集合論のパラドックスとその哲学的解釈

簡単な概要

私はトレーニングによって理論物理学者ですが、数学的な基礎は十分にあります。 政務では、主題の1つは哲学であり、トピックを選択し、それに取り組む必要がありました。 ほとんどのオプションは複数回使用されていたため、よりエキゾチックなものを選択することにしました。 私は新しいふりをするのではなく、このトピックに関するすべて/ほとんどすべての利用可能な文献を蓄積することができました。 哲学者と数学者は私に石を投げることができます。建設的な批判に感謝するだけです。



PS非常に「ドライな言葉」ですが、大学のプログラムを終えた後でもかなり読みやすいです。 ほとんどの場合、パラドックスの定義はウィキペディア（単純化された表現と既製のTeXマークアップ）から取られました。

はじめに

集合論自体とそれに内在するパラドックスの両方が、100年以上前にさかのぼって登場しました。 しかし、この期間には長い道のりがありました;集合論は、実際には何らかの形で数学のほとんどの分野の基礎になりました。 カントールの無限大に関連した彼女のパラドックスは、半世紀で文字通り説明されました。



定義から始めてください。



群衆とは何ですか？ 質問は非常に簡単で、答えは非常に直感的です。 セットは、単一のオブジェクトによって表される特定の要素のセットです。 カントールは、その作品の中で、超限のメンゲンレールの定義で、「多」とは、私たちの熟考または思考の集合M全体への結合を意味します（集合Mの「要素」と呼ばれます）[1]。 ご覧のとおり、本質は変わっていません。違いはその部分のみであり、決定する世界観に依存しています。 論理と数学の両方の集合論の歴史は非常に矛盾しています。 実際、カントールは19世紀にその基礎を築き、その後ラッセルとその他の人々は仕事を続けました。



パラドックス（論理と集合論）-（ギリシャ語 -予期せぬ）-論理的正当性を維持しながら、理論と形式的論理の実質的なセットで生じる形式的論理的矛盾。 2つの相互に排他的な（矛盾する）判断が等しく証明可能であることが証明されると、パラドックスが生じます。 パラドックスは、科学理論の枠組みと通常の推論の両方に現れる可能性があります（たとえば、ラッセルのすべての通常のセットに関するパラドックスの言い換え：「村の美容師は、すべての人々と、自分のひげを剃っていない村の住民だけを剃ります。自分ですか？）。 公式の論理的矛盾は、真実を検出および証明する手段としての推論を破壊するため（パラドックスが現れる理論では、あらゆる命題を真または偽のいずれかで証明することができます）、そのような矛盾の原因を特定し、それらを排除する方法を見つけるという課題が生じます。 パラドックスに対する具体的な解決策の哲学的理解の問題は、形式的論理と数学の論理的基盤の重要な方法論的問題の1つです。



この作品の目的は、古代理論の相続人としての集合論のパラドックスと、新しいレベルの抽象化-無限への移行の完全に論理的な結果を研究することです。 タスクは、主要なパラドックス、その哲学的解釈を考慮することです。

集合論の主なパラドックス

ビーバーは、自分を剃らない人々だけを剃ります。 彼は自分を剃りますか？

歴史への短い脱線を続けます。



論理的パラドックスのいくつかは古代から知られていますが、数学的理論は算術と幾何学に限定されていたため、それらを集合論と関連付けることは不可能でした。 19世紀、状況は根本的に変化しました。カンターの作品は、新しいレベルの抽象化に到達しました。 彼は無限の概念を導入し、それによって数学の新しい分岐を作成し、それによって「集合の力」の概念を使用して異なる無限の比較を可能にしました[2]。 しかし、それによって彼は多くのパラドックスを生み出しました。 最初は、いわゆるブラリ・フォルティのパラドックスです。 数学的文献には、さまざまな用語と提案されている有名な定理に基づいたさまざまな定式化があります。 正式な定義の1つを次に示します。



xが序数の任意のセットである場合、set-sum 各要素x以上の序数があります。 今、それを仮定します -すべての序数のセット。 それから -のいずれかの数値以上の序数 。 しかし、その後 序数であり、すでに厳密に大きいため、次のいずれの数とも等しくない 。 しかし、これは次の条件と矛盾します -すべての序数のセット。



パラドックスの本質は、すべての序数の集合が形成されると、新しい序数型が形成されることです。これは、すべての序数の集合が形成される前に存在した「すべて」の超限序数にはまだありませんでした。 このパラドックスはカントール自身によって発見され、イタリアの数学者ブラリ・フォルティによって独自に発見され、出版されました。後者の誤りはラッセルによって修正され、その後、文言は最終的な形になりました[2,3]。



このようなパラドックスを回避し、ある程度説明しようとするすべての試みの中で、すでに言及したラッセルの考えは最大の注目に値します。 彼は、集合の要素の定義が逆説を引き起こす後者に依存する数学と論理の暗黙の文から除外することを提案した。 ルールは次のとおりです。「セットCには、セットCに関してのみ定義された要素m、および定義でこのセットを想定する要素nを含めることはできません」[4]。 セットの定義に対するこのような制限により、パラドックスを回避できますが、同時に数学への適用範囲が大幅に縮小されます。 さらに、これは、思考と言語の二分法に根ざした形式的論理の特徴に基づいて、その性質と外観の理由を説明するには不十分です[4]。 ある程度、この制限では、後の時期に認知心理学者および言語学者が「基本レベルの分類」と呼ぶようになったものに類似性をたどることができます。定義は、理解し、研究しやすい概念に限定されます。



その後、1899年、カントールは彼にちなんで名付けられたパラドックスを発見しました 。



すべてのセットのセットが 存在します。 この場合、それは本当です 、つまり、すべてのセットtはVのサブセットです。ただし、これは -任意のセットのパワーはVのパワーを超えません。ただし、すべてのサブセットのセットの公理により、Vは他のセットと同様に、すべてのサブセットのセットがあります。 、およびカントールの定理により 、これは前のステートメントと矛盾します。 したがって、Vは存在できません。これは、構文的に正しい論理条件がセットを定義するという「単純な」仮説と矛盾します。 yを自由に含まない式Aの場合。 ツェルメロ・フレンケル集合の公理化された理論に基づいたそのような矛盾がないことの顕著な証拠は、ポッターによって与えられます[3]。



論理的な観点からは、上記のパラドックスはどちらも「嘘つき」または「ビーバー」と同じです。表現された判断は、それに関連する何かの目的だけでなく、それ自体にも対処されます。 ただし、論理的な側面だけでなく、ここにある無限の概念にも注意を払う必要があります。 文献はポアンカレの著作を引用しており、その中で彼は次のように書いている：「実際の無限の存在への信仰は…これらの予測不可能な定義を必要とする」。

一般的に、主なポイントがあります[2]：

• これらのパラドックスでは、述語と主語の「球体」を明確に分離する規則に違反しています。 混乱の程度は、ある概念を別の概念に置き換えることに近い。
• 通常、論理的には、推論の過程で、主語と述語がそれぞれの量と内容を保持すると想定されます。この場合は、
  
  あるカテゴリから別のカテゴリへの移行。これにより不一致が生じます。
• 「すべて」という単語の存在は、有限数の要素にとって意味があります;無限数の要素の場合には、
  
  自分自身を定義するには、多数の定義が必要です。
• 基本的な論理法則に違反しています：
  
  
  • 主語と述語の同一性が発見されると、同一性の法則に違反する。
  • 矛盾の法則-同じ権利で2つの矛盾する判断が推論される場合;
  • 除外された第3の法則-この第3が認識される必要があり、除外されない場合。 それらは同様に正当です。
  
  
  

3番目のパラドックスはラッセルと呼ばれます。 定義の1つを以下に示します。

Kを自分自身を要素として含まないすべてのセットのセットとしますが、Kは自分自身を要素として含みますか？ はいの場合、Kの定義により、それはKの要素-矛盾ではないはずであり、そうでない場合-Kの定義により、Kの要素-再び矛盾である必要があります。 この声明は、彼らの関係を示すカントールパラドックスから推測されます。 しかし、概念の「自己運動」は「私たちの目の前」に直接生じるため、哲学的本質はより明確に現れます[2]。



Tristram Shandyのパラドックス：

スターンの小説 『紳士であるトリストラム・シャンディの生涯と意見』では、主人公は人生の最初の日の出来事を暴露するのに丸1年かかり、2日目を説明するのにもう1年かかったことがわかります。 この点で、主人公は彼の伝記の素材が処理できるよりも早く蓄積し、それを完成させることは決してできないと不満を述べています。 「今、私は断言します」とラッセルはこれに反対します。「彼が永遠に生きていて、彼の人生が最初のように波乱に満ちていても、彼の仕事が彼に負担にならなければ、彼の伝記の一部ではない書かれたままではなかったでしょう。」

確かに、シャンディは、n年目のn日目の出来事を説明することができ、したがって、彼の自伝では、毎日がキャプチャされます。



言い換えれば、人生が永遠に続くならば、それは何日も何年も続くでしょう。



ラッセルは、この小説とゼノをカメで類推しています。 彼の意見では、解決策は、全体が無限の部分に等しいという事実にあります。 つまり 「常識の公理」だけが矛盾につながります[2]。 しかし、問題の解決策は純粋数学の分野にあります。 明らかに、2つのセットがあります-年と日、1対1の対応が確立される要素の間-全単射。 次に、主人公の無限の生命の条件下で、2つの無限の等ポテンシャルセットがあります。セット内の要素数の概念の一般化としてパワーを考えると、逆説が可能になります。



Banach-Tarskyパラドックス（定理）またはボール2倍パラドックスは、3次元ボールがその2つのコピーに相当するというセット理論の定理です。

ユークリッド空間の2つのサブセットは、1つを有限数の部分に分割し、それらを移動して、2番目の部分を構成できる場合に等しいと呼ばれます。

より正確には、2つのセットAおよびBは、互いに素なサブセットの有限結合として表現できる場合、等間隔です。 そのため、各iのサブセット 合同に 。



選択定理を使用すると、定義は次のようになります[3]。

選択の公理は、これらのコンポーネントの形状を変更しない3次元ユークリッド空間の変換により、単位球の表面が有限数の部品に分割され、単位半径の2つの球に組み立てられることを意味します。



明らかに、これらの部品が測定可能である必要があるため、この定数は実現不可能です。 有名な物理学者のリチャードファインマンは伝記で、オレンジを限られた数のパーツに分割して再配置することについての議論に勝つことができた方法を語った[5]。



特定の時点で、このパラドックスは選択の公理に反論するために使用されますが、問題は、基本幾何学であると考えるものが重要ではないということです。 私たちが直観的に考えるこれらの概念は、超越関数の特性のレベルまで拡張されるべきです[3]。



選択の公理が誤っていると考える人の信頼をさらに弱めるために、マズルケビッチとシェルピンスキーの定理に言及する必要があります。これは、それぞれが有限個の部分に分割できる2つの互いに素なサブセットを持つユークリッド平面の空でないサブセットEがあることを示していますそれらは、アイソメトリによってセットEのカバーに転送できます。

さらに、証明は選択の公理の使用を必要としません[3]。

確実性の公理に基づいたさらなる構造は、バナッハとタルスキのパラドックスの解決策を提供しますが、そのような関心を表すものではありません[3]。

• リチャードのパラドックス：「この本で言及されていない最小の数字」と呼ぶ必要があります。 矛盾は、一方で、これを行うことができるということです。なぜなら、この本で指定されている最小数があるからです。 それに基づいて、最も無名の名前を付けることができます。 ただし、ここで問題が発生します。連続体は数えられないため、2つの数字の間に無限の数の中間数字を挿入できます。 一方、この番号に名前を付けることができれば、本で言及されていない人のクラスから言及されている人のクラスに自動的に転送されます[2]。
• Grelling-Nielsonのパラドックス：言葉や記号は財産を示し、同時にそれを持っているかどうかを示すことができます。 最も些細な定式化は次のとおりです。「異種」という言葉（「自分自身には適用されない」を意味します）は異種ですか？..弁証法的矛盾によるラッセルのパラドックスに非常に似ています：形と内容の二重性が侵害されています。 抽象度の高い単語の場合、これらの単語が異種であるかどうかを判断することは不可能です[2]。
• スコレムのパラドックス：ゲーデル完全性定理とレーベンハイム-スコレム定理[3]を使用して、可算集合の集合のみがその解釈のために（利用可能）であると仮定される場合でも公理集合論は真実のままであることがわかります。 同時に
  
  公理理論には、すでに述べたカントールの定理が含まれており、これにより、数え切れないほどの無限集合が導かれます。 [2]

パラドックス解決

集合論の創造は数学の第三の危機と考えられるものを生み出しましたが、これは今まで誰にとっても十分に解決されていませんでした[4]。

歴史的に、最初のアプローチは集合論でした。 無限のシーケンスが無限で完了すると信じられていたとき、それは実際の無限の使用に基づいていました。 セット理論では、セットで動作する必要がしばしばあるという考えでしたが、セットは他のより広範なセットの一部である可能性があります。 この場合、成功したアクションは1つの場合にのみ可能でした。これらのセット（有限および無限）が完了しました。 ある程度の成功は明らかでした。公理的ツェルメロ-フレンケル集合論、数学の全学ニコラス・ブルバキは、半世紀以上にわたって存在し、今でも多くの批判を引き起こしています。



論理主義は、すべての既知の数学を算術の用語に減らし、算術の用語を数学的論理の概念に減らす試みでした。 フレーゲはこれを非常に密接に取り上げたが、ラッセルが理論の矛盾を指摘した後、労働の仕事を終えた後、彼は破産を示すことを余儀なくされた。 同じラッセルは、すでに前述したように、「型理論」を使用して暗黙的な定義の使用を除外しようとしました。 しかし、彼の多数と無限の概念、および還元性の公理は非論理的であることが判明しました。 主な問題は、形式的なロジックと数学的ロジックの質的な違い、および直感的なコンセプトを含む余分なコンセプトの存在が考慮されていないことでした。

その結果、論理主義の理論は、無限に関連するパラドックスの弁証法的矛盾を排除することができませんでした。 少なくとも予測不可能な定義を取り除くことを可能にした原則と方法しかありませんでした。 彼自身の談話では、ラッセルはカントールの相続人でした[2]



XIXの終わり-XX世紀の始まり。 数学に関する形式的観点の広がりは、公理的手法の開発とD.ヒルバートによって提唱された数学の実証プログラムに関連していた。 この事実の重要性の程度は、彼が数学コミュニティに提起した23の最初の問題が無限の問題であったという事実によって示されます。 「すべての形而上学を除外する」古典的な数学の一貫性を証明するために、形式化が必要でした。 ヒルベルトが使用した手段と方法を考えると、彼の目標は根本的に不可能でしたが、彼のプログラムは数学の基礎のその後のすべての開発に大きな影響を与えました。 ヒルベルトはこの問題に長い間取り組んでおり、最初に幾何学の公理学を構築しました。 問題の解決は非常に成功したので、彼は公理的方法を自然数の理論に適用することに決めました。 これに関連して彼が書いたものは次のとおりです。「私は重要な目標を追求しています。それ自体が数学を実証する問題に対処し、各数学ステートメントを厳密に導出可能な式に変換したいのです。」同時に、それを無限に減らすことで無限を取り除くことを計画操作の数。 これを行うために、彼は無限の量の完全な失敗を示すために、その原子論で物理学に目を向けました。 実際、ヒルベルトは理論と客観的現実の関係の問題を提起しました。



ほぼ完全な有限方法の全体像は、ヒルベルトの学生、J。エルブランによって与えられます。 有限推論により、彼は次の条件を満たすような推論を理解します。論理的パラドックス「-有限および明確な数のオブジェクトと機能のみが常に考慮されます。



-関数には正確な定義があり、この定義により値を計算できます。



-「このオブジェクトは存在します」は、その構築方法がわからない限り、決して確認されません。



-任意の無限のすべてのオブジェクトXのセットは考慮されません。



-推論または定理がこれらすべてのXに当てはまることがわかっている場合、これはこの一般的な推論を特定のXごとに繰り返すことができることを意味し、この一般的な推論自体はそのような具体的な推論のモデルとしてのみ考慮されるべきです



しかし、この分野での最後の出版の時点で、ゲーデルはすでに彼の結果を得ており、実際、彼は再び認知の過程で弁証法の存在を発見し、確認しました。 その中心で、数学のさらなる発展は、ヒルベルト計画の矛盾を示しました。



ゲーデルは実際に何を証明しましたか？ 3つの主な結果を区別できます。



1.ゲーデルは、このシステム自体にあるものを除いて、他の推論ルールを使用しないすべての算術、証拠を含めるのに十分な広さのシステムの一貫性の数学的証明が不可能であることを示しました。 より強力な推論ルールを使用するこのような証明は、有用であると証明されるかもしれません。 しかし、これらの導出規則が算術計算の論理的手段よりも強い場合、証明で使用される仮定の一貫性に確実性はありません。 いずれにせよ、使用する方法が有限ではない場合、ヒルベルトプログラムは不可能になります。 ゲーデルは、計算の不整合を示して、算術の整合性の初歩的な証明を見つけました。

2.ゲーデルは公理的手法の基本的な限界を指摘した。PrincipiaMathematicaシステムは、算術が構築される他のシステムと同様、本質的に不完全である。つまり、一貫した算術公理システムには、公理から推定できない真の算術文があるこのシステムの。

3.ゲーデルの定理は、算術システムの拡張がそれを完全にすることはできず、無限の数の公理で満たしたとしても、新しいシステムではこのシステムによって常に真実であるが推論できないことを示しています。自然数の算術への公理的アプローチは、真の算術判断の全領域をカバーすることはできず、数学的証明のプロセスによって私たちが意味することは、公理的方法の使用に限定されません。ゲーデルの定理の後、説得力のある数学的証明の概念が一度にすべての概説された形式に与えられると期待することは無意味になりました。 [2,4,6]



集合論を説明するこの一連の試みの最後は直観主義でした。



彼は進化のいくつかの段階を経ました-半直観主義、直観主義、適切な超直観主義。数学のさまざまな段階でさまざまな問題が心配されますが、数学の主な問題の1つは無限の問題です。無限、連続性の数学的概念は、その出現の瞬間からの哲学的分析の主題でした（原子論者のアイデア、Eleaのゼノンのアポリア、古代の無限小法、現代の無限小の計算など）。最大の論争は、さまざまなタイプの無限大（潜在的、関連性）を数学的オブジェクトとして使用することと、その解釈によって引き起こされました。私たちの意見では、これらの問題はすべて、より深い問題、つまり科学的知識における主題の役割によって発生しました。事実は数学の危機の状態は、物体の世界（無限）と対象の世界の測定の認識論的な不確実性によって生成されること。主題としての数学者には、潜在的または実際の無限大のいずれかの認知手段を選択する機会があります。可能性として無限の可能性を適用することで、有限のステップを持たず、構築を完了することなく、無限に構築できる無限の数の構築を実装、構築する機会が与えられます。実際の無限大を適用することにより、彼はすでに実現可能な無限大で作業する機会を与えられ、実際に同時に与えられたように、その構築が完了します。可能性として無限の可能性を適用することで、有限のステップを持たず、構築を完了することなく、無限に構築できる無限の数の構築を実装、構築する機会が与えられます。実際の無限大を適用することにより、彼はすでに実現可能な無限大で作業する機会を与えられ、実際に同時に与えられたように、その構築が完了します。可能性として無限の可能性を適用することで、有限のステップを持たず、構築を完了することなく、無限に構築できる無限の数の構築を実装、構築する機会が与えられます。実際の無限大を適用することにより、彼はすでに実現可能な無限大で作業する機会を与えられ、実際に同時に与えられたように、その構築が完了します。



半直観主義の段階では、無限の問題はまだ独立していませんでしたが、数学的オブジェクトとその実証の方法を構築する問題に織り込まれていました。 A.ポアンカレの半直観主義と、ベール、ルベーグ、ボレルの機能理論のパリ派の代表者は、自由選択の公理の採用に向けられ、その助けを借りて、ツェルメロの定理が証明されました。セット。数学的オブジェクトを構築する方法はありません。数学的オブジェクト自体はありません。数学者は、一連の研究対象を構築するための理論的方法の有無が、この公理を正当化または論utingする根拠となると信じていました。ロシア語版では、数学の哲学的基盤における半直観主義的な概念は、N.N。によって開発された効率の方向に開発されましたルジン。効率は、関連性、選択、半無限帰納など、無限について設定されたカントールの教えの主要な抽象化に対する反対です。



効率のために、認識論的に価値のある抽象化は、実際の無限大の抽象化よりも潜在的な実現可能性の抽象化です。これにより、関数成長の効果的な概念に基づいて、超有限序数（無限序数）の概念を導入することが可能になります。連続マッピング（連続体）の効率の認識論的インストールは、離散手段（算術）とN.N. Luzinによって作成されたセット（関数）の記述理論に基づいていました。オランダ人の直観主義L.E. J.ブラウアー、G。ウェイル、A。ヘイティングは、伝統的な研究対象として、さまざまな種類の自由に出現するシーケンスを見ています。この段階で、すべての数学の再構築を含む、数学的な問題を実際に解決し、直観主義者は、知識人としての数学者の役割に関する哲学的問題を提起した。彼は認知手段の選択においてより自由で積極的である彼の立場は何ですか？直観主義者は、実際の無限大の概念を批判する最初の（そして半直観主義の段階で）、カントールは理論を構築し、建設的な問題の解決のための科学的検索に影響を与える対象の能力に対する侵害を見た。潜在的な無限大を使用する場合、被験者は潜在的な無限大のアイデアが実際の無限大のアイデアよりも直感的にはるかに明確であるため、被験者は自分を欺きません。直観主義者にとって、オブジェクトが数学に直接与えられるか、その構築と構築の方法が知られている場合、オブジェクトは存在すると見なされます。いずれにしても、被験者は自分のセットの多くの要素を完了するプロセスを開始できます。直観主義者のための未完成のオブジェクトは存在しません。同時に、実際の無限大で働いている被験者はこの機会を奪われ、受け入れられた立場の二重の脆弱性を感じるでしょう：



1）この無限の構造を実行することはできません。

2）彼は、有限物体のように実際の無限大で動作することを決定し、この場合、無限大の概念の特異性を失います。直観主義は、数学者の能力を、抽象概念の助けを借りて得られたものの、効果的で、説得力があり、証明可能で、機能的に建設的で、実際に直感的に明確な信頼性のあるツールによって数学オブジェクトを排他的に構築できるという事実に意図的に制限します実際には、疑いの余地はありません。潜在的な無限の概念と建設的な研究方法に基づく直観主義は、形成の数学を扱い、集合論は存在の数学を指します。



直観主義者ブラウワーにとって、数学的経験主義の代表として、論理は二次的であり、彼はそれと排除された第三の法則を批判します。



彼の部分的に神秘的な作品では、彼は無限の存在を否定しませんが、その実現、可能性のみを許可しません。彼にとっての主なことは、実際に使用される論理的手段と数学的な推論の解釈と正当化です。直観主義者によって採用された制限は、数学で無限という概念を使用することの不確実性を克服し、数学の基盤で危機を克服したいという願望を表しています。



超直観主義（A.N.コルモゴロフ、A.A。マルコフなど）は、直観主義の発展の最終段階であり、その基本的な考え方は、本質を変えずに、基準に導かれ、欠点を克服し、肯定的な側面を強化して、近代化、実質的に補完、変換されます数学的厳密さ。直観主義的アプローチの弱点は、数学的方法の正確さと有効性を正当化する唯一の源泉としての直観の役割についての狭い理解でした。 「直観的な明快さ」を数学の真実の基準として、直観主義者は知識論の主題としての数学者の可能性を方法論的に貧困にし、直観に基づいた精神的操作にのみ彼の活動を減らし、数学的知識の過程で実践を含めなかった。超直観的な数学の正当化プログラムはロシアの優先事項です。したがって、国内の数学者は、直観主義の限界を克服し、唯物弁証法の効果的な方法論を採用し、人間の実践を数学的概念と数学的方法（結論、構成）の両方の形成の源として認めました。超直観主義者は、検出できない主観的な直観の概念ではなく、数学的な実践と数学的なオブジェクトを構築するための具体的なメカニズムに基づいて、数学的なオブジェクトの存在の問題を解決しました。数学的概念と数学的方法（結論、構成）の両方の形成の源として人間の実践を認識する。超直観主義者は、検出できない主観的な直観の概念ではなく、数学的な実践と数学的なオブジェクトを構築するための具体的なメカニズムに基づいて、数学的なオブジェクトの存在の問題を解決しました。数学的概念と数学的方法（結論、構成）の両方の形成の源として人間の実践を認識する。超直観主義者は、検出できない主観的な直観の概念ではなく、数学的な実践と数学的なオブジェクトを構築するための具体的なメカニズムに基づいて、数学的なオブジェクトの存在の問題を解決しました。



超直観主義は、直観主義の美徳を強化し、あらゆる方向の数学者が使用する建設的な問題を解決する方法を合理化し、一般化する能力から成ります。したがって、最終段階の直観主義（超直観主義）は数学の構成主義に近い。認識論的側面では、超直観主義の主なアイデアと原則は次のとおりです。論理の古典的公理学の批判。抽象概念、数学的判断の構築および建設的理解の方法としての識別の抽象化（オブジェクトの異なる特性からの精神的気晴らしおよびオブジェクトの一般的な特性の同時分離）の役割の使用と重要な強化（A.マルコフの明示的な指示による）;一貫した理論の一貫性の証明。正式な側面では、識別抽象化の使用は、反射、推移性、対称性の3つの特性（軸）によって正当化されます。



A.N.の作品の超直感主義の段階で、その基礎の危機を引き起こした無限の問題に関する数学の主な矛盾を解決するコルモゴロフは、古典的および直観的論理、古典的および直観的数学の間の関係の問題を解決することにより、危機から抜け出す方法を提案しました。ブラウワーの直観主義は全体として論理を否定したが、数学者は論理なしではできないので、直観主義は依然として論理的推論の実践を保持していたので、公理を基礎とする古典的論理のいくつかの原則が許された。 S.K. Kleene、R. Wesleyは、直観的な数学はある種の微積分として説明することさえでき、微積分は論理、形式化、およびその形式-アルゴリズム化に基づいて数学的知識を整理する方法であることに注意します。直観的な判断の明確化のための直観主義的要件の枠組み内の論理と数学の関係の新しいバージョン、特に否定を含むもの、A.N。コルモゴロフは次のように提案した：直観主義の論理は、直観主義の数学に密接に関連し、命題と述語の公理的含意最小計算の形で提示した。このように、科学者は、直観のみを認知の手段として認識する直観主義の限界と、論理学の限界を克服する数学知識の新しいモデルを導入し、数学の論理の可能性を絶対化しました。この立場により、柔軟な合理性とその建設的有効性の基礎として、直感的かつ論理的な統合を数学的な形で示すことができました。コルモゴロフは次のように提案した：直観主義の論理は、直観主義の数学に密接に関連し、命題と述語の公理的含意最小計算の形で提示した。このように、科学者は、直観のみを認知の手段として認識する直観主義の限界と、論理学の限界を克服する数学知識の新しいモデルを導入し、数学の論理の可能性を絶対化しました。この立場により、柔軟な合理性とその建設的有効性の基礎として、直感的かつ論理的な統合を数学的な形で示すことができました。コルモゴロフは次のように提案した：直観主義の論理は、直観主義の数学に密接に関連し、命題と述語の公理的含意最小計算の形で提示した。このように、科学者は、直観のみを認知の手段として認識する直観主義の限界と、論理学の限界を克服する数学知識の新しいモデルを導入し、数学の論理の可能性を絶対化しました。この立場により、柔軟な合理性とその建設的有効性の基礎として、直感的かつ論理的な統合を数学的な形で示すことができました。このように、科学者は、直観のみを認知の手段として認識する直観主義の限界と、論理学の限界を克服する数学知識の新しいモデルを導入し、数学の論理の可能性を絶対化しました。この立場により、柔軟な合理性とその建設的有効性の基礎として、直感的かつ論理的な統合を数学的な形で示すことができました。このように、科学者は、直観のみを認知の手段として認識する直観主義の限界と、論理学の限界を克服する数学知識の新しいモデルを導入し、数学の論理の可能性を完全にしました。この立場により、柔軟な合理性とその建設的効果の基礎として、直感的で論理的な統合を数学的な形で実証することができました。



結論したがって、数学的知識の認識論的側面により、XIX-XX世紀の変わり目に数学の基礎の危機の段階で革命的な変化を評価することができます。認識のプロセス、性質、およびその中の対象の役割を理解する新しい立場から。数学における集合論的アプローチの支配の期間に対応する伝統的知識理論の認識論的主題は、抽象、論理、現実からの形式主義、合理的、理論的にその対象を知る、主題と目的の関係で表される抽象的な不完全な「部分的な」主題であり、鏡として理解され、現実を正確に反映してコピーします。実際、対象は、実際のプロセスおよびオブジェクトとの相互作用の結果として、知識から除外されました。数学の哲学的傾向の闘争の場での直観主義の出現は、知識の主題としての数学の新たな理解につながった-その哲学的抽象化を新たに構築する必要があることを知っている人。数学者は経験的主題として登場し、すでに不可欠な実在の人物として理解されていました。これには、認識論的主題で気を散らされていたすべての特性が含まれます-経験的具体性、変動性、歴史性。それは、実際の認知、創造的、直観的、独創的な主題における演技と認知です。直観主義的数学の哲学は、柔軟な合理性の概念に基づいて構築された現代の認識論的パラダイムの基礎であり、人は認識の不可欠な（統合的な）主題であり、新しい認識の質、方法、手順を所有しています;彼は彼の抽象的認識論的および論理的方法論的な性質と形態を統合し、同時に実存的人類学的および「歴史的・形而上学的」な理解を受け取ります。



重要な点は、認知、特に数学的概念の形成における直感です。繰り返しますが、数学には意味がなく、哲学からそこに来たとして、排除された第三の法則を排除しようとする哲学との闘争があります。しかし、直感を過度に重視し、明確な数学的正当化の欠如により、数学を強固な基盤に移すことはできませんでした。 [2,4,7]



しかし、1930年代にアルゴリズムの厳密な概念が登場した後、数学的構成主義が直観主義からバトンを引き継ぎ、その代表者が現代の計算可能性理論に大きく貢献しました。さらに、1970年代と1980年代には、直観主義者のいくつかのアイデア（以前は不合理に思えたものも）とトポスの数学的理論との間に重要なつながりが見つかりました。一部のトポスで利用可能な数学は、直観主義者が作成しようとしたものに似ています。



その結果、私たちは声明を出すことができます：上記のパラドックスのほとんどは、単に自己帰属を持つ集合論には存在しません[8]。そのようなアプローチが最終的なものであるかどうかは議論の余地があります。

おわりに

弁証法的唯物論的分析は、パラドックスが言語と思考の二分法の結果であり、深い弁証法の表現（ゲーデルの定理により、認知の過程で弁証法を明らかにすることを可能にした）と形式的論理の主題と主題領域の概念に関連する認識論的困難、論理のセット（クラス）の結果であることを示しています抽象化の原理を使用して理論を設定します。これにより、新しい（抽象的な）オブジェクト（無限）を導入でき、科学などで抽象的なオブジェクトを決定する方法を使用できます。 。n。したがって、すべてのパラドックスを排除する普遍的な方法を与えることはできません。



数学の第3の危機が終わったかどうか（パラドックスと因果関係にあったため;現在、パラドックスは不可欠な部分です）-意見は異なりますが、正式に知られているパラドックスは1907年までに排除されましたしかし、現在、数学には、危機または危機の予兆と考えられる他の状況があります（たとえば、連続体積分の厳密な議論の欠如）。



パラドックスについては、有名な嘘つきのパラドックスが数学で非常に重要な役割を果たし、基本危機を引き起こしたセットのいわゆる素朴な（前の公理的）理論の一連のパラドックス（これらのパラドックスの1つはG.フレーゲの人生で致命的な役割を果たしました） 。しかし、おそらく、逆説的で危機的ともいえる現代数学で最も過小評価されている現象の1つは、ヒルベルトの最初の問題の1963年のポールコーエンによる解決策です。より正確には、ソリューションの事実ではなく、このソリューションの性質[9]。

文学

1. ジョージ・カントール。半透明の画像を表示してください。Mathematische Annalen、46：481-512、1895。
2. I.N. ブロフ。集合論と弁証法のパラドックス。科学、1976年。
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