फजी इनविज़न सिस्टम में मामदानी का एल्गोरिदम

परिचय

यह सिर्फ इतना हुआ कि लोटी ज़ाडेह नाम का उल्लेख करके फ़ज़ी लॉजिक के बारे में किसी भी लेख को शुरू करने की प्रथा है। और मैं अपवाद नहीं रहूंगा। तथ्य यह है कि यह आदमी न केवल एक पूरे वैज्ञानिक सिद्धांत का संस्थापक पिता बन गया, बल्कि 1965 में "फजी सेट्स" को मौलिक कार्य लिख रहा था, लेकिन इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए विभिन्न संभावनाओं पर काम किया। उन्होंने 1973 में "कॉम्प्लेक्स सिस्टम एंड डिसिजन प्रॉसेस के विश्लेषण के लिए एक नए दृष्टिकोण की रूपरेखा" (सिस्टम में IEEE लेनदेन में प्रकाशित) नामक पाठ में अपने दृष्टिकोण का वर्णन किया। यह उल्लेखनीय है कि इसकी रिलीज के तुरंत बाद, एक उद्यमी डेनिश कंपनी ने एक जटिल उत्पादन प्रक्रिया के लिए अपनी प्रबंधन प्रणाली को बेहतर बनाने के लिए इसमें स्थापित सिद्धांतों को बहुत सफलतापूर्वक लागू किया।



लेकिन एल जेड के सभी गुणों के साथ, इस सिद्धांत के अनुयायियों ने समान रूप से महत्वपूर्ण योगदान दिया। उदाहरण के लिए, अंग्रेजी गणितज्ञ ई। मामदानी (अब्राहिम मामदानी)। 1975 में, उन्होंने एक एल्गोरिथ्म विकसित किया जो भाप इंजन को नियंत्रित करने के लिए एक विधि के रूप में प्रस्तावित किया गया था। फजी इनफरेंस के आधार पर उन्होंने जो एल्गोरिथ्म प्रस्तावित किया था, उसने बड़ी मात्रा में संगणना से बचने के लिए संभव बनाया और विशेषज्ञों द्वारा इसकी सराहना की गई। इस एल्गोरिथ्म को वर्तमान में फजी मॉडलिंग समस्याओं में सबसे बड़ा व्यावहारिक अनुप्रयोग प्राप्त हुआ है।

मुख्य परिभाषाएँ

इससे पहले कि आप एल्गोरिथ्म के साथ खुद को परिचित करना शुरू करें, निम्नलिखित परिभाषाओं के साथ खुद को संक्षिप्त रूप से परिचित करना महत्वपूर्ण है:



एक फ़ज़ी वेरिएबल फॉर्म का एक tuple है <α, X , is >, जहां:

α फजी चर का नाम है;

X इसकी परिभाषा का डोमेन है;

A , ब्रह्मांड X पर एक फजी सेट है।



उदाहरण: फजी चर <"भारी शरीर कवच", { x | 0 किग्रा < x <35 किग्रा}, बी = { एक्स , μ ( एक्स )}> सैन्य शरीर कवच के द्रव्यमान की विशेषता है। हम इसे भारी मानेंगे यदि इसका द्रव्यमान> 16 किग्रा (चित्र 1) है।







अंजीर। 1. फ़ज़ी सेट B के लिए सदस्यता फ़ंक्शन μ ( x ) का ग्राफ़



एक भाषाई चर एक tuple है < T, T, X, G, M >, जहां:

of भाषाई चर का नाम है;

टी इसके अर्थ (शब्द) का सेट है;

X फ़ज़ी वेरिएबल्स का ब्रह्मांड है;

जी नई शर्तों के गठन के लिए वाक्य रचना प्रक्रिया है;

एम एक शब्दार्थ प्रक्रिया है जो किसी दिए गए भाषाई चर के प्रत्येक शब्द के लिए फजी सेट बनाती है।



उदाहरण: मान लें कि हमारे पास शरीर के कवच के वजन का एक व्यक्तिपरक मूल्यांकन है। यह, उदाहरण के लिए, सैन्य कर्मियों (विशेषज्ञों के रूप में अभिनय) से प्राप्त किया जा सकता है जो इस तरह के गोला-बारूद से सीधे निपटते हैं। इस अनुमान को निम्नलिखित भाषाई चर < T, T, X, G, M > (चित्र 2), जहां: का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जा सकता है।

or - बॉडी आर्मर;

टी - {"लाइट बॉडी आर्मर (लाइट)", "मीडियम-वेट बॉडी आर्मर (मध्यम)", "हेवी बॉडी आर्मर (भारी)"};

एक्स = [0; 35];

जी - तार्किक संयोजकों और संशोधक का उपयोग करके नई शर्तों के गठन की प्रक्रिया। उदाहरण के लिए, "बहुत भारी शरीर का कवच";

M , ब्रह्मांड X पर कार्य प्रक्रिया है = [0; 35] भाषाई चर का मान, यानी सेट से शर्तें टी।







अंजीर। 2. भाषाई चर "बुलेटप्रूफ वेस्ट" के मूल्यों के सदस्यता कार्यों के रेखांकन



फजी स्टेटमेंट "the IS α" फॉर्म का एक स्टेटमेंट है, जहां:

ingu एक भाषाई चर है;

α इस चर की शर्तों में से एक है।



उदाहरण: "लाइटवेट बॉडी आर्मर है।" यहाँ "बुलेटप्रूफ वेस्ट" एक भाषाई वैरिएबल है, और इसका "लाइट" अर्थ है।



सीधे शब्दों में कहें तो फ़ज़ी प्रोडक्ट्स का नियम (इसके बाद बस नियम) फॉर्म का क्लासिक नियम "इफ़ ... थेन ..." कहलाएगा, जहाँ फ़ज़ी स्टेटमेंट को शर्तों और निष्कर्षों के रूप में इस्तेमाल किया जाएगा। ऐसे नियम निम्नलिखित रूप में लिखे गए हैं:



IF (β ₁ IS α ₁ ) AND ( ₂ IS α ₂ ) THEN (IS ₃ IS α ₃ )।



"और" के अलावा, तार्किक संयोजक "OR" का भी उपयोग किया जाता है। लेकिन वे आमतौर पर ऐसे नियमों को कई सरल लोगों ("ओआर" के बिना) में विभाजित करके इस तरह के रिकॉर्ड से बचने की कोशिश करते हैं। साथ ही, किसी भी नियम की शर्त में फजी बयानों में से प्रत्येक को एक उपखंड कहा जाएगा। इसी तरह, निष्कर्ष में दिए गए प्रत्येक कथन को उपखंड कहा जाता है।



उदाहरण: निम्नलिखित उदाहरण परिभाषा को पकड़ने में मदद करेंगे:



1) IF (भारी बुलेटप्रूफ वेस्ट) THEN (थका हुआ सैनिक);

2) अगर (पति सोबर है) और (उच्च वेतन) तो (संतुष्ट पत्नी)।



वह सब है। यह न्यूनतम एल्गोरिथ्म के सिद्धांतों को समझने के लिए पर्याप्त है।

मामदानी एल्गोरिदम

यह एल्गोरिदम कई क्रमिक चरणों (छवि 3) का वर्णन करता है। एक ही समय में, प्रत्येक बाद के चरण इनपुट के रूप में पिछले चरण में प्राप्त मूल्यों को प्राप्त करता है।







अंजीर। 3. फजी इंजेक्शन प्रक्रिया की गतिविधि आरेख



एल्गोरिथ्म उल्लेखनीय है कि यह एक "ब्लैक बॉक्स" के सिद्धांत पर काम करता है। इनपुट मात्रात्मक मान प्राप्त करता है, आउटपुट समान है। मध्यवर्ती चरणों में, फ़ज़ी लॉजिक के उपकरण और फ़ज़ी सेट के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। यह फजी सिस्टम का उपयोग करने का लालित्य है। आप सामान्य संख्यात्मक डेटा में हेरफेर कर सकते हैं, लेकिन एक ही समय में लचीली सुविधाओं का उपयोग कर सकते हैं जो कि फजी इनविज़न सिस्टम प्रदान करते हैं।



एल्गोरिथ्म को लागू करने के लिए, एक वस्तु-उन्मुख दृष्टिकोण का उपयोग किया गया था। स्रोत कोड जावा प्रोग्रामिंग भाषा में लिखा गया है। आरेख (छवि 4) एल्गोरिथ्म में शामिल वर्गों के बीच सबसे महत्वपूर्ण संबंधों और संबंधों को दर्शाता है।







अंजीर। 4. मामदानी एल्गोरिदम के कार्यान्वयन का वर्ग आरेख



नियम (नियम) में शर्तों (स्थिति) और निष्कर्ष (निष्कर्ष) शामिल होते हैं, जो बदले में फजी स्टेटमेंट (स्टेटमेंट) होते हैं। एक फ़ज़ी स्टेटमेंट में एक भाषाई चर (चर) और एक शब्द शामिल होता है जिसे फ़ज़ी सेट (फ़ज़ीसेट) द्वारा दर्शाया जाता है। सदस्यता फ़ंक्शन को फ़ज़ी सेट पर परिभाषित किया गया है, जिसका मान getValue () विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। यह FuzzySetIface इंटरफ़ेस में परिभाषित विधि है। एल्गोरिथ्म को निष्पादित करते समय, "सक्रिय" फ़ज़ी सेट (एक्टिफ़ाइड फ़ज़ीसेट) का उपयोग करना आवश्यक होगा, जो किसी तरह फ़ज़ी सेट (फ़ज़ीसेट) के सदस्यता फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित करता है। एल्गोरिथ्म भी फ़ज़ी सेट्स (UnionOfFuzzySets) के एक संघ का उपयोग करता है। संघ भी एक फजी सेट है, और इसलिए एक सदस्यता समारोह है (फज़ीसेटिफ़ में परिभाषित)।



मामदानी एल्गोरिदम (ममदानीअल्गोरिदम) में सभी चरण (छवि 3) शामिल हैं और इनपुट के रूप में नियम आधार (सूची <नियम>) का उपयोग करता है। एल्गोरिथ्म में "सक्रिय" फ़ज़ी सेट्स (एक्टिनेटेड फ़िज़ीसेट) और उनके संघों (UnionOfFuzzySets) का उपयोग शामिल है।



तो, फजी इनिफेंस के चरणों को क्रमिक रूप से किया जाता है। और पिछले चरण में प्राप्त सभी मानों का उपयोग अगले में किया जा सकता है।



1. नियम आधार का गठन

नियम का आधार नियमों का एक समूह है जहां प्रत्येक उपखंड एक विशिष्ट भार गुणांक से जुड़ा होता है।



नियम आधार में निम्नलिखित रूप हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, विभिन्न निर्माणों के नियमों का उपयोग किया जाता है):



RULE_1: यदि "Condition_1" "निष्कर्ष ₁ " ( एफ ₁ ) और "निष्कर्ष ₂ " ( एफ ₂ );

RULE_2: IF "Condition_2" और "Condition_3" को "निष्कर्ष_3" ( F ₃ );

...

RULE_n: यदि "Condition_k" को "निष्कर्ष_ (q-1)" ( F _q-1 ) और "निष्कर्ष_ _q " ( F _q );



जहां F _i - भारांक गुणांक, जिसके परिणामस्वरूप उपमहाद्वीप की सच्चाई में विश्वास की डिग्री का संकेत मिलता है ( i = 1 .. 1)। डिफ़ॉल्ट रूप से, भार कारक को 1 माना जाता है। शर्तों में मौजूद भाषाई चर को इनपुट कहा जाता है , और निष्कर्ष आउटपुट में ।



लीजेंड:

n फजी उत्पादन नियमों की संख्या है (numberOfRules)।

m - इनपुट चर की संख्या (numberOfInputVariables)।

s - आउटपुट चर की संख्या (numberOfOutputVariables)।

k नियम आधार (नंबरऑफकंडिशन) में कुल उप-मंडल की संख्या है।

q नियम आधार (संख्याओकॉन्क्लूसन) में कुल उप-संख्याएँ हैं।



नोट: इन प्रतीकों का उपयोग बाद के चरणों में किया जाएगा। कोष्ठक में स्रोत कोड में संबंधित चर के नाम हैं।



2. इनपुट चर का फ़ज़ीकरण

इस कदम को अक्सर फजनेस रिडक्शन कहा जाता है। गठित नियम आधार और इनपुट डेटा सरणी A = {a ₁ , ..., a _m } इनपुट हैं। इस सरणी में सभी इनपुट चर के मान शामिल हैं। इस कदम का उद्देश्य नियम आधार से सभी उपखंडों के लिए सत्य मूल्यों को प्राप्त करना है। यह निम्नानुसार होता है: प्रत्येक उपखंडों के लिए, मूल्य b _i = μ ( a ) पाया जाता है। इस प्रकार, मानों का सेट b _i ( i = 1 .. k ) प्राप्त होता है।



कार्यान्वयन:

private double [] fuzzification( double [] inputData) {

int i = 0;

double [] b = new double [numberOfConditions];

for (Rule rule : rules) {

for (Condition condition : rule.getConditions()) {

int j = condition.getVariable().getId();

FuzzySet term = condition.getTerm();

b[i] = term.getValue(inputData[j]);

i++;

}

}

return b;

}







नोट: इनपुट डेटा सरणी इस तरह से बनाई गई है कि सरणी का i- th तत्व i- वें इनपुट चर से मेल खाता है (चर संख्या "id" में संग्रहीत होती है)।



3. पूर्वधारणाओं का एकत्रीकरण

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक नियम की स्थिति समग्र हो सकती है, अर्थात। तार्किक ऑपरेशन "और" का उपयोग करके परस्पर जुड़े उपखंडों को शामिल करें। इस चरण का उद्देश्य फजी बचाव प्रणाली के प्रत्येक नियम के लिए शर्तों की सच्चाई की डिग्री निर्धारित करना है। सीधे शब्दों में कहें, प्रत्येक शर्त के लिए हम उसके सभी उपवर्गों के सत्य का न्यूनतम मूल्य पाते हैं। औपचारिक रूप से, यह इस तरह दिखता है:



c _j = min { b _i }।



जहां:

j = 1 .. n ;

मैं उप-संख्याओं के समुच्चय की संख्या है जिसमें j- th इनपुट चर शामिल होता है।



कार्यान्वयन:

private double [] aggregation( double [] b) {

int i = 0;

int j = 0;

double [] c = new double [numberOfInputVariables];

for (Rule rule : rules) {

double truthOfConditions = 1.0;

for (Condition condition : rule.getConditions()) {

truthOfConditions = Math .min(truthOfConditions, b[i]);

i++;

}

c[j] = truthOfConditions;

j++;

}

return c;

}







4. उपमहाद्वीप की सक्रियता

इस स्तर पर, स्थितियों से लेकर उपमहाद्वीप तक संक्रमण होता है। प्रत्येक उप-समावेश के लिए, सत्य की डिग्री d _i = c _i * F _{i है} , जहाँ i = 1 .. q पाया जाता है । फिर, फिर से, प्रत्येक i- वें उप-समावेशन के लिए, सेट _{I i} एक नई सदस्यता फ़ंक्शन के साथ जुड़ा हुआ है। इसका मान कम से कम d _i से निर्धारित होता है और उपखंड से सदस्यता सदस्यता समारोह का मूल्य। इस विधि को न्यूनतम सक्रियण कहा जाता है, जिसे औपचारिक रूप से निम्न प्रकार से लिखा जाता है:



μ ^' _i ( x ) = मिनट { d _i , μ _i ( x )}।



जहां:

μ ^' _i ( x ) - "सक्रिय" सदस्यता समारोह;

μ _i ( x ) - अवधि सदस्यता कार्य;

d _i - _i की सच्चाई की डिग्री- वें उपसंक्रमण।



इसलिए, इस चरण का लक्ष्य नियम बेस ( i = 1 .. q ) में प्रत्येक उपवर्ग के लिए "सक्रिय" फ़ज़ी सेट डी _i का एक सेट प्राप्त करना है।



कार्यान्वयन:

private List <ActivatedFuzzySet> activation( double [] c) {

int i = 0;

List <ActivatedFuzzySet> activatedFuzzySets = new ArrayList <ActivatedFuzzySet>();

double [] d = new double [numberOfConclusions];

for (Rule rule : rules) {

for (Conclusion conclusion : rule.getConclusions()) {

d[i] = c[i]*conclusion.getWeight();

ActivatedFuzzySet activatedFuzzySet = (ActivatedFuzzySet) conclusion.getTerm();

activatedFuzzySet.setTruthDegree(d[i]);

activatedFuzzySets.add(activatedFuzzySet);

i++;

}

}

return activatedFuzzySets;

}







private double getActivatedValue( double x) {

return Math .min(super.getValue(x), truthDegree);

}







5. निष्कर्ष का संचय

इस चरण का उद्देश्य आउटपुट चर में से प्रत्येक के लिए एक फ़ज़ी सेट (या उनके संयोजन) प्राप्त करना है। यह निम्नानुसार किया जाता है: i- वें आउटपुट चर सेट के साथ जुड़ा हुआ है ई _i =: डी _जे । जहां j सबकनेक्ट की संख्या है जिसमें i -th आउटपुट वेरिएबल ( i = 1 .. s ) शामिल है। दो फजी सेटों का मिलन निम्नलिखित सदस्यता फ़ंक्शन के साथ तीसरा फ़ज़ी सेट है:



μ ^' _i ( x ) = अधिकतम {μ ₁ ( x ), μ ₂ ( x )}, जहां μ ₁ ( x ), μ ₂ ( x ) शामिल किए गए सेटों के सदस्यता कार्य हैं।



कार्यान्वयन:

private List <UnionOfFuzzySets> accumulation( List <ActivatedFuzzySet> activatedFuzzySets) {

List <UnionOfFuzzySets> unionsOfFuzzySets =

new ArrayList <UnionOfFuzzySets>(numberOfOutputVariables);

for (Rule rule : rules) {

for (Conclusion conclusion : rule.getConclusions()) {

int id = conclusion.getVariable().getId();

unionsOfFuzzySets. get (id).addFuzzySet(activatedFuzzySets. get (id));

}

}

return unionsOfFuzzySets;

}







private double getMaxValue( double x) {

double result = 0.0;

for (FuzzySet fuzzySet : fuzzySets) {

result = Math .max(result, fuzzySet.getValue(x));

}

return result;

}







6. आउटपुट वेरिएबल्स की परिभाषा

डिफ्यूज़िफिकेशन का उद्देश्य आउटपुट भाषाई चर में से प्रत्येक के लिए एक मात्रात्मक मूल्य (कुरकुरा मूल्य) प्राप्त करना है। औपचारिक रूप से, यह निम्नानुसार होता है। _I- th आउटपुट वैरिएबल और इससे संबंधित E _i ( i = 1 .. s ) सेट माना जाता है। फिर, डीफ़िज़िफिकेशन विधि का उपयोग करते हुए, आउटपुट चर का अंतिम मात्रात्मक मान पाया जाता है। एल्गोरिथ्म के इस कार्यान्वयन में, गुरुत्वाकर्षण विधि के केंद्र का उपयोग किया जाता है, जिसमें सूत्र द्वारा i- वें आउटपुट चर के मूल्य की गणना की जाती है:





जहां:

μ _i ( x ) संबंधित फ़ज़ी सेट E _i का सदस्यता कार्य है;

मिन और मैक्स फज़ी वैरिएबल के ब्रह्मांड की सीमाएं हैं;

y _मैं विक्षेपण का परिणाम है।



कार्यान्वयन:

private double [] defuzzification( List <UnionOfFuzzySets> unionsOfFuzzySets) {

double [] y = new double [numberOfOutputVariables];

for ( int i = 0; i < numberOfOutputVariables; i++) {

double i1 = integral(unionsOfFuzzySets. get (i), true );

double i2 = integral(unionsOfFuzzySets. get (i), false );

y[i] = i1 / i2;

}

return y;

}

निष्कर्ष

ममदानी के एल्गोरिथ्म और कई अन्य फ़ज़ी इंफ़ॉर्मेशन एल्गोरिदम फ़ज़ी लॉजिक टूलबॉक्स (मैटलैब के लिए विस्तार), फ़ज़ीटेक और कई अन्य जैसे अद्भुत उत्पादों में पहले से ही लागू हैं। इसलिए, एल्गोरिथ्म के इस तरह के एक विस्तृत विचार, जैसा कि इस लेख में है, व्यावहारिक से अधिक सैद्धांतिक मूल्य है। हालांकि, मैं ध्यान देता हूं कि केवल एल्गोरिदम की मूल बातों के ज्ञान और समझ की एक ठोस नींव के साथ अधिकतम प्रभाव के साथ इसे लागू करना संभव हो जाता है।

साहित्य

उन लोगों के लिए जो वर्णित एल्गोरिदम के आवेदन के विशिष्ट उदाहरणों पर करीब से नज़र डालना चाहते हैं, मैं निम्नलिखित साहित्य की ओर मुड़ने की सलाह देता हूं:



1. लियोनकोव ए.वी. MATLAB और फजीटेक / ए लियोनकोव में फजी मॉडलिंग। - सेंट पीटर्सबर्ग: बीएचवी-पीटर्सबर्ग, 2003 ।-- 736 पी।



2. शतोबा एस.डी. MATLAB / S. Shtovba का उपयोग करके फ़ज़ी सिस्टम डिज़ाइन करना। - एम: हॉटलाइन - टेलीकॉम, 2007. - 288 पी।