ダン・ピポニ

概要：この記事では、モナドが必要になる可能性のあるソリューションのタスクの例を示します。



参加する代わりに（翻訳開始）：



多くの「モナドの紹介」では、モナドは説明が難しいものとして提示されます。 これは実際には複雑なものではないことを示したいと思います。 実際、関数型プログラミングのさまざまな問題に直面すると、多くの場合モナドの例であるさまざまな解決策に断固として出くわします。 そして、まだ学んでいないなら、それらを発明することを学ぶことを願っています。 今後は、これらのソリューションは本質的に同じソリューションであると言えます。 読んだ後、あなたはおそらくあなたが自分が発明したものとして見るものすべてを認識するので、おそらくモナドの他の作品をよりよく理解するでしょう。



モナドが解決しようとしている多くの問題は、「副作用」の問題に関連しています。 そして、それらから始めます。 （私はモナドが副作用を扱う能力よりもはるかに多くのことを可能にしていることに注意してください、特にコンテナオブジェクトの多くはモナドとして表現できます。

副作用：純粋な機能のデバッグ

C ++などの命令型プログラミング言語では、関数は数学的な意味で関数とは異なる動作をします。 たとえば、C ++関数が1つの引数、浮動小数点数を受け取り、浮動小数点数を返すとします。

外見上は、RからRへの数学関数のように見えますが、C ++関数は、引数に依存する単なる数値を返す以上のことができます。 グローバルメモリから値を読み書きしたり、画面に出力を書き込んだり、ユーザーから入力を受け取ったりできます。 純粋な関数型言語では、関数は引数を介して渡されたもののみを読み取ることができ、外部の世界に影響を与える方法は1つしかありません-発行される値です。



したがって、純粋なプログラミング言語での次の問題を考えてみましょう。関数fとgがR-> Rとして機能し、これらの関数を変更してデバッグ情報も出力するようにします。 Haskellでは、fとgは次のタイプを持つことができます



f,g :: Float -> Float







副作用を許容するために、タイプfとgをどのように変更できますか？ 実際、選択の余地はありません。 fとgで文字列と浮動小数点数を作成する場合、唯一可能な方法は、浮動小数点数とともに文字列を返すことです。 言い換えれば、関数f 'とg'は型を持たなければなりません



f',g' :: Float -> (Float,String)







これを図に描くことができます。

     x
     |
   + --- +
   |  f '|
   + --- +
    |  \ 
    |  |
   fx "fが呼び出されました。"

それらを「デバッグ関数」と呼びます。



このような2つの関数の構成をデバッグするとします。 初期関数fとgの単純な構成をfの形式で記述できます。 g 。 ただし、デバッグ機能の場合、これを直接行うことはできません。 f 'とg'によって返される行を、共通のデバッグ行（ g 'から1つ、およびf'から1つ後の行）に結合する必要があるためです。 ただし、 g 'の戻り値の型がf'の引数の型と一致しないため、 f 'とg'を直接結合することはできません。 ソリューションコードは次のように記述できます。



let (y,s) = g' x

(z,t) = f' y in (z,s++t)









これを図で示します

      x
      |
    + --- +
    |  g '|
    + --- +
     |  \   
   + --- + |  「gが呼ばれた。」
   |  f '|  |
   + --- + |
    |  \ | |
    |  \ | |
    |  + ---- +
    |  |  ++ |
    |  + ---- +
    |  |
 f（gx）「gが呼び出されました。fが呼び出されました。」

毎回、この方法で2つの関数の構成を記述することは難しく、コードのどこにでもこのようなバインディングを記述したい場合、それは難しいタスクになります。 必要なのは、このバインディングを実行するために高階関数を定義することです。 難点は、出力g 'を入力f'に供給できず、 f 'を「改善」する必要があることです。 これを行うには、次のタイプの関数を導入し、 bindと呼ぶ必要があります



bind f' :: (Float,String) -> (Float,String)







そのように動作します



bind :: (Float -> (Float,String)) -> ((Float,String) -> (Float,String))







bindは2つのタスクを実行する必要があります。（1）目的の部分g 'xに f'を適用し、（2） g 'によって返される文字列とf'によって返される文字列を結合する必要があります。



演習1



バインド関数を作成します。



解決策



bind f' (gx,gs) = let (fx,fs) = f' gx in (fx,gs++fs)







これで、デバッグ関数f 'とg'の構成を記述できます。 それらの組成をf '°g'として示します。 gの出力が「 fの入力と互換性がない」という事実にもかかわらず、これらの操作を組み合わせる簡単な方法があります。 そして、これは次の質問につながります：「単一の」機能の存在。 通常、1（恒等変換）には次のプロパティf×1 = fおよび1×f = fがあります。 unit°f = f°unit = fのようなデバッグ関数（ユニットを呼び出しましょう）を見つけることができます。 明らかに、空のデバッグ情報を表示する関数を作成できます。そうでない場合は、同一の変換として機能します。



演習2



unitを入力します。



解決策

unit x = (x,"")







ユニット関数を使用すると、関数をデバッグスペースに「持ち上げる」ことができます。 実際には：



lift fx = (fx,"")







または簡単にリフトf =単位。 f 「raised」関数は元の関数と同じように機能し、論理的には副作用として空の文字列を表示します。



演習3



リフトf°リフトg =リフト（f。g）であることを示す



要約すると、 バインド関数とユニット関数を使用すると、デバッグ関数を直接作成し、通常の関数とデバッグを自然な方法で組み合わせることができます。



信じられないかもしれませんが、練習を終えて最初のモナドを特定しました。 今、おそらくどの構造がモナドであるか、または他のモナドがどのように見えるかはあまり明確ではありません。 しかし、ここでモナドを定義する代わりに、他のより簡単な演習を使用して、その名前に値する一般的な構造を自分で理解できるように他のモナドをもたらします。 また、この問題に遭遇したほとんどの人は、 バインド機能を推測してデバッグ機能を組み合わせることができると確信しています。 また、モナドであることに気付いていなくても、すでにモナドを思い付くことができると確信しています。

コンテナ：多値関数

それぞれ実数の平方根と立方根を計算する関数sqrtとcbrtを考えてください。 これらの関数は、FloatからFloatに作用します（ sqrtは負の引数に対しても例外をスローする必要があります）。



次に、これらの関数の複雑なバージョンを作成します。 ゼロを除くすべての複素数について、2つの平方根が必要です。 同様に、ゼロ以外のすべての複素数には3つの立方根があります。 したがって、関数sqrt 'およびcbrt'を定義して、数値のリストを返します。



sqrt',cbrt' :: Complex Float -> [Complex Float]







それらを多値関数と呼びます。



実数の6番目の根を見つけたいとします。この場合、平方根と立方根を単純に組み合わせることができます。 つまり、6番目のルートをx = sqrt（cbrt x）として定義できます。



sqrt 'およびcbrt'を使用して、複素数の6乗の6つの根をすべて返す関数を考えます。 これらの関数の和集合だけを書き留めることはできません。 最初に数値の3乗根を計算し、次に取得した値の平方根を計算し、すべての結果を1つの長いリストに結合する必要があります。 これを行うには、定義を使用して関数を作成する必要があります（ bindを呼び出しましょう）



bind :: (Complex Double -> [Complex Double]) -> ([Complex Double] -> [Complex Double])







完全なプロセスを説明する図を次に示します。 cbrtを 1回書きたいが、結果の値にsqrtを適用したい。

         64
         |
      + ------ +
      + sqrt '+
      + ------ +
    +8 / \ -8
  + ------ + + ------ +
  |  cbrt '|  |  cbrt '|
  + ------ + + ------ +
   |  |  |  |  |  |
   2。  。  -2。  。

演習4



バインド実装を作成します。



解決策



bind fx = concat (map fx)







多値関数のユニットを作成するにはどうすればよいですか？ ユニットは1つの引数を返すため、関数の複数値バージョンでは、1つの要素で構成されるリストを返す必要があります。 ユニット関数を呼び出します。



タスク5



レコード単位。



解決策



unit x = [x]







また、 f°g = bind fを定義します。 gおよびリフトlift f = unit。 f Raisingは期待したことを行います-通常の関数を明示的に多値関数に変換します。



演習6



f°unit = unit°f = fおよびlift f°lift g = lift（fg）であることを示す



繰り返しになりますが、上記の問題により、容赦なくバインド機能に至りました。



演習を完了した後、2番目のモナドを作成しました。 おそらく、あなたはすでに一般的な開発パターンを理解しています。 これら2つの異なる外観の問題が共通の設計につながることは奇妙です。

より複雑な副作用の例：乱数

Haskell乱数は次のとおりです

 ランダム:: StdGen→（a、StdGen） 

これは、乱数を生成するために粒度が必要であり、生成後に更新する必要があるという考え方です。 非純粋な言語では、カーネルをグローバル変数にすることができ、ユーザーはそれを直接操作する必要がありません。 ただし、純粋な言語では、グレインを明示的に送受信する必要があります（これは、ランダム性を表すいわゆる署名です）。 この問題は、ペアを使用して追加情報を返すという点で、上記のデバッグの場合と似ていることに注意してください。 しかし、この問題では、追加情報も送信します。



したがって、ランダム関数a- > bである関数は 、関数a→StdGet→（b、StdGen）として書き換えることができます。ここで、 StdGenはシードです。



ここで、2つのランダム関数fとgの構成を作成する方法を理解する必要があります。 fの「実際の」戻り値は、最初の引数gに渡す必要があります。 一方、ペアの2番目の要素によってfによって返されるグレインもgに転送する必要があります。 このようにして、バインド関数のタイプを記述できます。

  bind ::（a→StdGen→（b、StdGen））→（StdGen→（a、StdGen））→（StdGen→（b、StdGen）） 

演習7



バインドを実装する



解決策

  bind fx seed = let（x '、seed'）= x seed in fx 'seed' 

次に、ユニットを作成する必要があります。 彼女はタイプでなければなりません

 ユニット:: a→（StdGen→（a、StdGen）） 

穀物は変更しないでください。



演習8



ユニットを実装します。



解決策

 単位xg =（x、g） 

または単に

 単位=（、） 

また、操作f°g =バインドfgおよびリフトlift f =ユニットを定義できます。 f。 Raisingは想定されていることを行います-通常の関数をランダム関数（ランダム化）に変換し、カーネルを変更しません。



演習9



f°unit = unit°f = fおよびlift f°lift g = lift（fg）であることを示す

モナド

それでは、最初に戻って全体的な構造に注目してください。



定義する

タイプDebuggable a =（a、String）
タイプMultivalued a = [a]
タイプRandomized a = StdGen->（a、StdGen）

変数mを使用して、Debuggable、Multivalued、またはRandomizedを実装します。 いずれの場合も、同じ問題に直面しています。 -> mb関数がありますが、この関数をタイプaではなくオブジェクトタイプmaに適用できる必要があります。 これを行うには、タイプ（a-> mb）->（ma-> mb）のバインディング関数（ bindと呼ばれる）を定義し、恒等変換ユニット:: a-> maを導入します。 さらに、要件を満たす必要があります： f°unit = unit°f = fおよびlift f°lift g = lift（fg） 、ここで（ ° ）およびliftはunitおよびbindの観点から定義されます。



今、私はモナドとは何かを言うことができます。 オブジェクトのトリプル（m、ユニット、バインド）はモナドですが、モナドであるためには、上記で証明した法則を満たさなければなりません。 そして、3つのケースすべてが共通の構造によって結合されていることに気付いていなくても、3つのケースのそれぞれでバインド関数を発明できると思います。



それで、私はこれをHaskellモナドの定義に関連付けなければなりません。 そして、「 bind 」という単語で最初に反映して指定したのは、 バインド関数の定義です。これは>> =演算子として記述されています 。 次に、結合fxは x >> = fとして書き換えられます。 次に、 ユニットはreturnと呼ばれます。 そして第三に、関数>> =およびreturnをオーバーライドするには、型クラスを使用する必要があります。 Haskellでは、DebuggableはWriterモナド、MultivaluedはListモナド、RandomizedはStateモナドです。 次のものの定義を確認する場合



Control.Monad.Writer Control.Monad.List Control.Monad.State



構文糖に正確に表示されます。これらは上で書いた定義です。 それがモナドに出会った方法です！

モナド構文

私はこれに多くの時間を費やしたくありません（そして、このセクションはスキップできます）。 より良い紹介がたくさんあります。



バインド関数がどのように関数をバインドする便利な方法を提供し、非常にいコードを書くことからあなたを救うことができるかを見てきました。 しかし、Haskellはさらに進んでおり、 バインド関数を直接使用する必要さえありません。Haskellに自動的に挿入するように「尋ねる」ことができます。



公式の型クラスを使用して、元のデバッグの例に戻りましょう。 ペア（a、s）を使用した場合、 Writer Char型のWriter （a、s）を使用します。 このペアを取得するには、 runWriter関数を使用します。 1を足し、2を掛け、7を引いて、各ステップで行うことを書き留めたいとします。 書き込める合計

 return 7 >> =（\ x-> Writer（x + 1、 "inc。"））
     >> =（\ x-> Writer（2 * x、 "double。"））
     >> =（\ x->ライター（x-1、 "dec。"））

この結果にrunWriter関数を適用すると、（15、“ inc.double.dec。”）が得られます。 しかし、コードはまだきれいではありません。 それを改善するには、do構文を使用します。 アイデアは

 x <-yを行う
    より多くのコード

コンパイラによって自動的に書き換えられます

 y >> =（\ x-> do
                より多くのコード）。

また

する
     x = yとする
    より多くのコード

に書き換えられます

 （\ x-> do
        より多くのコード）y

そして

する
    表現

ただ式を残します。



次のようにコードを書き換えることができます。

する
     x = 7とする
     y <-ライター（x + 1、 "inc \ n"）
     z <-ライター（2 * y、 "double \ n"）
    ライター（z-1、「dec \ n」）

このエントリは非常に明らかです。 y <-...と書くと、右辺の式はx + 1であると仮定できますが、操作によって副作用が発生します。



別の例。 6次の根を見つける関数を扱いにくい形で記述します

  return 64 >> =（\ x-> sqrt 'x）>> =（\ y-> cbrt' y） 

より読みやすいようにコードを書き直すことができます

する
     let x = 64
     y <-sqrt 'x
     z <-cbrt 'y
     zを返す

通常のあいまいでないコードのように見えるコードを記述し、Haskellが自動的に挿入するバインドバインディングを暗黙的に呼び出して、あいまいにすることができます。



このような構文の作成は天才の仕事です。 たぶん、あなたはそれを発明することができましたが、私はできなかったと確信しています。 しかし、これらの追加は、実際にはモナドの上にある単なる構文上の砂糖です。 基礎となるモナドデバイスを思い付くことができると確信しています。

入力/出力

モナドを完全に理解する前に注意しなければならないことがもう1つあります。 外の世界とのコミュニケーション。 上記で書かれたものはすべて、純粋な関数型言語に適用できます。 しかし、今度は怠pureで純粋な関数型言語に注目しましょう。 そのような言語では、物事がどのような順序で計算されるかわかりません。 したがって、「数字を入力してください」というメッセージを表示する関数と、数字を要求する別の関数がある場合、数字が要求される前にメッセージが書き込まれることを保証できません。 ランダム関数の例を見てください。ランダムカーネルがすべての関数をどのように通過して、 randomを呼び出すたびに使用できるようになっていることに注目してください。 一定の順序があります。 x >> = f >> = gがあるとします gはfによって返されるグレインを使用します。fが gの前に番号を生成することを確認できます。 そしてこれは、原則として、モナドを使用して計算を合理化できることを示しています。



次に、コンパイラでの乱数の実装を提案します。 これは、Haskell実行可能ファイルに挿入されたCまたはアセンブラーコードです。 このコードはI / Oを実行するように変更されています。gの前にfが実行されることを保証できます。 これは、I / OがHaskellで動作するためです。モナドですべてのI / Oを実行します。 この場合、タイプa-> bの関数と外界の副作用は、タイプa-> IO bになります。 タイプIOはブラックボックスです。その中に何があるかを知る必要はありません。 （たぶんそれはランダムな例として機能するかもしれませんが、そうではないかもしれません）x >> = f >> = gfはgの前に実行されることを知る必要があります。

カテゴリー理論

そして最後に。 モナドはカテゴリー理論の文脈で発明されました。 そして、私は次の日にこの接続を離れます。

補遺：乱数を使用した完全なサンプルコード

インポートランダム

 bind ::（a-> StdGen->（b、StdGen））->（StdGen->（a、StdGen））->（StdGen->（b、StdGen））
 bind fx seed = let（x '、seed'）= x seed in fx 'seed'
単位xg =（x、g）
リフトf =単位。  f

そして、私たちがやろうとしていること：これらの手順に従うことで2（10進数）の数字を構築したい



（1）[0.9]の範囲の乱数を作成します

（2）10を掛けます

（3）範囲[0.9]から別の乱数を追加します



一般に、これはaddDigitのようなものの合成です。 （* 10）。 addDigit 。 しかし、すべてのコードにランダムな粒度を渡す必要があることを知っています。 まず、 addDigitの定義を検討します。

  addDigit ng = let（a、g '）=ランダムg in（n + a `mod` 10、g'） 

n +乱数と新しいシードで構成されるペアを返します。 彼は追加の引数として穀物を使用していることに注意してください。 関数はaddDigit n = let a = random in n + a `mod` 10であり、非純粋な言語で移植可能であると考えることができます。



次に、10を掛ける操作を紹介します。これは通常の操作で、リフトを使用して「改善」できます。 取得します

 シフト=リフト（* 10） 

そして、これが決定的な瞬間です。 合成することはできませんが、代わりにバインディングを使用して、関数を組み合わせ可能な形式に変換できます。 合計addDigit。 （* 10）.addDigitは次のようになります

テスト::整数-> StdGen->（整数、StdGen）
 test = addDigitをバインドします。 バインドシフト。  addDigit

次に、お気に入りの番号を使用して穀物を作成し、コードを実行します

 g = mkStdGen 666
 main = print $ test 0 g

サンプルを書くとき、私は特にMonad型クラスを使用しなかったことに注意してください。 したがって、何もあなたから隠されず、すべてが明示的に行われました。