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「蚌拠ずは」理論的コンピュヌタヌ科孊からの芋解

理論的なコンピュヌタヌサむ゚ンスは、アカデミック倧孊の数理情報工孊科の研究分野の1぀です。 理論的なコンピュヌタヌサむ゚ンスの機胜に぀いおよく聞かれたす。 理論的コンピュヌタヌサむ゚ンスは、アルゎリズム、蚈算の耇雑さ、暗号、情報理論、コヌディング理論、アルゎリズムゲヌム理論、およびより応甚されたもの人工知胜、機械孊習、プログラミング蚀語のセマンティクス、怜蚌、自動の䞡方の基本領域を含む掻発に発展しおいる科孊分野です定理の蚌明など。 この蚘事では、小さなプロットのみのレビュヌに専念したす。぀たり、理論のコンピュヌタヌサむ゚ンスで怜蚎されおいる蚌明の抂念に察する異垞なアプロヌチに぀いお説明したす。











私たちが話しおいるどんな皮類の蚌拠を説明するために、䟋を考えおみたしょう著者がプログラムが䜕か特定のこずをするず䞻匵するコンピュヌタヌプログラムがありたす特定の䟋は少し埌で。 プログラムを実行しお回答を埗るこずができたす。 そしお、プログラムが行うべきこずをプログラムが確実に実行できるようにするにはどうすればよいですか 答えに加えお、プログラムがこの答えが正しいずいう蚌拠を提䟛しおくれるずいいでしょう。



より具䜓的な䟋を考えおみたしょう。2郚グラフで最倧サむズの䞀臎ずその最倧の蚌明を芋぀けるプログラムが必芁です。











グラフの゚ッゞが異なる色の頂点を接続するように、その頂点を2色でペむントできる堎合、グラフは2郚ず呌ばれるこずを思い出しおください。 グラフ内のマッチングは、2぀の゚ッゞが共通の端を持たないような゚ッゞのセットです。 グラフの各゚ッゞがこのセットに少なくずも1぀の端を持぀堎合、グラフの頂点のセットはカバヌず呌ばれたす。 Koenigの定理によれば、2郚グラフでは、最倧䞀臎のサむズが最小被芆セットのサむズず䞀臎したす。 したがっお、マッチングが最倧であるこずを蚌明するために、䞎えられたマッチングのサむズずサむズが䞀臎するカバヌセットを提瀺するこずができたす。 実際、各カバヌセットはこのマッチングの各゚ッゞの少なくずも䞀方の端をカバヌする必芁があるため、このカバヌセットは最小限になりたす。 たずえば、図のグラフでは、G2、G3、およびM4で構成されるサむズ3のカバヌセットがあるため、マッチングM1、G3、M2、G2、M4、G1が最倧になりたす。 このような蚌明を怜蚌するこずは、最倧䞀臎を蚈算するこずよりもはるかに簡単です。䞀臎サむズがカバヌセットのサむズず䞀臎するこずを確認し、すべおの゚ッゞがカバヌされるこずを確認するだけで十分です。



別の䟋を考えおみたしょう。非厳密な線圢䞍等匏のシステムず互換性の有理係数をチェックするプログラムが必芁だずしたしょうすべおの䞍等匏が満たされる倉数の倀を遞択できる堎合、䞍等匏のシステムはゞョむントず呌ばれるこずを思い出しおください。











結果の正確性をどのように蚌明できたすか システムに互換性がある堎合、このシステムの解決策は互換性を蚌明できたすそのようなシステムに解決策があれば、合理的な解決策がある、぀たり曞き留めるこずができるこずを蚌明するのは簡単です。 しかし、システムに互換性がないこずをどのように蚌明するのでしょうか これは、非厳密線圢䞍等匏のシステムに互換性がない堎合、これらの䞍等匏を非負の係数で远加し、矛盟する䞍等匏0≥1を取埗できるこずを瀺すFarkash補題を䜿甚しお実行できるこずがわかりたす。 たずえば、図のシステムは互換性がなく、係数1の最初の方皋匏、係数2の2番目、係数1の3番目の方皋匏を远加するず、0≥1になりたす。 非互換性の蚌明は、非負の係数のセットです。



この蚘事では、゚ビデンスが必芁かどうか、たたぱビデンスの怜蚌が垞に問題の独立した解決策よりも簡単ではないかどうかに぀いお説明したす。 最倧マッチングに関する䟋では、蚌明怜蚌ず同じ時間で問題を解決するアルゎリズムがないこずを蚌明したせんでした。蚌明のサむズを制限しない堎合、蚌明が必芁であり、蚌明を必芁ずする堎合、぀たり、蚌拠の必芁性の問題は、クラスPずNPの平等に関する最も重芁な未解決の問題ず同等です。 次に、むンタラクティブな蚌拠察話の蚌拠に぀いお話したす。 私たちは、蚌明されおいる声明の忠実性を陀いお、䞍必芁な情報を開瀺しない暗号の蚌拠に぀いお議論したす。 そしお、確率的に怜蚌可胜な蚌明ず、最適化問題を近䌌するこずの難しさを蚌明するために䜿甚される有名なPCP定理に぀いお説明したす。



この蚘事では、定理の自動蚌明ずプログラムの正確性の蚌明に぀いおは觊れたせんが、これらのトピックも非垞に興味深いものです。





蚌拠は必芁ですか



蚀語ずは、有限のアルファベット䞊の䞀連の行です。 理論的なコンピュヌタヌサむ゚ンスでは、x∈Lの圢匏のステヌトメントの蚌拠が通垞考慮されたす。ここで、Lは蚀語で、xは䜕らかの文字列です。 この皮のステヌトメントは、数孊定理を䞀般化したす。数孊定理は、圢匏蚀語で蚘述されたステヌトメントは倚くの真のステヌトメントに属するず述べおいるためです。



蚀語Lの蚌明システムはアルゎリズムAx、wであり、2行の入力xずwを受け取り、行wがx∈Lのメンバヌシップの蚌明であるこずを確認したす。 ゚ビデンスシステムには、正確性ず完党性ずいう2぀のプロパティが必芁です。 正確性は、䞀郚の文字列xずwに察しおアルゎリズムAx、wが1を返す堎合、x∈Lであるず述べおいたす。 完党性は、各x∈Lに察しお、アルゎリズムAx、wが1を生成する行wが存圚するこずを瀺したす。



蚌拠システムが存圚する蚀語は、列挙蚀語ず呌ばれたす。 列挙蚀語の別の定矩を思い぀いた堎合は、挔習ずしお、それらの同等性を蚌明したす。



蚀語Lは、x∈Lに察しおアルゎリズムBxが1を䞎え、x∉Lに察しお0を䞎えるようなアルゎリズムBが存圚する堎合、決定可胜ず呌ばれたす。決定可胜蚀語には、蚌明が空の蚌明システムがありたす。 自然な問題は、蚌拠のシステムがある蚀語に察しお、解決アルゎリズムが必芁であるかどうかです。 この質問に察する答えは知られおいたす。蚌拠システムはあるが解決アルゎリズムはない蚀語がありたす。 そのような蚀語の䟋を考え出すこずは難しくありたせん。自然な䟋を考え出すこずはより困難です。 倚くの倉数の敎数係数を持぀倚項匏で構成される蚀語を考えおみたしょう。これらの倉数は、少なくずもいく぀かの敎数倀に぀いおは消滅したす。 このような蚀語の蚌明システムは単玔に構築されたす。蚌明は、倚項匏が消滅する倉数の敎数倀になりたす。 DPRMの定理著者にちなんで名付けられたデむビス、パトナム、ロビン゜ン、マティ゚セビッチは、この蚀語は決定可胜ではないず䞻匵しおいたす。 敎数点で倚項匏が消倱するかどうかをチェックするアルゎリズムはありたせん。 この定理の蚌明の最埌のステップは、孊者Yu。V. Matiyasevichに属し、この定理はヒルベルトの第10の問題に吊定的な答えを䞎えたす。



短い蚌拠



これたでのずころ、蚌明をチェックするアルゎリズムず蚌明のサむズに制限を課しおいたせん。 蚌明を怜蚌するのにかかる時間がプログラム自䜓を実行するよりも長い堎合、特定のプログラムの結果の正確性を蚌明するこずは有甚でしょうか そのような蚌明は無意味であるず思われるため、蚌明システムの定矩のアルゎリズムAx、wが文字列xの長さず蚌明wの長さで倚項匏的に動䜜するこずを芁求したす。そのような蚌明システムは有効ず呌ばれたす。





有効な蚌明システムがあり、倚項匏pが任意のx∈Lに察しおx∈Lがp| x |以䞋の長さに属するずいう蚌明がある堎合、蚀語LはクラスNPに属したす。 入力文字列がLに属するこずをチェックする倚項匏時間アルゎリズムが存圚する堎合、蚀語LはクラスPに属したす。クラスPはクラスNPに含たれおいたす。Pからの各蚀語Lに぀いお、考慮するL圌はその蚌拠を無芖しおいる。 クラスPに属さないクラスNPの蚀語が存圚するかどうかは珟圚䞍明です。クラスPずNPの平等の問題は、クレむむンスティテュヌトがたずめた7぀の千幎問題のリストに含たれおいたす。 この問題を解決するために100䞇ドルの賞金が発衚されたした。 G. Ya。Perelmanによるポアンカレ予想の蚌明に関連しお、倚くの人がMillennium Task Listに぀いお聞いたこずがありたす。 ほずんどの専門家は、クラスPずNPは䞀臎しないず考えおいたす。



NPクラスの蚀語の䟋を考えおみたしょう。





むンタラクティブな蚌拠



これたで、私たちが調べた蚌拠は通垞の蚌拠ず非垞に䌌おいたした。぀たり、蚌拠は、どのように思い付くかは明確ではありたせんが、怜蚌は簡単ですが、蚌拠の正圓性をチェックするアルゎリズムがあるずいうテキストです ぀たり、蚌明を思い぀くためには、特別な胜力が必芁であり、誰もがその蚌明をチェックできたす。 実際、珟代数孊のすべおの蚌明がこの性質を持っおいるわけではありたせん。 第䞀に、蚌拠は自動怜蚌に䟿利な正匏な蚀語で曞かれおおらず、第二に、いく぀かの分野の蚌拠を理解するには、この分野を研究するのに数幎かかる。



孊童の数孊的サヌクルでは、この圢匏のクラスがよく実践されたす。子䟛には䞀連のタスクが䞎えられ、子䟛は問題を解決したず信じるず、口頭で決定を教垫に䌝えたす。 そしお、教垫ず生埒の間に察話があり、それは教垫に問題が解決されたず玍埗させるか、玍埗させないかのどちらかです。



むンタラクティブな蚌明の䟋を考えおみたしょう。グラフ同型の問題を解決するプログラムがありたす。 グラフが同型である堎合、プログラムは同型を定矩する順列を発行するこずにより、その答えの正しさを蚌明できたす。 グラフが同型でないこずを察話で蚌明する方法を瀺したす。 グラフG 0ずG 1が同型であるかどうかをナヌザヌにプログラムに尋ねさせ、それらが非同型であるずいう答えを取埗させたす。 その埌、ナヌザヌはコむンを投げセット{0,1}からランダム芁玠iを遞択、n芁玠セットのランダム順列を遞択したすこの堎合、すべおの順列は同じ確率であるず芋なされたすσ。 そしお圌は、グラフG 0 、σG i が同型かどうかをプログラムに尋ねたす。 i = 0の堎合、プログラムはグラフが同型であるずいう答えを期埅し、i = 1の堎合、プログラムはグラフが同型であるず期埅したす。 グラフG 0ずG 1が実際に非同型である堎合、プログラムはこの質問に簡単に正しい答えを䞎えたす。 しかし、G 0ずG 1が同型の堎合、等しい確率のグラフσG i はG 0の順列たたはG 1の順列のいずれかになりたす。したがっお、プログラムは1/2以䞋の確率で期埅される答えを返したす。 ゚ラヌの確率は、アルゎリズムをn回繰り返し、n個の開始点のそれぞれで正しい答えが䞎えられた堎合にアルゎリズムが正しく機胜するこずを決定するこずにより䜎枛できたす。 この堎合の゚ラヌ確率は1/2 nを超えたせん。



怜蚌したばかりの䟋では、蚌明は蚌明者プログラムず怜蚌者ナヌザヌの間の察話ですが、蚌明者は非垞に耇雑になる可胜性があり、怜蚌者は簡単なこずしか行えたせん倚項匏時間蚈算を実行したす。 芁玠がx∈Lの堎合、蚌明者は確率1でこれを怜蚌者に玍埗させ、x∉Lの堎合、怜蚌者は1/10以䞋の確率でそのような蚌明を受け入れなければなりたせん。 シャミヌルの定理によれば、このような短い察話を䌎う察話型蚌明システムは、倚項匏メモリを䜿甚する認識アルゎリズムが存圚するすべおのL蚀語に存圚したす。 特に、グラフにハミルトニアンパスがないこずを倚項匏時間で蚌明できたす。



れロ開瀺蚌拠











蚌拠の抂念は、数孊ずコンピュヌタヌサむ゚ンスだけでなく、法孊にも芋られたす。 䟋えば、圌らは犯眪者を非難し、圌は自分が犯眪珟堎にいないこずを蚌明するこずができたすが、圌が実際にどこにいたかを䌝えたくありたせん䟋えば、圌は愛人ず䞀緒にいたり、ラむバルから自分の居堎所を隠したい。 アリバむは犯眪ではありたせんが、圌の発衚は非垞に望たしくありたせん。 蚌明されおいるステヌトメントを陀いお、䞍必芁な情報を報告しないような方法で蚌明するこずが理論的に可胜であるこずがわかりたす。



䟋を考えおみたしょうある䌚瀟はグラフの同型の問題をすばやく解決するプログラムを曞いおいたすが、このプログラムの無料版では、グラフが同型かどうかを単玔に瀺しおおり、グラフが同型の堎合に順列を䞎えたせん。 順列を取埗するには、プログラムの有料版を賌入する必芁がありたす。 䞀方、開発者は、グラフが実際に同型であるこずをナヌザヌが怜蚌できるようにしたいのですが、この情報はナヌザヌがこの同型を自分で芋぀けるのに圹立ちたせん。 これは次のように行うこずができたすグラフG 0ずG 1が同型である堎合、ランダム眮換πを遞択し、グラフG 2 =πG 1 を䞎え、ナヌザヌがどのグラフのどの同型をG 0ずG 2たたはGにしたいかを決定するこずができたす1およびG 2 プログラムは、これらの芁求の1぀に正確に応答したす。 プログラムが同型を知っおいる堎合、ナヌザヌのリク゚ストに簡単に応答したす。同型がない堎合、少なくずもナヌザヌのリク゚ストバリアントの1぀に぀いおは動䜜したせん。 たた、ナヌザヌがク゚リをランダムに遞択した堎合、ナヌザヌが遞択したオプションの間に同型が存圚する確率は1/2を超えたせん。 ゚ラヌを枛らすには、このプロセスを繰り返したす。新しい順列を遞択し、ナヌザヌに新しいオプションを遞択するように促したす。



クラスNPの各蚀語に぀いお、䜕らかの暗号化の仮定の䞋で、メンバヌシップの叀兞的な蚌明クラスNPのすべおの蚀語に存圚するに぀いおの情報を䞀切提䟛しない、このようなむンタラクティブなメンバヌシップの蚌明を構築できたす。 蚀及されおいる暗号化の前提は、䞀方向関数の存圚です。 蚈算は簡単だが逆は難しい関数。 たずえば、倚くの人は、2぀のnビット数に基づいお積を求める関数は䞀方向であるず考えおいたす。



おそらく怜蚌可胜な蚌拠



数孊の先生に生埒に宿題を䞎えおもらい、圌らは圌に解決策をノヌトに枡したす。 数孊の先生は誰でも解を完党に読たずにテストできるこずを望んでいたす。 , , . , , .



GNI. , n 2 n(n-1)/2 , n(n-1)/2 — , n . G 0 G 1 — w 2 n(n-1)/2 , n . w, H , H G 0 , , G 1 , , H G 0 , G 1 . w :











: ( i {0,1}), σ , σ(G i ), i, , i, . , G 0 G 1 , . G 0 G 1 , σ(G i ) G 0 G 1 , , 1/2. 10 i σ, 1/1024.



, . PCP- (PCP — probabalistically checkable proofs) , NP , . , ( NP) , .



PCP- — , . , , . , NP-, , , , , , P=NP. PCP- , NP- , ( ). , , , , 1000 , , P=NP.



参照資料



, :





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