男が市場で牛を売っていた（最適）

2017年3月14日、 Sergey_Kovalenkoは、行商人の心を刺激するタスクを公開しました。 数晩の間に、多くのコピーが破損し、会議がフルタイムであった場合、多くの目標が確実に破損していました。

以下に、問題の状態とソリューションへの1つのアプローチの考慮事項を示します。

状態

ある男は牛の転売に従事している：彼は地元住民からルーブルを一定の小さな価格で牛を買い、市場の訪問者にプレミアムで売ろうとする。 簡単にするために、買い手はソルベンシーによってnクラスに分けられ、k番目のクラスの男に近づいた人には誰でもxk番目のルーブルで牛を販売するとします。 各クラスの顧客の外観は、このクラスの特定の負荷パラメーターlk番目の特性を持つポアソンプロセスによって記述されると想定しています。 バイヤーの出現時に、Muzhikに牛がいない場合、最初の牛は並んでいませんが、取り外されて返されなくなります。

1. 人口から男性が購入した各牛は、単位時間あたり数ルーブルの飼料を食べるため、大量の牛を飼うことは有益ではありません。
2. 男性はいつでも仲間の旅行者と一緒に村にもっと牛を連れて来るようにリクエストを送ることができますが、このリクエストの履行は無料ですが、T時間かかります。
3. 予約が行われていることを考慮して、男性は牛がほとんどいない場合は牛を売ることができず、より豊かな顧客に会う機会は十分に大きいか、またはその逆です。

ほぼ無限の初期資本で長期間にわたる最適な農民戦略は何ですか？

解決策

この問題を解決するために、数学者やプログラマーによって長い間使用されてきた最も素晴らしい銃の1つ、「ティーポット法」を取得します。



パラメーターIの顧客のポアソンフローがあり、各顧客が1頭のマークアップxを支払うと仮定します。男性は常に1頭の牛を販売します。



さらに作業を進めるには、「ケトルから水を注ぐ」ことに成功するためのいくつかの追加の考慮事項が必要です。



市場のベビーベッドは非常に大きくなることがありますが、それでも最終的なサイズはmです。 顧客は顧客のままです。 一方、牛は次のようにサービスデバイスに変わります：牛が市場のベビーベッドにいるときは、サービスデバイスは占有されていません。男性が牛を売ると、新しい牛が村からその場所に来るまでサービスデバイスは忙しくなります。



今、時間tに、stable舎に牛がいて、牛が売られているとしましょう。 農民は、牛をすぐに注文するか、要求を延期するかを決定する必要があります。 重要なポイントは、Tを介して受け取る前に、彼が牛に対してどんな決定をしたとしてもです。 したがって、空いた席への牛の出産時間は、間隔から値をとるランダム変数tです。 $$$[T、+ \ infty）$ および数学的期待 $$$\上線T$ 。 この値の分布は、牛を注文するための戦略に依存します。



コメントで正しく指摘されているように、残念ながら、サービス時間の独立性を要求する必要があります。



したがって、示された制限の下での元の問題は、m個のサービスデバイスでキューイングしないキューイングシステムと同等であることがわかります。



次に、買い手が牛とともに去る可能性を計算できます。

$$

$$p = 1-p_m（I、\オーバーラインT）$$

どこで $$$p_m$ アーランの式で計算されます。 故障の確率はtの分布に依存せず、平均サービス時間のみが重要であることに注意してください。



ここで、牛ではなくストールごとに、納屋で単位時間あたりのルーブルを消費させます。 しかし、顧客が牛を買うとき、彼は上で「支払う」 $$$ut$ ルーブル。



単位時間あたりの平均利益は次のように表すことができます

$$

$$\上線r = I \ cdot（x + u \上線T）\ cdot（1-p_m（I、\上線T））-um$$

そして、タスク自体は発見することになります

$$

$$\ max_ {m、\オーバーラインT} r（m、\オーバーラインT）$$

。

結果の分析

最大rに到達した場合 $$$\上線T = T$ 可能な唯一の戦略は、販売時に牛を注文することです。



mの値を変更しようとすることはできません。なぜなら、ポアソンストリームの特性により、mが最適でない時間間隔を切り取ってそれらを接着できるからです。 そして結果として、結果は最適より悪いです。