内容

はじめに

私の記事のレビューを読んで、理論的な入門ノートで読者を不必要に過負荷にしていることに気付きました。正直言って、私自身は正式な数学とは程遠いです。

ただし、テンソル計算には多くの概念があり、その多くは正式に導入する必要があります。したがって、サイクルの3番目の記事もドライ理論に専念します。それにもかかわらず、私は次の仕事で、私自身が長く望んでいたものに進むことを約束します-テンソルアプローチの実際的な価値を説明するために。面白い仕事がありますが、そのほとんどはすでに私の頭の中で分解されています。テンソル計算は私にとって無関心な興味ではありませんが、力学の分野で私の理論的および実践的な考慮事項を処理する方法です。したがって、完全なプログラムの実践はまだ行われていません。

それまでの間、いくつかの理論的基礎を検討してください。猫へようこそ。

1.ヤコビ行列とローカルメトリック。ジャグリングインデックス

これまでに検討した座標系は斜めでした。しかし、それらの軸は直線でした。ただし、座標線が曲線である空間で作業することが非常に頻繁に必要です。このような座標系は曲線と呼ばれます。

曲線座標系の最も単純な実例-地理座標 $（\ varphi、\ lambda、h）$ -緯度、経度、高度。地球の表面近くのオブジェクトの位置を決定します。曲線座標は天文学で広く使用されています。力学では、このような座標の例は、結合システムに重ねられたジオメトリを考慮して、空間内の位置を一意に決定する機械システムの一般化された座標です。これが分析力学の基礎です。

図 1. 3次元空間の曲線座標

3次元ユークリッド空間で指定された曲線座標を考えます（図1）。点の位置は、ベクトルによってこれらの座標で指定されます

$\ mathbf {q} = \ begin {bmatrix} q ^ 1 \\ q ^ 2 \\ q ^ 3 \ end {bmatrix} \ quad（1）$

そして、点のデカルト座標は、関係によって（1）に関連しています

$\ vec {r} = \ vec {r} \左（q ^ 1、q ^ 2、q ^ 3 \右）\ quad（2）$

または、コンポーネント形式で

$x ^ i \左（q ^ 1、q ^ 2、q ^ 3 \右）\ quad（3）$

偏微分を考えます $\ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ 1}$ 。この微分の結果は、座標線に接するベクトルです $q ^ 1$ 。すべての曲線座標に沿って（2）を微分すると、トリプルのベクトルが得られます

$\ vec {e} _1 = \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ 1}、\ quad \ vec {e} _2 = \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ 2}、\ quad \ vec {e} _3 = \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ 3} \ quad（4）$

これらのベクトルは、いわゆる接線空間の基礎を定義します。また、斜めの座標系の基底とは異なり、これらのベクトルのモジュラスと方向は、ある点から別の点に移動するときに変化します。ベクトル（1）で与えられる空間内の位置に応じて、可変基底を取得します。このような基盤はローカルと呼ばれます

ベクトル（4）は行列に収集されます

$\ mathbf {J} = \ begin {bmatrix} \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ 1}＆amp;＆amp; \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ 2}＆amp;＆amp; \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ 3} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ cfrac {\ partial x ^ 1} {\ partial q ^ 1}＆amp;＆amp; \ cfrac {\ partial x ^ 1} {\ partial q ^ 2}＆amp;＆amp; \ cfrac {\ partial x ^ 1} {\ partial q ^ 3} \\ \ cfrac {\ partial x ^ 2} {\ partial q ^ 1}＆amp;＆amp; \ cfrac {\ partial x ^ 2} {\ partial q ^ 2}＆amp;＆amp; \ cfrac {\ partial x ^ 2} {\ partial q ^ 3} \\ \ cfrac {\ partial x ^ 3} {\ partial q ^ 1}＆amp;＆amp; \ cfrac {\ partial x ^ 3} {\ partial q ^ 2}＆amp;＆amp; \ cfrac {\ partial x ^ 3} {\ partial q ^ 3} \ end {bmatrix} \ quad（5）$

これは、ヤコビ行列と呼ばれ、基本的に、あるベクトルの別のベクトルに対する微分として定義されます。私たちの場合

$\ mathbf {J} = \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial \ vec {q}}$

関数（2）がベクトルの成分に関して線形であると推測するのは簡単です $\ vec {q}$ 、それは行列の関係で表現することができます

$\ vec {r} = \ mathbf {A} _ {01} \ vec {q}$

斜め座標系を考慮すると、ヤコビ行列は、斜め座標からデカルト座標への変換行列に等しくなります

$\ mathbf {J} = \ mathbf {A} _ {01}$

これで、空間で定義されたベクトル（ランクテンソル（1、0））は、曲線座標系の反変成分によって表現できます。

$\ vec {a} = a ^ i \、\ vec {e} _i = a ^ i \、\ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ i} \ quad（6）$

ただし、変数の基底により、ベクトルの成分は、ベクトルの適用点の空間内の位置に依存します。さらに、表現（6）が存在するためには、基底を構成するベクトルが同一平面上にないことが必要です。ベクトル代数の過程から、ベクトルの混合積がゼロでない場合、ベクトルは非共面であることがわかります。これにより、ヤコビ行列の行列式が満たさなければならないという条件が生じます。

$\ det（\ mathbf {J}）\ ne 0 \ quad（7）$

この行列式は、基底ベクトルの混合積を定義するだけです。

次に、ベクトルの共変成分を計算します $\ vec {a}$ 。これを行うには、サイクルの最初の記事で、スカラーベクトルに対応する基底ベクトルを乗算しました

$\ vec {a} = a_i = \ vec {a} \ cdot \ vec {e} _1 = a ^ i \、（\ vec {e} _i \ cdot \ vec {e} _1）= a ^ i \、\ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ i} \ cdot \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ i}$

同じ最初の記事で、ベクトルの共変成分が計量テンソルを介して反変に関連していることを確認しました $g_ {ij}$

$a_j = a ^ i g_ {ij}$

最後の2つの式を比較すると、曲線座標の計量テンソルの定義が得られます

$g_ {ij} = \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ i} \ cdot \ cfrac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ j}$

行列形式で表すことができます

$\ mathbf {g} = \ mathbf {J} ^ T \、\ mathbf {J}$

この接続はテンソル形式でも表すことができますが、このためにデカルト座標のメトリックを明示的に導入する必要があります $\ hat {g} _ {kl}$

$\ hat {g} _ {kl} = \ begin {bmatrix} 1＆amp;＆amp; 0＆amp;＆amp; 0 \\ 0＆amp;＆amp; 1＆amp;＆amp; 0 \\ 0＆amp;＆amp; 0＆amp;＆amp; 1 \ end {bmatrix}$

次に、デカルトメトリックの曲線への変換は次のようになります。

$g_ {ij} = J_i ^ k \、J_j ^ p \、g_ {kl} \ quad（8）$

式（8）は、曲線座標の計量テンソルを導入します。このテンソルは、空間内のポイントの位置に依存するため、 ローカルに定義されているか、 ローカルメトリックを定義していると言います。

メトリックを決定したら、反変座標を共変に変換するためのルールを書き留めることができます

$a_j = g_ {ij} \、a ^ i \ quad（9）$

共変座標を反変に

$a ^ k = a_i g ^ {ik} \ quad（10）$

テンソル計算では、インデックスを下げる（9）および上げる（10）操作は「ジャグリング」インデックスと呼ばれます。

関係（9）と（10）を書いたので、我々は行列が $g_ {ij}$ そして $g_ {ij}$ 相互にリバーシブル。これは次の場合にのみ可能です

$\ det | g_ {ij} | \ ne 0$

ヤコビ行列が縮退していない場合、この条件は曲線座標について満たされ、これは（8）から直接続きます。

$\ det | g_ {ij} | = \ det | J_i ^ k J_j ^ l g_ {kl} | = \ det | J_i ^ k | \、\ det | J_j ^ l | = J ^ 2 \ ne 0$

つまり、空間のすべてのポイントに対して満たされる条件（7）は、ローカルメトリックの非縮退にとって十分な条件です。

縮退したメトリクスの考慮は別の難しい質問であるため、メトリクステンソルの行列が可逆であるメトリクス、つまり条件に限定します

$g_ {ik} \、g ^ {kj} = \ delta_i ^ j$

どこで

$\ delta_i ^ j = \ begin {cases} 1、\ quad i = j \\ 0、\ quad i \ ne j \ end {cases}$

クロネッカーデルタと呼ばれる単位テンソル。そのコンポーネントは、空間の次元に対応する次元を持つ単位行列によって表されることがわかります。

2.相互基盤

ベクターを導入する $\ vec {e} ^ {\、1}、\、\ vec {e} ^ {\、2}、\、\ vec {e} ^ {\、3}$ インデックスを上げることにより初期基底のベクトルから取得

$\ vec {e} ^ {\、j} = g ^ {ji} \、\ vec {e} _i \ quad（11）$

（11）をベクトルでスカラー的に取得して乗算します $\ vec {e} _k$

$\ vec {e} ^ {\、j} \ cdot \ vec {e} _k = g ^ {ji} \、\ vec {e} _i \ cdot \ vec {e} _k$

しかし、私たちはそれを知っています $\ vec {e} _i \ cdot \ vec {e} _k = g_ {ik}$ 計量テンソルであるため、方程式に到達します

$\ vec {e} ^ {\、j} \ cdot \ vec {e} _k = g ^ {ji} \、g_ {ik}$

$\ vec {e} ^ {\、j} \ cdot \ vec {e} _k = \ delta_k ^ j \ quad（12）$

たとえば、ベクトルを $\ vec {e} ^ {\、1}$ （12）により、ベクトルに垂直です。 $\ vec {e} _2$ そして $\ vec {e} _3$ （それらとのスカラー積はゼロに等しい）、およびこのベクトルのスカラー積は $\ vec {e} _1$ -1に等しい

次に、（11）をスカラー的に取得して乗算します $\ vec {e} ^ {\、k}$

$\ vec {e} ^ {\、j} \ cdot \ vec {e} ^ {\、k} = g ^ {ji} \、\ vec {e} _i \ cdot \ vec {e} ^ {\、k }$

（12）により、反変計量テンソルが得られます

$\ vec {e} ^ {\、j} \ cdot \ vec {e} ^ {\、k} = g ^ {jk} \ quad（13）$

ベクトル系 $\ vec {e} ^ {\、1}、\、\ vec {e} ^ {\、2}、\、\ vec {e} ^ {\、3}$ また、基底を形成します。これは、基底と逆または共役と呼ばれます $\ vec {e} _ {\、1}、\、\ vec {e} _ {\、2}、\、\ vec {e} _ {\、3}$ 。

もう一度ベクトルを考えます $\ vec {a}$ 。関係（10）および（11）は、一連の変換を意味します

$\ vec {a} = a ^ i \、\ vec {e} _ {\、i} = a_j \、g ^ {ji} \、\ vec {e} _ {\、i} = a_j \、\ vec {e} ^ {\、j} \ quad（13）$

（13）をスカラーで乗算する $\ vec {e} ^ {\、k}$

$\ vec {a} \ cdot \ vec {e} ^ {\、k} = a_j \、\ vec {e} ^ {\、j} \ cdot \ vec {e} ^ {\、k} = a_j \、 g ^ {jk} = a ^ k$

任意のベクトルを基礎として展開できると結論付けます $\ vec {e} _ {\、i}$ -その後、そのコンポーネントは反変的であるため、 $\ vec {e} ^ {\、i}$ -コンポーネントは共変になります

$\ vec {a} = a ^ i \、\ vec {e} _ {\、i} = a_i \、\ vec {e} ^ {\、i}$

さらに、共変成分は、基底ベクトルによるベクトルのスカラー積です。 $\ vec {e} _ {\、i}$ 反変成分は、基底ベクトルによるベクトルのスカラー積です $\ vec {e} ^ {\、i}$

$a_i = \ vec {a} \ cdot \ vec {e} _ {\、i}、\ quad a ^ i = \ vec {a} \ cdot \ vec {e} ^ {\、i} \ quad（15）$

これも、これらのベースの相互関係を示しています。

基底ベクトル $\ vec {e} _ {\、i}$ 自然な方法で得られます-それらは対応する座標線に接しており、幾何学的な意味に帰することができます。根拠について $\ vec {e} ^ {\、i}$ 、そのベクトルは接線座標線に沿ってではなく、接線基底のベクトルのペアに垂直です。このような基盤は非ホロノミックと呼ばれることもあります。

3.曲線座標の変換。共変成分と反変成分の正式な定義

ベクトルで定義された曲線座標系で作業しているとします $\ vec {q}$ 。点の位置がベクトルによって決定される別の座標系に移りましょう $\ vec {p}$ 古い座標系から新しい座標系への変換が方程式によって決定されるように

$p ^ i = p ^ i（q ^ 1、\、q ^ 2、\、q ^ 3）\ quad（16）$

変換（16）は可逆であると仮定します。つまり、関数の存在を仮定します

$q ^ i = q ^ i（p ^ 1、\、p ^ 2、\、p ^ 3）\ quad（17）$

これには、ヤコビ行列の行列式が必要です。

$A_j ^ i = \ frac {\ partial p ^ i} {\ partial q ^ j} \ quad（18）$

ゼロではなかった

$\ det | A_j ^ i | \ ne 0$

次に、行列があります $B_j ^ i$ 行列（18）の逆

$A_k ^ j \、B_i ^ k = \ delta_i ^ j$

マトリックス $B_j ^ i$ は、変換用のヤコビ行列です（17）。次に、新しい基底のベクトルを計算できます

$\ vec {e} _ {\、i} ^ {\、 '} = \ frac {\ partial \ vec {r}} {\ partial p ^ i} = \ frac {\ partial \ vec {r}} {\部分q ^ j} \、\ frac {\ partial \ vec {q ^ j}} {\ partial p ^ i} = \ frac {\ partial \ vec {r}} {\ partial q ^ j} \、B_i ^ j$

古い基盤と新しい基盤の間の接続を取得します

$\ vec {e} _i ^ {\、 '} = \ vec {e} _k \、B_i ^ k \ quad（19）$

$\ vec {e} _i = \ vec {e} _k ^ {\、 '} \、A_i ^ k \ quad（20）$

ベクトルを分解します $\ vec {a}$ 新しい基盤で

$\ vec {a} = a ^ {'i} \、\ vec {e} _ {\、i} ^ {\、'}$

そして、関係（19）を使用して、

$\ vec {a} = a ^ {'i} \、B_i ^ k \ vec {e} _ {\、k} = a ^ k \、\ vec {e} _ {\、k} \ quad（21）$

基底ベクトルが線形独立であると仮定すると、それらの係数は（21）で同等になります。

$a ^ k = a ^ {'i} \、B_i ^ k$

（21）の両側に掛けます $A_k ^ j$

$a ^ k \、A_k ^ j = a ^ {'i} \、B_i ^ k \、A_k ^ j$

私たちはそれを考慮します

$B_i ^ k \、A_k ^ j = \ delta_i ^ j$

$a ^ k \、A_k ^ j = a ^ {'i} \、\ delta_i ^ j = a ^ j$

つまり、反変成分の逆変換の式を取得します

$a ^ {'j} = a ^ k \、A_k ^ j \ quad（22）$

（22）と（19）から、以下を結論付けることができます。

ベクトルの反変成分は、基底変換演算子の逆演算子によって変換されます

実際、新しい基底のベクトルを取得するために、行列を使用しました $B_i ^ k$ 式（19）によって。新しい基底で指定されたベクトルの反変成分を取得するには、行列を使用します $A_k ^ j$

次に、共変成分によって定義されたベクトルがどのように変換されるかを見てみましょう

$a_j ^ {\、 '} = \ vec {a} \ cdot \ vec {e} _j ^ {\、'} = \ vec {a} \ cdot \ vec {e} _j \、B_i ^ j = a_j \、 B_i ^ j \クワッド（23）$

（23）から、

ベクトルの共変成分は、基底を変換する同じ演算子によって変換されます

式（19）、（22）および（23）および引用ブロックで定式化された定義は、反変および共変座標の形式的な定義を与え、それらの違いを示します。私たちは声明を述べることができます

ランクテンソル（1,0）は基底変換で使用される逆演算子によって変換され、ランクテンソル（0,1）は基底変換で使用される同じ演算子によって変換されます。

4.共変微分。クリストッフェルの第2種

いくつかの座標に沿って任意の座標で与えられたベクトルを微分したいとします。私たちは何をすべきですか？この操作を試してみましょう。

$\ frac {\ partial \ vec {a}} {\ partial q ^ j} = \ frac {\ partial} {\ partial q ^ j}（a ^ i \、\ vec {e} _i）= \ frac {\ partial a ^ i} {\ partial q ^ j} \、\ vec {e} _i + a ^ i \ frac {\ partial \ vec {e} _i} {\ partial q ^ j} \ quad（24）$

基底ベクトルの導関数をどの基底に記述しましたか？そして、曲線座標の基礎がそれらに依存しているという理由で、それは座標からの微分がゼロと異なることを意味します。さて、大丈夫、この導関数はベクトルにもなります。これは、たとえば次のように、ローカルベースで展開できることを意味します。

$\ frac {\ partial \ vec {e} _i} {\ partial q ^ j} = \ Gamma_ {ij} ^ k \、\ vec {e} _k \ quad（25）$

拡張係数は（25）にあります。これを行うには、共変計量テンソルを取り、指定された座標に沿って微分します

$\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial q ^ k} = \ frac {\ partial \ vec {e} _i} {\ partial q ^ k} \ cdot \ vec {e} _j + \ vec {e } _i \ cdot \ frac {\ partial \ vec {e} _j} {\ partial q ^ k} \ quad（26）$

（26）の代用（25）

$\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial q ^ k} = \ Gamma_ {ik} ^ m \、（\ vec {e} _m \ cdot \ vec {e} _j）+ \ Gamma_ {jk} ^ m \、（\ vec {e} _m \ cdot \ vec {e} _i）$

ここでは、計量テンソルの成分の存在が明らかであるため、置換を実行します

$\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial q ^ k} = \ Gamma_ {ik} ^ m \、g_ {mj} + \ Gamma_ {jk} ^ m \、g_ {mi} \ quad（27）$

（27）で作業を開始する前に、基底ベクトルの直接微分を実行した後、式に到達するため、目的の拡張係数は下付き文字に対して対称であると言います。

$\ frac {\ partial \ vec {e} _i} {\ partial q ^ j} = \ frac {\ partial ^ 2 \ vec {r}} {\ partial q_i \ partial q_j} = \ Gamma_ {ij} ^ k \ 、\ vec {e} _k$

ここで、検討中の機能の連続性により、

$\ Gamma_ {ij} ^ k = \ Gamma_ {ji} ^ k \ quad（28）$

さて、（27）でインデックスiとkを再配置します

$\ frac {\ partial g_ {kj}} {\ partial q ^ i} = \ Gamma_ {ki} ^ m \、g_ {mj} + \ Gamma_ {ji} ^ m \、g_ {mk} \ quad（28）$

次に、（27）でインデックスjとkを再配置します

$\ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial q ^ j} = \ Gamma_ {ij} ^ m \、g_ {mk} + \ Gamma_ {kj} ^ m \、g_ {mi} \ quad（29）$

（28）の対称性を考慮して（29）と（30）を追加します

$\ frac {\ partial g_ {kj}} {\ partial q ^ i} + \ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial q ^ j} = \ Gamma_ {kj} ^ m \、g_ {mj} + \ Gamma_ {ij} ^ m \、g_ {mk} + \ Gamma_ {ji} ^ m \、g_ {mk} + \ Gamma_ {kj} ^ m \、g_ {mi}$

$\ frac {\ partial g_ {kj}} {\ partial q ^ i} + \ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial q ^ j} = \ Gamma_ {kj} ^ m \、g_ {mj} + 2 \、\ Gamma_ {ij} ^ m \、g_ {mk} + \ Gamma_ {kj} ^ m \、g_ {mi} \ quad（31）$

（28）を考慮して（31）から（27）を引きます

$\ frac {\ partial g_ {kj}} {\ partial q ^ i} + \ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial q ^ j}-\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial q ^ k} = \ Gamma_ {ki} ^ m \、g_ {mj} + 2 \、\ Gamma_ {ij} ^ m \、g_ {mk} + \ Gamma_ {kj} ^ m \、g_ {mi}-\ Gamma_ {ik} ^ m \、g_ {mj}-\ Gamma_ {jk} ^ m \、g_ {mi}$

$\ frac {\ partial g_ {kj}} {\ partial q ^ i} + \ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial q ^ j}-\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial q ^ k} = 2 \、\ Gamma_ {ij} ^ m \、g_ {mk} \ quad（32）$

掛ける（32） $\ cfrac {1} {2} \、g ^ {mk}$ 、最終的に取得します

$\ Gamma_ {ij} ^ m = \ frac {1} {2} \、g ^ {mk} \ left（\ frac {\ partial g_ {kj}} {\ partial q ^ i} + \ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial q ^ j}-\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial q ^ k} \右）\ quad（33）$

式（33）は、いわゆる第2種のクリストッフェル記号を定義しています。それから

$\ frac {\ partial \ vec {a}} {\ partial q ^ j} = \ frac {\ partial a ^ m} {\ partial q ^ j} \ cdot \ vec {e} _m + a ^ i \、\ Gamma_ {ij} ^ m \、\ vec {e} _m = \ left（\ frac {\ partial a ^ m} {\ partial q ^ j} + a ^ i \、\ Gamma_ {ij} ^ m \ right） \ cdot \ vec {e} _m \ quad（34）$

（34）の括弧内の式は、ベクトルの反変成分の共変微分と呼ばれます

$\ nabla_j \、a ^ m = \ left（\ frac {\ partial a ^ m} {\ partial q ^ j} + a ^ i \、\ Gamma_ {ij} ^ m \ right）\ quad（35）$

（35）に基づいて、曲線座標で区別しようとするときは、座標に対する基底の依存性を考慮する必要があることを理解する必要があります。空間内のベクトルの適用点の位置にメトリックが依存しない場合、メトリックテンソルが座標に依存しないという事実により、すべてのChristoffelシンボルがゼロに等しくなるため、（35）は偏偏微分になります。任意の斜め座標系、および特定の場合-デカルト座標では、（33）によるクリストッフェル記号はゼロに等しくなります。したがって、（35）によると、座標に関するベクトルの共変微分は、この座標に関する偏微分と一致します。これは長い間慣れ親しんでいます。ただし、（33）がテンソルの場合、ゼロに等しいと、他の座標系ではゼロのままになります。しかし、曲線座標（33）では、ゼロに等しくありません。クリストッフェルのシンボルはテンソルではありません。座標系を変換すると、コンポーネントは変化しますが、テンソルの本質は変化しません。ゼロテンソルは、どの座標系でもそのようなものでなければなりません。

おわりに

主要な理論的基礎が解体されました。次の記事では、特定の問題を解決するためにテンソル計算を使用する方法について説明します。ご清聴ありがとうございました。

継続するには...

テンソル代数の魔法：パート3-曲線座標

内容

はじめに

1.ヤコビ行列とローカルメトリック。ジャグリングインデックス

2.相互基盤

3.曲線座標の変換。共変成分と反変成分の正式な定義

4.共変微分。クリストッフェルの第2種

おわりに

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