संख्या का नया अपरिवर्तनवादी। प्राकृतिक संख्या श्रृंखला (NRF) का अध्ययन

प्राकृतिक संख्याओं के अंकगणित में, कभी-कभी समग्र संख्या एन के विभाजकों की खोज करना आवश्यक हो जाता है । संख्याओं को गुणा करने के लिए सरल ऑपरेशन वर्तमान में अज्ञात है। इसकी अनुपस्थिति कुछ व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में कुछ मुश्किलें पैदा करती है, खासकर अगर किसी को उच्च और बहुत अधिक अंकों (सैकड़ों या हजारों अंकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले) के साथ हेरफेर करना पड़ता है।



काम में "संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला की मौलिक संरचनाएं" Vaulin AE, Pilkevich SV - इंटेलिजेंट सिस्टम। सातवीं अंतर्राष्ट्रीय संगोष्ठी की कार्यवाही। एड। KA पुपकोवा। - एम .: रूसाकी, 2006। - पी। 384-387। सूचनाओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला मॉडलिंग की मूल अवधारणा पर जानकारी दी गई है और संख्याओं की थोड़ी गहराई पर निर्भर नहीं करने वाले गुणों को स्थापित करने या स्थापित करने के लिए एकल संख्या है। वर्तमान कार्य इस दृष्टिकोण के विवरण के विकास और परिशोधन के लिए समर्पित है।



अपनी बिट गहराई से संख्याओं के कुछ गुणों की स्वतंत्रता मॉडलिंग संख्याओं के लिए प्रस्तावित विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण के मुख्य वैचारिक परिसर में से एक थी। संख्याओं के ऐसे गुणों की उपस्थिति से संख्याओं के विभाजन के संकेत के अस्तित्व की पुष्टि होती है। उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या को दिए गए मूल्य से कोई फर्क नहीं पड़ता है, यदि इसकी संख्याओं का कनवल्शन (योग) तीन से विभाजित है, तो मूल संख्या तीन से विभाजित है। व्यावहारिक रूप से तीन से विभाज्यता संख्या की अंकों की क्षमता पर निर्भर नहीं करती है। इसी तरह विभाजन के अन्य संकेतों के लिए। यह सबूत है कि संख्याओं के कुछ गुण उनकी बिट गहराई पर निर्भर नहीं हो सकते हैं। इस तरह के गुणों की खोज और विभिन्न दिशाओं में उनके उपयोग के सिद्धांत के विकास, विशेष रूप से, कारक एल्गोरिदम के विकास में, संख्याओं की सादगी की स्थापना, और अन्य समान रूप से कठिन समस्याएं आधुनिक गणित की एक तत्काल और महत्वपूर्ण समस्या है।



कागज संख्याओं की एक नई खोज की गई विशेषता संपत्ति का वर्णन करता है। यह विशेषता सिद्धांत और व्यवहार की नई और पारंपरिक दोनों समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम विकसित करने के लिए उपयोगी है। पहले, हम प्रस्तावित कार्य के सार के बारे में गुणात्मक चर्चा करते हैं।



प्राकृतिक संख्या । हम आगे एक जटिल संरचना वाले गणितीय ऑब्जेक्ट के रूप में संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला पर विचार करेंगे। NRF को विभिन्न गुणों के साथ विभिन्न श्रृंखलाओं के संयोजन के रूप में माना जा सकता है, उदाहरण के लिए, सम और विषम संख्या के दो अंकगणितीय प्रगति से बना। इन प्रगति में मिलान अंतर d = 2 के बराबर है, लेकिन विभिन्न प्रारंभिक तत्वों के साथ: विषम संख्याओं की प्रगति के लिए a = 1 और सम संख्याओं की प्रगति के लिए a = 2 । हम एनआरएफ की सभी संख्याओं को रजिस्टर की कोशिकाओं (बिट्स) में लोड करते हैं और फिर एनआरएफ को एक अनंत संख्या में कोशिकाओं के साथ रजिस्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए कई विषम संख्याओं पर ध्यान दें।



NRF में तीन आसन्न लगातार संख्याओं 2n - 1 , 2n , 2n + 1 पर विचार करें , जिनमें से औसतन सम है। चलो उन्हें चौकोर करें। अत्यधिक विषम संख्याओं के वर्गों के बीच हमेशा फॉर्म 8k के रजिस्टर के बिट्स की संख्या समान होती है, जो कि समरूप (समीपवर्ती) विषम संख्याओं को प्रपत्र 4k - 1 के बाईं ओर दाईं ओर 4k - 1 से विभाजित किया जाता है। सबसे अधिक वर्ग का सेल सही संख्या में असाइन किया गया है।





इस प्रकार, कोई भी विषम संख्या N = 4k k 1 , k> 0 एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है, NDF में सदैव संख्याओं के वर्गों के बीच स्थित होता है N = x ₁ ² –x ₀ ² विभिन्न भिन्नताओं के साथ। NRF की कुछ कोशिकाओं में, प्राकृतिक संख्या के वर्ग रखे गए हैं। यह व्यवस्था कई प्रतिमानों से मेल खाती है। विषम वर्ग भी वर्गों के साथ वैकल्पिक। इसके अलावा, यदि बड़ा वर्ग x ₁ ² सम है, तो N = 4k - 1 और N (3 (mod4) , और यदि बड़ा वर्ग x ₁ ² विषम है, तो N = 4k + 1 और N≡1 (mod4) ।



एक लॉगरिदमिक प्रकार के इंजन के साथ एक शासक के साथ LFD रजिस्टर की कल्पना करें। इंजन में दिए गए नंबर N के लिए, आकार N + 1 स्थिति (बिट्स) की एक विंडो बनाएं। इंजन को LFD शासक के साथ ले जाकर, हम संख्याओं की एक जोड़ी (x ₀ ² , x ₁ ² ) के साथ उसकी स्थिति को खोजेंगे और ठीक करेंगे, जो कि खिड़की के चरम स्थान पर स्थित हैं ( x ₀ ² - बाएँ और x ₁ ² - दाएं) और दोनों मान संख्यात्मक के अनुरूप होंगे। वर्गों। खिड़की के चरम पदों में वर्गों के बीच का अंतर, जाहिर है, संख्या N = x ₁ ² -x ₀ ^{2 के} साथ मेल खाएगा ।



LFD कंट्रोस । दो लगातार विषम संख्याओं के वर्गों के बीच की दूरी को समोच्च कहा जाता है। गैर-आसन्न संख्या के वर्गों वाले कोशिकाओं के बीच की दूरी को एलडीपी में अंतराल कहा जाता है। यदि आसन्न विषम संख्याओं का योग 8 का गुणक है, तो यह एक पथ नामक अंतराल की लंबाई बनाता है, और k का मान उस पथ की संख्या है । तो आसन्न संख्या 11 और 13 एक समोच्च बनाते हैं (11 + 13 = 24 = 3 • 8) संख्या k = 3 और लंबाई L (k) = 24 = k • 8 के साथ , और आसन्न विषम संख्या 13 और 15 एक समोच्च (13+) नहीं बनाते हैं 15 = 28 = k • 8) ।



आसन्न संख्याओं की विषम वर्गों-सीमाओं के बीच की दूरी हमेशा आकृति बनाती है और इसमें रजिस्टर कोशिकाओं की संख्या 8k के बराबर होती है। LFD में आकृति संख्या के साथ एक निरंतर क्रम बनाती है k = 1 (1) i , अर्थात। NRF सर्किट के एक अनुक्रम की कोशिकाओं से भरी संख्याओं से बनता है जिनकी लंबाई संख्या 8 के गुणकों से होती है। पहले सर्किट की लंबाई L (1) = 3 ² –1 ² = 1 • 8 है , दूसरे सर्किट में L (2) = 5 2–3 ² = 2 • 8 = 16 और इसी तरह से अन्य भी हैं। समोच्च की लंबाई अंतर d = 8 और a = 8 के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती है।



संख्याओं की एक जोड़ी (x ₀ ² , x ₁ ² ) द्वारा तय किए गए पदों में से प्रत्येक में संख्याओं (अंतरालों) के साथ सभी विंडो पदों को भरना एक नियमितता है और कागज में स्थापित कुछ संख्यात्मक अपरिवर्तनीय की विशेषता है। चूंकि जोड़ी (x ₀ ² , x ₁ ² ) एक से अधिक हो सकती है, हम इसके नंबरों की आपूर्ति सूचकांक I के साथ करेंगे।

उदाहरण 1

एन = 105 (खिड़की के आकार - 1) के लिए 4 पद (विभिन्न समता के वर्गों के 4 जोड़े) निर्धारित हैं। हम विंडो की बाईं सीमा की स्थिति को नियंत्रित करेंगे। हम इंजन को 1 से दाईं ओर ले जाना शुरू करते हैं। पहली स्थिति (स्टॉप) तब होती है जब संख्या x ₀ ² = 4 विंडो की बाईं सीमा पर दिखाई देती है, लेकिन दाईं सीमा 109 है - एक वर्ग नहीं है, तो वर्ग x ₀ ² = 9 विंडो की बाईं सीमा पर दिखाई देता है, लेकिन दाहिनी ओर 114 नंबर एक वर्ग नहीं है , संख्या 15 के साथ स्थिति को पारित करने के बाद, संख्या x ₀ ² = 16 - वर्ग बाईं विंडो में दिखाई देता है। हम विंडो की दाईं सीमा पर संख्या को रोकते हैं और जांचते हैं। वहां हम संख्या _{1 1} ² = 121 देखते हैं - एक वर्ग भी। हम इस स्थिति को वर्गों के बीच के अंतर के नियंत्रण के साथ ठीक करते हैं: x ₁₁ ² -x ₀₁ ² = 11 ² –4 ² = 105 ।

हम आंदोलन को जारी रखते हैं जब तक कि खिड़की के बाएं किनारे 25 , 36 , 49 पर नहीं आते हैं और हम देखते हैं कि उनके लिए सही सीमा वर्ग पर नहीं आती है। लेकिन जब संख्या 64 बाईं ओर की खिड़की में दिखाई देती है, तो दाईं ओर हम संख्या 169 देखते हैं - एक वर्ग। हम इस स्थिति को ठीक करते हैं और नियंत्रण x ₁₂ ² -x ₀₂ ² = 13 2–8 ² = 105 पर ले जाते हैं ।

खिड़की की निम्नलिखित निश्चित स्थिति: बाईं ओर, संख्या x ² = 256 , और दाईं ओर, x ₁ ² = 361 , दोनों वर्ग। हम वर्गों x ₁₃ ² -x ₀₃ ² = 19 2–16 ² = 105 के बीच अंतर को ठीक करते हैं और नियंत्रित करते हैं।

और अंत में, विंडो की चौथी स्थिति x ₁₄ ² -x ₀₄ ² = 53 ² –52 ² = 105 के बराबर वर्गों का अंतर देती है।

आगे की गति रुक ​​जाती है क्योंकि अब वर्गों की एक जोड़ी नहीं होती है, जिसके बीच का अंतर संख्या N = 105 के बराबर है, सभी जोड़ों का अंतर 105 से अधिक होगा। चौथी जोड़ी x ₁₄ ² , x ₀₄ ² को सीमा जोड़ी कहा जाता है।







आधा लूप । केथ लूप के आंतरिक सेल में फॉर्म (2k) ² के प्रत्येक वर्ग का स्थान। यह कोशिका समोच्च की लंबाई L (k) को दो m (k) = 4k - 1 और M (k) = 4k + 1 सन्निकट विषम संख्याओं ( बाएँ और दाएँ ) में विभाजित करती है, जिसे अर्धवृत्त कहते हैं। ध्यान दें कि समोच्च और अर्ध-सर्किट प्राकृतिक संख्याओं से भरे कोशिकाओं के समूह हैं, और एम (के) और एम (के) इन सेटों के कार्डिनिटी हैं। लगातार अगले आधे सर्किट की कई कोशिकाएं एनआरएफ बनाती हैं। विषम संख्याओं का पूरा समूह दो वर्गों को बनाता है: बाईं संख्या N (3 (mod4) और दाएं संख्या N 1 (modal) । पहले सर्किट के अर्धवृत्त की लंबाई, बाईं विषम संख्या 4 • 1–1 = 3 और सही विषम संख्या 4 • 1 + 1 = 5 , कुल लंबाई में L (k = 1) = 3 + 5 = 8 की संख्या k = 1 के साथ होती है ।



समोच्च की सीमा । सर्किट के दिए गए नंबर k के लिए , यह पूरी तरह से निर्धारित है, लंबाई m (k) = 4k - 1 के साथ अर्ध-सर्किट बाएं हैं और M (k) = 4k + 1 दाएं हैं, इस सर्किट की सीमाएं (k = = (2k - 1) ² और ² सही हैं आर _एन (के) = (2k + 1) ² । सर्किट की लंबाई L (k) = m (k) + M (k) = (k) –बले _« (k) = 8k । सम चौराहा _h (k) = (2k) ² अर्ध-परिपथों की सामान्य सीमा है।

वास्तव में, सीमा अंतर (k) –खेल _« (k) = (2k + 1) ² - (2k - 1) ² = 4k ² + 2 • 2k + 1 - 4k ² + 2 • 2k - 1 / 8k ।



सर्किट को सीमित करें । किसी भी विषम संख्या N को संख्या k _{p के} साथ कुछ सर्किट में आधे सर्किट के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस तरह का एक समोच्च अद्वितीय है, क्योंकि समोच्च के बाईं ओर समोच्च में एन की तुलना में आधे-सर्किट छोटे होते हैं, और दाईं ओर - बड़े एन। संख्या एन बाएं या दाएं को समोच्च सीमा के एक वर्ग का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। बाएं N = x ₁ ² –x ₀ ^{2 के लिए} , और x ₁ सम है, दाईं N = x ₁ ² –x ₀ ² और x _{1 के लिए} विषम है। यहां, अर्धवृत्त की सीमाओं की भूमिका मूल्यों x ₁ ² और x ₀ ² द्वारा निभाई जाती है। ये सीमाएँ एक्स ₁ = (एन + 1) / 2 और एक्स _ओ = (एन - 1) / 2 से अभिव्यक्तियों से निर्धारित होती हैं। संख्या N के लिए संख्या k _{p के} साथ सीमा सर्किट की लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है







संख्या N _की सीमा समोच्च की संख्या k _{p को} समोच्च k _p = L (k _p / 8) की सीमा के माध्यम से परिकलित किया जाता है। अब एक संख्यात्मक उदाहरण द्वारा शुरू की गई अवधारणाओं को स्पष्ट करने का समय है। यह एक विशेष रूप से चयनित उदाहरण है, बहुत ही सरल, अध्ययन के तहत घटना की बेहतर समझ में योगदान देता है।

उदाहरण 2

एक विषम धनात्मक पूर्णांक (snc) को N = 105 = 3 • 5 • 7 दिया जाए । इस संख्या के लिए, सीमा समोच्च, इसकी सीमाओं को खोजना और इसकी संख्या k _p निर्धारित करना आवश्यक है। वर्गों के सभी जोड़े को इंगित करें (x _i1 ² , x _i0 ² ) , i = 1 (1) ... विभिन्न समता के बीच, अंतर जो संख्या N = 105 के बराबर है।



निर्णय। उदाहरण की सामग्री की बेहतर समझ के लिए, पेंसिल और पेपर का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। यह ज्ञात है कि एक घोंसला विभिन्न समानता एन = एक्स ₁ ² -x ₀ ^{2 के} वर्गों के बीच स्थित है। हम दिए गए N = 105 (1 (mod4) की बाईं या दाईं संख्या को परिभाषित करते हैं। संख्या N सही है, अर्थात यह परम सर्किट में एक बड़ा अर्धवृत्त है। हम मान N , x ₁ = (N + 1) / 2 = (105 + 1) / 2 = 53 और x = (N - 1) / 2 = (105–1) / 2 = 52 का उपयोग करके सीमा समोच्च की सीमाओं को परिभाषित करते हैं। संख्या 52 और 53 के वर्ग अर्धवृत्त की सीमाएं हैं।

समोच्च एल की लंबाई (k _p ) = 2 • 105–2 = 208 = 8 • k _p , व्हेनस k _p = 208/8 = 26 । छोटे (बाएं) अर्धवृत्त की लंबाई m (k _p ) = L (k _p ) –M (k _p ) = 208–105 = 103 है , जो एक प्रमुख संख्या है।

हम कश्मीर _{पी के} माध्यम से सीमा समोच्च _की सीमाओं के माध्यम से पाते हैं: बायाँ पिम _पी (के _पी ) = (2k _पी -1) ² = (2 • 26–1) ² = 51 ² = 2601 और दायाँ मोटोरोला _p (k _p ) = (2k _p +) 1) ² = (2 • 26 + 1) ² = 53 ² = 2809 । इसकी सीमाओं के माध्यम से समोच्च की लंबाई अभिव्यक्ति L (k _p ) = _p (k _p ) –G _l (k _p ) = 2809-2601 = 208 = 8 k _{p से} निर्धारित होती है ।

चूंकि दिए गए स्नैच एन = 105 सीमा सर्किट में एक अर्ध-सर्किट है, इसलिए हम मानेंगे कि सीमा सर्किट की संख्या का केवल आधा भाग इसके अनुरूप है, अर्थात। k _p (N) / 2 = 26/2 = 13



किसी संख्या का अपरिवर्तनीय । प्रपत्र k _p (N) / 2 में संख्या N की विशेषता को संख्या N का व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है, और फिर हम दिखाते हैं कि यह नाम क्यों चुना गया था। अपरिवर्तनीय समोच्च की संख्या k _{p की} समता के आधार पर अपरिवर्तनीय एक पूर्णांक या एक भिन्नात्मक संख्या हो सकती है।



संख्या N के लिए LFD अंतराल। अगला, हम विभिन्न समता के वर्गों के अन्य जोड़े के मतभेदों द्वारा एसएनएस एन = 105 का प्रतिनिधित्व करने की संभावना पर विचार करते हैं। संख्या 105 , साथ ही किसी भी अन्य विषम संख्या को विषम संख्या वाले विषम संख्याओं के योग द्वारा दर्शाया जा सकता है। N के ऐसे निरूपण की उपयोगिता इस तथ्य से है कि LFD में सभी विषम संख्याओं की सीमाएँ वर्ग हैं, इसलिए, समीपवर्ती विषम संख्याओं के N = 105 का प्रतिनिधित्व करने वाले निरंतर अंतराल की सीमाओं पर वर्ग होंगे। शब्दों की संख्या विषम संख्या होनी चाहिए।

1. मान लीजिए कि ऐसी तीन शर्तें हैं। जाहिर है, 105: 3 = 35 और पहला कार्यकाल 35-2 = 33 , दूसरा कार्यकाल 35 और तीसरा 35 + 2 = 37 के बराबर होगा। संख्या 33 , 35 , 37 विषम आसन्न संख्याओं का एक निरंतर क्रम बनाते हैं, और 35 और 37 एक समोच्च के आधे-सर्किट होते हैं, क्योंकि उनकी राशि 35 + 37 = 72 8 का गुणक है। इस सर्किट की संख्या k = 72/8 = 9 है । संख्या 33 एक और पिछले समोच्च संख्या k = 8 से संबंधित है और इसमें सही है, अर्थात। महान। यह संख्या 33 उसके समोच्च की आधी संख्या से मेल खाती है, अर्थात्। k / 2 = 8/2 = 4 । LFD में 105 कोशिकाओं की लंबाई के साथ एक दूसरे से सटे तीन विषम संख्याओं का अंतराल, k k (N) / 2 = 8/2 + 9 = 4 + 9 = 13 रूप में सर्किट संख्याओं के योग से मेल खाता है।
   
   
   
   इस अंतराल के लिए, हम सीमाओं को परिभाषित करते हैं। अंतराल की बड़ी सीमा संख्या k = 9 के साथ बड़े समोच्च की सही सीमा के साथ मेल खाती है, अर्थात्। गेम _ऑफ (k) = (2 • k + 1) ² = (2 • 9 + 1) ² = 19 ² = x ₁ ² = 361 । अंतराल की छोटी सीमा तीन अर्ध-छोरों की छोटी सीमा के साथ मेल खाती है, अर्थात। संख्या k = 8 के साथ सर्किट में स्थित संख्या 33 , इसकी सीमा दोगुनी सर्किट संख्या G _h (k) = G _l (k) = (2k) ² = (2 • 8) ² = x ₀ ² = 256 के समकोण है। । जाँच करें: N = (9) –इस _« (8/2) = 361–256 = 105 ।
   
   अब N = 105 के लिए, हम कारकों को लिख सकते हैं N = x ₁ ² –x ₀ ² = (19 + 16) (19–16) = 35 • 3 = 105 ।
2. बता दें कि प्रतिनिधित्व N में अर्धचालक में पांच विषम सम्‍मिलन हैं। जाहिर है, १०५: ५ = २१ और पहला कार्यकाल २१-४ = १ the, दूसरा २१-२ = १ ९ , तीसरा २१ , चौथा २१ + २ = २३ और अंत में पांचवां २१ + ४ = २५ होगा । संख्या 17 , 19 , 21 , 23 , 25 विषम आसन्न संख्याओं का एक निरंतर क्रम बनाते हैं, और 19 , 21 और 23 , 25 उनमें से दो आसन्न आकृति के आधे-सर्किट हैं, क्योंकि उनकी राशि 19 + 21 = 40 = 5 • 8 और 23 + 25 है। = 48 = 6 • 8 8 का गुणक है। इन सर्किटों को k = 40/8 = 5 और k = 48/8 = 6 गिना जाता है।
   
   
   
   संख्या १ (संख्या (१५ + १ 4) / । = ४ के साथ पिछले समोच्च का एक बड़ा (दायां) अर्धवृत्त है। यह संख्या छोटे सर्किट k / 2 = 4/2 = 2 की आधी संख्या से मेल खाती है। एलएफडी में 105 कोशिकाओं की लंबाई के साथ एक दूसरे से सटे पांच विषम संख्याओं का अंतराल, सर्किट नंबर k _p (N) / 2 = 4/2 + 5 + 6 = 2 + 5 + 6 + 13 = के योग से मेल खाता है।
   
   
   
   इस अंतराल के लिए, हम सीमाओं को परिभाषित करते हैं। अंतराल की बड़ी सीमा संख्या k = 6 , यानी के साथ बड़े समोच्च की सही सीमा के साथ मेल खाती है गेम _ऑफ (k) = (2 • k + 1) ² = (2 • 6 + 1) ² = 13 ² = x ₁ ² = 169 । अंतराल की छोटी बाईं सीमा छोटे अर्धवृत्त की बाईं सीमा के साथ मेल खाती है, अर्थात। संख्या 17 , संख्या k = 4 के साथ सर्किट में स्थित है। छोटी सीमा, दोगुनी सर्किट संख्या (k) = (k) = (2k) ² = (2 • 4) ² = x ₀ ² = 64 है। चौकों के अंतर की जाँच करें: N = (6) ) –जी _एच (४) = १६ ९ -६४ = १०५ । अब N = 105 के लिए, हम कारकों को लिख सकते हैं N = x ₁ ² –x ₀ ² = (13 + 8) (13–8) = 21 • 5 = 105 ।
3. बता दें कि एन का प्रतिनिधित्व करने वाले योग में सात पद होते हैं । जाहिर है, १०५: 15 = १५ और पहला कार्यकाल १५-६ = ९ , दूसरा १५-४ = ११ , तीसरा १५-२ = १३ , चौथा १५ , पांचवां १५ + २ = १ :, छठा १५ + ४ = १ ९ और, अंत में, सातवां 15 + 6 = 21 है । संख्या 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 , 21 विषम आसन्न संख्याओं का एक सतत क्रम बनाते हैं, और 11, 13 ; 15, 17 और 19, 21 तीन समीपवर्ती आकृति के आधे-सर्किट हैं, क्योंकि उनके योग 11 + 13 = 24 = 1 # 8 हैं ; 15 + 17 = 32 = 4 • 8 और 19 + 21 = 40 = 5 • 8 8 के गुणक हैं। ये सर्किट k = 24/8 = 3 , k = 32/8 = 4, और k = 40/8 = 5 हैं ।
   
   
   
   संख्या 9 , पिछले kour = (7 + 9) / 8 = 2 के साथ पिछले समोच्च का एक बड़ा (दायां) अर्धवृत्त है। यह संख्या छोटे समोच्च की आधी संख्या से मेल खाती है, अर्थात्। k / 2 = 2/2 = 1 । LFD में 105 कोशिकाओं की लंबाई के साथ एक दूसरे से सटे सात विषम संख्याओं का अंतराल k संख्या _p (N) / 2 = 2/2 + 3 + 4 + 5 = 1 + 3 + 4 + 5 = 13 के योग से मेल खाता है।
   
   
   
   इस अंतराल के लिए, हम सीमाओं को परिभाषित करते हैं। अंतराल की बड़ी सीमा संख्या k = 5 , अर्थात् के साथ बड़े समोच्च की सही सीमा के साथ मेल खाती है गेम _ऑफ (k) = (2 • k + 1) ² = (2 • 5 + 1) ² = 11 ² = x ₁ ² = 121 । अंतराल की छोटी सीमा छोटी अर्धवृत्त की बाईं सीमा के साथ मेल खाती है, अर्थात। संख्या k = 2 के साथ परिपथ में स्थित संख्या 9 , यह दोगुना परिपथ संख्या का वर्ग है, (k) = (k) = (2k) ² = (2 • 2) ² = x ₀ ² = 16 : चेक। N = G _p (5) –G _h (2) = 121–16 = 105 ।
   
   अब N = 105 के लिए हम कारकों को लिख सकते हैं N = x ₁ ² –x ₀ ² = (11 + 4) (11–4) = 15 • 7 = 105 ।

माना गया उदाहरण बताता है कि संख्या N = 105 के लिए अलग-अलग समता के वर्गों के चार जोड़े हैं, उनके बीच LFD में दूरी 105 है। वर्गों में से प्रत्येक जोड़े को हमें SNP N - 105 के कारक की समस्या को हल करने की अनुमति देता है, सीमा जोड़ी को छोड़कर - यह एक तुच्छ कारक देता है।



बहुत महत्वपूर्ण प्रश्न खुला रहता है, कहाँ प्राप्त करना है, कैसे (x ² , x ₁ ² ) के जोड़े को एक मनमानी संख्या N के लिए वर्ग?



उदाहरण 2 के परिणामों के विश्लेषण से पता चलता है कि वर्गों के अलग-अलग जोड़े (x _i ² , x _1i ² ) , i = 1 (1) 4 , अलग-अलग संख्याओं के साथ एक आवधिक k _p (N) / 2 = 13 के योग के रूप में प्राप्त होते हैं। इस तरह की रकम को खुद एक विशेष प्रकार की संख्या 13 के विभाजन के रूप में माना जा सकता है। सभी सारांश एनआरएफ का एक खंड हैं, जिसमें एक चरम शिखर सम्‍मिलित होता है, जो केवल आधे हिस्से में सम्‍मिलित होता है। इस तरह के शब्द की परिभाषा बाएं या दाएं विषम संख्याओं की कक्षा में संख्या N की सदस्यता द्वारा निर्धारित की जाती है।



यदि N को छोड़ दिया जाता है, तो आधे को बड़े शब्द से लिया जाता है:

• एन = 183 - बाएं विषम, 183≡3 (मॉड 4) , आधा को केआर _पी (183) / 2 = 23 = 15 + 16/2 के साथ अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व में बड़े शब्द से लिया गया है; अपरिवर्तनीय पूर्णांक;
• एन = 203 - बाएं विषम, 203≡3 (मॉड 4) , आधा को केआर _पी (203) / 2= 25.5 =6 +7+8+9 /2 के योग में बड़े शब्द से लिया गया है; अपरिवर्तनीय एक पूर्णांक नहीं है;

यदि N सही है, तो आधे को छोटी अवधि से लिया जाता है:

• एन = 213 - सही विषम, 213≡1 (मॉड 4) , आधा को केआर _पी (213) / 2=26.5=17 / 2 +18 के योग द्वारा अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व में छोटे शब्द से लिया गया है; अपरिवर्तनीय एक पूर्णांक नहीं है;
• एन = 217 - सही विषम, 217≡1 (मॉड 4) , आधा को केआर _पी (217) / 2 = 27 = 6/2 + 7 + 8 + 9 के योग द्वारा अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व में छोटे शब्द से लिया गया है; अपरिवर्तनीय पूर्णांक;

इस प्रकार, माना तथ्यों से संख्याओं के गुणन की समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म निम्नानुसार है:

1. दिए गए snc N के लिए, invariant k _n / 2 का पता लगाएं।
2. एक विशेष रूप k _n / 2 = a + ( a + 1) + ( a +2) + ... + ( a + t-1) + k _d / 2 के विभाजन के रूप में अपरिवर्तनीय का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहाँ k _d चरम समोच्च की अतिरिक्त संख्या है। बाएँ या दाएँ।
3. चरम शब्दों के लिए, सीमाओं की गणना करें: बाएं x _l = x ₀ ² और दाएं = _n = x ₁ ² ।
4. सीमा अंतर को कोष्ठक N = x ₁ ² –x ₀ ² = (x ₁ + x ₀ ) (x ₁ –x ₀ ) = pq के गुणन द्वारा दर्शाया जाता है ।

विचारित सामग्री हमें निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है।

1. समसामयिक विषम धनात्मक पूर्णांक का मॉडल आकृति के संदर्भ में दर्शाया गया है - NRF के अर्ध-सर्किट आपको संख्याओं के फ़ंक्शन के रूप में इस तरह के एक संख्या के एक व्युत्क्रमी को स्थापित करने की अनुमति देता है। इनवेरिएंट k _p (N) / 2 मान को बनाए रखता है, अंतर की परवाह किए बिना जिसमें वर्गों की जोड़ी (वर्गों के कई जोड़े की उपस्थिति में), निम्नलिखित समीकरण प्रस्तुत किया गया है: N = x _i1 ² –x _i0 ² , i = 1 (1) t , जहाँ t प्रतिनिधित्व करने वाले जोड़ों की संख्या है। । N = 105 = x _i1 ² –x _i0 ² = 53 _2–52 ² = 19 _2–16 ² = 13 _2–8 ² = 11 ² –4 ²
2. सीमा सर्किट की संख्या को स्थापित करते समय किसी दिए गए नंबर N के प्राथमिक प्रसंस्करण द्वारा इनवेरिएंट का मान स्थापित किया जाता है। अपरिवर्तनीय या तो पूर्णांक या भिन्नात्मक संख्या हो सकती है। सीमित समोच्च के बारे में, प्रमेय तैयार किए जाते हैं और साबित किया जाता है कि पोस्ट में प्रस्तुत नहीं किया गया है लेकिन इसका उपयोग किया जाता है।
3. एनडीएफ के प्रस्तावित मॉडल और संदर्भों की अवधारणाओं में - अर्ध-सर्किट व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए स्वीकार्य समय में विषम संख्याओं के गुणन की समस्या को तैयार करने और अध्ययन करने की संभावना को खोलता है।