इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की सामान्य समस्या का विशेष समाधान

स्कूल से, हमें प्लेन के ऊपर एक पॉइंट इलेक्ट्रिक चार्ज की उपस्थिति में एक अनंत कंडक्टिंग प्लेन के ऊपर इलेक्ट्रिक चार्ज के वितरण की समस्या का हल याद है। केवल कुछ लोगों को याद होगा कि यदि एक बिंदु चार्ज अंतरिक्ष में कहीं पर होता है, तो एक चालन क्षेत्र पर विद्युत आवेश के वितरण की समस्या विश्लेषणात्मक रूप से हल हो जाती है। लेकिन, मुझे यकीन है, कोई भी क्लेन बोतल में चार्ज के वितरण की समान समस्या को हल करने में सक्षम नहीं होगा। यदि हम एक बाहरी इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र और अन्य कंडक्टर को ऐसी प्रणाली में जोड़ते हैं, तो यह एक विश्लेषणात्मक समाधान का सपना देखना भी मूर्खतापूर्ण होगा।



हम इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की सामान्य समस्या निम्नानुसार तैयार करते हैं:



दिए गए:

- कंडक्टरों के स्थान में आकार और स्थान

- कंडक्टरों का प्रभार

- बाहरी विद्युत क्षेत्र (कंडक्टरों की अनुपस्थिति में क्षेत्र, कंडक्टरों की स्थिति से स्वतंत्र)



पूरे स्थान में कंडक्टरों की सतह पर विद्युत वितरण और विद्युत क्षेत्र की अदिश क्षमता का पता लगाना आवश्यक है।



तीन Cartesian निर्देशांक के एक समारोह के रूप में संभावित पूरे अंतरिक्ष में Poisson समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:







यह विशिष्टता प्रमेय से इस प्रकार है कि यदि हम इस समीकरण और सीमा की स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक फ़ंक्शन पाते हैं, अर्थात्। समाधान, यह समाधान केवल एक ही होगा।



अनावश्यक जटिलता से बचने के लिए, हम एक बाहरी क्षेत्र की उपस्थिति में एक प्रवाहकीय सतह पर विद्युत आवेश के वितरण की समस्या के समाधान पर विचार करते हैं जो प्रवाहकीय सतह की स्थिति और आवेश से स्वतंत्र होता है।



हम परिमित तत्व विधि द्वारा संख्यात्मक रूप से समस्या के समाधान की तलाश करेंगे।



मैंने तुरंत चेतावनी दी कि मैं सैद्धांतिक रूप से अपनी पद्धति के अभिसरण के प्रश्न पर विचार नहीं करूंगा, लेकिन इस पद्धति के अभिसरण की परिकल्पना के पक्ष में गवाही देते हुए, अभ्यास से सिर्फ कुछ तथ्यों तक ही सीमित रहूंगा, हालांकि यह एक सही समाधान नहीं हो सकता है।



सतह को परिभाषित करें







हम यू और वी - विभाजन की संख्या चुनते हैं और यू और वी - लाइनों के नेटवर्क के साथ सतह को कवर करते हैं। परिणामस्वरूप ग्रिड के नोड्स पर, हम इलेक्ट्रिक चार्ज लगाते हैं, जिसका मूल्य हमें खोजना होगा।

हम नोड्स के तत्काल आसपास के क्षेत्र में नू * एनवी अंक भी चुनते हैं। हम इस स्थिति के आधार पर एक समाधान की तलाश करेंगे कि इन बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की क्षमता समान हो। संभावित खुद को बिंदु प्रभार द्वारा बनाई गई संभावनाओं के सुपरपोजिशन के रूप में गणना की जाएगी।



मैट्रिक्स लिखें:



- रैखिक प्रणाली के मैट्रिक्स का एक स्केच, जिसे हम हल करेंगे। निचले सूचकांक आरोपों की स्थिति को इंगित करते हैं, और ऊपरी सूचकांक संभावित के विचार के बिंदुओं को इंगित करते हैं। ये दूरियाँ सतह के परिमाणीकरण से पाई जाती हैं।



- अज्ञात का कॉलम मैट्रिक्स - शुल्कों का मान।



- क्षमता के विचार के बिंदु पर बाहरी क्षेत्र की क्षमता का स्तंभ मैट्रिक्स।



तब हमें सिस्टम Φ + MQ = A मिलता है , जहां A एक निश्चित स्थिर स्तंभ मैट्रिक्स है जो हमारे लिए अज्ञात सतह की क्षमता से बना है।



इस क्षमता को सिस्टम से बाहर करने के लिए, हम पहले मैट्रिक्स the को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और फिर Nu * Nv-1 से सिस्टम के अंतिम समीकरणों को घटाते हैं, जिसे सामान्यीकरण स्थिति (सतह पर सभी शुल्कों का योग कुल चार्ज के बराबर होता है) से बदल दिया जाता है।



तब हमें सिस्टम मैट्रिक्स के साथ अंतिम रैखिक प्रणाली मिलती है:







और मुक्त सदस्यों का एक स्तंभ:







अत्यधिक बड़े फ़ॉन्ट के साथ इन चित्रों को समाप्त करने के लिए, मैं सभी कार्य के परिणाम को परिभाषित करने वाली अंतिम अभिव्यक्ति दूंगा - सतह पर आवेश की सतह का एक टुकड़ाकारक स्थिर कार्य (जिसका अर्थ है कि समान सूचकांकों के साथ सन्निकटन क्षेत्र से संबंधित u और v के लिए, फ़ंक्शन बाईं ओर का मान लेता है अभिव्यक्ति):







हम सिस्टम को हल करेंगे और गणित के सिस्टम में परिणाम के साथ काम करेंगे।



इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की सामान्य समस्या का विशेष समाधान। एनबी



अब आइए विधि को देखें। हम एक वर्ग प्लेट के साथ एक तुच्छ तरीके से पैरामीटर शुरू करते हैं। तब पैरामीटर यू और वी प्लेट बिंदुओं और क्षेत्र तत्व के कार्टेशियन निर्देशांक हैं, जो कि ऊपर के अभिन्न अंग के नीचे खड़ा है, एकता के बराबर है।







हमें एक तार्किक और अपेक्षित समाधान मिला।



क्षेत्र के लिए समाधान एक विमान होना चाहिए, लेकिन हमें कुछ पूरी तरह से खराब मिलता है:







मैं सब कुछ समझा दूंगा। तथ्य यह है कि शुल्क रखने और संभावनाओं पर विचार करने के लिए अंकों का चुनाव पैरामीटराइजेशन पर निर्भर करता है। और एक क्षेत्र के रूप में इस तरह के एक सममित प्रणाली पर, हम इस तथ्य के कारण एक असममित परिणाम प्राप्त करते हैं कि सतह चार्ज घनत्व सतह में है "कार्टेशियन अर्थ।" यदि हमने एक गोलाकार समन्वय प्रणाली में सतह घनत्व पेश किया, तो सब कुछ अलग होगा।



लेकिन सब कुछ इतना बुरा नहीं है। नोड्स की संख्या में वृद्धि के साथ, यह आंकड़ा सिकुड़ जाता है (स्वचालित रूप से उत्पन्न गणित के ग्राफ पर यह, हालांकि, दिखाई नहीं देता है) और, मुझे लगता है, विमान की जगह लेने के लिए जाता है।



वे स्थान जिनके लिए एक समाधान की तलाश की जा रही है, को बंद करना होगा, अन्यथा किनारों पर एक विलक्षणता हो सकती है: बढ़ती सटीकता के साथ, किनारों पर चार्ज घनत्व अनन्तता की ओर जाता है।



मैंने विधि के संचालन का परीक्षण करने के लिए एक अर्धवृत्त ("मोतियों") में प्रभारी के वितरण की समस्या को हल करने का निर्णय लिया।



विधि 1. मोतियों पर समान शुल्क लगाएं। जड़ता का आरोप। उन्हें जाने दो। छोटे चरणों में वे एक स्थिर स्थिति लेंगे। इस तरह के दृश्य विधि चार्ज के कोणीय समन्वय के संबंध में ज़ेडिल्ड प्रकार:







विधि 2. ऊपर वर्णित प्रणाली त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आधे सिलेंडर से मेल खाती है, जिसके लिए हमारी विधि द्वारा समस्या का समाधान किया जाएगा:







बाह्य रूप से, समाधान बहुत समान हैं। QED



इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की सामान्य समस्या को हल करने के उपरोक्त तरीके पर आपकी राय सुनना दिलचस्प है।