この記事は、数学分析の美しくて難しい定理の新しい証拠を提供し、専門的な数学学校の高校生がアクセスできるように述べられています。

させる $$$f（x）$ -無限に微分可能な実関数、および各点 $$ 自然があります $$$n$ そのような $$$f ^ {（n）}（x）= 0$ 。 それから $$$f（x）$ 多項式。

証明

閉集合のシステムでのベールの定理が必要です。

1.させる $$$H$ そして $$$F_ {1}、F_ {2}、...、F_ {n}、...$ 線の閉じたサブセット、および $$$H \ neq \ varnothing$ そして $$$H \サブセット\ bigcup \ limits_ {n} F_ {n}$ 。 それから $$$H$ のいずれかに含まれるポイントがあります $$$F_ {n}$ その周辺とともに。 より正確には、ポイントがあります $$$x \ in H$ 、自然 $$$n$ そして $$$\ varepsilon> 0$ そのような $$$（x- \バレプシロン; x + \バレプシロン）\キャップH \サブセットF_ {n}$ 。

確かに（矛盾により）、ポイントを選択します $$$x_ {1} \ in H$ そして周囲でそれを囲みます $$$\ Delta_ {1} =（x- \ varepsilon_ {1}; x + \ varepsilon_ {1}）$ どこで $$$\ varepsilon_ {1} <1$ 。 ベールの定理の記述は正しくないと仮定しました。 手段 $$$\ Delta_ {1} \ cap H \ not \サブセットF_ {1}$ 。 選ぶ $$$\ Delta_ {1} \キャップH$ ポイント $$$x_ {2} \ notin F_ {1}$ 。 サラウンド $$$x_ {2}$ 間隔 $$$\ Delta_ {2} =（x_ {2}-\ varepsilon_ {2}; x_ {2} + \ varepsilon_ {2}）$ この間隔の終わりがポイントになるように $$$x_ {2}-\ varepsilon_ {2}$ そして $$$x_ {2} + \ varepsilon_ {2}$ にある $$$\ Delta_ {1}$ 、そして $$$\ varepsilon_ {2} <\ frac {1} {2}$ 。 仮定により $$$\ Delta_ {2} \ cap H \ notin F_ {2}$ 。 これにより、選択することができます $$$\ Delta_ {2} \キャップH$ いくつかの点 $$$x_ {3} \ notin F_ {2}、...$ プロセスを継続して、間隔のネストされた収縮シーケンスを構築します $$$\ Delta_ {1} \ supset \ Delta_ {2} \ supset ...$ それは明らかです



$$$x_ {1}-\ varepsilon_ {1} <x_ {2}-\ varepsilon_ {2} <... <x_ {n}-\ varepsilon_ {n} ...$ 、（1）

$$$x_ {1} + \ varepsilon_ {1}> x_ {2} + \ varepsilon_ {2}> ...> x_ {n} + \ varepsilon_ {n} ...$ （2）



すべてのギャップから $$$\ Delta_ {i} \ cap H \ neq \ varnothing$ それから $$$\ lim _ {i \ to \ infty}（x_ {i}-\ varepsilon_ {i}）= \ lim_ {i \ to \ infty}（x_ {i} + \ varepsilon_ {i}）= y、y \ H$ 、および（1）および（2）から $$$y \ in \ Delta_ {i}$ それぞれについて $$$i$ 。 だから私たちはポイントを見つけました $$$y \ in H$ 、しかしどのセットにも横たわっていない

$$$F_ {i} \ファントム{1}（i = 1,2、...）$ 。

この点の近傍に関数がある場合、実線上の点は規則的であると言います。 $$$f（x）$ 多項式です。 すべての規則的な点の集合は $$$E$ 。 多くの $$$E '$ に追加 $$$E$ によって示す $$$F$ それを不規則なポイントのセットと呼びます。 （私たちはそう言う $$ それから $$$x$ -間違った点）。

2.セグメントの各ポイント $$$[a; b]$ 修正してから狭める $$$f（x）$ に $$$[a; b]$ 多項式です。

確かに、すべてのポイントについて $$$t \ in [a; b]$ 狭まるような間隔があります $$$f（x）$ この区間では多項式です。 つまり 各ポイントには間隔があり、いくつかの自然な $$$n$ あれ $$$f ^ {（n）}（x）$ この間隔でゼロに等しい。



セグメントのコンパクトさから $$$[a; b]$ そのような自然が存在することになる $$$m$ あれ $$$f ^ {（m）}（x）= 0$ どこでも $$$[a; b]$ したがって $$$f（x）$ 多項式です。

3.半区間の各ポイント $$$[a; b）$ 正しい

狭め $$$f（x）$ に $$$[a; b）$ 多項式です。

証明。 増加するシーケンスを検討する $$$a = a_ {1} <a_ {2} <a_ {3} <... <a_ {n} <...$ そのような $$$a_ {n}$ に収束する $$$b$ 。 前の段落で証明したように、各セグメントで $$$[a_ {1}; a_ {2}]、...、[a_ {1}; a_ {n}]、...$ 狭め $$$f（x）$ 多項式です。 させる $$$P_ {k}（x）$ -多項式と一致 $$$f（x）$ セグメント上 $$$[a_ {1}; a_ {k + 1}]$ 。 それは明らかです $$$P_ {k}（x）= P_ {1}（x）$ すべてのために $$$k = 2,3、...$ だから $$$P_ {1}（x）$ と一致する $$$f（x）$ に $$$[a; b）$ 、そしてその時点で $$$b$ 。 （それを思い出してください $$$P_ {1}（x）$ そして $$$f（x）$ どこでも連続 $$$R$ ）



前のものと同様に、それを証明するのは簡単です：

4.半区間の各ポイント $$$（a; b]$ または間隔 $$$（a; b）$ 正しいです $$$f（x）$ -多項式オン $$$[a; b]$ 。

不規則な点の研究に進みます。 セットポイント $$$F$ 。

5.多くの $$$F$ 孤立したドットは含まれません。

本当に。 させる $$ 孤立点です。 その後、いくつかの $$$\ varepsilon> 0 \ファントム{1} [a- \ varepsilon、a）$ そして $$$（a、a + \ varepsilon]$ 適切なポイントで構成されています。 狭める手段 $$$f（x）$ に $$$[a- \ varepsilon; a]$ そして $$$[a; a + \ varepsilon]$ 多項式。 十分に大きいことは明らかです $$$n$ （ $$$n$ これらの各多項式には次数が必要です） $$$f ^ {n}（x）$ どこでもゼロになります $$$[a- \ varepsilon; a + \ varepsilon]$ 。 つまり $$$a$ 正しい点です。

6.セットさせて $$$F$ 間違ったポイントは空ではありません。 置く $$$E_ {n} = \ {x：f ^ {（n）}（x）= 0 \}$ 。 それは明らかです $$$F \サブセット\ビッグカップ\制限_ {n} E_ {n}$ そしてそれぞれ $$$E_ {n}$ 閉じた。 ベイルの定理（1を参照）から、間隔があることがわかります。 $$$（a; b）$ そのような $$$（a; b）\ cap F \ neq 0$ そして $$$（a; b）\ cap F$ のいずれかにあります $$$E_ {n}$ 。

機能を考える $$$f ^ {（n）}（x）$ 。 この関数はすべての点でゼロです。 $$$x \ in F \ cap（a; b）$ 。 それぞれの間違ったポイントがセットの制限であるため $$$F$ それから $$$f ^ {（n + k）}（x）= 0$ すべての整数について $$$k \ geq 0$ そしてすべて $$$x \ in（a; b）\ cap F$ 。



それを証明しましょう $$$f ^ {n}（x）$ 等しい $$$0$ どこでも $$$（a; b）$ 。 そうではない。 次にあります $$$c \ in（a; b）$ そのような $$$f ^ {（n）}（c）\ neq 0$ 。 多くの $$$F$ 空ではなく閉じていない場合、その中にポイントを見つけます $$$d$ に最も近い $$$c$ 。 明確にするために、 $$$d <c$ 。 機能 $$$g（x）= f ^ {（n）}（x）$ 何度も微分可能 $$$[d; c]、\ファントム{1} g（d）= 0$ およびすべてのデリバティブ $$$g ^ {n}（d）= 0$ 。 以来 $$$g（c）\ neq 0$ その後、ラグランジュ有限増分定理により $$$g ^ {（n）}（x）$ どこでもゼロにすることはできません $$$（d; c）$ 自然ではない $$$n$ 。

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スロボドニク・セミヨン・グリゴリエビッチ 、

「チューター：数学」アプリケーションのコンテンツ開発者（ Habréの記事を参照 ）、物理学および数理科学の候補者、モスクワの学校179で数学の教師