🈴 🏂 🗒️ データジオメトリ6.スターグラフ 👨🏾‍🔧 🖱️ 👨🏾‍🎨

これは、2座標および2座標に関するシリーズの最終記事です。単純な構造のグラフを考えて、少しの研究に使用してください。データとして多くの整数を使用します-これは、アイデアを示すのに便利なフィールドです。

1.シンプレックスとグラフ

2. 2座標および2座標の決定

3.ペアのスカラー積

4.グラフのスペース

5.基底変換

6.星を数える

最小接続性グラフ

互いに独立して見え、特定の空間の基礎の頂点（フレーム）として機能できる要素のセットがあるとします。これに基づいてメトリックを定義するには、要素が何らかの形で相互に接続されている必要があります。すべての要素が同等のままであるように、そのような関係はどのように見えるべきですか

問題を定式化します。 1）すべての頂点が同じであり、2）一般的な接続が最小であるグラフのトポロジを決定する必要があります。最初の条件は、たとえば、すべての頂点がすべてに接続されている完全なグラフによって満たされます。しかし、そのような接続は自然界ではめったに見られず、そのようなグラフは2番目の条件を満たしません。

一方、チェーンは最小限に接続されています（2番目の条件）-各ノードは隣接ノードとのみ接続されていますが、1番目の条件はここでは満たされていません。ノードがすべて同じである場合、ノードはどのネイバーに接続する必要がありますか？

問題の条件を満たす答えは、グラフの星です。このようなグラフでは、指定されたすべての頂点は相互接続されていませんが、特定の中央ノードに接続されています。どのノードがセントラルとして選択されていますか？そのようなノードがセットに表示されない場合、特定の頂点の最小の接続性を確保するために、一種の仮想ノードとしてセットに追加する必要があります。中央ノードはセット自体であり、そこに要素が入ると言うことができます。スターグラフは条件を満たします。その接続性は最小限で、すべての頂点（中央の頂点を除く）は同等です。

整数の空間の基礎

ご存知のように、すべての合成数は素数の積に分解されます。次に、素数のセットが基本セットを決定します。素数は相互接続されていません。

単位は整数の中で際立っています-すべての数字（単純な数字も）は1で除算されます。ユニットの特別な役割を強調するには、スターグラフの中央に配置します（CPDVを参照）。したがって、すべての素数はユニットに関連付けられます。

グラミアンスターベース

星のグラフの構造が実際に空間のメトリックを決定しました。素数と星の中心（単位）間の距離を1にすると、2つの素数間の距離の2乗は2になります。

基本要素（ここでは-素数）のノルムはゼロに等しい（要素はローカル）。つまり、グラミアンの値は既に決定されています。

g （ A 、 B ） = - q （ A 、 B ） / 2 q u a d （ 6.1 ）

$g（A、B）= -q（A、B）/ 2 \ quad（6.1）$

完全なグラミアンの場合、ベースセットに法線を追加します

m a t h b f z

$\ mathbf {z}$ 。この場合、基底は要素で構成されているため、要素と法線の積は1です。その結果、素数基底のグラフ星グラミアンの形式を取得します。

\ begin {array} {c | cccとccc}

Gm＆*＆1＆2＆3＆5＆7＆11＆... \\

\ hline

*＆＆1＆1＆1＆1＆1＆1＆1＆... \\

1＆1＆＆-0.5＆-0.5＆-0.5＆-0.5＆-0.5＆... \\

2＆1＆-0.5＆＆-1＆-1＆-1＆-1＆-1＆... \\

3＆1＆-0.5＆-1＆＆-1＆-1＆-1＆-1＆... \\

5＆1＆-0.5＆-1＆-1＆＆-1＆-1＆... \\

7＆1＆-0.5＆-1＆-1＆-1＆-1＆＆-1＆... \\

11＆1＆-0.5＆-1＆-1＆-1＆-1＆-1＆＆... \\

...＆...＆...＆...＆...＆...＆...＆...＆...＆\\

\ end {array}

ラプラシアン星

グラミアンを反転すると、ラプラシアンが得られます。

G m c d o t L m = I

$Gm \ cdot Lm = I$

\ begin {array} {c | cccとccc}

Lm＆*＆1＆2＆3＆5＆7＆11＆... \\

\ hline

*＆m / 4＆1-m / 2＆0.5＆0.5＆0.5＆0.5＆0.5＆... \\

1＆1-m / 2＆m＆-1＆-1＆-1＆-1＆-1＆-1＆... \\

2＆0.5＆-1＆1 &&&&&&& \\

3＆0.5＆-1 && 1 &&&& \\

5＆0.5＆-1 &&& 1 &&& \\

7＆0.5＆-1 &&&& 1 && \\

11＆0.5＆-1 &&&&&& 1および\\

...＆...＆... &&&&&&& ... ...

\ end {array}

コーナーには、基準のオルソセンターの標準があります

r s

$rs$ 空間の次元に依存する

m

$m$ 、星の光線の数に等しい：

r s = m / 4

$rs = m / 4$ 。

小ラプラシアン

L

$L$ スペースの基礎の接続構造について説明します。すべての頂点が単一性のみで接続されていることがわかります。つまり、トポロジは実際に星です。

基底のラプラシアンとグラミアンは空間の計量テンソルです。次に、要素の座標を見てみましょう。

要素の双座標

合成番号

X

$X$ 基底要素の線形結合として表現できます

A_{i}

$A_i$ ：

X = b m^{i} （ X ） A_{i} q u a d （ 6.2 ）

$X = bm ^ i（X）\ A_i \ quad（6.2）$

分解係数

b m （ X ）

$bm（X）$ 要素の双座標です。

素数の分解係数は既知です。たとえば、12という数字は2デュースと1トリプル（

12 = 2^{2} c d o t 3^{1}

$12 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 1$ ）それは

b^{2} （ e 12 ） = 2 、 b^{3} （ e 12 ） = 1

$b ^ 2（e12）= 2、b ^ 3（e12）= 1$ 。

数字の前にプレフィックスを使用します

e

$e$ これらがスカラーではなく、空間の要素であることを強調します。

素数に加えて、基底には単位と法線も含まれます。拡張から明示的な形式で抽出します（6.2）：

X = w （ X ） m a t h b f z + b^{1} （ X ） e 1 + b^{i} （ X ） P_{i} q u a d （ 6.3 ）

$X = w（X）\ \ mathbf {z} + b ^ 1（X）e1 + b ^ i（X）\ P_i \ quad（6.3）$

ここに

P_{i}

$P_i$ は、基底の素数のセットを意味します。

2つの未知の係数（数の軌道

w （ X ）

$w（X）$ ユニットのバイコンポーネント

b^{1} （ X ）

$b ^ 1（X）$ ）2つの要件を使用します。

最初は、すべてのスペースの数が要素であるという事実から、つまり、それらのコンポーネントの合計（または同じもの-法線の積）が1に等しくなければならないという事実から得られます。ここから次のものが得られます。

b^{1} （ X ） = 1 - b^{p} 1_{p} = 1 - s 1 （ X ） q u a d （ 6.4 ）

$b ^ 1（X）= 1-b ^ p \ 1_p = 1-s1（X）\ quad（6.4）$

ここに

s 1 （ X ） = b^{p} 1_{p}

$s1（X）= b ^ p \ 1_p$ -素数の係数の合計。

整数の場合、係数

b^{p}

$b ^ p$ 正の場合、ユニティでの係数はゼロまたは負になります。

2番目の条件は、ローカリティの要件です。すべての数値には、ゼロのノルムが必要です。それから

n （ X ） = （ w （ X ） m a t h b f z + b^{i} （ X ） A_{i} ）^{2} = 2 w （ X ） + （ b^{i} （ X ） A_{i} ）^{2} = 0

$n（X）=（w（X）\ \ mathbf {z} + b ^ i（X）\ A_i）^ 2 = 2 w（X）+（b ^ i（X）\ A_i）^ 2 = 0$

金額を開示した後

（ b^{i} （ X ） A_{i} ）^{2}

$（b ^ i（X）\ A_i）^ 2$ 基底要素のスカラー積の特性を考慮に入れる

G m

$Gm$ 単純な関係が得られます。

w （ X ） = （ s 1 （ X ） - s 2 （ X ） ） / 2 q u a d （ 6.5 ）

$w（X）=（s1（X）-s2（X））/ 2 \ quad（6.5）$

s 2 （ X ） = （ b^{p} ）^{2} 1_{p}

$s2（X）=（b ^ p）^ 2 \ 1_p$ -素数の2乗係数の合計。

s 1 （ X ）

$s1（X）$ 、

s 2 （ X ）

$s2（X）$ 数字の集合体です。

数が単位成分のみで構成されている場合、その軌道はゼロになります（基底の球に属します）。したがって、すべての原色の軌道はゼロです。

数値をコンポーネントに分解する例

単純な因子への数の展開の係数を知っているので、空間におけるその二座標-展開の係数（6.3）を決定できます。

例として、6-kiの2座標を計算します。

その簡単な因数分解は次のとおりです。

6 = 2 c d o t 3

$6 = 2 \ cdot 3$ 。つまり、2つと3つの2つの単位係数があります。次に、係数の合計は

s 1 （ e 6 ） = 2

$s1（e6）= 2$ 、および平方和は

s 2 （ e 6 ） = 2

$s2（e6）= 2$ 。

残りのバイコンポーネントは、式（6.4）、（6.5）から取得できるようになりました。

b^{1} （ e 6 ） = 1 - s 1 （ e 6 ） = - 1 、 q u a d w （ e 6 ） = （ 2 - 2 ） / 2 = 0

$b ^ 1（e6）= 1-s1（e6）= -1、\ quad w（e6）=（2-2）/ 2 = 0$ 。

6の軌道はゼロであることがわかります。分解のタイプ：

e 6 = - e 1 + e 2 + e 3

$e6 = -e1 + e2 + e3$

集計の値と最初の17個の数値の差：

\ begin {array} {c | c}

a＆1＆2＆3＆4＆5＆6＆7＆8＆9＆10＆11＆12＆13＆14＆15＆16＆17 \\

\ hline

s1＆0＆1＆1＆2＆1＆2＆1＆3＆2＆2＆1＆3＆1＆2＆2＆4＆1 \\

s2＆0＆1＆1＆4＆1＆2＆1＆9＆4＆2＆1＆5＆1＆2＆2＆16＆1 \\

s2-s1＆0＆0＆0＆0＆2＆0＆0＆0＆0＆6＆2＆0＆0＆2＆0＆0＆0＆12＆0 \\

\ end {array}

最初の（複合）数値の2座標（テーブル列）：

\ begin {array} {c | c}

Bm＆4＆6＆8＆9＆10＆12＆14＆15＆16＆18＆20＆21＆22＆24＆25 \\

\ hline

\ mathbf {z}＆-1＆0＆-3＆-1＆0＆-1＆0＆0＆0＆-6＆-1＆-1＆0＆0＆-3＆-1 \\

1＆-1＆-1＆-2＆-1＆-1＆-2＆-1＆-1＆-1＆-3＆-2＆-2＆-1＆-1＆-3＆-1 \\

\ hline

2＆2＆1＆3＆＆1＆2＆1＆＆4＆1＆2＆＆1＆3＆\\

3＆＆1＆＆2＆＆1＆＆1＆＆2＆＆1＆＆1＆\\

5＆＆＆＆＆＆1＆＆＆1＆＆＆＆1＆＆＆＆＆2 \\

7＆＆＆＆＆＆＆＆＆＆1＆＆＆＆＆＆＆1＆＆＆\\

\ end {array}

行名-基礎の要素、列名-合成数。

通常の分解係数

m a t h b f z

$\ mathbf {z}$ 数の軌道です

w

$w$ 。軌道が数字の性質を記述する上で重要な役割を果たさなければならないことを理解するために、数論の専門家である必要はありません。

数値の二座標

定義により、数の二座標は数のスカラー積と基底の要素のセットであり、ここでは法線と単位で補われた素数のセットです。

したがって、2座標成分の値を取得するには、数値の線形分解（6.3）に基底の対応する要素を掛ける（スカラー）で十分です。空間の法線による乗算はあまり面白くありません-それは単一性を与えます。つまり、数値は空間の要素です。

単一で二成分の値を見つけます。乗算（6.3）

e 1

$e1$ 、（6.4）および（6.5）を考慮して取得します。

d m_{1} （ X ） = - s 2 （ X ） / 2 q u a d （ 6.6 ）

$dm_1（X）= -s2（X）/ 2 \ quad（6.6）$

つまり、単一性に対応する二成分（ここでは星グラフの中心）は、素数（ここでは星の光線）に対応する二成分の平方の合計を反映します。

同様に、残りの二成分（素数に対応）を表現できます：

d m_{p} （ X ） = b^{p} （ X ） - （ s 2 （ X ） + 1 ） / 2 q u a d （ 6.7 ）

$dm_p（X）= b ^ p（X）-（s2（X）+ 1）/ 2 \ quad（6.7）$

スターグラフの基底にある2成分と2成分は、スカラーによってのみ異なることがわかります。スカラーは、ユニットの2成分で表現できます。

b^{p} （ X ） - d m_{p} （ X ） = 1 / 2 - d m_{1} （ X ） q u a d （ 6.7.1 ）

$b ^ p（X）-dm_p（X）= 1/2-dm_1（X）\ quad（6.7.1）$

数字間の距離

要素の差のノルムは、要素間の距離に対応します。座標がわかっている場合、数値のノルムはゼロなので、座標間の畳み込みを通じて数値間の距離を計算できます。

q （ X 、 Y ） = - 2 g （ X 、 Y ） = - 2 b m^{i} （ X ） d m_{i} （ Y ） q u a d （ 6.8 ）

$q（X、Y）=-2 g（X、Y）= -2 bm ^ i（X）\ dm_i（Y）\ quad（6.8）$

これに基づいて、相互座標はアイデンティティ（6.7）に基づいて、つまりメトリックテンソルを使用せずに作成できます。

例として、9番目と8番目の距離を計算してみましょう。

q （ e 8 、 e 9 ） = - 2 g （ e 8 、 e 9 ） = - 2 b m^{i} （ e 8 ） d m_{i} （ e 9 ） = [- 3 、 - 2 、 3] [- 2 、 4 、 5] = 6 - 8 + 15 = 13

$q（e8、e9）=-2 g（e8、e9）= -2 bm ^ i（e8）\ dm_i（e9）= [-3、-2、3] \ [-2、4、5] = 6-8 + 15 = 13$

最初の11個の数値の距離行列の表示

\ begin {array} {c | cccとcccccとc}

Q＆1＆2＆3＆4＆5＆6＆7＆8＆9＆10＆11 \\

\ hline

1＆-＆1＆1＆4＆1＆2＆1＆9＆4＆2＆1 \\

2＆1＆-＆2＆1＆2＆1＆2＆4＆5＆1＆2 \\

3＆1＆2＆-＆5＆2＆1＆2＆10＆1＆3＆2 \\

4＆4＆1＆5＆-＆＆5＆2＆5＆1＆8＆2＆5 \\

5＆1＆2＆2＆5＆-＆3＆2＆10＆5＆1＆2 \\

6＆2＆1＆1＆2＆3＆-＆3＆5＆2＆2＆3 \\

7＆1＆2＆2＆5＆2＆3＆-＆10＆5＆3＆2 \\

8＆9＆4＆10＆1＆10＆5＆10＆-＆13＆5＆10 \\

9＆4＆5＆1＆8＆5＆2＆5＆13＆-＆6＆5 \\

10＆2＆1＆3＆2＆1＆2＆3＆5＆6＆-＆3 \\

11＆1＆2＆2＆5＆2＆3＆2＆10＆5＆3＆-\\

\ end {array}

マトリックスの要素は、空間内での数値の距離を反映しています。

シリーズが完了しました。私たちは計画したことすべてを話しました（そしてさらに少し）。要素に基づいた座標系に関連する基本的な概念と関係を示します。結果の式は、あらゆる線形空間、あらゆるデータに適用できます。

データジオメトリ6.スターグラフ