[1]で既に述べたように、2次剰余値の分布には、素数と合成数の両方にパターンがあります。
既知の依存関係を与える必要があります[2]。 整数A （正）が素数aとbの積に等しい場合、 c 2 -d 2 = Aまたはc 2 -d 2 = nA （ nは 1〜 （A-1） 。 そうすることで、
c 2 -d 2 =（c + d）（c-d） 、つまり （c + d）および（c-d）は、除数aおよびbの倍数です。
単純化するために、図1に示す[1]のように、合成数A = 35の残差の行列を考えます。
| 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 | 34 | 1 |
| 33 | 4 | 27 | 16 | 3 | 29日 | 12 | 11 | 13 | 9 | 17 | 1 | 33 | 4 | 27 | 16 | 3 | 29日 | 12 | 11 | 13 | 9 | 17 | 1 | 33 | 4 | 27 | 16 | 3 | 29日 | 12 | 11 | 13 | 9 |
| 32 | 9 | 8 | 11 | 2 | 29日 | 18 | 16 | 22 | 4 | 23 | 1 | 32 | 9 | 8 | 11 | 2 | 29日 | 18 | 16 | 22 | 4 | 23 | 1 | 32 | 9 | 8 | 11 | 2 | 29日 | 18 | 16 | 22 | 4 |
| 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 | 26 | 1 | 31 | 16 | 6 | 11 |
| 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 | 25 | 15 | 30 |
| 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 | 29日 | 1 |
| 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 | 7 | 21 | 28 | 14 |
| 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 | 13 | 1 | 27 | 29日 |
| 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 | 31 | 1 | 26 | 11 | 6 | 16 |
| 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 | 30 | 15 | 25 |
| 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 | 19 | 1 | 24 | 16 | 34 | 11 |
| 23 | 4 | 22 | 16 | 18 | 29日 | 2 | 11 | 8 | 9 | 32 | 1 | 23 | 4 | 22 | 16 | 18 | 29日 | 2 | 11 | 8 | 9 | 32 | 1 | 23 | 4 | 22 | 16 | 18 | 29日 | 2 | 11 | 8 | 9 |
| 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 | 8 | 1 | 22 | 29日 |
| 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 |
| 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 | 20 | 15 |
| 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 | 24 | 1 | 19 | 11 | 34 | 16 |
| 18 | 9 | 22 | 11 | 23 | 29日 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 18 | 9 | 22 | 11 | 23 | 29日 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 18 | 9 | 22 | 11 | 23 | 29日 | 32 | 16 | 8 | 4 |
| 17 | 9 | 13 | 11 | 12 | 29日 | 3 | 16 | 27 | 4 | 33 | 1 | 17 | 9 | 13 | 11 | 12 | 29日 | 3 | 16 | 27 | 4 | 33 | 1 | 17 | 9 | 13 | 11 | 12 | 29日 | 3 | 16 | 27 | 4 |
| 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 | 11 | 1 | 16 |
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
| 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 | 14 | 21 |
| 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 | 27 | 1 | 13 | 29日 |
| 12 | 4 | 13 | 16 | 17 | 29日 | 33 | 11 | 27 | 9 | 3 | 1 | 12 | 4 | 13 | 16 | 17 | 29日 | 33 | 11 | 27 | 9 | 3 | 1 | 12 | 4 | 13 | 16 | 17 | 29日 | 33 | 11 | 27 | 9 |
| 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 | 16 | 1 | 11 |
| 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 |
| 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 | 4 | 1 | 9 | 11 | 29日 | 16 |
| 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 | 22 | 1 | 8 | 29日 |
| 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 | 28 | 21 | 7 | 14 |
| 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 |
| 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 | 10 | 15 | 5 | 25 | 20 | 30 |
| 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 | 9 | 1 | 4 | 16 | 29日 | 11 |
| 3 | 9 | 27 | 11 | 33 | 29日 | 17 | 16 | 13 | 4 | 12 | 1 | 3 | 9 | 27 | 11 | 33 | 29日 | 17 | 16 | 13 | 4 | 12 | 1 | 3 | 9 | 27 | 11 | 33 | 29日 | 17 | 16 | 13 | 4 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 29日 | 23 | 11 | 22 | 9 | 18 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 29日 | 23 | 11 | 22 | 9 | 18 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 29日 | 23 | 11 | 22 | 9 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
図 1合成数A = 35の残差のマトリックス。
合成数Aの二乗の差の性質は、いくつかの数e 、数Aの二次残差、および2番目の列（図1）がAより小さい数の完全な二乗に等しいという事実につながります。 最初の列（図1）の数値は、 eからeの平方根で等距離にあり、 Aの約数の倍数です。
たとえば、番号17の場合、最初の列（図1）、二次剰余、列2は9です。 9から平方根を抽出し、 17に加算し、 17から減算する必要があります。 （17 + 3 = 20） 、 20を4で割った値は5 、 （17-3 = 14） 、 14を2で割った値は7です。 結果の数値20と14は、数値Aの約数の倍数であり、ユークリッドアルゴリズム[3]を使用して、常に数値Aの約数を見つけることができます。 他の数値の値についても同様の結果が得られ、二次残差は完全な二乗に等しくなります。 24の場合、二次剰余は16で、除数の倍数は（24 +4 = 28）および（ 24-4 = 20）です。
二次残差（図1）、列2は、数値Aの数値間隔の中央に関して対称的にグループ化されていることに注意する必要があります。 数値（A + 1）/ 2および（A-1）/ 2に関して、最初の列の数値間隔全体で常に4つの繰り返し値を持ちます。 数値A = 35 （図1）の場合、これらは値1、4、9、11、16、29です。 数値Aの数値間隔の各半分で2次剰余の値が一致する数値は、次の法則をサポートします。 等しい二次剰余を持つ数値を互いに加算および減算すると、 Aの約数の倍数である数値が得られます。 aおよびb
16および9 （図1）の場合、2次剰余は11です。 16と9を追加して25を取得し、 25を5で割って5を取得します。 16から9を引くと、 7が得られます。 見つかった値は、数値Aの約数の倍数です。
同一の2次残差を持つ数値を見つけるために、テーブルのもう1つのプロパティを検討します（図1）。 数値間隔Aの中央を基準とする 、つまり 数値（A + 1）/ 2および（A-1）/ 2 、二次残差（図1）、列2、算術級数の値によって増加します。 17の残りの2乗を35で割った値は9です。 16の場合、余り11、15の場合、余り15、14の場合、余り21、13の場合、余り29、12の場合、余り4 。 9 + 2 = 11、11 + 4 = 15、15 + 6 = 21、21 + 8 = 29、29 + 10 = 39、35で割った結果、残りは4です。 これは、算術級数の特徴的な特性です。
同じ2次剰余をもつ列1の数は、数A × 2nに等しい算術級数のメンバーの合計によって互いに間隔が空けられます。ここで、 nは1から（A-1）の範囲の値を取ります。 2nAに等しい算術級数のメンバーの合計は、算術級数のメンバーの数の数Aの範囲全体を占有し、そのメンバーの最初または最後を使用する必要はありません。
次のように機能します。 数A = 35、2を掛け、 35 * 2 = 70、70の平方根を抽出し、残りの8と6を取得します。 数字の8に 1 を加えて8を掛けると、 72になります。 番号72は、進行の8番目の位置であり、 Aから2倍、つまり 70から2ユニット異なります。 番号2 、これは進行の最初の位置です。 （A-1）/ 2 = 17から8を減算する必要があります。9を取得し、 17から1を減算すると16を取得します。 9と16の場合、2次剰余（図1）は11です。 さらに、 16 + 9 = 25、16-9 = 7です。 A = 35の約数の2の倍数が取得されます。
その他の例
例1
2から11次、マイナス1は2047です。
2047 = 23 * 89
最初の試み。
2047 * 2 = 4094、
4094の平方根= 63、剰余125、
63 * 64 = 4032、4094未満、
64 * 65 = 4160、
4160-4094 = 66、進行のメンバーの合計の値に該当しません。
2回目の試行。
2047 * 4 = 8188、
8188の平方根= 90、余り88、
90 * 91 = 8190、
8190-8188 = 2、これは進行の最初のメンバーです。
2047-1 = 2046、
2046/2 = 1023、
1023-90 = 933、
1023-1 = 1022
1022 + 933 = 1955、
1955/85 = 23、最初の分周器、
1022-933 = 89、2番目の分周器。
例2
216527 = 293 * 739、
最初の試み。
216527 * 2 = 433054、
433054の平方根= 658、余り90、
658 * 659 = 433622、
433622-433054 = 568、進行のメンバーの合計の値に該当しません。
失敗した試行の説明をスキップします。
5回目の試行。
216527 * 10 = 2165270、
2165270の平方根= 1471、残り1429、
1471 * 1472 = 2165312、
2165312-2165270 = 42、これは進行の6番目のメンバーです。
216527-1 = 216526、
216526/2 = 108263、
108263-1471 = 106792、
108263-6 = 108257、
108257-106792 = 1465、
1465/5 = 293、最初の分周器。
108257 + 106792 = 215049、
215049/291 = 739、2番目の分周器。
文学
1.「数字の対称性」、 habrahabr.ru / post / 218053
2.「フェルマーの因数分解法」。 en.wikipedia.org/wiki/ Farm_Factorizationメソッド
3.「ユークリッドアルゴリズム」、 en.wikipedia.org / wiki /ユークリッドアルゴリズム