Fierichnaya番号システム、またはなぜ1 + 10 = 100

「10.01 x 10.01 = 1000.1001」

ジョージオーウェル。 「1010001001001000.1001001000100001」











すべての自然数が有限の桁数で書かれている不合理な基盤を持つ位置番号システムはありますか？ 小数点の後に数字がない1よりも大きい数は、おそらく整数でも合理的でもありませんか？ どの1 + 10 = 100、および1 + 1 = 10.01ですか？



あります。 これは、バーグマンシステムまたはベースΦを使用した数値システム（「fi」と読みます。これはロシア語のアルファベットではなくギリシャ語の文字です）と呼ばれます。 数Φは黄金数または定数黄金比とも呼ばれ、次の式を持ちます。

本文の後の方で、私は時々それをfierichnaya（例えば8進数との類推による）数体系と呼びますが、時々そうではありません。

これは何ですか

フィリアン番号システムは、通常とは異なる位置番号システムです。 共通の10進表記の場合、各桁は10の特定の累乗に対応し（123 = 1∙10 ² + 2∙10 ¹ + 3∙10 ⁰ ）、2進数では特定の2の累乗に対応します（101 ₂ = 1∙2 ² + 0∙2 ¹ + 1∙2 ⁰ ）、その後、Bergmanシステムでは、バイナリのように、数字0と1のみがあり、各ユニットはFの特定の累乗を表します。次に例を示します。

どこに行ったの？

名前から推測できるように、バーグマンシステムは特定のバーグマンによって発明されました。 おそらく、あなたは質問があります、どのようなカリスマ的なひげを生やした男が記事の冒頭に描かれていますか。 それで、これはカリフォルニア大学バークレー校の数学代数学者、教授であるジョージ・バーグマンです。 彼は1943年にブルックリンで生まれ、14年後、まだひげも博士号も持っていなかったが、抽象的な代数にすでに想像力と関心を持っていたとき、数学雑誌で彼が発見した数体系を説明した記事を発表した （彼はそれを「タウシステム」と呼びました）、その基本的な特性とその中の算術演算のルール。 彼の記事では、立派な謙虚さで、彼は「娯楽や心の充満を除いて、このような数字システムの有用なアプリケーションは見当たらない」と認めました。 しかし、彼の評価では、彼はまったく正しくなかったことが時が示しています。 しかし、私たちは、後でフェリックス番号システムのアプリケーションについて話します。

面白いのは何ですか？

有限の桁数の任意の自然数を記録できる無理数の基礎を持つ無限に多くのシステムがあります。 たとえば、2の平方根に等しい底を持つ数値システム。 2桁ごとにのみ（基数の偶数乗に対応するもの）を使用する場合、通常の2進数システムのように使用できます。

同様に、3の平方根、2の立方根は、ベースとして私たちに合っています...さて、あなたはアイデアを得る。 ほぼすべての整数が無限小数で書き込まれる数体系も多数あります。 秘密を教えます

厳密に言えば、超越ベースと十分な数のセットを備えたシステムにはこのプロパティがあります。 pycic、e-aic、およびe-degree-pi- numberシステムでも、1を超えるすべての自然数は無限小数として書き込まれます。



Bergmanシステムは、最初のグループと2番目のグループの両方とは異なります。 その中で、1より大きい自然数はゼロではないが、小数点以下の桁数は有限です。 例：



2 = 10.01 _F

5 = 1000.1001 _F

42 = 10100010.00100001 _F

451 = 1010000001010.000100000101

1984 =（エピグラフを参照）



大まかに言って、これはパターンを少し壊します。 「小数部」と「小数部」の概念は明らかに相互に関連しているという事実に慣れています。 ただし、fierichnoyシステムでは、小数部はゼロに等しく、この場合の小数点以下の桁数は等しくない場合があります。 さらに、小数点以下の桁数がゼロに等しい場合、ゼロと1を除くすべての場合に、非ゼロの小数部分が非幻想的に存在することが証明できます。



整数に加えて、フィリアンナンバーシステムの有限桁数は、ℤ（）からの数値、つまり、次の形式のすべての数値も書き込みます。

気配りのある読者が気づいたかもしれませんが、上記の激しいエントリのいずれにも、2つのユニットが連続していない場合がありました。 これは偶然ではありません。 フィボナッチ数体系のように、バーグマン体系では、最高位の単位は2つ下の単位の合計です。 つまり、 100 _F = 11 _Fです。 これは、黄金比のユニークな特性によるものです： 2 =+ 1。 したがって、フェリックシステムでの数値の正規表記は、2つのユニットが連続しない場合です。

それに翻訳する方法は？

自然数について、Bergmanは次のアルゴリズムを提案しました。数値nのレコードがわかっている場合、小数点の前のゼロ位置にある数字の種類を調べます。 ゼロがある場合は、そこに1を書き込み、n + 1を取得します。 すでにユニットがある場合、このユニットにルール100 = 11を適用して、番号の表記を非正規化します。同時に、新たに形成されたユニットの1つが他のユニットによって既に占有されている場所に落ちた場合、最初にそれを変換します。 次に、非正規化されたレコードで、ゼロを1に変更し、正規化して戻します。 例：



4 = 101.01 _F = 101.0011 _F = 100.1111 _F

5 = 101.1111= 110.0111= 1000.0111= 1000.1001



このアルゴリズムの正当性の証明（読者の良心に任せます）から、特に、自然数は、フェリック数体系で有限表現を持っていることがわかります。 私はこれについてすでに前に話しましたが、今、あなたはそれについて私の言葉をとる義務はありません。



このアルゴリズムには、かなり悲しい時間の複雑さがあります。 次のように最適化できます。1を単純に加算する代わりに、2を連続して乗算し、必要に応じて1を加算します（たとえば、バイナリ表記から数値を取得します）。 ただし、2を掛けると、それ自体に数字が加算されます。これは、バーグマンシステムでは完全に単純な操作ではありません。これについては後で説明します。



一方、線形時間での定義により、数の線形形式を愚かに見つけることができます。 このアルゴリズムは、次のjs-codeでほぼ説明できます。

const Phi = (Math.sqrt(5)+1)/2; function toPhiBase(n){ var power = 1; var result = ""; while(power <= n){ power *= Phi; } while(n > 0){ if(power == 1){ result += "."; } power /= Phi; if(power <= n){ n -= power; result += 1; }else{ result += 0; } } return result; }
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

もちろん、このコードを見て、プログラミングに精通している人は意気消沈するはずです。 浮動小数点数、精度の低下、存在の無益さは彼の頭の中を洗い流さなければならないという考え...そして実際、与えられた関数は、同じ1984年のように、少なくとも大きな数のドロップに対しては正しく機能しません。



浮動小数点数を使用する場合、精度の低下はほとんど避けられません。 しかし、あなたはそのような数字を扱うことはできません。 フィールドℚ（√5）（つまり、a +b√5、a、b∈formの形式の数字で構成されるフィールド）ですべての操作を実行できます。 そのような数値に対するアクションは、有理数に対する演算のみを使用して実現できます。 また、整数の加算、減算、乗算のみを使用して有理数の演算を実現できますが、これは精度の低下につながりません。 つまり、独自の小さなシンボリック算術を書くことができます。 そして、私はいつもそれを書きたかった。



数字をバーグマンシステムに、またはその逆に変換する能力がなく、インターネットの住民がどれだけ苦しんでいるのかを理解するとすぐに、私はすぐに上記のアプローチに基づいてnpmモジュールをインスパイアしました。 これで、コンソールに次のように入力することで、42番のワイルドカードエントリでミスを犯したかどうかを全員が個別に確認できます。

 npmはphibaseをインストールします
ノード
 var PhiBase = require（ "phibase"）
 PhiBase.toPhiBase（42） 

不明な理由でノードをインストールしておらず、npmがオンラインコンバーターを使用できる場合



乗り換えといえば。 ここでも、いくつかのアプローチがあります。 Bergmanのスタイルでは、必要に応じて番号から1つずつ削除して、レコードを非正規化できます。 浮動小数点数で定義することにより計算でき、精度が失われます（アルゴリズムは提供しませんが、非常に明白です）。 または、有理数を扱う場合は、再び「シンボリック」計算を使用できます。私のモジュールでは、ご想像のとおり、この方法が使用されています。

それで働くには？

短い答え：難しい。



Bergmanシステムは、加算と減算の古典的なアルゴリズムを使用しません。 思い出してください、 ₁ + ₁ = 10.01 _。 これは、「列に」追加しようとすると、発生するハイフネーションが左右に移動することを意味します。 これにより、一方の端から数字を取得して加算し、余剰をもう一方の端に転送するという希望が失われます。 fierichシステムでの加算のアプローチの1つは、最初に数字のベクトル（10.01 + 101.01 = 111.02）のように数字を追加してから、何らかの方法でレコードを正規化することです。 Bergmanによって提案された元の（元の意味での）アプローチは、次のように構成されていました。数字を上下に書き、2つのユニットが同じカテゴリに属さないように非正規化します。 その後、それらをビットごとに追加します（0を1に追加するか、0を0に追加することで、訓練を受けた数学者にとって困難はなくなります）。次に、合計を正規化します。



このアプローチは私にはとても面白く見えたので、プレーヤーが自分の魅力をすべて感じることができる小さなゲームを書きました。

ただし、乗算と除算は、ほぼ標準的な方法で実現されます。列で乗算し、コーナーで除算します。

そして彼女は一体何のためなのか？

良い意味で、このセクションは私によって書かれるべきではありませんが、ソビエトの厳しい技術者によって書かれるべきです。 私の知る限り、Bergmanシステムは一部のADCで使用されていました。 ノイズ耐性を高めるために冗長性を使用することを想定していましたが、そのようなコンバーターの「鉄」実装はエラーが発生しやすく、アイデアは箱に送られました。 もっと伝えたいのですが、できません。正直、自分の無能さを認めます。 読者の何人かがもっと知っていることを願っています-この場合、私は彼の有益なコメントへのリンクをここに投稿したいと思います。



janatemはコメントで、特別な数字「-1」をBergmanシステムに追加すると、結果の対称数値システムは非常に有用な特性、つまり並列ビット単位加算の可能性があると示唆しています。 言い換えれば、前の数字を計算せずに数字の合計の数字を取得できます。 10進法では、これは不可能です：999995 + xの合計が始まる桁を確実に知るために（xは数字）、この数字が実際に5桁であるにもかかわらず、xの値を確実に知る必要があります興味がある。 このような放電の独立性は、特定のアーキテクチャでの計算を大幅に高速化するために使用できます。



そうそう、私はほとんど忘れていました。 別の燃えるような数字システムを使用して、整数を乗算できます。 これは次のように行われます。

1. 番号の1つは、フィリ番号システムに変換され、どこかに、できれば市松模様の紙に書かれています。
2. もう1つは、最初の数のゼロ放電の下でセルに放電されます。
3. 2番目の数値の左側に、任意の3番目の数値（通常は任意）を書き込みます。
4. 2番目と3番目の数字の行を左右に続けて、行の各数字がその右側の2つの数字の合計に等しくなるようにします。 フィボナッチ数列のようなもので、他の初期数に基づいて構築されており、右から左に向けられています。
5. この行のすべての数値を要約します。その上に単位が書き込まれます。 この量が望ましい製品になります

乗算に問題がありますが、数値をfieri数値システムにすばやく変換してフィボナッチ数列を作成できる場合、この方法は間違いなく最適です。 その正当性の証明は、最上位のレコードの非正規化時に、その単位の下の数値の合計が変化しないという事実に基づいています。

それだけですか？

最後に言いたいことがいくつかあります。 まず、私のオンラインコンバーターを適切に苦しめた場合、他の位置番号と同様に、フィリアンナンバーシステムの分数が周期的な分数の形式で記述されていることに気づいたかもしれません。 この事実の証明は、コーナーによる分割に基づいており、やはり、健康な人の数体系で行われた証明と変わらない。



第二に、「黄金比のユニークな特性」について話したとき、私はあなたに嘘をつきました。 もちろん、それはユニークですが、完全ではありません。 方程式x ² = x + 1には別の解があります

ベースφ-（それをantifiericと呼びます）を持つシステムでは、強烈なシステムのすべてのプロパティが保持されます。これは、アイデンティティ₁₀₀ = 11 identityから推定されます_。 特に、すべての整数（およびフェリックシステムと同じ）には有限のレコードがあります。 新しいファンデーションは非合理的であるだけでなく、負であり、大きさが統一されていないため、これは特に面白いです。 次の定理を証明することもできます。数字が、物理的および反物理的数体系で同じ有限表記を持っている場合、それは全体です。



そして最後に、フィリアン数体系では、数formulaの式を次のように書き換えることができます。

利点は、上記の式が方程式と見なされる場合、唯一の実際の解があることです。 つまり、実際に数値Fの定義として使用できます。



考えてみてください。