斜め錐台。 視界の面取りピラミッドの内側

以下の資料は、おそらくOpenGLの経験があるプログラマーによく知られているか、よく知られていますが、一方、 斜め錐台モデルを思い出し、 Habr読者のOpenGLの問題と一般的な3次元モデリングへの関心を部分的に観察（および共有）することが適切であることがわかりました。一部は、 「...使用するために、投影マトリックスがどのように機能するかを理解する必要はありません」など、一部の開発者の位置に不一致があるためです。一部は、Eric Lengelへの敬意と感謝からです。 Eric Lengyelは 、その独創的な考えがOpenGL環境での作業方法を豊かにしました。



シミュレートしたシーンに鏡面反射があり、「斜め錐台」を忘れた、または聞いていない場合、この記事は役に立たない可能性があります。



Eric Lengelに従い、私はOpenGL表現の表現をより厳守しましたが、以下の考慮事項はすべて他の3次元モデリングシステムに容易に拡張できます。

3D反射

3Dシーンに反射面が存在する場合、それ自体が反射面の平面によるメインビューカメラの反射である補助ビューカメラを使用してシーンをレンダリングすることにより、反射を取得するのが一般的です。











図 1.上部カメラは、反射面を含むシーンがレンダリングされるメインカメラです。 下のカメラは、反射をレンダリングするために設計された補助カメラです。 X軸は、両方の可視性のピラミッド（ OpenGLに採用されたビュー ）の観測者に向けられており、反射をレンダリングするカメラの座標系が左手であることは明らかです。



補助カメラ（反射カメラ）で反射をレンダリングすると、観察者と反射面の間にあるオブジェクトの一部が結果のレンダリングに表示され、画像に不要なアーティファクトが形成されることがあります。 最終レンダリングから反射シーンの不要な部分を切り取るために、プログラマーは、反射カメラから観察される3次元シーンのボリュームの一部を仮想サーフェスに制限し、さまざまな手法を使用して、このサーフェスの境界を超えるシーンの視覚化を中断します。



3Dモデリングの一般的なイデオロギーにおける個々のレンダリング実装に固有のフラグメントシェーダーなどに「破棄」命令を使用できます（たとえば、AGALMiniAssemblerの「kill」）。ただし、 どのプロセッサでも同等に機能するユニバーサルソリューションが必要な場合は、価値があります。エリックレンゲルが提案した手法に注意してください。



エリックランゲルのアイデアは、視界のピラミッドの近くの計画が一種の割線平面になり、最終レンダリングで望ましくないメインシーンのボリュームを分離するように投影行列を修正することでした。



以下では、 分析ジオメトリの基本表現を思い出してください。

宇宙の平面

便宜上、次の表記法に従います。

飛行機

空間3Dポイント およびベクトル 、3Dポイントのコレクション 以外 方程式を満たす 点を持つ平面を定義します この平面に属する点の1つであり、ベクトル は法線ベクトルです。









図 2.平面はその点によって完全に決定されます および法線ベクトル 。



多くの場合、平面方程式は次のように記述されます。









どこで そして そこにある 法線ベクトル成分 、そして 。 価値 は、原点から平面までの距離に等しくなります （ 法線ベクトルの成分をその長さで割ったものが、面の単位法線ベクトルの方向余弦であることに注意してください ）。



正規化された法線ベクトルの場合、式









平面から任意の点までの距離を見つけるために使用できます 。 もし 、 平面にあります。 場合に ポイント 平面のプラス側、つまり 平面の法線ベクトルから ポイント 平面の法線ベクトルの方向と反対の方向に、平面から離れて配置されている 。

平面を4次元ベクトルで書くと便利です。 簡単に言うと、平面の方程式は次のように記述されます。 。 明らかに、任意の点に対して 均質な 4次元座標を持つ 座標が1の場合、 式 （2）は次のように書き換えられます。 どこで そしてポイント 平面にある場合 。

平面変換

平面の空間変換の特徴を理解するには、 法線ベクトルの変換に注意を払う必要があります。 ポリゴンモデルの空間変換では、ベクトル、ポリゴンの表面の接線と法線ベクトルの動作は異なります。 多くの場合、 接線ベクトルは、2つの変換された頂点間の差として表すことができます。 2つの自然に変換された点の間で、結果として、変換されたベクトルの性質は私たちの期待に沿っています。 しかし、空間変換の一般的なケースでは、行列 直交ではないので、変換ベクトルを法線ベクトルに直接適用すると、このベクトルは法線ではなくなり、ポリゴンの表面に垂直になります。



ベクトルは接線であるため そしてベクトルは正常です 同じポリゴンに属するは、変換されたベクトルのスカラー積に対して垂直のままでなければなりません そして 元のベクターと同じ条件を満たしている必要があります。 。 法線ベクトルの性質を明確にするために、いくつかの簡単な代数演算を実行します。



もし -3x3空間変換行列（接線および法線ベクトルの場合、空間変位は重要ではありません） 、変換マトリックスを見つけるという目標を設定します のために そのような









ベクトルの乗算は次のように書くことができることを覚えておいてください（完全に同等）：









以来 表現 実行された場合 どこで 単位行列です。 それから続く 。 （転置された逆変換行列によって）同様の方法で変換が行われるベクトルは共 変ベクトルですが、 接線ベクトルのように変換するベクトルは反変ベクトルです。



ただし、法線ベクトルとは対照的に、同次座標の平面にはゼロ以外の値があります -座標。4x4変換での動作をさらに調査する必要があります。



この平面内にあるポイントに対して、 法線ベクトル変換の特徴を考慮して空間変換を適用した後の、座標原点から平面までの距離 、おなじみのスカラー積により：









これらの計算で変換行列を使用しました シフト操作による回転、スケーリング、面取りの操作で補完されます。









マトリックスからマトリックスへの逆変換 通常の行列反転アルゴリズムによって検索されます：









逆行列を転置する：









私たちはそれを見ることができます 式 （5）からは、転置逆変換行列の4行目に均一座標レコードの4次元ベクトルを乗算した結果です 、つまり 飛行機用 、4x4変換行列によって記述される空間変換中の画像 表現された：









さらに、平面が空間変換の共変的性質に従うことが不可欠です。

透視投影

透視投影は、観測者の投影面に奥行き感を作成するために使用されます。透視変換行列は、可視性ピラミッドの空間を可視性キューブの正規化された空間に反映する必要があります。 可視性のピラミッドは、通常、上、下、左、右、遠、近、または濃淡、アスペクト、近、遠、という観点で表現できます。一部のOpenGL実装には、左右両方の座標系を操作するツールがあります。 各システムでのマトリックスとベクトルの乗算の違いと順序は、プログラマーにとって明らかなはずです。









図 3.コンピューターグラフィックスシステムの可視性（錐台）の角錐台は、後続のレンダリングのために、側面から投影軸に沿って可視性ゾーンを切り取ります。 ビューのカメラのスペースにある可視性のピラミッドは、ピラミッドの上部が座標系の中心にあり、カメラからのビューの方向が軸と反対になるように、右手座標系に配置されます 、近くの計画は遠くにあります 負の軸方向に沿って 、遠方の計画は遠くにあります 負の軸方向に沿って 。



一般に、可視性ピラミッドは通常の角錐台の形状である必要はなく、非対称にすることもできます。そのため、上、下、左、右、遠、近のモデルは、斜錐台の特徴を説明するのに適しています（「傾斜角ピラミッド」）。 平面で囲まれたボリュームで閉じられた可視性の立方体の 「圧縮空間」 、英語の用語との一貫性を保つために、以下クリップ領域と呼びます 。

最初の可視性ピラミッドで計画したオブジェクトのカットオフを整理するには、モデルで使用される透視投影行列を変更する必要があります。 OpenGLプログラマーは、 メインの OpenGL ドキュメントの Webサイトでこのようなマトリックスのパラメーターを見つけることができます。Flashプログラマー（AS3）はPerspectiveMatrix3Dクラスを使用する可能性が最も高く、Direct3Dプログラマーはソースを持ち、 Androidのライターは必要なすべてをandroid.opengl.Matrixクラスなどで見つけます。 .d。 メインアイデアを理解している誰かが、追加機能を使用して独自のクラスの遠近法変換を拡張することを好む可能性があります。

ビューカメラの可視性のピラミッドの空間からの点は、たとえば、次の4x4マトリックス変換（glFrustum（）-OpenGL関数によって生成された透視変換マトリックスを使用） で、標準立方体のクリップスペースにマッピングされます 。









このような変換により、 - クリップの均一空間内の変換されたポイントの座標には、符号の反対の符号があります -カメラビューの空間内のポイントの座標。



標準の変換行列による空間歪みの特徴は、図4からわかります。

-可視性ピラミッドの空間からの座標は範囲[-1、1] NDCに反映され、ビューカメラからの可視性ピラミッドの背景の背後にある無限の範囲は有限の間隔に圧縮されます。 NDC内; カメラからZ軸に沿った背景までの最終距離は、無限のギャップまで拡大します NDC; カメラの前にあるZ軸に沿った点は範囲に反映されます 。











図 4.リフレクション -ビューのカメラ空間から正規化されたデバイス座標の空間までのポイントの座標 （NDC- 正規化されたデバイス座標 ）。



可視性ピラミッドのニアプランをクリッピングプレーンに置き換えて、透視変換マトリックスの主な機能を保持する必要があります。 -デバイス（NDC）の正規化された座標で、修正されたニアプレーン上にあるポイントの座標は-1のままでなければなりません。 それ以降のすべての観測値は、任意の可逆射影行列に対して普遍的であり、 式 （10）の射影行列の使用は、変換行列を変更する一般的なプロセスを説明するためだけに役立ちます。



もし クリップのスペースを制限する平面の1つであり、変換行列 カメラ空間からクリップ空間への投影行列です。この平面を表示することは難しくありません 転置行列を使用して、クリップ空間からカメラ空間に 、 式 （9）から明らかに続きます。

視界のピラミッドのクローズアップの変更

まず、任意の投影行列から抽出します 可視性ピラミッドの6つの切断面に対応する4次元ベクトル。 エリック・ランゲルは、クリップ空間内の平面は常に変化しないという事実から進んだ。平面の法線は、主座標軸の1つに平行である。



図5は、要素「 - »4次元の均一なクリップスペースの3次元スライス 。 このスライスの中 -任意の点の座標は1であるため、 各平面の座標は1であり、もちろん、 -、 -または -coordinatesは±1です。これを表 1に示します。 表 1を理解するには、 式 （11）をもう一度注意深く見る必要があります。行列のいくつかの2列の合計 行列の対応する2行の合計のみ 。











図 5.クリップの同次立方体空間を境界付ける左、右、近、および遠の平面の法線ベクトル。 クリップ空間の上部および下部の平面の法線ベクトルは、オブザーバーとの間で方向付けられます。



タブ 1.クリップ空間の座標とビューカメラの可視性の切頭ピラミッドの空間との関係。 射影行列 カメラビューのスペースをクリップのスペースに変換し、指定 表す 行列行 。





させる -いずれの平面も図に示されていない 6、ビューカメラの座標空間で、ジオメトリを制限します。 カメラは平面の負の側 （平面ベクトルの方向とは反対側）にあるため、 。 したがって、 表 1の比率に従って、視界のピラミッドの近くの計画を置き換える予定があるのはこの平面です。 実行する必要があります：









透視投影行列の4行目を変更することはできません。 否定を反映するために使用されます 座標 -coordinate。グラフィックパイプラインをさらに正しく動作させるために必要です。ただし、式（12）の右側の2番目の項では、より自由に行動できます。















図。6.可視性ピラミッドのクローズアップを平面に置き換える 。



よれば、あるので、表 1、射影行列の3行き目はのかための発現の一部であてる遠景錐台、の変形を考慮すてる必要があてることかは明ならかであてる長期計画：









そして、この結果は透視投影では顕著な問題です。 、その後、視界のピラミッドの遠方計画と近方計画は、非ゼロの値の場合、平行でなくなります そして 。 さらに、後続のレンダリングでは、角錐台の形状が非常に望ましくなくなります。 そのために 、そしてこれはゼロへの平等を伴い、 、そこから、私たちの新しい近距離と遠距離の計画は、 図2に示されているのと同様の方法で交差すると結論しなければなりません。 7（a）。



以前にバックグラウンドで最大に達し、グラフィックラスタライズプロセスに必要なポイント深度の投影は、軸に沿った投影ではなくなりました 、むしろ、近い平面と遠い平面の間の位置に応じた値になります。 可視性ピラミッド内の方向への投影深度の依存性は、深度バッファ値の正確さに重大な影響を及ぼします。 ただし、この望ましくない効果は、ラスタライズのタスクに許容できるレベルにまで減らすことができ、ニアプランとファープランの間の角度を最小限に抑えることができます。 飛行機のように、飛行機 スケーリングすることができ、これは私たちのケースでは可能な限りそのプロパティです。 平面スケーリング 背景の向きに影響する 、したがって、間の角度を最小化するような方法でスケーリング係数を選択するだけです そして 図1に示すように、可視性ピラミッド内のシーンのコンテンツを損なうことなく。 7（b）。







図 7.（a） 式 （14）に従って修正された長距離の交差点 修正されたクローズアップ で - 「-飛行機。 （b）近接場スケーリング パラメータ 式 （17）によって導入されたものは、初期型の切り捨てを損傷することなく、遠近計画間の角度を可能な限り最小に変更します。 網掛け部分は、切り捨てられていないスペースの量を示します。



させる クリップ空間の新しいクローズアップの投影です（ 元の投影行列です）。 角度 視界のピラミッド内で、飛行機の反対側にある 次の座標があります。









ほとんどの透視投影では、コンポーネントの兆候 そして 変換された平面は、対応するコンポーネントの符号と一致します そして 、元の平面の座標分解の兆候を使用できます。

角度成分を変換した 、すでに元の角度の成分を計算できます 飛行機の反対側にある のような 。 通常の可視性のピラミッドでは、ポイント 2つの側面の交差点と平面の反対側にある背景によって形成される角度の頂点 飛行機から最も遠い ポイント。



長期計画にはポイントが含まれるように 、条件を満たしている必要があります 、 式 （14）にスケーリングプレーンを追加します 因数









そして状態から見つける スケーリング係数：









交換 に 式で （13）









また、 図5に示すように、視界のピラミッドの遠方の計画を最適に方向付けることができます。 7（b）（この置換手法は、遠方の計画が無限に削除された可視性ピラミッドに対しても正しく機能します- 無限投影行列の場合 -このため、遠方の計画が反対側の平面の 2つのジェネレータの1つと平行であることが必要です 面の角度 ）。

上記の観察の実用化

以前に行われたすべての理論的研究は、あらゆる可逆射影行列に適用されますが、例として、 式 （10）のOpenGLの標準行列が既に使用されているため、それを使用して例のチェーンを続けることは論理的です。



逆行列は次のようになります。









式 （18）で提案されているように、考慮された修正投影行列の3行目の値を取得します。 式 （17）から：









以来 、この式は次のように書くことができます









式 （19）の逆行列を乗算する 式 （15）から、 ：









射影行列を修正するための開発された方法の正確性を検証するために、カットオフ平面の位置の特定のケースを考慮します 軸に垂直 、つまり 可視性のピラミッドの通常のニアプランに平行-座標レコードでは、このような平面は次のようになります どこで -いくつかの正の距離。 視界のピラミッドの新しい投影行列では、 近い計画が遠いことを期待するのは自然です カメラから離れると、 長期計画は以前の位置に残ります。



スカラー積 そのような平面の場合は等しくなります 、および修正された射影行列の3行目を計算する式 （21）は、









-期待と一致した結果：いつ 変更された行列の3行目は、 式 （10）の射影行列の3行目と一致します。



すでに上記で提案したように、ラスタライズプロセスは、変更されていない可視性ピラミッドの場合ほど馴染みがないと予想する必要があります。 ピラミッドジオメトリの変更により、表示ピラミッド内のさまざまな方向に沿って深度バッファー値の全範囲が達成されません。 任意の方向のベクトルを取る ビューカメラのスペースで 、および正規化された 点座標 可視性のピラミッド内にあります。









どこで - 式 （17）で導入されたスケーリング係数。 のために 、 式 （24）は









スカラー積 、そうでなければポイント 視界のピラミッドの外側にあります。 状況を考えてみましょう 無限になる傾向があります：









結果の式は、正規化の達成可能な最大値を示します -方向の座標 。

探索方向 カメラの位置からの直視に沿って： 式 （26）で示される制限値は、条件が 。 この場合、 - 長距離座標 式 （16）で指定された値はゼロより小さく、 背景は可視性ピラミッドの範囲を制限する平面ではありません。 長期計画は方向に沿って到達できない可能性があるため 、 深度バッファの正規化された値の範囲は、通常のピラミッドの可視性の場合よりもかなり狭くなることがあります。



プログラマは、選択した空間モデルをさらに作業することを承認する前に、修正された（斜めの錐台）可視性のピラミッド内の正規化された座標の動作を確認することをお勧めします。 問題のある領域をタイムリーに検出することにより、彼はカメラの位置を修正するか、深度バッファーの操作を単純化して通常モードに近づけるような方法で割線面の傾斜角を変更することができます。 そのようなアクションのコストは特に重要ではありませんが、結果は完璧主義者の落ち着きに役立ちます。

式 （10）の標準の射影行列を引き続き活用して、正規化された値を調べるための次の使用例に進むのは簡単です。 -修正された可視性のピラミッド内の座標：



好きではないジオメトリを切り取り、可視性のピラミッドの近くの平面を置き換える平面が、ガイド余弦で次のように表されると仮定します。 、特定のケースでは、 正の値を持つ（平面はピラミッドの右上隅の反対側にある） -軸の負の方向の間の角度 プレーンの法線ベクトル。 正規化された変化を考慮してください -負の軸方向に沿った座標 ニアプレーンの法線ベクトルと軸の負の方向の間の角度に応じて 、カメラから背景までの距離。



スカラー積 この場合、 式 （22）を考慮して、次の結果が得られます。









変換された射影行列の3行目は次の形式を取ります。









正規化された座標の動作を検討する ポイントのカメラからの正面ビューの方向 、値の範囲から ：正規化 -この場合の座標は









最後の式は、数値研究の目的に非常に適しています。 そのような研究の例は図に見ることができます。 8.平面の法線と軸の負の方向の間の角度が大きくなると、深度バッファ用の正規化された値の範囲が急激に狭くなります また、深度バッファの精度が大幅に低下し、カメラから遠距離に近接方向を移動する可能性があります （ 近接カメラに近すぎる配置は、正規化された座標の値に悪影響を与えることが知られています）。







図 8.正規化された範囲の狭まり -投影の方向の座標 、 近 （割線）平面の法線ベクトルと軸の負の方向の間の角度に応じて 、およびカメラからニア （セカント）平面までの距離。 1に近い値は、調査中の空間ポイントが修正された長距離プランの近くにある場合の状況に対応しますが、 近距離プランは 長距離プランからかなり離れており、その法線ベクトルは負の軸方向からわずかにずれています 。 角度を大きくし、クローズアップ方向をカメラから遠ざけると、正規化された値の範囲 -座標は、ほとんどの深度バッファの操作に最も不適切な値に狭められます 。

おわりに

アプリケーションを開発する過程で、プログラマはしばしば、速度と現実的なレンダリングの妥協点を見つけなければなりません。 この記事で説明する手法により、最も広い範囲のデバイスで最大のパフォーマンスを達成できるだけでなく、シーンを編集して最も好ましい表示にすることが望ましい状況を判断することもできます。



可視性ピラミッドを変更するプロセスと、変更されたピラミッドの深度バッファーをテストするプロセスを組み合わせること（または上記の観察を考慮に入れること）は、プログラマーの困難な作業の最終結果の高品質を保証します。

---

文学

[1] Eric Lengyel、 斜めビューの錐台の深さの投影とクリッピング 。 Journal of Game Development、Vol。 1、いいえ 2（2005年3月）、pp。 5-16。



[2] Eric Lengyel、 3Dゲームプログラミングおよびコンピューターグラフィックスの数学 。 Charles River Media、2002、p。 103。