カール・ガウスはかつて数学をすべての科学の女王と呼び、人間の知識の分野で特別な場所を与えました。 実際、他の科学とはまったく異なり、むしろ言語や学習方法として機能します。 おそらくすべての科学の中で最も厳しいので、厳密で一般に受け入れられている定義はありません。 その歴史を通して、それ自体を変容させ、数学の概念は変容しました。 科学者は、数学の発展を通じて、数学の定義ではなく、それを特徴付ける一連の格言またはそれについての考えを補うことができました。 「数学は自然の本が書かれている言語です」（G.ガリレイ）-これは判断のほんの一部であり、数学に関するアイデアの不均一性を示しています。 数学の定義の問題に加えて、興味深く議論の余地があるのは、その性質（基礎）、その方法論、目標、現実世界とのつながりに関する問題です。 それらに対する答えも曖昧であり、時間とともに大きく変化し、さまざまな哲学的傾向を生み出しています。
「数学は必要な結論の科学です」（B. Pierce）
「数学は、経験を積んだ判断から別の判断に移行するのに役立つ厳密な言語です」（N.ボーア）
「数学は形式的な構造の階層です」（N.ブルバキ）
「数学は実世界の量的関係と空間形態の科学です」（A.コルモゴロフ）
別の科学としての数学の発展における最初の段階は、証明の概念、演in的推論であり、その創始者は古代ギリシャの数学者でした。 体系的な科学としての数学の出現は、ピタゴラスの教えにおける数学の神秘化に反映された当時の哲学的思考に強く影響しました。 ピタゴラス主義は数学の基礎に関する最初の哲学的コースと見なすことができ、これはピタゴラスの「すべては数である」という論文で完全に表現されています。 ピタゴラス人は、数学がすべての原則の始まりであり、すべてのものの基礎であると考えました。 彼らは、より完璧な世界、つまりアイデアの世界で魂に受け入れられた生得的な数学的真実を考慮しました。
数学の最初の危機（セグメントの通約不可能性）はピタゴラスの哲学に打撃を与え、数学の調和を破壊しました。 広く、ある意味で、ピタゴラスの完全な批判はアリストテレスによって与えられました。 アリストテレスによれば、数学は物とは独立して存在する理想的な存在についての知識ではなく、物から抽象化された知識です。 しかし、ピタゴラス主義は長い間、数学の哲学的理解に影響を及ぼしました（ある意味、まだ影響を与えています）。 古代ギリシアの数学者の主な貢献は、特にユークリッドの「原則」で表現された、厳密な数学の導入でした。
数学の発展における次の重要な時代は、「復活」の時期でした。 主に力学である科学の新しいニーズにより、微分および積分計算に関連する新しいアイデアが登場しました。 数学は、外部の現実に応じて、二次的な実験的知識と見なされるようになりました。 この時代には、数学の第二の危機、すなわち微分計算の正当化における「古代人の厳格さ」の欠如が伴いました。 実際には、結果が得られましたが、証拠に関連する無限小の使用は発見的すぎました。 特に、ライプニッツは微分計算を正当化するために、「非アルキメデスの価値」という矛盾した概念を導入しました。 厳密な正当化がないため、さまざまな形而上学的および自然な哲学的説明が形成され始めました。
次の段階は、非ユークリッド幾何学（数学の第三の危機）によって引き起こされました。 現実の世界とは比較にならないほど、彼らは過去の古典的な経験主義に打撃を与えました。 非ユークリッド幾何学は白熱した議論の対象となり、多くの数学者に長い間受け入れられていませんでしたが、数学の発展における分岐点として機能し、まったく新しい見方をしました。 現在、数学的理論の最も重要な特徴は一貫性であり、経験との相関ではありません。 最初は非ユークリッド幾何学の形而上学的な説明の試みがありましたが、後に、ポアンカレ、デデキント、カンター、ヒルベルトの力による多くの点で、経験と直感に関連するおよび関連しない数学的オブジェクトの平等が認識されました。 このような数学のビジョンは、その後のすべての哲学に反映されました。
さまざまな哲学的および数学的な傾向は、数学を実証する方法が主に異なります。 これらの流れの1つは論理主義であり、正式な数理論理学の発展の精神に現れました。 彼の主な仕事は、数学の基礎を減らすことでした-算術から論理トートロジーへ。 彼女の謝罪者G.フレーゲは、論理がすべての数学的概念の真の意味を明らかにするための十分な基礎を提供することを疑いませんでした。 しかし、論理的根拠は、たとえパラドックスに至らなくても、論理の法則の外にある追加の仮定を含む必要があることが判明しました。 数学の論理的基礎のアイデアは、まず第一に、論理（形式論理）の特徴、その優位性のアイデアでしたが、この声明はかなり疑わしいものです。 ポアンカレは論理主義を「無限を有限に減らす絶望的な試み」と表現した。
別の傾向は直観主義でした。 彼の主なポイントは、数学のいくつかのオブジェクトは確かに明確であり、それらを操作することは矛盾につながらないという信念でした。 論理主義に対するカウンターバランスとして大部分は現れたが、それは本質的に経験主義の単なる修正であった。 以前に得られた多くの原則を拒否した彼は数学を著しく貧しくし、それがそれを拒否する理由の一つとして役立った。
それまでに受け取ったすべての数学の正当化プログラムの批判的なレビューに基づいて、ヒルベルトは、形式主義として知られるようになった彼自身の道を提案しました。 この傾向の主な哲学的前提は、数学の正当化はその一貫性の正当化にすぎないということでした。 ヒルベルトによって提案された実証手順は、第一に、公理と推論規則のスキームの象徴的な形で理論を形式化すること、そして第二に、その正式な構造のみに基づいて一貫性を証明することから成りました。 しかし、この傾向は受け入れられないことが判明しました。 Kurt Godelによる数学論理の2つの定理は、数学の正当化に革命をもたらしました。 特に、2番目の定理は、十分に豊富な形式理論の一貫性の証明は、この理論自体では不可能であり、ヒルベルトの実証手順を不可能にしていると述べています。 したがって、正式な理論は、別の理論によってのみ正当化できます。これにより、不当な理論または相互に実証される理論の悪循環が義務付けられます。
そのため、数学を実証し、その性質を探るという問題は未解決のままです。 私の主観的な意見では、答えはこれかもしれません：数学的理論は、人々にとって一貫している限り、真実であり続け、思考、論理（カール・メンガーの価値理論の基礎に似た人類の原理のようなもの）に従って真実です。 したがって、疑問は人間の思考と論理とは何か、それらの性質は何なのかということです。 哲学はまた、この質問に対する答えを長い間探していました。 経験を通じて私たちの思考が形成される経験的なアイデアがありました。それには、特定のニューラルネットワークとしての思考を考慮し、それらの行動から学習し、それらを非常に秘跡的と呼びましょう。 数学の実証に対する上記のアプローチの主な特徴は、このような原則を採用することにより、正当化の問題を無視し、人間の思考と論理の性質の問題のみを解決できることです。 （反射の際立った特性にもかかわらず、自分自身を知ることは不可能である可能性が高いため、おそらく答えを見つけることはないでしょう）
参照：
E.A. ベリャエフ、V.Ya。 ペルミノフ「数学の哲学的および方法論的問題」