素数と無理数の関係について

素数に関する私の研究のいくつかの後、私は無理数との興味深い関係を見つけました。 この関係は、なぜ素数がそんなに「カオス的」で 、なぜそれらがとても複雑なのかという質問への答えを与えます。 カットの下には、この接続の説明と、改良されたRSAアルゴリズムの変形があります。

はじめに

セットを考える $$$\ lbrace 2n + 3m \ vert n、m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ 。 それを整理してみてください。 つまり、前の数字を知って、次の数字のペアnとmを見つける方法を見つけます。 明らかに：2 + 2 + 2 = 3 + 3および2 + 2> 3、2 <3。したがって、数字のペアは次のように分布します。



（1,0）、（0,1）、（2,0）、（1,1）、（3,0）、（2,1）、（4,0）、（3,1）、（5 、0）...



次の番号のペアを取得する順序とそれに応じた方法が明確にトレースされていることに注意してください。 問題はなく、タスクは簡単です。

今、セットを考えます $$$\ lbrace 2n + \ pi m \ vert n、m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ 。 残念ながら、または幸いなことに、このセットは前のセットと同じ意味では注文できません。



（1,0）、（0,1）、（2,0）、（1,1）、（3,0）、（0,2）、（2,1）、（4,0）、（3 、1）、（0,3）...



正確な順序を見つけたと判断した場合は、これらのペアをさらに終了して、破損していることを確認します。 これらの数字のペアの「カオス」は、数字の非合理性に直接関係しています $$$\ pi$ 1761年にヨハンランバートによって証明されました。 実際、ペアを一列に並べるために、最初に長さ2のセグメントを長さのセグメントにフィットさせようとします $$$\ pi$ 。 結果のバランスを長さ2のセグメントに入れようとしています。1回だけ収まります。 これは、残りの部分がすでに長さのセグメントでその役割を「果たしている」ことを意味します $$$2 \ pi$ 、長さ2の2つのセグメントではなく、3つのセグメントに収まります。 このような操作をさらに実行すると、順序が見つかったという印象を得るとすぐに、一定の手順で中断することが明らかになります。 後者はまだ使用されていないため、残高は遅かれ早かれその役割を「果たし」、順序が変わります。 したがって、このタスクの「良い」アルゴリズムを見つける問題は未解決のままです。

いくつかの定義

させて $$$（\ mathbb {R}、+）\ simeq（\ mathbb {R} _ {> 0}、\ oplus）$ どこで $$$f$ -次のような同型：

$$$f（x \ oplus y）= f（x）+ f（y）$

そして、それに応じて、 $$$g$ -逆に $$$f$ ：

$$$g（x + y）= g（x）\ oplus g（y）$ 。

次に、関心のあるセットを定義します。

$$$W _ {\ oplus} = \ lbrace a_ {2} f（2）+ a_ {3} f（3）+ \ dots + a_ {n} f（n）+ \ dot \ vert \ forall m \ in \ mathbb {N}、a_ {m} \ in \ mathbb {N} \ rbrace \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace$

$$$\右矢印W _ {\ oplus} \サブセット\ mathbb {R} _ {> 0}$

そしてみましょう $$$F（x、y）= f（x）+ f（y）$ 。 次に：

$$$g（F（x、y））= x \ oplus y$

そして $$$\ mathbb {T}$ -セットの画像 $$$W _ {\ oplus}$ 表示する $$$g$ 。

そして最後に $$$\ mathbb {P} _ {\ oplus} = \ lbrace p \ in \ mathbb {T} \ vert \ forall w_ {1}、w_ {2} \ in W _ {\ oplus}、g（w_ {1} + w_ {2}）\ neq p \ rbrace$ -操作のための多くの素数 $$$\ oplus$ 。

今では、おなじみの例でこれらの定義を明確にするのは簡単です。 乗算の演算では、 $$$f（x）= log_ {2}（x）$ 。 たくさん $$$W$ あれですか $$$log_ {2}（\ mathbb {N}）$ 。 これがなぜ重要なのかを止めて説明する価値があります。

接続自体

実際、同型を使用して、素数に関するすべての問題の複雑さは、非合理的な対数の和に関する問題と同等であることがわかりました。 つまり、一連の数値を使用した例で見たように $$$\ pi$ 2、カオスをもたらすのは不合理です。 だから、ここでは、対数の非合理性は、ほぼ無秩序な方法で数列に素数を分配します。 セット内のペアnとmの順序付けには困難があります。たとえば、 $$$\ lbrace n + mlog_ {2} 3 \ rbrace$ 。 つまり、数値の単純さは、たとえば、数値の小数点以下の桁数に直接依存します $$$log_ {2} 3$ 。 しかし、乗算だけでなく、一般に任意の2項演算に対して素数を定義しました。 私たちの素数は決して一意ではないことを示すためにこれを行いました。

RSA

二項演算x + xy + yの場合：

$$$\ mathbb {P} = \ lbrace 2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36,40,42,46 ... \ rbrace$ 。

このセットのランダム性は、自然数の同型の非合理的な値によって特徴付けられます。 さらに、同型は初等関数の観点からは表現されていないようです。 ここでは、操作により、通常の素数の分布とは明らかにその分布が独立している他の素数を構築しました。 これにより、同型が無理になるように、任意のバイナリ演算でRSAを構築できます。 結局のところ、対数の関数は暗号解読者にとっては「良い」ものです。 そして、ここで彼女は全く予測不可能な方法で行動します。 可換二項演算が決定される同型を構築することは可能であり、逆も同様です。



任意の素数を基礎として、合成数を因数分解する問題を、ほぼ任意の無理数を与えられたセットの他の2つの合計に分解する問題に変更します。 このタスクはクラスNPに属している必要があることを教えてくれます。

結論として

数学では無限の数の同様の問題が発生するため、人類は素数に関する多くの問題をまだ解決していません。 それについて自然に何をすべきか疑問に思うでしょう。 私の提案は、数論からのすべての定理を足し算や掛け算ではなく、足し算と自然数で閉じられた任意の可換二項演算について考えることです。 素数に関する各ステートメントは、操作の特定のプロパティの結果にすぎません。 たとえば、素数の無限大は、操作の単調さとそのかなり急速な成長の結果です。 しかし、これは別の記事のトピックです。 ご清聴ありがとうございました。