FPGAでの修正FIRフィルターの計算

みなさんこんにちは！ デジタル信号処理のセミナーで講演することにより、この記事を書くことに触発されました。学生は、このトピックに表面的に触れ、ほとんどの部分で実際の機能について話したという事実にもかかわらず、常に修正FIRフィルターを計算する方法論に関心を向けました。 公衆が秘密の知識を望んでいるなら、なぜそれを共有しませんか。 この記事では、信号のデシメーションと補間の問題でCICフィルターのリンク後の通過帯域の周波数応答を等しくするために必要な修正FIRフィルターを計算するためのアルゴリズムをアクセス可能な形式で説明しようとします。 特に、最新のザイリンクスFPGAでのフィルターの設計を検討します。 いつものように、記事の最後に、さまざまなフィルターを計算し、フィルター補正係数のファイルを取得するための便利なスクリプトへのリンクがあります。



読者はデジタル信号処理の基本に精通しており、CICおよびFIRフィルターについて理解していることを前提としています。 始めましょう。

はじめに

ご存じのように、CICフィルターは1つの非常に重要な特性を持っているため、間引きおよび補間の問題でよく使用されます。 CICフィルターの特徴は、フィルター出力で応答を計算する乗算演算がないことです。 CICフィルターは、複数の速度または異なる速度で作業が必要なすべての場所、つまり、データストリームのデシメーションと補間が必要なタスクで使用されます。 間引きとは、信号のサンプリング周波数を下げるプロセス（データストリームの速度を下げる）を指し、補間とは、信号のサンプリング周波数を上げるプロセス（データストリームの速度を上げる）を指します。 CICフィルター-ノードDDC （デジタルダウンコンバーター）およびDUC （デジタルアップコンバーター）の不可欠な部分。









CICフィルターの周波数応答は、ローパスフィルター（ローパスフィルター）の周波数応答と同等です。 周波数応答の形状と特性のゼロの位置は、次のフィルターパラメーターの影響を受けます。次数N 、間引き/補間係数R 、微分リンクMの遅延値 そして、CICフィルターの主な欠点は、これらのパラメーターが周波数応答に与える影響にあります。 大きなフィルター次数Nおよび間引き/補間係数Rの場合、通過帯域内の結果のスペクトルは大幅に劣化します。つまり、周波数応答のメインローブの形状が歪みます。 多周波数および広帯域信号処理の多くのタスクでは、通過帯域で最も均一で矩形のスペクトルを持つ必要があります。 しかし、CICフィルターの周波数応答のグラフを見ると、通過帯域に急激に減少する曲線があります。 このような不均一性は容認できず、有用な信号エネルギーの損失とその形状の歪みにつながります。 この点で、通過帯域内のCICフィルターの周波数応答を調整しながら、減衰帯域内の干渉を最小限に抑えるという急務です。

問題の声明

次数Nとサンプリング周波数Rの変動係数が指定されているCICフィルターがあるとします。 遅延値は、移動平均フィルターではない場合、実際にはM = 1または2であり、DSP48 FPGA乗算器のノードのレジスターによって決定されます（ベンダー-アルテラまたはザイリンクスに関係なく）。 信号がフィルターのCICリンクを通過した後、周波数応答を等しくするために補正フィルターを計算する必要があります。

解決策

修正フィルターは、FIRフィルターに基づいて作成するのが最も簡単です。 このフィルターを計算するには、事前にパラメーターを決定する必要があります。

• フィルター次数またはインパルス応答の長さ-NFIR 、
• アライメントが必要な有効帯域-Fr 、
• フィルター係数の幅-Bc 、
• ウィンドウフィルタリングの存在-WIN 。

注文 -NFIR。 このパラメーターは、フィルターの周波数応答の「品質」を決定します。 FPGAのDSP設計者は、最適なフィルター次数を選択するという課題に常に直面しています。これは、次数が高いほど、周波数特性の点で優れていますが、このフィルターを実装するためにFPGAチップが費やす必要があるリソースが多いためです フィルター補正の次数の最適値は、32から128の範囲です。問題によっては、フィルターの次数が高くなり、256に達する場合がありますが、実際にはこれは意味がなく、このような長いフィルター補正は見たことがありません。 補正フィルターは小さく、より複雑なものを実装するために必要なコンピューティングリソースに影響しないようにする必要があります。 FPGAに基づくフィルターの使用について話している場合、この実装のフィルター次数は偶数と2のべき乗の倍数を設定する方が適切ですが、この要件はオプションです 。



有効帯域幅 Frとは、間引きまたは補間後の相対的な正規化されたカットオフ周波数の値を意味します。 間引き問題の場合、式Fr = Fo / Rで計算されます。ここで、Foは正規化された周波数（たとえば、0.1〜0.5）のパラメーターであり、Rは間引き係数です。 Foの値は、フィルター帯域幅を決定します。 Fr = 0.5では、フィルター補正器のゼロ周波数応答が有用な信号の帯域内に収まらないように、フィルターの次数は奇数でなければなりません。 Frの他の値の場合、フィルター次数は任意です。 これは、Matlab CADのTHEIR組み込みFIR2関数の計算の特性によるものです。



説明したアルゴリズムの係数のビット深度により 、通過帯域と障害物帯域における周波数応答の不均一性が決まります。 実際には、係数のビット深度は16〜27ビットに設定されており、これは最新のFPGAのDSP48ノードの機能に関連付けられています。 実際には、係数のビット深度を16〜18ビットに設定するだけで十分です。これにより、必要な周波数応答の均一性が適切に提供されます。 高次フィルター（たとえば、N = 256）の場合、18ビットのビット幅では不十分で、特に障害物帯域で量子化効果が現れ始めます。 したがって、高次フィルターの場合、FPGAのDSP48処理ノードの構造がこれを可能にするため、係数のビット深度を増やす必要があります（図DSP48ノードを参照）。







ウィンドウフィルタリングを使用すると、フィルター補正を適用した後、通過帯域で結果として生じる周波数応答のリップルを滑らかにすることができます。 窓関数は、計算されたFIRフィルターのインパルス応答に重畳されます（数学的には、これはスペクトルの畳み込みです）。 個人的な経験に基づいて、Kaiser関数はウィンドウ関数の最適なオプションであることに注意してください。 1つのBETAパラメーターを使用して、フィルターの周波数応答を目的のタスクに変更できます。 カイザー関数は、修正されたゼロ次ベッセル関数I0によって計算されますが、多くの標準パッケージに組み込まれています（ Matlab、GNU Octave、MathCAD ）。 物理的に、ベータパラメータは、スペクトルのメインローブ内に集中するエネルギーの割合を決定します。 BETAパラメーターが大きいほど、エネルギーが集中し、メインローブが広くなりますが、サイドローブのレベルは低くなります。 実際には、パラメータBETA = 3-11。



FIRフィルターを計算するための詳細な方法論は説明しませんが、これについては以前の記事で読むことができます。 複雑なことは何もありません-便利な方法でFIRフィルター係数を取得する必要があります。 MathCAD、GNU Octave、Matlab（FDAToolユーティリティ）、ScopeFIRアプリケーション、LabViewプログラムを使用してこれを行うか、よく知られたアルゴリズムに基づいて独自の計算方法論を記述できます。

アルゴリズム

補正FIRフィルターを計算するアルゴリズムを説明しましょう。 以下では、Matlabスクリプト言語のコード挿入を使用して、実装プロセスをよりよく理解します。



1ステップ： CICフィルターの初期パラメーターを設定します-

R = 8; % Decimation factor N = 4; % Number of stages M = 1; % Differential delay (only 1)
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

ステップ2： FIRフィルターのパラメーター（係数のビット深度、次数、ウィンドウ）と周波数応答の正規化されたカットオフ周波数を設定します-

 NFIR = 128; % Filter order, must be odd when Fo = 0.5 ! Bc = 16; % Coef. Bit-width Fo = 0.3; % Normalized Cutoff: 0.2 < Fo < 0.5; BETA = 8; % BETA parameter for Kaiser window (if IS_WIND = 'Y')
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

ステップ3：特性を計算するために、ベクトルの「離散化」のステップを選択します。 この手順に従って、必要な数字の配列を作成します。 既知の式に従ってCICフィルターを計算し、結果をデシベルに変換します。

 HCIC = (R^-N*abs(1*M*sin(pi*M*R*ff) ./ sin(pi*ff)).^N); HCICdb = 20 * log10(abs(HCIC));
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

ステップ4：有効帯域幅パラメーターFoに従って、周波数サンプルのベクトルを2つの部分に分割します。fpは通過帯域の周波数ベクトル、 fsは減衰帯域の周波数ベクトルです。 次の式に従って、カットオフ周波数Fo / Rの補償フィルターの理想的な特性を計算します。









ここで、 fは、0からFo / Rの帯域幅範囲で正規化された周波数のサンプルです。 残りのサンプルはゼロです。

 % Calculate ideal response Mp = ones(1, length(fp)); % Pass band response; Mp(1) = 1 Mp(2:end) = abs(M * R * sin(pi*fp(2:end)/R) ./ sin(pi*M*fp(2:end))).^(N); Mf = [Mp zeros(1, length(fs))];
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

得られた特性のタイプは、次の図に示されています。









ステップ5：理想的な周波数応答を使用して、指定されたパラメーター（重みウィンドウがある場合、係数のビット深度とフィルター次数）を使用して、補償FIRフィルターのインパルス応答を計算します。



フィルター補正器のインパルス応答のタイプ（計算は組み込みのFIR2関数を使用して実行され、窓関数はFIR1関数を介して計算されます）：









補正フィルターを計算するためのソースコード：

 % Calculate FIR hFIR = fir2(NFIR-1, f, Mf); % Filter length NFIR hFIR = hFIR / max(hFIR); % Double coefficients hCOE = round(hFIR*(2^(Bc-1)-1)); % Fixed point coefficients % Windowed FIR (Kaiser with BETA) if (IS_WIND == 'Y') WIND = kaiser(NFIR, BETA); % KAISER WINDOW IS USED! hWIND = fir1(NFIR-1, Fo/R, 'low', WIND); hNEW = hCOE .* hWIND;% conv2(hCOE,Hwind); hCOE = hNEW; end
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

これでフィルターの計算が完了しました。 結果は、ユーザーフレンドリーな方法でフィルター係数のファイルです。 ご覧のとおり、複雑なことはなく、プロセス全体が4〜5段階に分けられます。

• CICおよびFIRフィルターの入力パラメーターの定義、
• 理想的な周波数応答の形成、
• FIRフィルター係数の計算（ FIR2関数）、
• チェックする補正フィルターの周波数応答の構築
• 通過帯域の不均一性の計算。

サンプリング周波数が低い回路（間引きの問題）では、通常、補正フィルターはCICフィルターの後にあることに注意してください。 サンプリングレート（補間）を増やすタスクの場合、補正フィルターはCICフィルターの前にあります。 この場合のFIR補正フィルターは、より低い周波数で（デシメーション後または補間前に）動作するため、このフィルター配置は、占有される水晶リソースの量に関して最適です。



次の図は、CICおよびFIRフィルターの周波数応答と、次のパラメーターによる補正後の周波数応答を示しています。

• 間引き係数R = 11 ;
• CICフィルター次数N = 4 ;
• 回路差分の遅延。 リンクM = 1 ;
• FIRフィルターの次数NFIR = 64 ;
• 係数Bc = 16の容量。
• 正規化されたカットオフ周波数Fo = 0.4 ;
• ウィンドウ関数-使用されていません

ご覧のように、CICフィルターの周波数応答は補正されており、結果の周波数応答は視覚的に十分な直角度を持っています（赤い曲線）。

通過帯域の周波数応答の不均一性

残念ながら、周波数応答の調整はそこで終わりではありません。 帯域幅内でグラフを増やします。 次のグラフでは、ストリップに小さなビートが表示されています。









なぜそう 通過帯域の周波数応答は、CICフィルターNの次数が高くなるほど高くなります。 間引き/補間係数Rは、不均一性に影響しません。 また、補償FIRフィルターの次数は不規則性に影響します。 フィルターの次数が小さいほど、不均一性は大きくなります。 ただし、フィルターの次数が大きいほど、通過帯域の「ビート」の周波数が大きくなります。 このため、実用的な目的のために、高次の補償フィルターNFIR> 128は使用されません！ また、有効バンドはわずかな貢献をします。整列されたバンドが小さいほど、不均一性は少なくなります。



ビートに対抗するために、先ほどお話ししたウィンドウ関数が使用されます。 ウィンドウフィルタリングを使用せずにカイザー関数を使用して、拡大スケールでグラフがどのように見えるかを見てみましょう（ ベータ= 8 ）。 他のパラメーターは変更されません。

• 青-ウィンドウフィルタリングなしの結果、
• 赤-カイザーウィンドウ関数の適用。

ご覧のとおり、ウィンドウフィルタリングを使用すると、通過帯域内のビートを滑らかにすることができ、結果の周波数応答グラフが滑らかになります。



周波数応答の特性を改善する2番目の方法は、処理をいくつかの段階に分割することです。 たとえば、デシメーションは1段階ではなく、サンプリング周波数を下げるいくつかのリンクを使用して実行されます： R = R1 * R2 * ... Rn 。



一部のタスクでFPGAリソースを節約するために、修正およびシェーピングFIRフィルターを組み合わせることができます。 これを行うには、インパルス特性を乗算するか、スペクトルの畳み込みを実行する必要があります。

結果

フィルター補正を計算するために、視覚的な形式で結果を取得できるmスクリプトが記述されています。 スクリプトは、いくつかの一般的な形式のいずれかで係数データを表示できますが、必要に応じて目的に応じて追加および変更できます。

• COE-係数をCore Generatorにロードするためのザイリンクス形式、
• H -C / C ++プロジェクト（Code Composer Studio）に接続するためのヘッダーファイル、

スクリプトを実行するには、MatlabまたはGNU Octave CADソフトウェアが必要です（後者ではデバッグしていました）。 次に、結果の係数ファイルが* .COE形式でザイリンクスコアジェネレーターにダウンロードされ、補償FIRフィルターが実装されます。







ザイリンクスVivadoのFIRフィルターの概略図（合成後タブ）：

代替方法

補正フィルターを計算する別の方法が、同僚のアントノフA.Eによって提案されました。 彼は、手動モードで段階的にフィルターの周波数応答の必要な不均一性を選択し、さらなる作業のために係数をアンロードするインタラクティブなアプリケーションを書きました。 提案されているプログラムc_koeff.exeは、2つのCICフィルターのシステムの背後にあるFIRフィルター係数を修正し、CICフィルターによって導入された通過帯域内のシステム全体の不均一な周波数応答を補正するように設計されています。 FIRフィルター係数は、MATLABパッケージのFDATool環境で取得され、Cヘッダーファイルとして指定されていると想定されています。 プログラムはC ++ Builderで作成されています。 補正されたFIRフィルターの計算された係数とその周波数応答を表示するには、ZAO InSisによって開発され、 無料で配布されているISVIプログラムバージョン6以降が使用されます。 リソースのルールに違反しないように、会社の業績と適用されるソフトウェアの機能を宣伝しません。



プログラムの結果を次の図に示します。 パラメーターNpを列挙することにより、補償フィルターのスペクトル関数を取得します。 ISVIアプリケーションでは、フィルターのインパルス応答を観察することもできます。









アプリケーションの説明は、githubのソースのワードファイルにあります（以下のリンク）。

ソースコード

• Matlab / GNU Octaveのmスクリプト （FIRフィルターと補正フィルターの計算）
• インタラクティブなフィルター補正計算のためのC_koeffアプリケーション

文学

• FPGAでのデジタル信号処理-1
• FPGAでのデジタル信号処理-2
• アルテラDS（CIC補償フィルターについて）
• 間引きおよび補間問題でのCICフィルターの使用
• E.S. Eificher、Barry W. Dervis、デジタル信号処理。 実践的アプローチ
• Rabiner L.、Gold B.、デジタル信号処理の理論と応用
• 間引きおよび補間のための経済的なクラスのデジタルフィルター

ご清聴ありがとうございました！