問題の説明：学校の知識を持つ大学レベルの結論に到達する方法

この記事では、 最小二乗法と線形二次コントローラーについての私の記事（または既に知っている）を読んでいることを前提としています。



前の記事で述べたように、学生の知り合いは逆振り子を構築したいのですが、彼らはPIDコントローラー係数を選択することができたので、 線形2次コントローラーとは何かをゆっくりと見て、同時に私が読んだものを語り直しました。 この記事の目的は、鉄の線形2次コントローラーに関する記事から1次元の例を実装する方法を示すことです。 大まかに言って、サーボモーターのコントロールを記述したいと思います。ドライブの軸の現在の位置とその回転の現在の速度があり、特定の位置で停止したいです。 私はこのトピックに関する同様の記事を読み込もうとしましたが、認めるには何も理解していなかったので、自分で、できれば指で、ラグランジュ・オイラー微分方程式のような恐ろしい言葉を使わずに整理しました。



作業中の露出症を続けながら、同僚と一緒にオフィスに住んでいるBubble Bobbleを紹介します。 彼はSIGGRAPH会議の記事をレビューしています。

記事を使用するための手順、またはHabrahabrで書く理由

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指示は厳密に1つです。お互いに友好的です。

エラーなしに一貫した数式のシーケンスを書くことができません。 絶対に私の式はすべて間違っています。 しかし、個人的には、各シンボルに独自のセマンティクスがあるため、間違った式を使用して正しいものを復元することができます。 特定のアルファベットに対する一連の文法規則として数学を操作する場合、あなたと私は途中にいません。 個人的には、頭の中に「絵」がなければ、単一のコンセプトで操作することはできません。検討中の現象の性質についての直感です。 あなたが私の間違いを見たら、それについて教えてください、私は喜んでいるだけです。 事前に感謝します！

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利用可能な鉄片

光学式エンコーダー（1回転あたり1000パルス）、電気モーター（負荷なしで12Vで750 rpm）、 L6201ドライバー 、およびatmega 328（arduino nano）が利用可能です。







L6201の入力に印加するPWM信号に応じて、電気モーターに異なる電圧を与えます。 つまり、私のマイクロコントローラーは、電気モーターの端子の電圧しか制御できません。

指のマクスウェル方程式またはDCモーターの動作

ごく最近、私はマックスウェル方程式が何であるかについてすでに話しました 。 繰り返しましょう。次の法則の数に従って、4つのMaxwell方程式があります。



1.「指の上の」ガウスの法則は、単に保存の法則です。エネルギーはどこからでも取られず、どこにも行きません。

2.磁場のガウスの法則は同じであり、磁場の場合のみであり、電場の場合ではありません。

3.ファラデーの法則：磁石を動かすと、電場が発生します。

4.アンペアの法則：電場とともに移動すると、磁場が生成されます。



これらの4つの方程式の解であるベクトル場は、電界および磁気と呼ばれます。 磁気浮上に関する記事では、主にガウスの法則に興味がありましたが、この記事ではアンペアとファラデーの法則に興味があります。 直流電動機はどのように機能しますか？ 巻線に電流を流すと、磁場が発生します（アンペアの法則を参照）。 これにより、エンジンのローターが回転します。



そのようなエンジンがどのように機能するかを想像してみましょう。 私たちはできること（インダクタンス、摩擦など）をすべて無視し、学校の7年生から8年生のコース、つまりオームの法則だけを思い出します。 したがって、オームの法則は、電圧は電流と抵抗の積であると述べています（U = IR）。 モーター巻線の抵抗は一定であるため、一定の係数に対して正確であり、巻線の電圧と巻線を流れる電流はまったく同じです。 さらに、アンペールの法則では、ローターに加えられる力は伝送電流に比例するため、電圧に比例するということです。 つまり、発明された世界に住んでいて、モーター巻線に一定の12Vを印加すると、何らかの一定の電力（モーメント）が発生します。



しかし、私たちのエンジンはニュートンの第二法則に完全に準拠しています（F = ma）。 したがって、モーターの巻線に一定の電圧がかかっている場合、これはモーターシャフトの一定の加速を伴います（質量は変化しません！）。 しかし、この結論は非常に悪臭を放ち始めます。なぜなら、私が一定の加速度を持っていると、光の速度を呪うことができるからです...



ここで、エンジンに電圧を印加するのではなく、シャフトを回転させ、逆に電圧を除去するオプションがあることを思い出してください（サイクルジェネレーターを参照）。 これはファラデーの法則の結果です。磁石をねじると、電磁誘導が発生します。 「電圧」（厳密に言えば、 EMF ）はエンジン速度に正比例します。回転速度が速いほど、EMFが大きくなります（U = C * v、Uは電圧、Cはエンジンの定数、vは回転速度）シャフト）。



そして結局、なんとキャッチ：エンジンに電圧を印加すると、ローターが回転しますが（アンペアの法則）、同時にEMF（ファラデーの法則）を生成し、それが印加電圧と戦ってそれを低減します！ したがって、エンジンのオームの法則は、U-I * R-C * v = 0のようになります。



アンペアの法則は、電流は磁場によって生成される力に比例すると述べています。 ニュートンの第2法則では、力は加速度に比例します（そして加速度は時間の速度の微分です！）。 したがって、エンジンのオームの法則は、u（t）-const1 * v '（t）-const2 * v（t）= 0と書くことができます。離散世界では、微分v'（t）はv '（t）= v（t + 1）-v（t）、したがってオームの法則はv（t + 1）= a * v（t）+ b * u（t）と書くことができます。ここで、aとbは依存する定数です。エンジンの物理パラメータとタイムステップから。



4つの異なるDC電圧（24V、18V、12V、6V）を停止したエンジンに印加し、インクリメンタルエンコーダーを使用してキャリッジの速度を記録しました。 テストは次のとおりです。







この図は、4つのストレスに対する4つの異なるグラフ（ugい、ギザギザ）を示しています。







また、これらの電圧の理論曲線（a = 0.97、b = 0.218）を示しています。 パラメータaおよびbは、非常に愚かなフィッティングコードを使用して検出されました。 もちろん、現実の世界では摩擦はゼロではないため、理論曲線はすべての測定値と一致するわけではありませんが、キャリッジが最大値近くではなくゼロに近い応力でより頻繁に移動すると仮定する限り、理論曲線は低電圧。

線形2次コントローラーの新しい定式化

注意：ここでは、 線形2次レギュレータに関する私の記事をよく読んでいると仮定します。



その中で、この例は次の方程式系によってモデル化されました。







ここで、x_kはキャリッジの位置、v_kは速度、u_kは加速度です。 前のセクションから、印加電圧に応じて加速度が非常に非線形であることがわかります。これは、マイクロコントローラーが電圧のみを直接制御できるため、少し気になります。 しかし同時に、この依存性（摩擦ゼロ）は指数関数的であり、線形遷移システムのフレームワークに非常によく適合しています！ したがって、次のようにシステムをモデル化します。







ここで、x_kはキャリッジの位置、v_kはその速度、u_kはキャリッジの加速度ではなく、電気モーターの端子に印加する電圧です。 特に私のエンジンでは、a = .97、b = .218が見つかりました。



制御変数（端子の電圧）の状態ベクトル（キャリッジの位置と速度）の依存係数を見つけるコードを次に示します。 私のキャリッジは、ゼロ状態から245mm可能な限り逸脱する可能性があるため、初期ゼロ速度と位置を245mmに設定します。 タスクは、キャリッジをゼロ位置（レールの中央）で停止することです。



行17〜53は、システムの厳しい条件（初期条件と最終条件、状態の線形遷移）を指定し、行55〜70は最適化された関数を指定します。 主なタスクは、位置と速度をゼロに収束させることです（56行目と61行目）。 結果がシステムの物理パラメーターに適合しない限り、管理限界を徐々に増やしました（66行目）（これらのパラメーターでは、電圧は24Vを超えません）。



これは、それらを達成するために必要な位置、速度、および電圧の理論曲線がどのように見えるかです：







したがって、上記のコードは、印加する電圧を次のように計算できることを示しています。







ここで、x_kはキャリッジの現在の位置、v_kはその速度です。

マイクロコントローラーからの完全なコード

したがって、この記事では最新の式が最も重要です。これは 、キャリッジを直接制御するためのコードです。



彼に主な部分を教えてください：

void loop() { vi = xi-xi_1; int ui = 255.*(-0.000973669*xi -0.0563218*vi)/24.; xi_1 = xi; set_speed(ui); delay(2); }
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

エコエンコーダーの値の計算（ISR機能）は、別の小さな記事に値するものであり、現時点では重要ではありません。 重要なのはloop（）関数です。 現在の速度は、現在と2ミリ秒前のエンコーダー位置の差と考えています。 次に、現在の電圧uiが上記の式に従って計算されます。 それだけです！ それが線形二次コントローラー全体です。



理論化したものと実際に得られたものを比較するのは良いことです。 この写真は比較を提供します：







したがって、キャリッジの実際の位置は理論上の位置とわずかに異なります。これは、不明な摩擦によるものと考えています。ゼロに近づくと、印加電圧が低くなり、摩擦に対処できなくなると考えられます。 この現象に対する戦いは、次の記事のいずれかの主題になります。 お楽しみに！



頑張って、興味があります！