色付きのキューブで楽しい数学

パズル、規律的思考などのマインドゲームは、過大評価されにくい思考文化を形成し、想像力を発達させ、さらに、人は最もエキサイティングな形でゲームの形でこれらすべての個人的な改善を獲得します。

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かなりの歴史

「Instant Insanity」パズルは、おそらく、類似のタイプの問題を解決する際のグラフ理論の適用可能性を示すために最も人気のあるパズルの1つです。 いずれにせよ、YouTubeには、かなりの数の数学教師によるそのような使用例が数多くあります。 このパズル自体が長い間知られていると言うのは難しいですが、ケンブリッジ大学の学生数学的「アルキメデス協会」のメンバーの1人の注目を集めるほど人気が​​あり、「F。 De Carteblanche」（彼の本名、有名なコレクターでパズル年代学者のロバート・ステグマン/ ロブ・ステグマン -セドリック・AB・スミスによる）、およびアルキメデスの定期的なユーリカ第9号（1947年）の出版で注目される。 F. De Carteblancheによるエレガントなソリューションの公開後、そして今日に至るまで、数学者は時々この問題に、そしてそれから生じる問題のクラスに戻る理由を見つけます。



パズル自体は4色で塗られた4つの立方体で構成されており、結果として生じるプリズム/ピラミッドの両側に4色すべてが表示されるように、列に並べることが提案されています。 簡潔さと利便性のために、彼らはしばしばピラミッド「1x4x4」の指定を使用します。



1960年代後半、Instant Insanityという商品名がこのパズルに固執しました。 他のよく知られている商品名は「Tantaliser」、「Crazy Cubes」であり、他にも十数個ありますが、あまり知られていないが非常に一般的であり、その改変を表すクローンは少なくありません。



1969年、Science and Lifeジャーナル2号に、このパズルに関する短いメモが、科学の有名な普及者であり、パズルの愛好家であり、パズルと面白い数学の問題に関する多数の本の著者であるBronislav Ivanovich Koltovから登場しました。 その後、オデッサとキーロフ（PO Vyatka）のソ連の少なくとも2つのおもちゃ工場がこのパズルをリリースしました。





図 1. 1970年代にVyatka、Kirovによって作成されたパズル



この種のゲームを人気にするすべての機能が存在しているため、パズルは非常にエキサイティングです：それは適度に複雑で魅力的なデザインです-8ステップ以下で解決でき、任意にコンパクトにすることができます。



私が40年以上も続けてきた写真のパズルは、英国文学では「1つの解決策とのパズル」と呼ばれています（「単純な解決策」という表現も使用されます）。 この名前は最も明白ではないように思えるかもしれませんが、その起源を以下で説明します。



ここでは間違いなくパズルのグラフィカルな解決策を示しますが、その前に、資料のプレゼンテーションを簡単にするための定義をいくつか紹介します。

何のために、実際に？

「1つのソリューション」を持つ4つのキューブのセットはいくつありますか？ -そのような計算を実行する試みに出会ったことはありませんが、非常に簡単ですが、ゲームの商品名や色付きキューブの組み合わせなど、所有者の権利を保護する特許の表示がありました。 そのような計算を行うというアイデアは、パズルのコンピューター版を書くというアイデアの直後に生まれました。 「1つのソリューション」でキューブのすべての可能な組み合わせを見つけるタスクは狭すぎて具体的であるように思えるかもしれませんが、4要素アセンブリの配列を検索するために使用したアプローチは、キューブに関する他の問題の記述と形式化、およびこれらの問題の解決に非常に便利です。



実際、この記事の目的は、4要素キューブアセンブリの空間色変換の例で読者を楽しませることに加えて、問題のようなパズルを熱心に議論するコミュニティ、そのような状態を記述するためのシンプルで簡潔で理解可能な言語を提供することでもありますオブジェクトの立方体のように、膨大で苦痛な「スキャン番号2、右手系でZ軸の周りを回転する」などの代わりに。少なくとも、たまに、読書で想像力を持たなければならない人は誰でも Xフレーズは、より簡潔なの欠如に悩まさ信じて、表現力豊かな技術は、検討中のオブジェクトの状態を記述する。 特にプログラマーのオブジェクトの状態の長い説明に激怒し、その精神文化は形式化、論理、アルゴリズム化の習慣によって洗練されています。



キューブに関するいくつかの簡単な観察を形式化してみましょう。

表記法と用語の規則

将来の便宜のために、キューブの面に次のようにインデックスを付けます（ 図2を参照）。

0-底面、1-前面、2-上面、3-背面、4-左側、5-右側 。





図 2.キューブの開発



キューブの可能なすべての回転を、 ローカルの右手座標系で記述します。このシステムでは、行内のキューブの中心がZ軸上にあり、X軸が上向きになるようにキューブを配置します。





図 3.インデックスターン



文字は、対応する軸の周りの90度の回転を示し、その前のマイナス記号は、回転が-90度実行されることを示します。



この記録形式では、キューブの空間位置を簡単に修正できます。彼は、任意の複雑なターンシーケンスを実行しませんでした。たとえば、ターン（X、X）のインデックスシーケンスを取得するには、テーブルの対応する列「インデックス」でキューブインデックスの初期位置を再配置できます。



記録の便利な形式は、最初の位置からキューブの新しい空間移動まで、変換可能なインデックスを上から下に配置することです。

グラフィカルなソリューション

キューブがパズルの要件に厳密に従って、明らかにいくつかの異なる空間の組み合わせを形成できる場合、それはなぜ「ユニーク」なのでしょうか？





図 4.組み立てられたパズル



「正しい」パズルには唯一のグラフィカルな解決策があるからです！

F. De Carteblancheの決定を繰り返すには、グラフ理論への短いエクスカーションが必要です。必要な知識はあまり重要ではないため、この分野の数学についてまだ聞いたことがない人は、新しい知識を「手荷物」としてほとんど感じません。



グラフ表現の各キューブは、その反対側の組み合わせとして記述できます。たとえば、番号27のキューブ（ 図2 ）を使用すると、そのエントリは次のようになります：RY / RB / GY。

• 面と面内の色自体を書き込む順序は重要ではありません。これは、個々のキューブの面の順列がパズル解の状態に不変であることを直接示します。 この事実は最も予想されるものではないため、やや意外です。たとえば、立方体の反対側の2つの面を2回変更すると、同じ立方体になりますが、異なる空間位置にありますが、面を1回または3回変更すると、まったく異なる立方体になりますが、前の3つのセットキューブと組み合わせて、「シンプルなソリューション」を備えたパズルを形成します。 インデックスレコードを取得することにより、この観察結果を「活気づけます」。キューブの面4と5は（ 合意に従って）側面であるため、キューブの開発のテーブルから番号27、16、10、5のキューブを選択します。 図 「赤-0、黄-1、青-2、緑-3」というデジタル表示を採用したアセンブリ（決定）位置の2。
  
  
  
  [001231] - 27

[112301] - 16

[233011] - 10

[320111] - 5

. 4.


  
  
  
  
  
  観察者から隠されている側面を除いて、最初の立方体の反対側の面を交換します。[120031]-しかしこれは同じ立方体で、位置230145（Z、Z）のみです。 インデックス0と2の面を交換します：[100231]-位置210354（Y、Y）の立方体は、オブザーバーから隠された側面が交換されたことを除いて、アセンブリ内の以前の場所を取ります。 インデックス1と3の面を交換すると、キューブ[021031]が得られます。これは、032154（X、X）を回転させた後、前のものと同様に[001213]になります。 一方、アセンブリ全体は、「変更された」キューブを以前の位置に戻すとすぐに、引き続き「解決」されます。
• インデックスターンテーブル（図3）の4、7、8、13、16、20、22番のターンに注意しましょう-これらは、キューブの側面が関与しないターンであり、これらすべてのターンが適用されます同時にすべてのアセンブリブロックは、パズルの「解決策」を壊さないでください。 すなわち パズルの解が実際に観察できるキューブの空間的に異なる組み合わせ... 8。
  
  

ただし、 グラフに戻ります 。 グラフは、相互接続関係にある頂点 （ノード、ノード）の特定のセット、またはより単純にはエッジ （タイ、エッジ）で接続されていると考えるだけで十分です。 この場合、 頂点は色または色付きの面自体を想定し、リンクとして、キューブの物理的なエッジは 、グラフで選択された2つの色が考慮中のキューブの特定の実装でペアを形成することを示すという意味でのみ関連します。 エッジが同じ頂点で閉じている場合、そのような構造を持つグラフを疑似 グラフと呼び、対応するエッジをループと呼ぶのが一般的です。



図のパズルを解きましょう。 5：小文字のエントリでは、それを構成するキューブはYG / RB / RY、RY / GY / BY、GB / RG / YY、GR / YY / YBのように見えます。 各キューブの下に、それに対応するグラフの頂点とエッジの形で表現を配置し、その後、4つの疑似 グラフすべてを単一のグラフィックデザインに結合します。



実際、パズルを解くために熟考しなければならないのは、まさにこの複雑さです。

• この複合マルチグラフ内で、 2つの別々のサブグラフ （2つのパス）を区別する必要があります。各サブグラフは、1〜4-Xの番号が付けられた4つのエッジのそれぞれを使用して、4つのカラー頂点すべてを一度だけ通過します。 さらに、各頂点には、2つの出力エッジのみ、またはそこから発生するループの両端のみが必要です。 1つのサブグラフは、オブザーバーに面した「パズルソリューション」位置にある一連のキューブを表し、2番目のサブグラフは「トップ」位置にある一連のキューブを表します。 明らかに、両方のサブグラフでエッジを使用することはできません。 組み立てられたプリズムの前部と上部を同時に表すことはできません。

図 5.グラフィックパズルソリューション



マルチグラフを2つのサブグラフに分割し、これらすべての条件を観察することは、一方向でのみ可能であることがわかります。 実際、ここから、「唯一の解決策」という安定した表現が生まれました。

受け取った配列（図5のインデックス付きエントリ）の各キューブがXXZシーケンス（103254）で回転する場合、このアセンブリでは、馴染みのあるキューブ27、16、10、5を認識します。



もちろん、単一のソリューションを持たない4-dキューブのセットがあります。たとえば、それらを組み合わせて面白く思えないほど多くのソリューションがあるものです。

一般に、借りたスピーチスタンプを操作し続けているように思えます。「唯一の解決策」は最も成功する方法ではありませんが、タスクの条件に必要な最小限の組み合わせでアセンブリの簡潔で正確な定義を提供する人がいるかもしれません。 個人的に、私にとっては、最小限の組み合わせよりも多くのアセンブリの組み合わせを可能にするキューブの組み合わせは、その分類を多少困難にします。





図6 24のソリューションを使用したビルドの例

複雑さについて少し

このパズル（Instant Insanity、Tantalizer）で私がレビューしたすべてのテキストでは、その複雑さの研究は、ピラミッドのキューブに適合することができる組み合わせの総数を計算するか、キューブの可能な組み合わせの中から誤って解決策を見つける確率を計算することになりました。 さらに、これらの計算は、作者のアイデアにたどり着くために迷子になるような方法で行われることがあります。たとえば、 Wikipedia記事の作者（または作者）によると、パズルの解を誤って見つける確率は13824です。この図は作者の洞察の結果ですピラミッド内のキューブの配置は重要ではないため、新しい24のソリューションを生成し、24 x 24 x 24 x 24をこれらの24に分割して確率を見つけることは悪くありません。そして、この間違いはネットワーク全体に広がっています。 間違いなくインターネット空間の受粉者。



キューブによって形成される331776の可能な組み合わせ（もちろん、ピラミッド内で順序を変更しようとしない）には、8つのソリューションしかありません。これは、Wikipedia記事の著者41472の計算よりもわずかに高い数字を確率に与えます。解決策を見つけるための一意または必須の構成の数の観点から：3組の対向する面のそれぞれの面の1つに最初の立方体を固定するだけで十分な場合、重要な組み合わせのオプションの数は3倍になります 24x24x24。 この数字は、最初のキューブを修正したという理由だけで確率と一致します。可能な組み合わせを列挙する過程で唯一の解決策が得られます。



一方、インデックス付きの顔のターンを記録するためのフォームを使用すると、パズルの解決策がわずか8ステップで見つかることを示すのは簡単です。



図3の表を慎重に検討します。各キューブを配置できるすべての固有の空間配置には、3つの90度の回転で構成される6つの配置と、2つの回転で構成される11の配置があります。



パズルを解くために必要な最大数のステップを見つけるために、パズルソリューションの位置でキューブの組み合わせを取得し、各キューブの空間配置を変更して、 ソリューションから可能な限りの組み合わせをシミュレートすることは非常に理にかなっています。 図3の数字4、7、8、13、16、20、22のターンをすべてのキューブに適用すると、「アセンブリ」が入る可能性のある組み合わせから「等距離」になります。



3ターン（表の19〜24）を各サイコロに適用した結果の調査から始めましょう。このケースに適用されるように、6つの3ステップターンの合計の組み合わせは15になります。

<19,20,21,22>, <19,20,21,23>, <19,20,21,24>, <19,20,22,23>, <19,20,22,24>, <19,20,23,24>, <19,21,22,23>, <19,21,22,24>, <19,21,23,24>, <19,22,23,24>, <20,21,22,23>, <20,21,22,24>, <20,21,23,24>, <20,22,23,24>, <21,22,23,24>.







アセンブリ内のキューブの順序はソリューションにとって重要ではないため、これらの組み合わせの順番も重要ではありません。

20番と22番のターンのいずれかが、このターンが適用されたキューブを8つのパズルソリューションのいずれかでこのキューブが占める位置にすぐに導きます（上記参照）。 回転20が適用されたスペース固定（追加の回転は不要）キューブを検討する場合、他の5つの3ステップ位置のいずれかにあるキューブは、2つの位置20に移動できます。手順：位置19に、ターン11（19 + 11→20）、21 + 14→20、22 + 16→20、23 + 12→20、24 + 15→20に適用する必要があります（初期位置の面のインデックスを並べ替えるだけです）回転を追加する指示がある場合）：

19+11: 21+14: 22+16: 23+12: 24+15:

435102 534120 321054 240513 250431

341520 351402 230145 425031 524013

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103254 103254 103254 103254 103254







回転数22を適用したキューブを修正する場合、他のキューブの可能な遷移は次のようになります。

19 + 18→22、20 + 16→22、21 + 9→22、23 + 10→22、24 + 17→22。



合計で、ソリューションを実現するために必要なアクションは6つだけでした。



15の3ステップの組み合わせの1つだけが、ローテーションテーブルからの20番目のターンも22番目のターンも含みません。 -これは<19,21,23,24>のセットです。 おそらく、この空間配置におけるソリューションへのステップの期間は異なります。

位置19（X、X、Y）の立方体を位置16（Z、Z）に回転：19 + 1（Y）→16（Y軸の周りに立方体を90度回転することで1回だけ回転）; 残りの3つのキューブについても、キューブごとに1つの操作だけで、位置16（Z、Z）に変換できます。

19 + 3→18、21 + 6→18、23 + 5→18、24 + 2→18 -この場合、収集された決定の位置に移動するのに4ターンしかかかりませんでした。



2段階の回転の組み合わせが私たちに約束することを詳しく見ていくことに変わりはありません.8、13、16番のターンをすぐに放棄します。それらのいずれかがソリューションの位置にあるキューブの1つを修正し、たとえば、分析シーケンス<9,10,11,12>-次の操作の結果として、このシーケンスを解の8つの位置のいずれかに変換することが可能です（上記を参照）。



9 + 23（X、Y、Y）→4、10 + 6（-Y）→4、11 + 5（-X）→4、12 + 19（X、X、Y）→4または

9 + 5（-X）→7、10 + 21（X、X、-Z）→7、11 + 23（X、Y、Y）→7、12 + 3（Y）→7または

9 + 12（X、-Z）→8、10 + 9（X、Y）→8、11 + 10（X、Z）→8、12 + 11（X、-Y）→8または

9 + 10（X、Z）→13、10 + 14（Y、Z）→13、11 + 12（X、-Z）→13、12 + 18（-X、-Y）→13または

9 + 15（Y、-X）→16、10 + 11（X、-Y）→16、11 + 17（Z、-Y）→16、12 + 9（X、Y）→16または

9 + 2（X）→20、10 + 1（Y）→20、11 + 24（X、Z、Z）→20、12 + 21（X、X、-Y）→20または

9 + 24（X、Z、Z）→22、10 + 19（X、X、Y）→22、11 + 2（X）→22、12 + 6（-Y）→22または

逆回転で開始位置に戻ります。これらのいずれの場合でも、キューブで行われたすべての回転の合計は8です。

それで、いくつありますか？

私のパズルのモバイル版では、キューブの組み合わせをプレイヤーに馴染ませて退屈させたくありませんでした。また、キューブのセットの24種類の塗り直しが好奇心を長く誤解させることを望みませんでした。

さらに、自分にとって興味深いのは、4つの4色の立方体のユニークな組み合わせがいくつあるかということです。これは、「1つのソリューション」との組み合わせであり、自分自身の「塗り直し」ではありません。



キューブの68色のすべての色（単純に4色の色の数だけがBurnsideの補題で示されます）を取得し、「68のうち4つ」を検索してこれらのすべての組み合わせを見つけることができます（「一意性」と「再描画」 »）-ただし、この方法は猶予に違いはなく、機械計算に非常に時間がかかることが約束されています（後で比較したように、受け入れたものの30倍以上）。 4日目にキューブの可能な組み合わせをすぐに構築するのが最適のように思えました。 さらに、立方体の空間位置を記録するインデックス形式（表、図3）を注意深く見ると、このソートの最適化が可能になります。

• インデックスを介して記録することで、キューブカラーリングのどのカラーモデルが「唯一」（ マッチングパズルの組み合わせの最小セット）ソリューションでアセンブリに見つからないかを簡単に判断できます。56個のセットでRob Stegmannが使用する12個のダイスは、そのようなアセンブリには適していない、したがって、彼の分類のグループ5および6は、 「単純な」ソリューションのどこにも現れませんでした 。
• それぞれ4つのキューブを使用してアセンブリ自体をモデリングする段階よりも前に「不適切な」カラーモデルをふるいにかけたため、アセンブリのキューブの組み合わせを並べ替える時間を大幅に短縮できます。
• これらのフィルターは、キューブの3色彩色（パズルがありますが、ここではそれらを考慮しません）や4色彩色のパズルのように、使用するのに適しています。

図7 無効なシーケンス



図7から、反対側または隣接する非側面の色が同じであるキューブ、および側面の塗装が非側面のいずれかの塗りつぶしを繰り返すキューブは、「1つのソリューション」を持つアセンブリに存在できないことがわかります。 .k。 新しい追加のソリューションを生み出します。



かなり「適合する」キューブは、「ソリューションの一意性」の基準を満たさないアセンブリを簡単に作成することに注意してください。たとえば、24個の可能な空間位置のいずれかにアセンブリキューブを同期配置すると、アセンブリが「解決」される、図6の組み合わせ、数字25、17、15、23の「フィット」キューブで形成されます。



「1つのソリューション」で「再塗装されていない」アセンブリは、私のコンピューターの作業の1分以上の間に1073を獲得しました。これら46個のキューブは、これらすべてのアセンブリが組み合わされて図に示されています 2.このセットには10​​個のキューブがなく、その色が表示されるはずだったので、やや落胆しました。 それらは私が策定した要件を完全に満たしていました。 その後、最初に「私の」キューブの配列にそれらを追加し、通常の「 邪悪なブルートフォース 」を排除しました-その結果、生成されたアセンブリの配列は1073番のままで、これらのアセンブリに使用されるキューブのセットのみが変更されました：「新しい」キューブから4つのキューブが追加されました私のセットには、以前セットにあった2つのキューブが置き換えられました...着色の一意性の原理から排他的に生成された68個のキューブの配列に対して同じ結果が得られました。

マジックナンバー1073。

再塗装

私が見つけた1073個のアセンブリはすべて一意であり、キューブを塗り直したり回転させたりして他のアセンブリに変えることはできません。 同時に、表に示されている46個のキューブから結合された他のアセンブリは、以前に考慮されたこれらのアセンブリからの同形導関数のみになります1073アセンブリ。



これがどのように発生するかは、次の例からわかります。



持っているキューブから「1つのソリューション」でアセンブリを作成しましょう（ 図2のすべてのスキャン）-最終サンプルの1073アセンブリのうち、このセットはありませんが、これは非常に「プレイ可能な」「1ソルブパズル」です。



[001233] - 29

[123300] - 30

[230121] - 17 XX-Y (534120)

[312000] - 32







アセンブリはソリューションの位置に表示されます。 顔を次のように再描画します。黄色-青、青-黄色、それ以外の場合は1-2、2-1：



[002133] - XXZ (103254)] : [001233] - 29

[213300] - XXZ (103254)] : [123300] - 30

[130212] - XXZ (103254)] : [312021] - 46

[321000] - XXZ (103254)] : [230100] - 31







つまり、この例では、再描画によって新しいエンティティを作成することはできませんでした（ 図2に示すセットから形成されたアセンブリは、既存の1073の間で既に考慮されています）-再描画したアセンブリは、1073の最終セットに含まれていませんユニークなパズルですが、すべてのパズルの材料となる46個のサイコロで構成できます。 ただし、このようなアセンブリは同型の一例にすぎません。 通常の色の変化によって、それはすでに他のキューブからの別のアセンブリに変わります。 それにもかかわらず、「再描画」はかなりの数の「認識できない」見た目のパズルを作成します。 R. StegmannのWebサイトには、 同形的に同種のインスタント狂気パズルの十分な例があります。

「これから何が続くの？」

知的余暇の文化が瞑想的余暇の文化に取って代わると、非常に迷惑になります。 彼らの平和的な共存が可能になることを願っています。