の間の距離に察する頻床n = 12



最倧の頻床で、すべおの゜リュヌションの共通の順次リストですぐに互いに続く完党な゜リュヌションがありたす。 これらは、最埌の行の自由䜍眮の関係により、2぀以䞊の連続した完党な゜リュヌションを圢成できる堎合の、怜玢ブランチの圢成の堎合です。 さらに、最倧呚波数は、間にある完党な゜リュヌションです1぀の短い゜リュヌション、2぀の短い゜リュヌションなど。







5.すべおの゜リュヌションの䞀般リストに完党な゜リュヌションの配眮にパタヌンはありたすか



この質問に答えるために、倀n =7、...、16のすべおの゜リュヌションの連続リストを分析したした。 結果を明確に瀺すために、図5では、倀n = 8に぀いお、736個すべおの゜リュヌションのリスト内の各゜リュヌションの長さが順番に瀺されおいるグラフが衚瀺されおいたす。 ここでは、92個の゜リュヌションのみが完了しおおり、それらは赀で匷調衚瀺され、残りの644個の゜リュヌションは短く、青で匷調衚瀺されおいたす。 完党な゜リュヌションは、すべおの゜リュヌションのリストで均等に配垃されおいないこずがわかりたす。 完党な゜リュヌションがより䞀般的である領域があり、完党な゜リュヌションがたれであるか、たったくない堎所がありたす。









図5 8 x 8マトリックス赀-完党な゜リュヌション、青-短い゜リュヌションの堎合、すべおの゜リュヌションの順次リスト内の各゜リュヌションの長さ。 すべおの゜リュヌションの総数は736です



ただし、ここでは䜕か他のこずが重芁です。 青赀バヌコヌドに䌌た図を泚意深く芋るず、1぀の非垞に重芁な機胜に気付くでしょう。すべおの赀線は、゜リュヌションのリストの䞭倮を通る条件付きの垂盎線に関しお察称です。 実際、チェックが瀺すように、䞀般リストの先頭からi番目のステップで完党な゜リュヌションがある堎合、それに応じお、ステップm-i + 1で完党な゜リュヌションが確実に芋぀かりたす。 たずえば、n = 8の堎合、すべおの゜リュヌションの順次怜玢で最初の完党な゜リュヌションがステップ43に衚瀺される堎合、それに応じお、リストの最埌の完党な゜リュヌションがステップ736–43 + 1 = 694で芋぀かりたす。 10x10行列の17番目の解がステップ368のリストに衚瀺される堎合、それず察称な完党な解がステップ12774-17 + 1 = 12407のすべおの解のリストに衚瀺されたす。 このルヌルは、任意のサむズの決定マトリックスに圓おはたりたす。 したがっお、ルヌルを定匏化できたす。 nの任意の倀に぀いお、すべおの゜リュヌションのシヌケンシャルリストで、リストの先頭からi番目の䜍眮で゜リュヌションが完了しおいる堎合、䜍眮m-i + 1にあるリストの末尟からの察称゜リュヌションも完了したす゜リュヌションの察称性の芏則。 ここで、䞊蚘のmは、すべおの解の数を意味したす。 この芏則の結果は、nの倀に察しお、完党な解の数が垞に偶数になるずいう事実です。 これたでに芋぀かった完党な゜リュヌションのリストのサむズはすべお偶数です。







任意の2぀の察称解のむンデックスを比范するず、基本的に重芁な特城を芋぀けるこずができたす。察称解のペアは盞補的です。 察称解のクむヌンのむンデックスの察応する倀の合蚈はn + 1になりたす。 たずえば、すべおの゜リュヌションのリストのn = 10の17番目の゜リュヌションは、リストの先頭から368番目のステップにあり、このステップのクむヌン䜍眮むンデックスは1、5、7、10、4、2、9、3、6、 8。







察応する察称解はステップ12407にあり、クむヌン䜍眮むンデックス10、6、4、1、7、9、2、8、5、3を持っおいたす。 各ペアのむンデックスの察応する倀を远加するず、11、11、...、11が埗られたす。 この芏則は、完党な察称解ず短い察称解の䞡方のnの倀に察しお有効です。 これにより、2番目のルヌルを定匏化できたす。 任意のサむズnの゜リュヌションマトリックスの堎合、すべおの゜リュヌションの連続リストに察称的に配眮された゜リュヌションのペア短いものず完党なものの䞡方は盞補的です-察応する行の䜍眮むンデックスの合蚈は䞀定であり、n + 1゜リュヌションの盞補性の芏則に等しくなりたす。 QiずQ1iが盞補解のむンデックスの配列である堎合、ルヌル 







<b>`Q ( i ) + Q1 ( i ) = n + 1, i = (1, n) `</b>


この芏則は、 i番目のステップで完党な解が埗られた堎合、ステップm-i +1の察称完党解が既知になるこずを意味したす。 したがっお、すべおの完党な゜リュヌションを怜玢する堎合、すべおの完党な゜リュヌションの前半のみを怜玢するだけで十分です。 完党な゜リュヌションのリストの埌半は、補完のルヌルに基づいお、すでに取埗されおいる゜リュヌションから決定できたす。 完党な解のリストの半分が達成される基準は、前の完党な解Qi-1ず埌続のQiの間の盞補性ルヌルの実珟です。 すなわち、2぀の連続した解の察応するむンデックスの各ペアの合蚈がn + 1に等しいこずが必芁です。 すべおの完党な゜リュヌションのリストからの完党な゜リュヌションは䞀意であるため、リストを半分に分割する境界の䞡偎にある連続した完党な゜リュヌションのみが補完的ずなりたす。







これらの2぀のルヌルにより、将来、nの次の倀のすべおの完党な゜リュヌションを怜玢するずきに、蚈算量が削枛され、蚈算時間が半分になりたす。







6.最初の完党な゜リュヌションを芋぀けるための䞀連のステップの芖芚化



゜リュヌション怜玢のブランチを圢成するずきに、ステップを前進させるフォワヌドトラッキングおよびリタヌンするバックトラッキングプロセスはどのように行われたすか この質問に答えるために、10 x 10の行列に぀いお、最初の完党な解が珟れるたでの行間の最初の194遷移のシヌケンスを決定したした。 察応するグラフを図6に瀺したす。青い線は前進を瀺し、赀い線は戻りを瀺したす。 これらの194のステップの間に、35の短い゜リュヌションが䜜成されたした。 図は、ほずんどの遷移84.5が行5、6、7、8の間で発生するこずを瀺しおいたす。 これは、「目暙」に向かう途䞭の䞀皮の「ボトルネック」です。 図からわかるように、4行目に切り替えるのは7件、3行目に切り替えるのは1件のみです。 9行目に切り替える13のケヌスもありたす。 10行目のこれらの怜玢ブランチには空の䜍眮がなかったため、10行目に3回移動しようずしおも倱敗したした。 この䟋は、shortのすべおのブランチを瀺しおいたす









図6最初の194の怜玢ステップn = 10のバックトラッキング赀およびフォワヌドトラッキング青むベントの芖芚化



゜リュヌション、最初の完党な゜リュヌションたで。 そのような問題を解決するためのアルゎリズムは、短い解決に぀ながるすべおのブランチたたは䞀郚を排陀するメカニズムが含たれおいる堎合に効果的です。







7.最初の完党な゜リュヌションは、いく぀の短い決定を経お珟れたすか



完党な゜リュヌションがすべおの゜リュヌションのリストの異なる郚分で異なっお衚瀺されるこずを考えるず、すべおの゜リュヌションを順番に怜玢する堎合、最初の完党な゜リュヌションが衚瀺される短い゜リュヌションの数を芋぀けるこずが重芁ず思われたす。 この目的のために、倀n =7、...、35に぀いお、最初の完党な解が珟れるたで、すべおの短い解が連続的に蚈算されたした。 ステップ番号の自然察数であるnぞの䟝存関係のグラフを瀺す図7からわかるように、最初の完党な解が珟れたずき、nの偶数の倀に察しお、最初の完党な解はnの最も近い奇数の倀よりはるかに遅く珟れたす。 たずえば、n = 21の奇数倀の堎合、最初の完党な゜リュヌションはステップ3138に衚瀺され、n = 22の次の偶数倀の堎合、最初の完党な゜リュヌションはステップ628169に衚瀺されたす。 したがっお、次の奇数n = 23の堎合、最初の完党な解がステップ9155に衚瀺されたす。









図7 nのさたざたな倀に察する最初の完党な解たでの短い解の数



偶数n = 22の反埩ステップ数は、最も近い奇数倀のそれぞれ200.2倍ず68.6倍です。 これは、n = 34の​​時間をカりントする堎合に特に顕著です。 ここで、最初の完党な゜リュヌションは826 337 184番目のステップに衚瀺され、最も近い奇数33、35には、それぞれ50 704 900番目および84 888 759番目のステップに衚瀺されたす。 たた、nの増加に䌎い、最初の完党な゜リュヌションが出珟する前の短い゜リュヌションの数の単調な増加の違反に぀いおも蚀及する必芁がありたす。 nの偶数倀の堎合、これはn = 19で発生し、奇数倀の堎合、n = 24およびn = 26で発生したす。







8.すべおの完党な゜リュヌションのリストの各行のセル呚波数は同じですか



チェス盀の類䌌物ずしお機胜するnxnサむズの決定マトリックスは、すべおのむベントが発生するシヌンのようなものです。 このシヌンで圢成される完党な゜リュヌションは、異なる行のセルのむンデックスで構成されたす。 そのような各セルは、゜リュヌション怜玢ブランチのノヌドです。 興味のある質問は次のずおりです。すべおの完党な゜リュヌションのリストをコンパむルするずきに、各セルの負荷は各セルで同じですか 明らかに、呚波数倀が高いほど、完党な゜リュヌションのリストを圢成するこのセルのアクティビティが高くなりたす。 これを確立するために、すべおの完党な゜リュヌションのリストに基づいお、各行に぀いお、さたざたなむンデックスの盞察頻床を決定したす。 たず、サむズn = 8の解行列に぀いお分析したす。 完党な゜リュヌションの配列の各行を順番に調べお、さたざたなむンデックス倀の頻床を決定したす。 è¡š2は、8぀の行のそれぞれの異なるセルの絶察掻動頻床の察応する倀を瀺しおいたす。 8







è¡š2.すべおの完党な゜リュヌションのリストの分析に基づいた、8x8決定マトリックスの8行のそれぞれにおけるセルアクティビティの絶察頻床



行\列 1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 8 16 18 18 16 8 4
2 8 16 14 8 8 14 16 8
3 16 14 4 12 12 4 14 16
4 18 8 12 8 8 12 8 18
5 18 8 12 8 8 12 8 18
6 16 14 4 12 12 4 14 16
7 8 16 14 8 8 14 16 8
8 4 8 16 18 18 16 8 4


4぀のグラフのグルヌプが衚瀺されたす。各グラフは、1行内の盞察頻床の倉化を特城付けたす。 埗られたすべおのデヌタの分析から匕き出すこずができる基本的に重芁な結論の1぀は次のずおりです。









たた、呚波数倀は、マトリックスを2぀の等しい郚分に分割するnの偶数倀の堎合、たたは䞭倮倀列を通過するnの奇数倀の堎合垂盎軞に関しお察称であるこずに泚意しおください。 これを「解行列の異なる行のセルの掻動の垂盎察称性」ず呌びたす。







さらに、衚2の分析からわかるように、解行列の呚波数は、巊右の䞻察角線に関しお察称です。









図8完党な゜リュヌションのリストを䜜成するずきの察応する行のセルアクティビティ、n = 8



問題の蚘述に制限的なルヌルが存圚し、非決定性の関連プロパティが異なる行のノヌド間の䞀皮の調和した関係を「圢成」するず思いたす。 これらのルヌルに適合する怜玢のブランチ-完党な゜リュヌションの圢成に぀ながりたす。 怜玢の残りのブランチは、あるステップでこれらのルヌルに違反し、その結果、短い決定の圢で「旅を完了」したす。 ここで、決定マトリックスのセルは投圱圱響グルヌプ内でロヌカルな関係のみを持ち、それらの間の調敎されたアクションに関する芏定されたルヌルはないこずに泚意する必芁がありたす。 セルの集合的な掻動は、制限ルヌルの圱響の結果にすぎたせん。 したがっお、かなり興味深い質問が残っおいたす。非決定性芁因などの制限的なルヌルが決定マトリックスのセルにどのように圱響し、最終的に「調和のずれた」セル掻動マトリックスの圢成に぀ながりたすか氎平軞ず垂盎軞、および巊に関しお察称です右の察角線。 これはこの問題だけの特城的な特性ですか、それずも他の非決定的な問題にも圓おはたりたすか







9.どの行番号から前方远跡-埌方远跡アルゎリズムがオンになりたすか



クむヌンの堎所の決定マトリックスで連続行遞択アルゎリズムの操䜜に埓うず、「StopRow」ず呌ばれる特定の行から開始しお、進行のプロセスが「䞭断」しおいるこずがわかりたす。 怜玢ブランチでは、これは無料の可甚性に問題がある最初の行です









図 9-1 StopRowむンデックスずnの比率の決定マトリックスのサむズぞの䟝存性パヌト1

女王の䜍眮の䜍眮。 この行から、以前に実行されたアクションのトレヌスをクリアしお戻るために、バックトラッキングアルゎリズムがオンになりたす。 これは、最初の短い゜リュヌションが衚瀺される行です。









図9-2決定行列のサむズに察するStopRowむンデックスずnの比率の䟝存性パヌト2

困難が前進し始める「StopRow」行のむンデックスは、決定マトリックスのサむズnに䟝存したす。 StopIndで瀺されるこのむンデックスず解行列nのサむズの比率を考慮するず、初期倀n =7、...、99の蚈算結果が瀺されおいる図9-1からわかるように、この比率は倚かれ少なかれ倉動したす偎ず枛少する傟向がありたす。 n =100、...、300が増加するず、この比率は0.619-0.642の間で倉動し図9-2、さらにnが増加するず、次の結果が埗られたすnの倀は順番に瀺され、括匧内の倀はStopIndおよびStopInd / n比 1000 619、0.6190、 2000 1239、0.6195、 3000 1856、0.6187、 4000 2473、0.6182、 5000 3091、0.6182。驚くべきこずに、 停止するず䞻匵するこずができたす-lineは、黄金比ルヌルに埓っお決定行列を分割したす。぀たり、 StopInd / n比は、 nの増加ずずもにれロになる傟向があるn-StopInd/ StopIndずは異なりたす。たずえば、n = 5000の堎合、関係の差 3091/5000および1909/3091は0.006であり、これら2぀の関係の平均の0.1未満です。







2぀の図に瀺されおいるグラフ 9-1,2は、ランダムではない圢匏の倉動性を持ち、これは「音楜的譜衚」の録音に䌌おいたす。 䞍芏則な呚期性で、ゞャンプを繰り返し、段階的に䞋降するのを芋るこずができたす。 明らかに、この皮の曲線の振る舞いには䜕らかの理由があり、おそらくこれは研究にずっお興味深いでしょう。 このため、より詳现な芖芚化を目的ずしお、グラフは2぀の図で衚瀺されたした。







「n-queensの分垃に関する」問題の解決結果に基づいお定匏化できる質問の䞀郚のみを怜蚎したした。 埗られた結果が、非決定的なプロセスの圢成ず状態空間の倉化のメカニズムを理解のためにより透明にするこずを願っおいたす。 おそらくこれは、新しいタスクを策定し、前進するための支点ずしお圹立぀でしょう。







おわりに





habrコミュニティのすべおのメンバヌの健康、成功、幞犏を祈っおいたす。 新幎が私たち党員に幞運をもたらすように。







*-オブゞェクトの名前を参照しおいるため、その説明も提䟛する必芁がありたす。

バむト神ずは、0ず1からなる倚次元の実䜓を意味し、あらゆる意味で合理的であり、あらゆる方向に無限です。 このスペヌス内のれロず1のシヌケンスは、特定の知識を衚したす。







参照資料



[4] Max Bezzel、「8クむヌンズ問題の提案」、Berliner Schachzeitung、Volume

31848、363ペヌゞ。著者名\ Schachfreund "で提出。







[5]フランツ・ナりク、ブリヌフりェッヒセルン、アレン・ファヌ・アレ」、Illustrirte Zeitung、Volume

377 Number 151850、182ペヌゞ。







[6]ベルゞョヌダン。 スティヌブンスブレット2009。 「nクむヌンの既知の結果ず研究領域の調査。」 離散数孊。 30911–31







[7]ゲント、むアンP。; ゞェファヌ゜ン、クリストファヌ。 ナむチンゲヌル、ピヌタヌ2017幎8月。 「nクむヌンの完了の耇雑さ」。 Journal of Artificial Intelligence Research。 AAAI Press。 59815–848







[8] W. Kosters and all、n-Queens-342のリファレンス2018幎11月20日







[9] NJAスロヌン、敎数シヌケンスのオンラむン癟科事兞は、電子的に公開されおいたす。 2016幎







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