ゲーデルの定理の最短説明

ゲーデルの不完全性定理は 、私の解釈では、無限の数のステートメントを含むように十分に開発されたすべての論理システムには、このシステムの枠組み内で真実または偽りが証明できないものがあると述べています。 このようなシステムには、証明アルゴリズム、アルファベット、考えられる多くの単語、および真のステートメントのサブセットを含める必要があります。

114ページの完全な証拠は、B。ウスペンスキーの本「ゲーデルの定理」にあります。

定理は、いくつかの数学の分野、正確な科学、そしておそらく哲学にとって非常に重要です。 以下は最短の説明の実際の翻訳です。



一部の言語ですべての真の表現を印刷するマシンがあります。 実際、そのようなマシンが表現プリンターである必要はありません。 ステートメントの真実性を決定するロジックの存在のみを想定します。 しかし、マシンがまだ式を出力しているとしましょう。



特に、一部の機械印刷式にはこの形式があります。



P*x ( x)

NP*x ( x)

PR*x ( xx)

NPR*x ( xx)







たとえば、NPR * FOOは、マシンがFOOFOOを印刷しないことを意味します。 NP * FOOFOOは同じ意味です。 これまでのところ良い。

次に、式NPR * NPR *について考えます。 この表現は、マシンがNPR * NPR *を決して印刷しないことを意味します。 2つの可能なオプションを検討してください。NPR* NPR *は印刷されますが、印刷されません。

NPR * NPR *を印刷すると、マシンは誤った表現を印刷します。 ただし、マシンがNPR * NPR *を印刷しない場合、NPR * NPR *は、マシンによって印刷されない真のステートメントになります。

したがって、マシンは偽の式を出力するか、真の式を出力しません。

つまり、偽の式を含むすべての真の式を印刷するマシンが印刷されます。



これで翻訳が完了しました。 この証拠は適切ですか？ 翻訳精度はどうですか？ 自由は適切ではないので、私は文字通りにしようとしました。