फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित के बारे में आपको क्या जानने की जरूरत है

सुदूर अतीत में, आईटी उद्योग के लिए यह पिछली शताब्दी का 70 का दशक था, गणितज्ञ (जैसा कि प्रोग्रामर कहा जाता था) डॉन क्विक्सोट की तरह कंप्यूटर के साथ एक असमान लड़ाई में लड़े थे जो तब छोटी पवन चक्कियों के आकार के थे। गंभीर कार्य निर्धारित किए गए थे: कक्षा से छवियों से समुद्र में दुश्मन पनडुब्बियों की खोज, लंबी दूरी की मिसाइलों की बैलिस्टिक्स की गणना, और इसी तरह। उन्हें हल करने के लिए, कंप्यूटर को वास्तविक संख्याओं के साथ काम करना चाहिए, जो, जैसा कि आप जानते हैं, सातत्य, जबकि स्मृति परिमित है। इसलिए, आपको इस निरंतरता को शून्य और लोगों के एक सीमित सेट पर मैप करना होगा। गति, आकार और सटीकता के बीच एक समझौते की तलाश में, वैज्ञानिकों ने फ्लोटिंग पॉइंट नंबर (या बुर्जुआ में यदि फ्लोटिंग पॉइंट) प्रस्तावित किया है।



किसी कारण से, फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित को कंप्यूटर विज्ञान का एक विदेशी क्षेत्र माना जाता है, यह देखते हुए कि प्रत्येक प्रोग्रामिंग भाषा में संबंधित डेटा प्रकार मौजूद हैं। ईमानदार होने के लिए, मैंने खुद सीपीयू और जीपीयू पर एक ही समस्या को हल करते हुए कंप्यूटर अंकगणित को बहुत महत्व नहीं दिया है, मुझे एक अलग परिणाम मिला है। यह पता चला कि इस क्षेत्र के छिपे हुए कोनों में बहुत जिज्ञासु और अजीब घटनाएं हैं: गैर-कम्यूटेटिव और गैर-सहयोगी अंकगणितीय संचालन, एक संकेत के साथ शून्य, असमान संख्याओं का अंतर शून्य और इतने पर देता है। इस हिमखंड की जड़ें गणित में गहराई तक जाती हैं, और कटौती के तहत मैं केवल वही बताने की कोशिश करूंगा जो सतह पर है।

1. मूल बातें

पूर्णांकों का सेट अनंत है, लेकिन हम किसी भी पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हमेशा ऐसे कई बिट्स उठा सकते हैं जो किसी विशिष्ट समस्या को हल करते समय उत्पन्न होते हैं। वास्तविक संख्याओं का सेट न केवल अनंत है, बल्कि निरंतर भी है, इसलिए, चाहे हम कितना भी थोड़ा ले लें, हम अनिवार्य रूप से उन संख्याओं का सामना करेंगे जिनके पास एक सटीक प्रतिनिधित्व नहीं है। फ्लोटिंग पॉइंट नंबर वास्तविक संख्याओं को प्रस्तुत करने के संभावित तरीकों में से एक है, जो सटीकता और स्वीकृत मूल्यों की सीमा के बीच एक समझौता है।



एक अस्थायी बिंदु संख्या में अलग-अलग अंकों का एक सेट होता है, जिसे पारंपरिक रूप से एक संकेत, एक घातांक , एक आदेश और एक मंटिसा में विभाजित किया जाता है। आदेश और मंटिसा पूर्णांक हैं, जो एक संकेत के साथ, निम्नलिखित रूप में एक अस्थायी बिंदु संख्या का प्रतिनिधित्व देते हैं:







गणितीय रूप से, इसे इस तरह लिखा जाता है:



(-1) ^s × M × B ^E , जहाँ s चिन्ह है, B- आधार, E क्रम है, और M mantissa है।



आधार अंकों की संख्या प्रणाली को निर्धारित करता है। यह गणितीय रूप से साबित हो गया है कि आधार बी = 2 (बाइनरी प्रतिनिधित्व) के साथ फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएं राउंडिंग त्रुटियों के लिए सबसे अधिक प्रतिरोधी हैं, इसलिए, व्यवहार में, केवल आधार 2 और, कम सामान्यतः, 10 का सामना करना पड़ता है। आगे की चर्चा के लिए, हम हमेशा बी = 2 मान लेते हैं, और संख्या का सूत्र। फ्लोटिंग पॉइंट जैसा दिखेगा:



(-1) ^s × M × 2 ^E



मंटिसा और ऑर्डर क्या है? मंटिसा एक निश्चित लंबाई का पूर्णांक है जो एक वास्तविक संख्या के सबसे महत्वपूर्ण बिट्स का प्रतिनिधित्व करता है। मान लें कि हमारे मंटिसा में तीन बिट्स हैं (| M | = 3)। उदाहरण के लिए, संख्या "5", जो बाइनरी सिस्टम में 101 _{2 के} बराबर होगी। सबसे महत्वपूर्ण बिट 2 ² = 4 से मेल खाती है, मध्य (जो हमारे लिए शून्य है) 2 ¹ = 2 है, और सबसे कम महत्वपूर्ण 2 ⁰ = 1 है। ऑर्डर उच्चतम रैंक के आधार (दो) की डिग्री है। हमारे मामले में, ई = 2। तथाकथित "वैज्ञानिक" मानक रूप में ऐसी संख्याओं को लिखना सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, "1.01e + 2"। यह तुरंत स्पष्ट है कि मंटिसा में तीन वर्ण हैं, और क्रम दो है।



मान लीजिए कि हम मंटिसा के 3 बिट्स का उपयोग करके एक भिन्नात्मक संख्या प्राप्त करना चाहते हैं। हम ऐसा कर सकते हैं यदि हम लेते हैं, कहते हैं, ई = 1। तब हमारी संख्या बराबर होगी



1.01e + 1 = 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰ + 1 × 2 ^-1 = 2 + 0.5 = 2.5



यहाँ, E = 1 के बाद से, पहले अंक (जो दशमलव बिंदु से पहले आता है) में से दो की शक्ति "1" है। दाईं ओर स्थित अन्य दो डिस्चार्ज (दशमलव बिंदु के बाद) क्रमशः 2 ^{ई -1} और 2 ^{ई -2} (2 ⁰ और 2 ^-1 ) का योगदान प्रदान करते हैं। जाहिर है, E को समायोजित करके समान संख्या को विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है। मंटिसा लंबाई के साथ उदाहरण पर विचार करें | M | = 4 संख्या "2" को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:



2 = 10 (बाइनरी में) = 1.000e + 1 = 0.100e + 2 = होवे + 3। (ई = 1, ई = 2, ई = 3, क्रमशः)



ध्यान दें कि एक ही संख्या में कई निरूपण हैं। यह उपकरण के लिए सुविधाजनक नहीं है, जैसा कि संख्याओं की तुलना करते समय और उन पर अंकगणितीय संचालन करते समय अभ्यावेदन की बहुलता को ध्यान में रखना आवश्यक है। इसके अलावा, यह किफायती नहीं है क्योंकि अभ्यावेदन की संख्या परिमित है, और पुनरावृत्ति उन संख्याओं की संख्या को कम कर देती है जिनका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। इसलिए, पहले से ही बहुत पहले मशीनों में, उन्होंने चाल का उपयोग करना शुरू कर दिया, जिससे मंटिसा का पहला बिट हमेशा सकारात्मक हो गया। इस तरह की प्रस्तुति को सामान्यीकृत कहा जाता था।







यह एक बिट बचाता है, क्योंकि अंतर्निहित इकाई को मेमोरी में संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है, और संख्या का एक अनूठा प्रतिनिधित्व प्रदान करता है। हमारे उदाहरण में, "2" में एक एकल सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व ("1.000e + 1") है, और मंटिसा को मेमोरी में "000" के रूप में संग्रहीत किया गया है, क्योंकि वरिष्ठ इकाई को निहितार्थ माना जाता है। लेकिन संख्याओं के सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व में, एक नई समस्या उत्पन्न होती है - इस रूप में शून्य का प्रतिनिधित्व करना असंभव है।



सख्ती से बोलते हुए, सामान्यीकृत संख्या में निम्नलिखित रूप हैं:



(-1) ^s × 1.M × 2 ^ई।



समस्याओं को हल करने की गुणवत्ता काफी हद तक फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों के प्रतिनिधित्व पर निर्भर करती है। हमने इस तरह के दृश्य को मानकीकृत करने की समस्या पर आसानी से संपर्क किया।

2. थोड़ा इतिहास

60 और 70 के दशक में फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों, राउंडिंग विधियों और अंकगणितीय संचालन का प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई एकल मानक नहीं था। नतीजतन, कार्यक्रम बेहद पोर्टेबल नहीं थे। लेकिन इससे भी बड़ी समस्या यह थी कि विभिन्न कंप्यूटरों में उनकी "विषमताएँ" थीं और उन्हें कार्यक्रम में जाना और जाना जाना आवश्यक था। उदाहरण के लिए, दो असमान संख्याओं का अंतर शून्य लौट आया। परिणामस्वरूप, अभिव्यक्ति "X = Y" और "XY = 0" विवाद में आ गए। कारीगरों ने इस समस्या को बहुत ही पेचीदा चालों से दरकिनार किया, उदाहरण के लिए, उन्होंने समस्याओं से बचने के लिए गुणा और भाग के संचालन से पहले असाइनमेंट "X = (XX) + X" बनाया।



फ़्लोटिंग पॉइंट नंबरों के प्रतिनिधित्व के लिए एकल मानक बनाने की पहल ने 1976 में इंटेल के प्रयासों के साथ संयोग से 8086 और i432 के लिए नए कोप्रोसेसर के लिए "सर्वश्रेष्ठ" अंकगणित विकसित करने का प्रयास किया। इस क्षेत्र में वैज्ञानिक व्हेल, प्रो। जॉन पामर और विलियम कहन। उत्तरार्द्ध ने अपने साक्षात्कार में व्यक्त किया कि जिस गंभीरता के साथ इंटेल अपने अंकगणित को विकसित कर रहा था, उसने अन्य कंपनियों को एकजुट होने और मानकीकरण प्रक्रिया शुरू करने के लिए मजबूर किया।



हर कोई गंभीर था, क्योंकि यह आपकी वास्तुकला को बढ़ावा देने और इसे मानक बनाने के लिए बहुत लाभदायक है। उनके प्रस्ताव डीईसी, राष्ट्रीय सुपरकंडक्टर, ज़िलोग, मोटोरोला द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। मेनफ्रेम निर्माताओं क्रे और आईबीएम ने साइडलाइन से देखा। बेशक, इंटेल ने भी अपने नए अंकगणित की शुरुआत की। प्रस्तावित विनिर्देश के लेखक विलियम काहान, जेरोम कुनैन और हेरोल्ड स्टोन थे और उनके प्रस्ताव को तुरंत "केसीएस" नाम दिया गया था।



लगभग तुरंत, सभी प्रस्तावों को अस्वीकार कर दिया गया, दो के अलावा: डीईसी से वैक्स और इंटेल से "केसीएस"। VAX विनिर्देश बहुत सरल था, यह पहले से ही पीडीपी -11 कंप्यूटरों में लागू किया गया था, और यह स्पष्ट था कि इस पर अधिकतम प्रदर्शन कैसे प्राप्त किया जाए। दूसरी ओर, केसीएस में बहुत सारी उपयोगी कार्यक्षमताएँ थीं, जैसे कि "विशेष" और "डीमनर्लाइज़्ड" संख्याएँ (नीचे विवरण)।



"केसीएस" में सभी अंकगणित एल्गोरिदम को सख्ती से परिभाषित किया गया है और यह आवश्यक है कि परिणाम उन्हें कार्यान्वयन में मेल खाता है। यह आपको इस विनिर्देश के ढांचे के भीतर सख्त गणना प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। यदि एक गणितज्ञ संख्यात्मक विधियों द्वारा किसी समस्या को हल करने के लिए उपयोग करता है और समाधान के गुणों को सिद्ध करता है, तो इस बात की कोई गारंटी नहीं थी कि ये गुण कार्यक्रम में सहेजे जाएंगे। KCS अंकगणित की कठोरता ने फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित के आधार पर प्रमेयों को साबित करना संभव बना दिया।



डीईसी ने अपने विनिर्देश को एक मानक बनाने के लिए सब कुछ किया है। उसने उस KCS अंकगणित में कुछ सम्मानित वैज्ञानिकों के समर्थन को भी सिद्धांत रूप में सूचीबद्ध किया, डीईसी के समान प्रदर्शन प्राप्त नहीं कर सका। विडंबना यह है कि इंटेल अपने विनिर्देशन को उत्पादक के रूप में बनाना जानता था, लेकिन ये ट्रिक्स एक गुप्त रहस्य थे। यदि इंटेल ने स्वीकार नहीं किया था और रहस्यों का हिस्सा प्रकट नहीं किया था, तो यह डीईसी के हमले को रोकने में सक्षम नहीं होगा।



मानकीकरण लड़ाइयों के बारे में अधिक जानकारी के लिए, प्रोफेसर कहन के साक्षात्कार को देखें , और हम यह देखेंगे कि फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं का प्रतिनिधित्व अब कैसा दिखता है।

3. आज फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों की प्रस्तुति

केसीएस डेवलपर्स जीत गए हैं और अब उनकी संतान IEEE754 मानक में सन्निहित है। इसमें फ्लोटिंग पॉइंट नंबर एक संकेत (एस), एक मंटिसा (एम) और ऑर्डर (ई) के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं:



(-1) ^s × 1.M × 2 ^E



नोट। नए IEE754-2008 मानक में, आधार 2 के साथ संख्याओं के अलावा, आधार 10 के साथ संख्याएँ हैं, तथाकथित दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ हैं।



विकिपीडिया पर पाई जाने वाली अत्यधिक जानकारी के साथ पाठक को अव्यवस्थित नहीं करने के लिए, हम केवल एक डेटा प्रकार पर विचार करते हैं, जिसमें एकल परिशुद्धता (फ्लोटिंग) है। आधे, दोहरे, और विस्तारित परिशुद्धता वाले नंबरों में समान विशेषताएं हैं, लेकिन ऑर्डर और मंटिसा की एक अलग श्रेणी है। एकल परिशुद्धता संख्याओं (फ्लोट / सिंगल) में, ऑर्डर में 8 बिट्स होते हैं, और मंटिसा 23 का होता है। प्रभावी ऑर्डर को E-127 के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, 0.15625 संख्या स्मृति में लिखी जाएगी





विकिपीडिया से लिया गया चित्र।



इस उदाहरण में:

• साइन इन करें = 0 (सकारात्मक संख्या)
• आदेश ई = 01111100 ₂ -127 ₁₀ = -3
• मंटिसा एम = 1.01 ₂ (पहली इकाई स्पष्ट नहीं है)
• परिणामस्वरूप, हमारी संख्या F = 1.01 ₂ e-3 = 2 ^-3 +2 ^-5 = 0.125 + 0.03125 = 0.15625

3.1 विशेष संख्याएँ: शून्य, अनंत और अनिश्चितता

IEEE754 में, "0" संख्या को E = E _min- 1 (एकल के लिए -127) और शून्य mantissa के बराबर ऑर्डर के साथ एक मूल्य द्वारा दर्शाया गया है। शून्य की एक स्वतंत्र संख्या के रूप में परिचय (क्योंकि शून्य को सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व में नहीं दिखाया जा सकता है) ने हमें अंकगणित में कई विषमताओं से बचने की अनुमति दी। और यद्यपि शून्य के साथ संचालन को अलग से संसाधित करने की आवश्यकता होती है, वे आम तौर पर सामान्य संख्या की तुलना में तेजी से निष्पादित होते हैं।



इसके अलावा, IEEE754 विशेष संख्याओं के लिए एक प्रतिनिधित्व प्रदान करता है, जिसके संचालन में एक अपवाद होता है। इन नंबरों में अनंत (± ∞) और अनिश्चितता (NaN) शामिल हैं। ये संख्या आपको अतिप्रवाह के दौरान पर्याप्त मूल्य वापस करने की अनुमति देती है। Infinities क्रम E = E _{अधिकतम} +1 और शून्य mantissa वाले संख्याओं के रूप में दर्शाए जाते हैं। आप अतिप्रवाह से और शून्य से एक नॉनजेरो संख्या को विभाजित करके अनंत प्राप्त कर सकते हैं। डिवेलपर्स डिविज़न और डिविज़न को एक निश्चित संख्या तक ले जाने पर सीमा के अस्तित्व के आधार पर इन्फिनिटी का निर्धारण करते हैं। तदनुसार, c / 0 == ±, (उदाहरण के लिए, 3/0 = + and, और -3 / 0 =-if), क्योंकि यदि लाभांश स्थिर हो जाता है, और विभाजक शून्य हो जाता है, तो सीमा अनंत है। 0/0 पर, सीमा मौजूद नहीं है, इसलिए परिणाम अनिश्चितता होगी।



अनिश्चितता या NaN (एक संख्या से नहीं) एक प्रतिनिधित्व किया गया आविष्कार है ताकि एक अंकगणितीय ऑपरेशन हमेशा किसी प्रकार का अर्थहीन मूल्य लौटा सके। IEEE754 में, NaN को एक संख्या के रूप में दर्शाया गया है जिसमें E = E _{अधिकतम} +1, और मंटिसा शून्य नहीं है। NaN के साथ कोई भी ऑपरेशन NaN लौटाता है। यदि वांछित है, तो जानकारी को मंटिसा में लिखा जा सकता है, जिसे कार्यक्रम व्याख्या कर सकता है। यह मानक द्वारा निर्दिष्ट नहीं है और मंटिसा को अक्सर अनदेखा किया जाता है।



मैं NaN कैसे प्राप्त कर सकता हूं? निम्नलिखित तरीकों में से एक में:

• ∞ + (- ∞)
• 0 × ∞
• 0/0, ∞ / ∞
• sqrt (x), जहां x <0

परिभाषा के अनुसार, NaN N NaN, इसलिए, एक चर के मूल्य की जांच करने के लिए, आपको बस इसकी तुलना अपने आप से करने की आवश्यकता है।

क्यों शून्य चिह्न (या +0 बनाम -0)

एक जिज्ञासु पाठक ने पहले ही देखा कि फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों के वर्णित प्रतिनिधित्व में दो शून्य हैं जो केवल साइन में भिन्न हैं। तो, 3 · (+0) = + 0, और 3 · (-0) = - 0। लेकिन तुलना करते समय + 0 = -0। मानक में, साइन को जानबूझकर रखा गया था, ताकि अतिप्रवाह या महत्व के नुकसान के परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति, अनंत या शून्य में बदल जाए, जब गुणा और विभाजन, अभी भी सबसे सही परिणाम प्रदान कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि शून्य पर कोई संकेत नहीं था, तो अभिव्यक्ति 1 / (1 / x) = x सही नहीं होगी यदि x = were were, क्योंकि 1 / were और 1 / -∞ 0 हैं।



एक और उदाहरण:

(+ ∞ / 0) + + = + 0, जबकि (+ -0 / -0) + ∞ = NaN



इस मामले में अनंत, NaN से बेहतर कैसे है? तथ्य यह है कि अगर NaN एक अंकगणितीय अभिव्यक्ति में प्रकट होता है, तो पूरी अभिव्यक्ति का परिणाम हमेशा NaN होगा। यदि अभिव्यक्ति में अनंतता का सामना करना पड़ता है, तो परिणाम शून्य, अनंत या सामान्य फ्लोटिंग-पॉइंट संख्या हो सकता है। उदाहरण के लिए, 1 / ∞ = 0।

3.3 असामान्य संख्याएँ

एक subnormal denormalized (सबनॉर्मल) संख्या क्या है, एक साधारण उदाहरण पर विचार करें। मंटिसा की लंबाई के साथ हमारा सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व है। M = = 2 बिट्स (सामान्यीकरण का एक बिट) और -1≤E≤2 के क्रम के मानों की एक श्रृंखला। इस मामले में, हमें 16 नंबर मिलते हैं:







बड़े स्ट्रोक में 1.00 की मंटिसा के साथ संख्या दिखाई देती है। यह देखा जा सकता है कि शून्य से निकटतम संख्या (0 - 0.5) की दूरी इस संख्या से अगली (0.5 - 0.6%) से अधिक है। इसका मतलब है कि 0.5 से 1 तक किन्हीं दो संख्याओं का अंतर 0 देगा, भले ही ये संख्याएँ समान न हों। मामलों को बदतर बनाने के लिए, 1 से अधिक संख्याओं के बीच का अंतर 0.5 और 0. के अंतर में गिर जाता है। उदाहरण के लिए, "1.5-1.25 = 0" (चित्र देखें)।



प्रत्येक कार्यक्रम "निकट-शून्य गड्ढे" में नहीं पड़ता है। 70 के दशक के आंकड़ों के अनुसार, औसतन प्रत्येक कंप्यूटर को महीने में एक बार इस समस्या का सामना करना पड़ता था। यह देखते हुए कि कंप्यूटर बड़े पैमाने पर प्राप्त हुए, केसीएस डेवलपर्स ने इस समस्या को हार्डवेयर स्तर पर हल करने के लिए काफी गंभीर माना। उनके द्वारा प्रस्तावित समाधान इस प्रकार था। हम जानते हैं कि E = E _मिनट -1 (फ्लोट के लिए यह "-127" है) और शून्य मंटिसा, संख्या शून्य के बराबर मानी जाती है। यदि मंटिसा शून्य नहीं है, तो संख्या को गैर-शून्य माना जाता है, इसका क्रम ई = ई _मिनट माना जाता है, और मंटिसा के निहित उच्च बिट को शून्य माना जाता है। ऐसी संख्याओं को अपभ्रंश कहा जाता है।



कड़ाई से बोलते हुए, फ्लोटिंग पॉइंट नंबर अब जैसे दिखते हैं:



(-1) ^s × 1.M × 2 ^E यदि E _मिनट normalE maxE _{अधिकतम} (सामान्यीकृत संख्या)



(-1) ^s × 0. M × 2 ^एमिन अगर E = E _min -1। (अपभ्रंश संख्याएँ)



आइए उदाहरण पर वापस जाएं। हमारे ई _मिनट = -1। हम एक नया ऑर्डर वैल्यू, E = -2 पेश करते हैं, जिसमें संख्याओं का अपभ्रंश किया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें संख्याओं का एक नया प्रतिनिधित्व मिलता है:







0 से 0.5 के अंतराल को असमान संख्याओं से भरा जाता है, जो ऊपर चर्चा किए गए 0 उदाहरणों (0.5-0.25 और 1.5-1.25) में विफल नहीं होना संभव बनाता है। इसने दृश्य को शून्य के करीब संख्याओं के लिए गोल त्रुटियों के खिलाफ और अधिक मजबूत बना दिया।



लेकिन एक प्रोसेसर में संख्याओं के एक निरूपित प्रतिनिधित्व का उपयोग करने की लक्जरी मुफ्त में नहीं दी गई है। इस तथ्य के कारण कि सभी अंकगणितीय कार्यों में इस तरह की संख्याओं को अलग-अलग संसाधित करने की आवश्यकता होती है, ऐसे अंकगणित को प्रभावी बनाने में काम करना मुश्किल होता है। यह प्रोसेसर में ALU के कार्यान्वयन में अतिरिक्त कठिनाइयाँ उत्पन्न करता है। यद्यपि अपभ्रंश संख्याएँ बहुत उपयोगी होती हैं, वे रामबाण नहीं हैं और आपको फिर भी गोलाई का ध्यान रखना चाहिए। इसलिए, यह कार्यक्षमता मानक के विकास में ठोकर बन गई और सबसे मजबूत प्रतिरोध को पूरा किया।

IEEE754 में 3.4 नंबर अनुक्रम

IEEE754 प्रारूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने की अद्भुत विशेषताओं में से एक यह है कि ऑर्डर और मंटिसा को एक के बाद एक इस तरह से व्यवस्थित किया जाता है कि एक साथ वे पूर्णांक का एक क्रम बनाते हैं {n} जिसके लिए:



n <n + 1 ⇒ F (n) <F (n + 1), जहां F (n) पूर्णांक संख्या है जो अपने बिट्स को क्रम और मंटिसा में विभाजित करके पूर्णांक n से बनता है।



इसलिए, यदि हम एक सकारात्मक फ्लोटिंग-पॉइंट संख्या लेते हैं, तो इसे एक पूर्णांक में परिवर्तित करें, "1" जोड़ें, हमें निम्नलिखित संख्या मिलती है, जो इस अंकगणित में प्रतिनिधित्व योग्य है। सी में, यह इस तरह किया जा सकता है:

float a=0.5; int n = *((int*) &a); float b = *((float*) &(++n)); printf(" %e  : %e,  (%e)\n", a, b, ba);
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

यह कोड केवल 32-बिट इंट के साथ वास्तुकला पर काम करेगा।

4. फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित में नुकसान

अब अभ्यास करना है। फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित की विशेषताओं पर विचार करें, जिन्हें प्रोग्रामिंग करते समय विशेष रूप से सावधान रहने की आवश्यकता है।

४.१ गोलाई

आधुनिक फ़्लोटिंग पॉइंट अंकगणित में गोलाई त्रुटियों के कारण त्रुटियां मिलना मुश्किल है, खासकर यदि आप दोहरे परिशुद्धता का उपयोग करते हैं। IEEE754 मानक में राउंडिंग नियम कहता है कि किसी भी अंकगणितीय ऑपरेशन का परिणाम ऐसा होना चाहिए जैसे कि यह सटीक मानों पर प्रदर्शन किया गया हो और इस प्रारूप में दर्शाए गए निकटतम संख्या तक गोल हो। इसके लिए ALU से अतिरिक्त प्रयासों की आवश्यकता होती है और कुछ संकलक विकल्प (जैसे "gff में गणित") इस व्यवहार को निष्क्रिय कर सकते हैं। IEEE754 में गोलाई की विशेषताएं:

• मानक में निकटतम करने के लिए राउंडिंग नहीं की जाती है जैसा कि हम करते थे। यह गणितीय रूप से दिखाया गया है कि यदि 0.5 को 1 (अप) तक गोल किया जाता है, तो संचालन का एक सेट होता है जिसमें गोलाई त्रुटि अनन्तता तक बढ़ जाएगी। इसलिए, IEEE754 यहां तक ​​कि गोलाई नियम को लागू करता है। तो, 12.5 को 12, और 13.5 से 14 तक गोल किया जाएगा।
• फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित में गोलाई के संदर्भ में सबसे खतरनाक ऑपरेशन घटाव है। जब करीब संख्या घटाते हैं, तो महत्वपूर्ण अंक खो सकते हैं, जो
  
  सापेक्ष त्रुटि को काफी बढ़ा सकता है।
• कई व्यापक गणितीय सूत्रों के लिए, गणितज्ञों ने एक विशेष रूप विकसित किया है जो गोलाई की त्रुटि को काफी कम कर सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र "x ² -y ² " की गणना सूत्र "(xy) (x + y)" का उपयोग करके सबसे अच्छी गणना की जाती है।

4.2 गैर-सहयोगी अंकगणितीय संचालन

फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित में, नियम (a * b) * c = a * (b * c) किसी भी अंकगणितीय संचालन के लिए नहीं होता है। उदाहरण के लिए



(१० २०+) -१० ^२० = ० (१० ^२० -१० ^२० ) + १ = १



मान लीजिए कि हमारे पास संक्षेप संख्या के लिए एक कार्यक्रम है।

 double s = 0.0; for (int i=0; i<n; i++) s = s + t[i];
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

कुछ संकलक, डिफ़ॉल्ट रूप से, एक ही समय में कई ALU का उपयोग करने के लिए कोड को फिर से लिख सकते हैं (हम मानते हैं कि n को 2 से विभाजित किया गया है:

 double sa[2], s; sa[0]=sa[1]=0.0; for (int i=0; i<n/2; i++) {    sa[0]=sa[0]+t[i*2+0];    sa[1]=sa[1]+t[i*2+1]; } S=sa[0]+sa[1];
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

चूंकि समन का संचालन सहयोगी नहीं है, इसलिए ये दोनों कार्यक्रम अलग-अलग परिणाम दे सकते हैं।

4.3 संख्यात्मक स्थिरांक

याद रखें कि सभी दशमलव संख्याओं में बाइनरी फ्लोटिंग-पॉइंट प्रतिनिधित्व नहीं होता है। उदाहरण के लिए, संख्या "0.2" को एकल परिशुद्धता में "0.200000003" के रूप में दर्शाया जाएगा। तदनुसार, "0.2 + 0.2 + 0.4"। एक अलग में पूर्ण त्रुटि

मामला अधिक नहीं हो सकता है, लेकिन यदि आप चक्र में ऐसे निरंतर का उपयोग करते हैं, तो हम संचित त्रुटि प्राप्त कर सकते हैं।

४.४ दो मूल्यों को न्यूनतम चुनना

मान लें कि दो मूल्यों के लिए हमें न्यूनतम चुनने की आवश्यकता है। सी में, यह निम्नलिखित तरीकों में से एक में किया जा सकता है:

1. x <y? x: y
2. x <= y x: y
3. x> य? y: x
4. x> = y? y: x

अक्सर कंपाइलर उन्हें समकक्ष मानता है और हमेशा पहले विकल्प का उपयोग करता है, क्योंकि यह एक प्रोसेसर निर्देश में निष्पादित होता है। लेकिन अगर हम and 0 और NaN को ध्यान में रखते हैं, तो ये ऑपरेशन किसी भी तरह से बराबर नहीं हैं:

एक्स	y	x <य? x: y	x <= y x: y	x> य? y: x	x> = y? y: x
+0	-0	-0	+0	+0	-0
NaN	1	1	1	NaN	NaN

4.5 संख्याओं की तुलना

समानता के लिए जाँच करते समय फ़्लोट्स के साथ काम करते समय एक बहुत ही सामान्य त्रुटि उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए

 float fValue = 0.2; if (fValue == 0.2) DoStuff();
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

यहां गलती यह है कि, सबसे पहले, 0.2 में एक सटीक बाइनरी प्रतिनिधित्व नहीं है, और दूसरी बात, 0.2 एक डबल सटीक स्थिरांक है, और चर fValue एकल है, और इस तुलना के व्यवहार के बारे में कोई गारंटी नहीं है।



सबसे अच्छा, लेकिन अभी भी त्रुटिपूर्ण तरीका है, अंतर की अनुमति अनुमेय पूर्ण त्रुटि के साथ करना है:

 if (fabs(fValue – fExpected) < 0.0001) DoStuff(); // fValue=fExpected?
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

इस दृष्टिकोण का नुकसान यह है कि संख्या का प्रतिनिधित्व करने में त्रुटि इस संख्या की वृद्धि के साथ ही बढ़ जाती है। इसलिए, यदि कार्यक्रम "10000" की उम्मीद करता है, तो उपरोक्त समानता निकटतम पड़ोसी संख्या (10000,000977) के लिए संतुष्ट नहीं होगी। यह विशेष रूप से सच है यदि प्रोग्राम में सिंगल से डबल परिशुद्धता में रूपांतरण है।



सही तुलना प्रक्रिया का चयन करना कठिन और इच्छुक पाठकों के लिए है, मैं ब्रूस डॉसन के एक लेख का संदर्भ देता हूं। यह एक पूर्णांक चर के रूपांतरण के साथ फ्लोटिंग पॉइंट संख्याओं की तुलना करने का प्रस्ताव करता है। यह सबसे अच्छा है, यद्यपि पोर्टेबल तरीका नहीं:

 bool AlmostEqual2sComplement(float A, float B, int maxUlps) {    // maxUlps        ,     // NaN          assert(maxUlps > 0 && maxUlps < 4 * 1024 * 1024);    int aInt = *(int*)&A;    //    aInt,  ,         if (aInt < 0) aInt = 0x80000000 - aInt;    //aInt &= 0x7fffffff; //(.   Vayun)    //   bInt    int bInt = *(int*)&B;    if (bInt < 0) bInt = 0x80000000 - bInt;    /*aInt &= 0x7fffffff;*/    unsigned int intDiff = abs(aInt - bInt); /*(.   Vayun)*/    if (intDiff <= maxUlps)        return true;    return false; }
      
      

        
        
        
      

    
        
        
        
      
      

        
        
        
      

    
     

इस कार्यक्रम में, मैक्सअप्स (यूनिट्स-इन-लास्ट-प्लेस से) अधिकतम संख्या में फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर हैं जो चेक किए गए और अपेक्षित मानों के बीच झूठ बोल सकते हैं। इस चर का एक और अर्थ है बाइनरी अंकों की संख्या (सबसे कम के साथ शुरू होने वाली) की तुलना में याद किए जाने की अनुमति है। उदाहरण के लिए, maxUlps = 16, का अर्थ है कि निचले 4 बिट्स (लॉग ₂ 16) मेल नहीं खा सकते हैं, और संख्याओं को अभी भी समान माना जाएगा। इसके अलावा, जब 10000 की संख्या के साथ तुलना करते हैं, तो पूर्ण त्रुटि 0.0146 के बराबर होगी, और 0.001 के साथ तुलना करते समय, त्रुटि 0.00000001 (10 ^-8 ) से कम होगी।

5. IEE754 के लिए समर्थन की पूर्णता के लिए जाँच करें

क्या आपको लगता है कि यदि प्रोसेसर IEEE754 मानक का पूरी तरह से पालन करते हैं, तो कोई भी प्रोग्राम जो मानक डेटा प्रकारों का उपयोग करता है (जैसे कि फ्लोट / सी में डबल) विभिन्न कंप्यूटरों पर एक ही परिणाम उत्पन्न करेगा? आपसे गलती हुई है। पोर्टेबिलिटी और अनुपालन कंपाइलर और अनुकूलन विकल्पों से प्रभावित होते हैं। विलियम काहान ने सी में एक कार्यक्रम लिखा (फोरट्रान के लिए एक संस्करण है), जो आपको यह जांचने की अनुमति देता है कि क्या IEEE754 की लिंक "वास्तुकला + संकलक + विकल्प" है या नहीं। इसे "फ्लोटिंग पॉइंट पैरानोया" कहा जाता है और इसका स्रोत कोड डाउनलोड के लिए उपलब्ध है। GPU के लिए एक समान कार्यक्रम उपलब्ध है। इसलिए, उदाहरण के लिए, इंटेल कंपाइलर (आईसीसी) डिफ़ॉल्ट रूप से "आराम" IEEE754 मॉडल का उपयोग करता है, और परिणामस्वरूप, सभी परीक्षण नहीं किए जाते हैं। विकल्प "-fp- मॉडल सटीक" आपको मानक के साथ सटीक अनुपालन के साथ कार्यक्रम को संकलित करने की अनुमति देता है। GCC कंपाइलर में "-ffast-math" विकल्प होता है, जिसके उपयोग से IEEE754 मिसमैच होता है।

निष्कर्ष

अंत में, एक शिक्षाप्रद कहानी। जब मैं GPU पर एक परीक्षण परियोजना पर काम कर रहा था, मेरे पास एक कार्यक्रम का एक सीरियल और समानांतर संस्करण था। रनटाइम की तुलना करते हुए, मैं बहुत खुश था क्योंकि मुझे 300 बार त्वरण मिला। लेकिन बाद में यह पता चला कि GPU पर गणना "गिर गई" और NaN की ओर मुड़ गई, और GPU में उनके साथ काम करना सामान्य संख्याओं की तुलना में तेज था। एक और बात दिलचस्प थी - GPU एमुलेटर (सीपीयू पर) पर एक ही कार्यक्रम ने सही परिणाम का उत्पादन किया, लेकिन स्वयं GPU पर नहीं। बाद में यह पता चला कि समस्या यह थी कि यह GPU IEEE754 मानक का पूरी तरह से समर्थन नहीं करता था और प्रत्यक्ष दृष्टिकोण काम नहीं करता था।



अब फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित लगभग सही है। लगभग हमेशा, एक भोली दृष्टिकोण काम करेगा, और एक कार्यक्रम जो इसकी सभी विशेषताओं को ध्यान में नहीं रखता है, सही परिणाम देगा, और वर्णित नुकसान केवल विदेशी मामलों की चिंता करते हैं। लेकिन आपको हमेशा सतर्क रहना चाहिए: कंप्यूटर गणित जैसे मामले में, रेक पर कदम रखना आसान है।



PS महत्वपूर्ण बिंदु के लिए uqlock के लिए धन्यवाद। धन को एक अस्थायी बिंदु संख्या के रूप में संग्रहीत नहीं किया जा सकता है, जैसा कि इस मामले में, महत्वपूर्ण श्रेणियों को प्रतिष्ठित नहीं किया जा सकता है। यदि प्रोग्रामिंग भाषा में कोई निश्चित-बिंदु डेटा प्रकार नहीं हैं, तो आप स्थिति से बाहर निकल सकते हैं और एक पूर्णांक (कभी-कभी एक पैसा का एक अंश) का अर्थ करते हुए, एक पूर्णांक के रूप में पैसे स्टोर कर सकते हैं।



PPS टाइपर्स और उपयोगकर्ताओं के लिए त्रुटियों के लिए धन्यवाद: gribozavr , kurokikaze , Cenness , TheShock , perl_demon , GordTremor , fader44 , DraculaDis , icc , f0rbidik , Harkonnen , AlexanderYastrebov , Vayun , EvilsInterInterInterInterInter !

साहित्य

1. IEE754 मानक के विकास पर विलियम काहान के साथ साक्षात्कार ।
2. गणितीय गणना के साथ एक पुस्तक - फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित, डेविड गोल्डबर्ग के बारे में हर कंप्यूटर वैज्ञानिक को क्या जानना चाहिए ।
3. फ्लोटिंग पॉइंट संख्याओं की तुलना, ब्रूस डॉसन ।